专题二 绝对值与相反数【（挑战压轴题）思导图知识卡片+九大考点讲练+优选题训练 共42题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册典型题培优系列

本初中数学讲义聚焦“绝对值与相反数”核心知识点，系统梳理从绝对值几何意义、求法、非负性到应用，有理数大小比较及实际应用，再到相反数定义、应用及多重符号化简的脉络，构建由概念到性质再到综合应用的学习支架。 资料以思维导图构建知识体系，九大考点均设典例精讲与对应练习，通过数轴动点、距离和最短等问题培养几何直观与模型意识，强化推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过优选题训练查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二绝对值与相反数 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练共42题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一绝对值的几何意义与有理数的大小比较】 【压轴考点01】绝对值的几何意义★★★ .2 二【压轴考点02】求一个数的绝对值★女女 .3 【压轴考点03】绝对值非负性★★★ 4 【压轴考点04】绝对值的其他应用★★★..6 s 【压轴考点05】有理数大小比较★★★★ .7 【压轴考点06】有理数大小比较的实际应用★★★★ 【压轴考向二相反数的概念与应用】 二【压拍考点07】相反数的定义★★★ .9 ,【压轴考点08】相反数的应用★★★★ 10 ,【压轴考点09】化简多重符号★★★★ ….12 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 第1页共16页 【专题复习思维导图指引】 一、绝对值的意义 三、相反数的意义 1定义 1定义 一根地，数轴上表示一个数的点到原点的距离 数轴表示 像5与-5,2.5与-2.5. 与一子这样， 叫作这个数的绝对值(bsolute value). 430 B 只有符号不同的两个数称为直为相反数《opposite mmber). 数：的绝对值记为，读作“的绝对值” 54-3-2-1012343 特别地，0的相反数是0。 2性质 2.性质 在雅一个数的绝对值都是非负数 点A与原点的距宽是3个单位长度， 1al>0. 点B与原点的距离是2个单位长度， 的 3互化规则 当a>0时，1a1ma 记忆口读 数表示 当4<0时，1al=-a 正数地时值是它本海 负毁绝对值曼它的相反散： 5立。士主方有古 当4=0时，1al=0. 0的单对值是0.。 点A与原点的距需是3，点B与原点的距离也是3， 所以3与一3互为相反数。 四、求绝对值与相反数的方法 挑战压轴题专题02 三绝对值与相反数的大小比较 根据定义或互化规则求al ,极据绝对值比较数的大小 (2)数轴法：先在数轴上找到对应点。再求到原点的距离。 绝对值与相反数 两个正费，艳对信大的正数大： 2.求相反数 两个负数，绝对值大的负数小 ()直接法 在敬的而添上一”号 ✉ 也可以表示为： (2)性质法：若a的相反数是b,则b=一@ 雪>0，>0时，若1>1b1,则a> 注意：0的相反数是0， 当a<0,<0时，若1e>,时a< ·求地对值：先瑰定符号。再用互化规则 2根据电对值和相反整的意义填空 4)1231- 5161- 2)1-51- 5的相反散是 五、压轴题考点技巧 六，常用公式与结论】 1-10.51- -10.5的相反数是 ①数轴法解决距高问题 -引-，一子的相反数是一 染聘问蓝影聚化。数形结合更直现，活合决位。臣真、 3)101- 2.若：与b互为相反数，则： 0十b=0, lal. 碧学中，地经大个食一在大有个负 目地化温网转化为去垫对性的网猛，把相反数网蛋特化为将号安化的问器 3.-al=1al. 4.1a1+1-a1=21gl. 口整体代入与赋值法 对于含参问腿，可取特殊值（妇0、1。一1）验证或探素规律 5.1a1-al-0/l+1-24-3+2-5 日结合实际情境 1一213-2 小学意见据营持化 将敷学问题与生活实际《如更离，儒差。质里、温度等)结合，提高理解力。 +1-21=3+2 。正数的点在原点右边，绝对值裤大越靠右 ①熟记定义与性质，是解题的基础： 数轴小结 一子一之。1。古。负盼的在原点左边绝对越大越在 数结是解决绝对值与相反数问整的利器 ·两个数互为相反数时，它们在数上关于原点对称。距离原点相。 多归纳，多总结，培养灵活运用力川 【压轴考向一绝对值的几何意义与有理数的大小比较】 【压轴考点01】绝对值的几何意义★★★ 【典例精讲】(26-27七年级·全国·小升初衔接)如图1，数轴上点A为-5，点B为13，点P是数轴上 的一个动点 A 0 图1 A 图2 A B 备用图 (1)若点P到A的距离为a,点P到B的距离为b.①当a=b时，求点P所表示的数.②当a:b=1:2时， 第2页共16页 求点P所表示的数. (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A,B,P,Q四个点 中，记其中两个点的距离为x,剩余两个点的距离为y,当P,Q在点A、B之间运动时，若x:y=1:2,求点 P所表示的数. 【对应练习1】已知la-2引+1b-3=0, (1)求a+b的值. (2)画数轴，并在数轴上标出到ab两数距离之和为4的数. 【对应练习2】(25-26七年级上·陕西西安·阶段检测)数轴上点A表示的数是x,点B表示的数是2， |x-2表示A,B两点间的距离，则川2x-6+|2x+4的最小值为_ 二【压轴考点02】求一个数的绝对值★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)lal a; (2)al a; (3)lal=-a; (4)a>-a. 【对应练习1】(25-26六年级上·上海·期中)如图： 5-4-3-2-10123452 (1)点A表示的数的相反数是 ,点B表示的数的绝对值是 第3页共16页 (2)在数轴上标出数2.5，-1二所对应的点C,点D: (3)C,D两点之间的距离是 (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是 【对应练习2】(25-26七年级上·浙江宁波·期中)同学们都知道，1-(-2)川表示1与-2之差的绝对 值，实际上也可以理解为1与-一2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索： (1)求1-（-2)1=- (2)同理，x+1009=x-1006表示数轴上实数x所对的点分别到-1009和1006所对的两点距离相等， 则x=」 (3)类似地，x+5引+x-2表示数轴上实数x所对的点分别到-5和2所对的两点距离之和，若引x+5引+ x-2引=9，则x= (4)由以上探究，猜想对于任何实数x,x-3引+x-6是否有最小值？如果有，请求出最小值：如果没有， 请说明理由， 【压轴考点03】绝对值非负性★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·江西上饶·期末)已知有理数！a=a,b=-b,请比较两数的大小： a b. 【对应练习1】(25-26七年级上·河北沧州·期中)如图，数轴上的点A,B分别表示有理数a,b,且Ia=5, Ib=2. A 第4页共16页 (1)求a,b的值： (2)A,B两点相距多少个单位长度？ (3)若点C在数轴上，且点C到点B的距离是点C到点A的距离的，求点C表示的数： (4)点P从点A出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个 单位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，依次操作2025次后，求点P表示的数 【对应练习2】(25-26七年级上江苏徐州阶段检测)己知：b是最小的正整数，且a、b满足(c-5)2+ |a+b=0,请回答问题： B C (1)请直接写出abc的值，a= ，b= (2)数轴上a五c三个数所对应的分别为A、BG,点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的 距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个 单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动. ①经过2秒后，点A与点C之间的距离AC=-· ②经过t秒后，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其 值、 第5页共16页 【压轴考点04】绝对值的其他应用★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·陕西西安·期末)某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次 活动.该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10,9,7,5,6.要使所有学生志 愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第层， 【对应练习1】(24-25七年级上·山西临汾·阶段检测)试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器， 某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“一”，在一次抽检中， 小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm +0.3 +0.2 -0.2 +0.4 +0.5 -0.3 +0.1 -0.5 (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (②)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由. 【对应练习2】(2025七年级上·全国·专题练习)阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个 有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意 义.若在数轴上有理数a对应的点为A,有理数b对应的点为B,则A,B两，点之间的距离可表示为a-b或b- a,记为AB1=|a-bl=b-a.如式子x-3引的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点 之间的距离. 4320234→ 根据上述材料，回答下列问题： (1)-2与3的距离是 (2)式子x+2+x-3的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1,A2,A3,A4,A5,A2014,某餐 饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在」 ,才能使这2014户 第6页共16页 居民到点P的距离总和最小. 【压轴考点05】有理数大小比较★★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)比较下列各对数的大小： 1)-5- (2)-5与-0.618. 【对应练习1】(25-26七年级上·安徽安庆·期中)若a,b为有理数，a>0,b<0,且a+b<0,那 么a,b,-a,-b的大小关系是( A.b<-a<-b<a B.b<-b<-a<a C.b<-a<a<-b D.-a<-b<b<a 【对应练习2】(25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测)对于两个不相等的有理数a、b,我们规定符 号Max{a,b}表示ab中的较大值，如：Max{2,4}=4,按照这个规定解决下列问题： (1)Max{-3,-2}=---;Max{-1,2}=_--; (2)方程Max{-3,-1}=3x+2的解为： (3)解方程：Max{3,m}=2m-3|+1. 二【压轴考点6】有理数大小比较的实际应用★★女女 【典例精讲】(24-25七年级上·河南安阳·期中)重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体 育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳 第7页共16页 每条定价30元.现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.A网店：买一个铅球送一 条跳绳，B网店：铅球和跳绳都按定价的90%付款，已知要购买跳绳60条，铅球x个(0<x<60). (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买需付款 元（用 含x的代数式表示) (2)当x=200时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【对应练习1】(24-25七年级上·河南濮阳·期中)如图所示数轴， (1)写出数轴上A,B,C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：-1.5，子，-(-4)： (3)用“<”将(1)、(2)中的六个数由小到大连接起来. 【对应练习2】(24-25七年级上·吉林·单元测试)在一次体检过程中，七（3)班班长记录了该班6 名学生的视力情况，若每名学生的视力以5.0为标准，大于5.0的记为正数，小于5.0的记为负数，记录数 据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 +0.1 -0.4 -0.2 -0.6 -0.1 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由： (2)若规定与标准视力相差大于02需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 第8页共16页 【压轴考向二相反数的概念与应用】 【压轴考点07】相反数的定义★★★ 【典例精讲】(26-27七年级·上海·暑假作业)该数轴的原点为0，向右为正方向.若点A,C所表示的 数互为相反数，则该数轴的原点0对应直尺上的刻度为 nnmmmimmmnmmmmmmmmpmmmimmmmpm 0 1234.56789 10 【对应练习1】(24-25七年级上·山西大同·阶段检测)在1.2有理数(2)中，一只蚂蚁从数轴的原 点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A,再向右爬了2个单位长度到达点B,然后又向左爬了10个 单位长度到达点C 0 (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (②)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D,且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几 个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点B,且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点？ 【对应练习2】(25-26七年级上·江西南昌·期中)在数轴上，把原点记作点0，表示数1的点记作点A.对 于数轴上任意一点P(不与点0，点A重合)，将P0与PA的长度之比称为点P的特征值，记作IP】,即【P】= PA 例如：当点P在OA上且P0=PA时，点P的特征值【P】=1. 0 A POP:APs -1 01 2→ -102→ (①)如图，点P1,P2,P3为数轴上三个点，点P1的数是-子点P2与P1表示的数互为相反数，点P3为1到2 之间的一个点： ①点P2表示的数是 ②【P】=」 ,【P2】=- 第9页共16页 ③比较【P1】、【P2】、【P3】的大小一一（用“<”连接）； (2)数轴上的点M满足OM=0A,求【M】: (3)若数轴上有一点K,初始位置表示的数是-3，现在点K以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求 出t为何值时，使得【K】=3; (4)数轴上的点P表示有理数p,已知【P】<100且【P】为整数，则所有满足条件的p的倒数之和是多少？ 请直接写出答案. 二【压轴考点08】相反数的应用★女★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·湖北荆门·期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形 少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来.如图，数轴上表示数a,b的点如图所示，把a, -Q,b,-b按照从小到大的顺序排列，正确的是( ) a0b→ A.-b<-a<a<b B.-a<-b<a<b C.-b<a<-a<b D.-b<b<-a<a 【对应练习1】(25-26七年级上·四川泸州·阶段检测)在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称 为下取整函数(F1 oor Function),记为x,也就是说lx表示取小于或等于x的最大整数.例如：2.6=2， -3=-3. (1)填空：10=一一：【10=—一：目=一一：【引= (2)若x为整数，且儿x-2+儿x+1‖=3，则x所有可能的取值为一一 (3)若a,b都是整数，且a+引利b-引互为相反数，求代数式3(a+b)2-b-a的值. 第10页共16页 【对应练习2】(25-26七年级上·四川成都·期中)数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点 之间的内在联系，是“数形结合”的基础.在石室联中的数学学科活动月中，七年级某班数学兴趣小组借 助数轴对点的运动进行了如下研究： ① ② M O M 图1 图 M P -6 01 10 图3 【定义】 一 个点M(不是原点)在数轴上运动，第一次跳到M1的位置（点M1与点M表示的数互为相反数)，点M1 称为点M的一次跳跃点，紧接着从M1到M2的位置，点M1与点M2位于点氏不是原点)的两侧，且PM1=PM2≠ 0,则点M2称为点M关于点P的二次跳跃点.例，如图1所示. 【初步理解】 (1)若点M表示的数是-1，点P表示的数是3，则点M的一次跳跃点M1表示的数是一，点M关于点P 的二次跳跃点M2表示的数是_一一，线段MM2的长度为一一一· 【深入探究】 (2)如图2，若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点M2为点M关于点P的二次跳 跃点.若点M,点P表示的数分别是m,-3,当m变化时，探究MM2的值是否发生变化？若不变，请求出 其值；若变化，请说明理由. 【拓展提升】 (3)如图3，在数轴上，点M从表示数-6的位置出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；点W从表示 数10的位置出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当运动到秒时，点W立即掉头以每秒4个单位长 度的速度向右运动.点P为定点，固定在表示数1的位置.设运动时间为t秒(t>O),点M关于点P的二 次跳跃点记为M2,在运动过程中，当点M2与点W间的距离为2个单位长度时，求t的所有可能值、 第11页共16页 二【压轴考点09】化简多重符号★女女★ 【典例精讲】(25-26七年级上·山东德州·期中)已知点A、BC八B、F在数轴上分别对应下列各 数：0，-35引，-3.75，-(+4，-（-5)，-2 (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） 方4南2青4时 B (2)用“<”号把这些数连接起来。 【对应练习1】(26-27七年级上·全国·课后作业)按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①-(-2)：②+（身：③-【-(-4：④-[-(+3.5：⑤-{-【-(-5}：©-{-[-(+5} (2)若+5前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若-5前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 【对应练习2】(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度。 A 0 B (1)请指出点A、点B所表示的数分别为_、-· (2)在数轴上有一点C,它与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示的数为_： (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来. -6,-25-（-3.5),2. 第12页共16页 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(25-26七年级下·河北唐山·期末)2026年6月1日~10日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微 信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是( 日期 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 嘉嘉 3 4 5 5.1 5.5 6.8 7.7 8 9.2 11 淇淇 8.1 8 7.5 6.4 4.5 4.6 7.5 9.2 10.2 A.淇淇单日的步数最多是10.2步 B.淇淇单日的步数高于嘉嘉的有7天 C.6月11日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D.6月5日，淇淇的步数低于嘉嘉的 2.若ahc、d四个数满足1 1 1 1 a-2000 b+2001 c-2002 a+203则a6Qd四个数的大小关系为( A.a>c>b>d B.b>d>a>c C.d>b>a>c D.c>a>b>d 3.如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦.指针指向40表示音调偏高， 需放松琴弦.下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是( -10010 20 20 -30 30 -40 .40 -50 50 音调调高，请放松琴弦 调试D又纯律 A.-7 B.20 C.-2 D.-50 4.数轴上点P表示的数为-2028，则与点P关于原点对称的点表示的数是( A.2028 B.-2028 c.0 0.- 2028 5.（25-26七年级上山东日照阶段检测)规定：f(x)=|x+2引，gy)=y-4,例如f(-4)=-4+2引=2， g(-4)=|-4一4=8；下列结论正确的是：①能使f(x)=5,成立的x的值为3或-7；②若x<-2,则f(x)+ g(x)=2-2x;③若f(x)+gy)=0,则2x-3y=-16;④f(x)+g(x+1)的最小值是4.( A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 第13页共16页 6.(25-26七年级上·山东德州·期中)已知a,b为有理数，a<0,b>0,且|a>|bl,将a,-a,b, 一b从小到大排列，用“<”连接： 7.当x=时，x+2|+x-3+x-6的最小值是一 8.如图，图中数轴的单位长度为1.若点E表示数的绝对值恰是点C表示数的绝对值的3倍，那么图中点B 所表示的数是 DEA C B 9.x-3引+x+1+|2x-31的最小值为一一一. 10.（25-26七年级下·四川内江开学考试)x-1+1x-2+x-3引+…+x-2010|的最小值是 11.(26-27七年级上·全国·课后作业)某种食品包装袋上标注质量为450g,对6袋该种食品的实际质 量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： -25,+10,-20,+30,+15,-40, 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 12.(26-27七年级上·全国·课后作业)比较下列各对数的大小： (1)-与- (2)-1.17与-1.2： (3)-5号与0： (40与-2： (5)-0.001与-0.009. 第14页共16页 13.(26-27七年级上·全国·课后作业)某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护.境内高铁线路 呈东西走向，全长近250km.某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录 如下（单位：km):+75,-90,-38,+20,-70,+120,+100,-117.如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L, 问：当天巡护车辆耗油多少升？ 14.(25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测)对于有理数a,b,n,d,若引a-n+b-n=d,则称a 和b关于n的“相对关系值”为d,例如，12-1+3-1=3，则2和3关于1的“相对关系值”为3. (1)-4和3关于1的“相对关系值”为一一一一； (2)若a和2关于1的“相对关系值”为5，求a的值： (3)若a和a1关于1的“相对关系值”为1.则a0+a1的最大值为_一一一 第15页共16页 15.(25-26七年级上·四川巴中·期末)【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对 值，记作|a,数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作la-bl,如数轴上表示数5的点与表示数7 的点的距离为5-7八=2,15+7引=15-(-7)川表示数轴上表示数5的点与表示数-7的点的距离，a-5引 表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离.根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数-2的点与表示数3的点的距离为_一一： ②若引a-5引=3，则a=一-： 【深入探究】 (2)求x+2+x-3的最小值.以下是小明的解答过程： 解：记点P,A,B分别表示数x,-2,3,点P点A的距离PA=|x+2,点R点B的距离PB=|x-3. 当点P在点A的左边，即x<-2时，如图①，此时PA>0,PB>5. ∴.PA+PB>5,即|x+2l+x-3|>5. 当点P在线段AB上，即-2≤x≤3时，如图②，此时PA+PB=5. 即lx+2+x-31=5, 当点P在点B的右边时，即x>3时，如图③，此时PA>5,PB>0. ,PA+PB>5,即川x+2+lx-3>5. .当-2≤x≤3时，x+2+lx-3引有最小值，最小值为5. B A P B 4 B P -2 -2x -2 3 ① ② ③ 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子x+3+x+1+x-2的最小值。 【解决问题】 (3)某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1,2,1,2,3,3.由于 电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 第16页共16页nullnull 2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 绝对值与相反数 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练 共42题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】绝对值的几何意义 2 【压轴考点02】求一个数的绝对值 3 【压轴考点03】绝对值非负性 4 【压轴考点04】绝对值的其他应用 6 【压轴考点05】有理数大小比较 7 【压轴考点06】有理数大小比较的实际应用 7 【压轴考点07】相反数的定义 9 【压轴考点08】相反数的应用 10 【压轴考点09】化简多重符号 12 【压轴考点01】绝对值的几何意义 【典例精讲】（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【对应练习1】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【对应练习2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【压轴考点02】求一个数的绝对值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【对应练习1】（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【对应练习2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【压轴考点03】绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【对应练习1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b、c的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【压轴考点04】绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【对应练习1】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【对应练习2】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【压轴考点05】有理数大小比较 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【对应练习1】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定解决下列问题： (1)______；______； (2)方程的解为______； (3)解方程：． 【压轴考点06】有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【对应练习1】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【对应练习2】（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【压轴考点07】相反数的定义 【典例精讲】（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【对应练习1】（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【对应练习2】（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【压轴考点08】相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【对应练习1】（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称为下取整函数（Floor Function），记为，也就是说表示取小于或等于x的最大整数．例如：，． (1)填空：______；______；______；______． (2)若x为整数，且，则x所有可能的取值为______． (3)若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 【对应练习2】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．在石室联中的数学学科活动月中，七年级某班数学兴趣小组借助数轴对点的运动进行了如下研究： 【定义】 一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从到的位置，点与点位于点P（不是原点）的两侧，且，则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图1所示． 【初步理解】 （1）若点M表示的数是，点P表示的数是3，则点M的一次跳跃点表示的数是______，点M关于点P的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 （2）如图2，若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点．若点M，点P表示的数分别是m，，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在数轴上，点M从表示数的位置出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；点N从表示数10的位置出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当运动到秒时，点N立即掉头以每秒4个单位长度的速度向右运动．点P为定点，固定在表示数1的位置．设运动时间为t秒，点M关于点P的二次跳跃点记为，在运动过程中，当点与点N间的距离为2个单位长度时，求t的所有可能值． 【压轴考点09】化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【对应练习1】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【对应练习2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 1．（25-26七年级下·河北唐山·期末）年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 2．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 4．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 7．当______时，的最小值是______． 8．如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 9．的最小值为______． 10．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）的最小值是________ 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与0； (4)与； (5)与． 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 14．（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1．则的最大值为_______． 15．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 绝对值与相反数 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练 共42题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】绝对值的几何意义 2 【压轴考点02】求一个数的绝对值 5 【压轴考点03】绝对值非负性 9 【压轴考点04】绝对值的其他应用 12 【压轴考点05】有理数大小比较 14 【压轴考点06】有理数大小比较的实际应用 16 【压轴考点07】相反数的定义 19 【压轴考点08】相反数的应用 23 【压轴考点09】化简多重符号 28 【压轴考点01】绝对值的几何意义 【典例精讲】（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【答案】(1)①4；②或1； (2)点P所表示的数为或或或 【思路引导】（1）①根据可得到点P是的中点，据此求出的值，从而求出点P所表示的数； ②分两种情况讨论：若P在点A左侧，则；若P在之间时，利用结合求出的值，从而求出点P所表示的数； （2）根据点P、Q与A、B的位置关系进行讨论：分别表示出所有两点距离、，利用进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①， 当时，点P是的中点， ， 点P所表示的数：； ②当时，分两种情况讨论： 若P在点A左侧，则， 点P所表示的数：； 若P在之间，， 点P所表示的数：， 点P所表示的数为或1； （2）解：分情况讨论： ①如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ②如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ③如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ④如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； 综上所述，点P所表示的数为或或或． 【对应练习1】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 【对应练习2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 【答案】 【思路引导】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【规范解答】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 【压轴考点02】求一个数的绝对值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）（3）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可； （2）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合正数大于负数可得答案； （4）讨论的取值范围，进而确定的取值范围，结合正数大于负数可得答案． 【规范解答】（1）解： ∵ 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0， ∴ 当时，成立； （2）解：∵ 当时，，不满足， 当时，，满足条件， ∴ 当时，成立； （3）解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数为0， ∴ 当时，成立； （4）解：当时，， ∵正数大于负数， ∴此时满足； 当时，， ∴此时不满足； 当时，， ∴此时不满足； 综上所述，当时，． 【对应练习1】（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2)点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． (3) (4)和 【思路引导】（1）先根据数轴刻度确定点A、点B表示的数，再依据相反数、绝对值的定义分别计算对应结果． （2）根据数的正负和大小，确定2.5和在数轴上的位置，标出对应点C、D． （3）依据数轴上两点间距离公式，即两点所表示数的差的绝对值，计算C、D两点的距离． （4）与点C距离为个单位长度的点有两个，分别在点C的左侧和右侧，用点C表示的数分别加减即可得到对应数值． 【规范解答】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）略． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是和． 【对应练习2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)或3 (4)有，最小值为3． 【思路引导】本题考查数轴与绝对值，一元一次方程，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为9，得到或，分类讨论：①当时，②当时，逐个计算即可； （4）表示数轴上实数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【规范解答】（1）解：． 故答案为：3． （2）由题意知，实数x所对点到和1006所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）， ∴或 ①当时， ， ， 解得； ②当时， ， ， 解得； 故答案为：或3； （4）表示数轴上实数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 【压轴考点03】绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 【对应练习1】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【思路引导】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知： b是最小的正整数， 且a、b满足， 请回答问题∶ (1)请直接写出a、b、c的值，_______，_____； (2)数轴上a、b、c三个数所对应的分别为A、B、C，点B与点C之间的距离表示为，点A 与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B 和点 C分别以每秒1 个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动． ①经过2秒后，点A 与点 C之间的距离 ． ②经过t秒后，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值、 【答案】(1) (2)①； ②不变，理由如下： ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3 个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变． 【思路引导】本题考查最小正整数定义，绝对值和完全平方非负性，数轴上两点间距离，数轴上动点问题等． （1）根据题意可得，利用绝对值和完全平方非负性可知，； （2）①经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为，继而可求出本题答案；②经过t秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，继而可得，，继而得到，继而可知不会随着时间t的变化而改变． 【规范解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：①∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以3个单位长度的速度向右运动， ∵点A现在表示的数为，点C现在表示的数为， ∴经过2秒后，可知点A 表示的数为，点C表示的数为， ∴， 故答案为：14； 【压轴考点04】绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【思路引导】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【规范解答】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 【对应练习1】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2) 解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 【思路引导】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）略 【对应练习2】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【压轴考点05】有理数大小比较 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【思路引导】两个负数比较大小，绝对值大的反而小；先求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后判定原数的大小关系． 【规范解答】（1）解：，， ， （2）解：，， ， 【对应练习1】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数比较大小，绝对值意义，由已知条件，，且，可得，进而比较，，，的大小关系，掌握有理数比较大小方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，且， ∴， ∴， 故选：． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定解决下列问题： (1)______；______； (2)方程的解为______； (3)解方程：． 【答案】(1)，2 (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查新定义的运算，根据题意掌握的定义是解题的关键． （1）运用的定义判断两个数之间的大小，较大的数即为最终结果； （2）首先运用的定义得到，再求解一元一次方程即可； （3）首先不明确m与3之间的大小关系，所以需要分类讨论m与3之间的大小关系，再根据m与3之间的大小关系去绝对值得到一元一次方程，再进行求解并判断得到的m的值是否符合条件即可得到最后的结果． 【规范解答】（1）解：∵表示a、b中的较大值， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴解得：， 故答案为：； （3）解：①当时， ∴， ∴， ∴，解得：， 此时满足，符合条件， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴，解得：， 此时满足，符合条件， ∴； ∴或． 【压轴考点06】有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【答案】(1)；． (2)在A网店购买较为合算 【思路引导】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是根据优惠方案列出对应的表达式． （1）A网店：买x个铅球,送了条跳绳，付款为元，化简得；B网店：铅球和跳绳都按定价90%付款，付款为元，化简得元． （2）将分别代入A、B网店的表达式，计算后比较大小． 【规范解答】（1）解： A网店：元， B网店： 元， 故答案为：；． （2）解：当时， A网店付款：（元）， B网店付款：（ 元）， 因为， 答：在A网店购买较为合算． 【对应练习1】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【答案】(1)，0，2 (2) (3) 【思路引导】（1）根据数轴的意义，写出有理数即可： （2）根据数轴的意义，，再数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上，靠近右边的数大于其左边的数，解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据数轴的意义，得数轴上A，B，C各点分别表示的有理数为：，0，2． （2）解：， （3）解：根据题意，得． 【对应练习2】（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1) 小杰的视力最差，理由： ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【思路引导】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 【压轴考点07】相反数的定义 【典例精讲】（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【思路引导】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【规范解答】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 【对应练习1】（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【思路引导】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【规范解答】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 35． 【对应练习2】（25-26七年级上·江西南昌·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点的数是，点与表示的数互为相反数，点为1到2之间的一个点： ①点表示的数是_______； ②【】=_______，【】=_______； ③比较【】、【】、【】的大小_______（用“<”连接）； (2)数轴上的点满足，求【】； (3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，请求出为何值时，使得； (4)数轴上的点表示有理数，已知且【】为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)①；②，；③ (2)或 (3)或 (4) 【思路引导】（1）①根据相反数的定义解答即可； ②根据特征值的定义进行计算即可； ③根据特征值的定义，结合②进行比较即可； （2）根据特征值的定义进行解答即可，注意有两种情况； （3）根据题意，用代数式表示运动的长度，从而代入求值计算即可； （4）根据新定义，用不同的求出的值，找出规律，计算即可． 【规范解答】（1）解：①根据题意得，点的数是，点与表示的数互为相反数， 则点表示的数为， 故答案为：； ②点表示的数是，点表示的数是， 则， 由于， 即 因此 同理得， 因此， 故答案为：，； ③由图可知， 因此， 故答案为：； （2）解：由、得， 则、或 因此或； （3）解：根据题意得，点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为， 则运动距离为， 根据得， 即 即或 解得或； （4）解：根据得，， 由于且【】为整数，得，为1到99的自然数， 则且为的整数倍， ， 当时，或（舍去），此时， 当时，或，此时或， 当时，或，此时或， 以此类推，所有满足条件的的倒数之和是 ． 【考点剖析】本题考查有理数的加减运算、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． 【压轴考点08】相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【规范解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【对应练习1】（25-26七年级上·四川泸州·阶段检测）在数学中，我们把“不大于x的最大整数”称为下取整函数（Floor Function），记为，也就是说表示取小于或等于x的最大整数．例如：，． (1)填空：______；______；______；______． (2)若x为整数，且，则x所有可能的取值为______． (3)若a，b都是整数，且和互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)10；；0； (2)，0，1，2 (3)2 【思路引导】本题考查新定义的运算，绝对值，相反数，代数式求值，理解“下取整函数”的定义是解题的关键． （1）根据“下取整函数”的定义，直接对给定的数取不大于它的最大整数； （2）根据x为整数可得，，则转化为，根据绝对值的意义求解即可； （3）根据a，b为整数可得，，根据相反数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：；；；． 故答案为：10；；0；． （2）解：∵x为整数， ∴，， ∵， ∴， 当时，， ∴，与矛盾，舍去； 当时，， ∴成立； 当时， ∴，与矛盾，舍去； 综上所述，， ∴x所有可能的取值为，0，1，2． 故答案为：，0，1，2． （3）解：∵a，b为整数， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， ∴， ∴ ． 【对应练习2】（25-26七年级上·四川成都·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．在石室联中的数学学科活动月中，七年级某班数学兴趣小组借助数轴对点的运动进行了如下研究： 【定义】 一个点M（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点M表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从到的位置，点与点位于点P（不是原点）的两侧，且，则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图1所示． 【初步理解】 （1）若点M表示的数是，点P表示的数是3，则点M的一次跳跃点表示的数是______，点M关于点P的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 （2）如图2，若点M为数轴正半轴的一个点，点P是数轴负半轴上一个点，点为点M关于点P的二次跳跃点．若点M，点P表示的数分别是m，，当m变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在数轴上，点M从表示数的位置出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动；点N从表示数10的位置出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当运动到秒时，点N立即掉头以每秒4个单位长度的速度向右运动．点P为定点，固定在表示数1的位置．设运动时间为t秒，点M关于点P的二次跳跃点记为，在运动过程中，当点与点N间的距离为2个单位长度时，求t的所有可能值． 【答案】 ，，； 不变，，理由如下： 点表示 的数是， 点的一次跳跃点表示的数是， 点表示的数， 当时，， 点关于点的二次跳跃点表示的数是， ； 当时，， 点关于点的二次跳跃点表示的数是， ； 综上所述， 的值不变，； 或或． 【思路引导】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点的距离． 根据定义分别求出点的一次跳跃点表示的数，关于点的二次跳跃点表示的数，根据数轴上两点之间的距离公式求出； 根据定义把点表示的数用含的代数式表示出来，根据数轴上两点之间的距离公式求出； 根据运动的时间和速度可知点表示的数为，根据点的一次跳跃点与点的位置关系和点的运动方向，分三种情况讨论：当时，点的一次跳跃点在点的右侧；当时，点的一次跳跃点在点的左侧，且点向左运动；当时，点的一次跳跃点在点的左侧，且点向右运动． 【规范解答】解：点表示的数是， 点的一次跳跃点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 点关于点的二次跳跃点表示的数是， ， 故答案为：，，； 解：略； 解：点表示的数为，点表示的数为， 当时，， 点的一次跳跃点表示的数是， 点为定点，固定在表示数的位置， ， 点关于点的二次跳跃点表示的数是， 点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时，，点表示的数是， 点的一次跳跃点表示的数是， 点为定点，固定在表示数的位置， ， 点关于点的二次跳跃点表示的数是， 点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时，点表示的数为， 点表示的数为， ， ， 点的一次跳跃点表示的数是， 点为定点，固定在表示数的位置， ， 点关于点的二次跳跃点表示的数是， 点与点间的距离为个单位长度， ， 解得：或(均不符合题意，舍去)； 综上所述，或或． 【压轴考点09】化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【思路引导】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【对应练习1】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【思路引导】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 【对应练习2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)，； (2)或； (3)；． 【规范解答】（1）解：点、点所表示的数分别为，， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解：图略， ，， ∴． 1．（25-26七年级下·河北唐山·期末）年月日～日嘉嘉与淇淇相约去跑步，两人手机“微信运动”的步数统计如下表（步数单位：千步），下列结论正确的是（     ） 日期 嘉嘉 淇淇 A．淇淇单日的步数最多是步 B．淇淇单日的步数高于嘉嘉的有天 C．月日，嘉嘉的步数一定比淇淇的多 D．月日，淇淇的步数低于嘉嘉的 【答案】D 【思路引导】根据表格数据逐一判断各选项正误即可． 【规范解答】解：表格中步数单位为千步，淇淇单日最多步数是千步，不是步， 故A错误； 逐天对比两人步数：：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，可得淇淇步数高于嘉嘉共天，不是天， 故B错误； 前10天的统计结果无法确定6月11日两人的步数， 故C错误； 由于6月5日嘉嘉步数为千步，淇淇步数为千步，， 则淇淇的步数低于嘉嘉， 故D正确． 2．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【规范解答】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 3．如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正负数的意义以及绝对值，根据题意得到负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，排除错误选项，再通过比较数值与0的距离来判断即可． 【规范解答】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 正数表示音调偏高，需放松琴弦， 负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 指针指在0处为标准音，且2最小， 最接近标准音的是． 4．数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【规范解答】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 5．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）规定：，，例如，；下列结论正确的是：能使，成立的的值为或；若，则；若，则；的最小值是．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值表示的几何意义及绝对值非负数的性质是解题关键．结论通过解绝对值方程验证；结论根据的范围进行化简；结论利用绝对值非负性求和；结论通过绝对值表示的几何意义求最小值即可． 【规范解答】解：， 或， 解得或，故正确； ， ，， ，故正确； ， ，， ，， ，故正确； ，该式表示数轴上表示数的点到表示数和的两点的距离之和， 当时，最小值为，故错误； 综上，正确的结论有． 故选：A． 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【思路引导】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【规范解答】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 7．当______时，的最小值是______． 【答案】 【思路引导】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【规范解答】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 8．如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【答案】5或2 【思路引导】利用数轴得出两点之间的距离，然后分两种情况进行讨论，即当原点位于点和点之间时和当原点位于点右侧时，最后根据线段的数量关系求出点的坐标． 【规范解答】解：由数轴得， ①当原点位于点和点之间时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； ②当原点位于点右侧时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； 综上，点所表示的数是5或2． 9．的最小值为______． 【答案】4 【思路引导】根据绝对值的几何意义判断出当时，的值最小，进而求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴可以理解为表示x的数到3的距离加上表示x的数到的距离加上2倍表示x的数到的距离，如图， ∴由数轴可得，当时，的值最小，最小值为． 10．（25-26七年级下·四川内江·开学考试）的最小值是________ 【答案】 【思路引导】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【规范解答】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【考点剖析】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【答案】 解：检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量，理由如下： ，，，，，， ∵偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量， ， ∴最小， ∴检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量． 【思路引导】偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量，据此求解即可． 【规范解答】略 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与； (3)与0； (4)与； (5)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路引导】(1)(2)(5)属于两个负数比较大小，先求两数的绝对值，再根据绝对值大的负数反而小判断． (3)根据所有负数都小于判断． (4)根据正数大于所有负数判断． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：负数都小于，是负数， ； （4）解：正数大于所有负数，是正数，是负数， ； （5）解： ． 13．（26-27七年级上·全国·课后作业）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【答案】当天巡护车辆耗油升． 【思路引导】车辆行驶的总路程决定了耗油量，而不仅仅是最终的位移．因此，需要将所有行驶记录的绝对值相加得到总行驶距离，再乘以单位油耗． 【规范解答】解：将每个行驶记录的绝对值相加： 总耗油量总路程单位油耗：． 14．（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1．则的最大值为_______． 【答案】(1)7 (2)或 (3)3 【思路引导】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据“相对关系值”的定义，求解即可； （2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答即可． 【规范解答】（1）解：， ∴和3关于1的“相对关系值”为， 故答案为： （2）解： 和关于的“相对关系值”为， ， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，的值为或； （3）解：和关于的“相对关系值”为， ； 分四种情况： 当，时，，则； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 由此可知的最大值为； 故答案为： 15．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【思路引导】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【规范解答】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $