专题2.7 有理数的混合运算【导图+知识卡片+知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦有理数的混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方再乘除后加减，同级从左到右，括号按小中大依次）及运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律），通过思维导图和知识梳理搭建学习支架，衔接前期有理数基本运算，为复杂计算与实际应用奠定基础。 该资料以核心素养为导向，设计多样化题型与分层训练。题型一程序流程图结合《九章算术》背景，培养模型意识与创新意识；题型二“算24点”联系生活情境，提升应用意识与运算能力。中考真题演练与基础夯实、培优拔高分层训练，课中辅助教师差异化教学，课后助力学生巩固基础、突破难点，有效查漏补缺。

null 专题2.7 有理数的混合运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的混合运算 2 知识点二 合理运用运算律简化运算 3 题型讲练 3 题型一 程序流程图与有理数计算 3 题型二 算“24”点 6 题型三 含乘方的有理数混合运算 10 题型四 计算器—有理数 13 中考真题演练 15 难度分层训练 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 22 知识点一 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 技巧点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 知识点二 合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3. 灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 题型一 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【规范解答】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】（）根据运算程序计算即可求解； （）设小丽心里想的数是，根据题意列出方程解答即可求解； （）设小丽心里想的数是，可得最终的计算结果是，即把小丽的计算结果加就是她心里想的数，据此即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设小丽心里想的数是， 则， 解得， ∴小丽心里想的数是， 故答案为：； （3）解：设小丽心里想的数是，则， 即最终的计算结果是， 可知，最终的计算结果比原数小， ∴把小丽的计算结果加就是她心里想的数． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【答案】 【思路引导】根据程序流程，可得出函数关系式。已知两组、的对应值，可将其代入函数式，得到一个关于、的二元一次方程组，解出 、的值后，再将代入求出对应的值． 【规范解答】解：由题意可列方程组 即解得 当输入的值为时，输出的值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用和函数关系式的确定，解题关键是将程序流程转化为数学表达式，再利用已知条件建立方程组求解． 【变式训练3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【规范解答】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 题型二 算“24”点 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【思路引导】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【规范解答】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【思路引导】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【规范解答】解： 【变式训练3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1)； (2)； (3)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可知，当抽到数字5和1时，和最大，然后列出算式求值即可； （2）根据题意可知，当取到数字5和1时，乘积最大，然后列出算式求值即可； （3）根据题意，写出一个结果为24的算式即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得， 当抽到数字5和1时，和最大，此时和为； （2）解：由题意可得， 乘积最大时，这两个同号， 当取到数字5和1时，乘积最大，此时乘积为； （3）解； ； 运算结果为24的算式为（答案不唯一）. 题型三 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）有理数计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【思路引导】（1）利用乘法分配律可简便计算得到结果； （2）按照先算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减的运算顺序计算即可， 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，同时去绝对值，然后算乘法，最后算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ， ； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【思路引导】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【规范解答】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 【变式训练3】（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3）有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． 【答案】（1）；（2）；（3）二进制明码表示的密码为176． 【思路引导】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答； （2）理解题意，先模仿题干解题过程，即可作答； （3）先将转换成十进制数，再根据题意求解即可． 【规范解答】解：（1）依题意， ∴十进制数13对应的二进制数为； 故答案为：； （2）依题意，（最低位为10）， （次低位为9）， （最高位为0）， ∴． 故答案为：； （3）依题意， ， 由于是奇数，代入公式得 ∴二进制明码表示的密码为176． 题型四 计算器—有理数 【典例精讲】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了计算器的使用，有理数的混合运算，熟练掌握计算器的使用和有理数的运算法则是解题的关键． 根据计算器的按键顺序，列出算式，再运算即可得答案． 【规范解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）用计算器进行计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了用计算器进行有理数的计算，正确在计算器上输入对应的式子是解题的关键． （1）在计算器上输入对应的式子，然后计算对应的结果即可； （2）在计算器上输入对应的式子，然后计算对应的结果即可； （3）在计算器上输入对应的式子，然后计算对应的结果即可； （4）在计算器上输入对应的式子，然后计算对应的结果即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，正确在计算器中输入是解题的关键． （1）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （2）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （3）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （4）在计算器中正确输入对应的算式求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·单元复习）用计算器计算： （1）___________（精确到）； （2）___________． 【答案】 【思路引导】本题考查的是利用计算器进行计算，掌握运算顺序是解题关键； （1）直接利用计算器计算即可； （2）利用计算器先计算括号内的运算，乘方运算，最后计算乘法运算即可． 【规范解答】解：（1）； 故答案为： （2） ． 故答案为： 【真题演练1】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【规范解答】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 【真题演练2】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 【答案】8 【思路引导】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【规范解答】根据定义，得， 故答案为：8． 【真题演练3】（2024·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|． 【答案】5 【思路引导】先计算乘方运算，同步计算乘法运算，化简绝对值，再合并即可． 【规范解答】解：原式＝﹣3+4+4 ＝5． 【考点剖析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 【真题演练4】（2024·贵州安顺·中考真题）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为_________． 【答案】7 【思路引导】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【规范解答】解：依据题中的计算程序列出算式：， ∴应该按照计算程序继续计算，， ∴． 故答案为：7． 【考点剖析】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 【真题演练5】（2025·湖北随州·中考真题）计算：___________． 【答案】0 【思路引导】先算乘方，再计算乘法，最后算加减． 【规范解答】解：． 故答案为：0． 【考点剖析】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路引导】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【规范解答】解： ，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 2．（21-22七年级上·四川甘孜·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可． 【规范解答】解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 3．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【思路引导】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【规范解答】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【规范解答】解：根据新运算规则， 可得 ． 5．（25-26七年级下·福建福州·期中）常用的十进制是“逢十进一”，计算机用的二进制是“逢二进一”，类似的，三进制只需要0，1，2三个数字，“逢三进一”．如三进制中的，表示十进制中的19．那么三进制中的表示十进制中的______． 【答案】48 【思路引导】根据十进制中的数与三进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：. 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义一种运算：．例如：．那么______． 【答案】79 【思路引导】根据新定义，按照先算括号内，再算括号外的顺序，套用给定运算规则计算即可． 【规范解答】解：根据规则， 再计算 ． 7．定义新运算：对于任意有理数、，都有，例如，那么__________． 【答案】- 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，理解新定义的运算规则，掌握有理数运算法则即可求解. 【规范解答】解：由新定义可知. 将，代入得 . 8．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【思路引导】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【规范解答】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 9．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）观察所给式子，得出规律求解即可； （2）将每个加数按照规律展开，求解即可． 【规范解答】（1）解：观察上述规律， ， ， 故答案为：；． （2）解：对原式进行变形化简如下， 【培优拔高】 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【思路引导】根据流程图，列式计算即可． 【规范解答】解：． 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【规范解答】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 3．（25-26七年级上·河南安阳·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2计数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50．将转换为十进制数，结果是（   ） A．19 B．21 C．24 D．57 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，理解三进制转换为十进制的换算规则是解题关键，将三进制数转换为十进制数，需要每位数字乘以3的相应幂次（从右向左，幂次从0开始），然后求和即可． 【规范解答】解：∵三进制转十进制的规则为每位数字乘以3的对应幂次（从右到左幂次从0开始）再求和． ∴ ． 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【规范解答】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．源于中国古代重量单位制的“半斤八两”就与十六进制有关．十六进制数61换算成十进制数是（注意：），十进制数88换算成十六进制数是___． 【答案】 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算的应用，熟练掌握十六进制数的进位，有理数乘方运算，是解题的关键． 将十进制数88转换为十六进制数，需使用除以16取余法，依次计算商和余数，直到商为0，然后将余数从下往上排列得到结果． 【规范解答】解：，商为5，余数为8； ，商为0，余数为5． 将余数从下往上读取，得到十六进制数为58． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则并能找出循环周期是解题的关键． 先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第2028次输出的结果． 【规范解答】解：第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：； 第6次输出：； 第7次输出：； 第8次输出：； 第9次输出：； ．．． 从第4次开始，输出结果按，，循环，周期为3； ，余数为0，对应循环中的第3个数； 故答案为：4． 7．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【思路引导】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【规范解答】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 9．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【思路引导】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 10．（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 【答案】任务一：（1）76；（2） 任务二：（1）；（2） 任务三：所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）；理由见解析 【思路引导】本题主要考查了六进制数与十进制数的转化，理解进制数的记数规则是解题的关键． 任务一：根据转换方法进行十进制与六进制的转换即可求解； 任务二：利用“五五乘法表”进行计算即可求解； 任务三：按六进制数的特征即可求解． 【规范解答】解：任务一：（1）． 故答案为：76． （2）∵， ∴． 故答案为：． 任务二：（1）； （2）． 任务三：所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 理由如下： 由题意得，该n位六进制数 ， ∵， ∴该n位六进制数能被整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的非负整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 有理数的混合运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的混合运算 2 知识点二 合理运用运算律简化运算 3 题型讲练 3 题型一 程序流程图与有理数计算 3 题型二 算“24”点 4 题型三 含乘方的有理数混合运算 5 题型四 计算器—有理数 8 中考真题演练 9 难度分层训练 9 【基础夯实】 9 【培优拔高】 11 知识点一 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 技巧点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 知识点二 合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3. 灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 题型一 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）小华和小丽玩一个数字游戏，小华说：“你在心里任意想一个数，按以下步骤操作后，告诉我结果，我就会立马知道你心里想的是什么．”你明白其中的道理吗？让我们和小丽一起来揭秘吧． (1)如果小丽心里想的是，那么她最终得到的结果是 ． (2)如果小丽告诉小华她最终得到的结果是，那么小华会告诉小丽心里想的数是 ． (3)小丽又换了几个她最终得到的结果告诉小华，小华都能立马说出她心中想的数字，请你揭示其中的奥秘． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·周测）给出如图所示的程序．当输入的值为1时，输出的值为1；当输入的值为时，输出的值为．故当输入的值为0.5时，输出的值为_________． 【变式训练3】（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 题型二 算“24”点 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【变式训练3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，小明有4张写着不同数的卡片，请你按照题目要求抽出卡片，完成下列问题． (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最大，请列出算式求值； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，请列出算式求值； (3)将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子． 题型三 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）有理数计算： (1)； (2)． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【变式训练3】（25-26七年级上·山东日照·期末）综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制数一般不标注基数． 材料一：十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，于是我们得到了下面的式子（规定当时，）： 例如，二进制数，转换为十进制数为：． 材料二：将十进制数转化为二进制数可以用除2取余法，例如，将十进制数25转换为二进制数的除法算式如图： 将上式中各步所得的余数按照逆序排列，即可得．此方法可推广为把十进制数转换为k进制数的算法（除k取余法）． 根据上述材料解答下列问题： 【任务一】 （1）十进制数13对应的二进制数为______． 【任务二】 （2）中国古代的十二地支，十二生辰，十二生肖等都属于十二进制的应用．十二进制使用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X，Y来记数，其中X代表10，Y代表11．请结合以上材料计算十进制数982对应的十二进制数为_____． 【任务三】 （3） 有一种密钥破解方式，先将二进制明码数转成十进制数x后，再按以下规则获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．试破解二进制明码表示的密码． （4） 题型四 计算器—有理数 【典例精讲】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）用计算器进行计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·单元复习）用计算器计算： （1）___________（精确到）； （2）___________． 【真题演练1】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________． 【真题演练3】（2024·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|． 【真题演练4】（2024·贵州安顺·中考真题）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为_________． 【真题演练5】（2025·湖北随州·中考真题）计算：___________． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·福建福州·期中）常用的十进制是“逢十进一”，计算机用的二进制是“逢二进一”，类似的，三进制只需要0，1，2三个数字，“逢三进一”．如三进制中的，表示十进制中的19．那么三进制中的表示十进制中的______． 6．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义一种运算：．例如：．那么______． 7．定义新运算：对于任意有理数、，都有，例如，那么__________． 8．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 9．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)类比上述规律计算下列式子：． 【培优拔高】 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南安阳·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2计数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50．将转换为十进制数，结果是（   ） A．19 B．21 C．24 D．57 4．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 5．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．源于中国古代重量单位制的“半斤八两”就与十六进制有关．十六进制数61换算成十进制数是（注意：），十进制数88换算成十六进制数是___． 6．（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 7．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 8．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 9．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 10．（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null