专题2.6 有理数的乘方【导图+知识卡片+知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方概念（求相同因数积的运算，含底数、指数、幂）、符号法则（正数任何次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正等）及科学记数法（a×10ⁿ形式），构建从有理数四则运算延伸至乘方运算再到实际应用的完整学习支架。 资料以思维导图串联知识，7个题型讲练（如乘方符号规律探究、科学记数法表示游客量）结合中考真题与分层训练，通过类比旧知培养抽象能力，变式训练提升运算能力与推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

null 专题2.6有理数的乘方『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的乘方 2 知识点二 乘方的符号法则 3 知识点三 科学记数法 3 题型讲练 4 题型一 有理数幂的概念理解 4 题型二 有理数的乘方运算 7 题型三 有理数乘方逆运算 11 题型四 乘方运算的符号规律 13 题型五 乘方的应用 16 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 17 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 19 中考真题演练 19 难度分层训练 21 【基础夯实】 21 【培优拔高】 25 知识点一 有理数的乘方 1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：叫做指数. 典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数； 2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 技巧点拨： （1） 乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 类比以前学的加减乘除法学习乘方。 运算名称 符号表示 加法 加数 加数 和 减法 被减数 减数 差 乘法 乘数 乘数 积 除法 被除数 除数 商 乘方 底数 指数 幂 幂特指乘方作为结果时的一种叫法，与和差积商相对应。 （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 知识点二 乘方的符号法则 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3.0的任何正整数次幂都是0； 4.任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 技巧点拨： (1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点三 科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记） 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 技巧点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 题型一 有理数幂的概念理解 【典例精讲】下列说法中正确的是（    ） A．两个有理数的差一定小于被减数 B．一对相反数的平方也互为相反数 C．数轴上的点不都表示有理数 D．倒数等于本身的数是、0 【答案】C 【思路引导】根据有理数的运算，相反数，数轴，倒数的定义解答即可． 本题考查了有理数的运算，相反数，数轴，倒数的定义，熟练掌握定义和运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：A. 两个有理数的差不一定小于被减数，原说法错误，不符合题意； B. 一对相反数的平方不一定互为相反数，原说法错误，不符合题意； C. 数轴上的点不都表示有理数，正确，符合题意； D. 倒数等于本身的数是，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G； 或11 (3)秒或秒或秒． 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 【变式训练2】（23-24六年级上·山东烟台·期末）大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中约80%的小方格用做纠错码和其他用途的编码，只有约200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码．现有对的说法如下：①就是200个2相乘；②；③；④的个位数字是6．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①④/④① 【思路引导】本题考查了数字类规律探究，乘方的意义．根据乘方的意义可判断①②③，探究规律可判断④． 【规范解答】解：①2200就是200个2相乘，故①正确； ②，故②不正确； ③，故③不正确； ④，个数数字是2， ，个数数字是4， ，个数数字是8， ，个数数字是6， ，个数数字是2， ，个数数字是4， ……， 以此类推，可知，，， ⋯，这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字是6，故④不正确． 故答案为：①④． 题型二 有理数的乘方运算 【典例精讲】在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【规范解答】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 【变式训练1】【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【答案】(1) (2)C (3) ，， (4) (5) 【思路引导】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）根据定义写出答案即可； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【规范解答】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解： ； ； ； 故答案为：；；； （4）解：的圈次方， 故答案为：； （5）解： ． 【变式训练2】（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 【答案】（1），12，16；（2）；；（3）①，；②． 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题， （1）根据非负数的性质求出a、b的值，进而根据两点间的距离公式计算即可； （2）表示出、的值，进而根据点A、B表示的数作答即可； （3）①求出圆的周长，进而求出滚动后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可； ②求出滚动n周后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴A、B两点之间的距离为． 故答案为：，12，16； （2）解：∵点P和点Q分别从点A、点B同时出发，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）， ∴、， ∵点A、B表示的数分别为、12，点P和点Q都沿数轴负方向运动， ∴点P对应的数是，点Q对应的数是． 故答案为：；； （3）解：①∵圆的半径为2， ∴圆的周长为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点移动了个单位，滚动两周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是． 故答案为：，； ②滚动n周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是． 题型三 有理数乘方逆运算 【典例精讲】定义新运算“※”如下：当时（“≥”是指大于或等于），；当时，． (1)求的值； (2)若，求b的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】（1）根据新运算法则求解即可； （2）首先得到然后利用新运算法则求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别利用新运算法则求解即可． 【规范解答】（1）因为， 所以； （2）因为，， 解得， ∴或． （3）当时，即时，， 即， 整理得，，解得，又， 因此不符合题意，舍去； 当时，即时，， 即， 整理得，， 解得，又， 因此符合题意． 【考点剖析】此题考查了代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 题型四 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【规范解答】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知，，满足，． (1)求出，，的值； (2)，，在数轴上所对应的点分别为，，，为数轴上一动点，其对应的数为，当点在点与点之间时，化简式子（写出化简过程） 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、数轴、整式的加减等知识点，熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质是解题关键． （1）先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得a、c的值，再根据可得b的值； （2）先画出数轴，再根据点P的位置分别判断出的正负，然后化简绝对值、计算整式的加减即可得． 【规范解答】（1）由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，， 解得，， ， ， 综上，； （2）由题意，画数轴如下： 由数轴的定义得：， 则， 因此， ， ， ． 【变式训练2】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)7 (3)或 【思路引导】此题主要考查数轴上点的坐标与距离表示方法，绝对值的化简，一元一次方程的应用． （1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，即可得出，，由此得答案； （2）数轴上两点之间的距离可知：表示的是点到、两点的距离之和，结合数轴可知点到、两点的距离之和最小，由此即可求出最小值； （3）表示出运动t秒时，点A，B，P表示的数，从而得到A，B的距离，根据该距离为6个单位长度可求得t的值． 【规范解答】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 即点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：， （2）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数是， 所以表示的是点到、两点的距离之和． 当点在点，之间， 即时， 点到、两点的距离之和最小， 即， 最小值为． 故答案为： （3）解：点运动时表示的数为， 点运动时表示的数为， 所以， 即或， 解得或， 所以当运动过程中，点，之间相距个单位长度时，运动时间的值为秒或秒． 题型五 乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·新疆·开学考试）若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【规范解答】解：∵任意有理数的平方和绝对值都是非负数，且 ∴， 解得， 将，代入，得． 【变式训练1】（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【规范解答】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 【答案】（1）①，；②，，；（2）①两，②三；（3）①，② 【思路引导】本题考查的是有理数的乘方，通过观察底数与幂的小数点移动规律是解题的关键． （1）直接利用有理数的乘方运算法则计算即可； （2）观察 “底数的小数点移动位数” 与 “幂的小数点移动位数” 的对应关系，总结规律； （3）运用（2）中总结的规律计算即可． 【规范解答】解：（1）①已知，则，； ②已知，则，，； 故答案为：①，；②，，； （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位； 故答案为：①两，②三； （3）①已知，则； ②已知，则． 故答案为：①，②． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】据猫眼专业版显示，今年国庆档的献礼片《长津湖》已经跻身中国电影票房榜前十名，自上映以来票房累计突破亿元，将亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据科学记数法的定义求解即可． 【规范解答】解：亿． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）2025“湘超”成为了湖南最具话题度的热词，整个联赛共完成13轮常规赛和2轮淘汰赛，球迷和游客纷至沓来，在感受足球激情的同时也留下了与长沙这座城市相关的独特记忆．据统计赛事期间主场城市接待游客总计6325万人次，将63250000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为（，为整数），解题关键是确定与的值． 【规范解答】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数 ∴将转化为该形式时，，小数点向左移动7位，故 ∴ 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算的应用，科学记数法等知识．注意对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒ （1）先把14亿化为，再根据题意列式计算，最后用科学记数法表示即可求解； （2）根据题意列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：14亿， （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． （2）解：（元）． 答：可卖得人民币元． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【规范解答】解：． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【答案】B 【规范解答】解：． 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南周口·期末）截至2026年1月，我国某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（  ） A．32000 B．320000 C．3200000 D．32000000 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了将科学记数法表示的数化成原数，将科学记数法 转换为原数，需将小数点向右移动6位． 【规范解答】解：∵， ∴ 原数为3200000， 故选：C． 【真题演练1】（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【规范解答】解：． 故选：D． 【真题演练2】（2025·江苏镇江·中考真题）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方，根据，1万解答即可得． 【规范解答】解：万， 故选：B． 【真题演练3】（2025·江苏淮安·中考真题）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【规范解答】解：24.2亿， 故选：C． 【真题演练4】（2025·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则_____． 【答案】 【思路引导】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可． 【规范解答】∵， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键． 【真题演练5】（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【规范解答】解：亿， 故选：C 【基础夯实】 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【规范解答】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解： ． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【思路引导】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 将代入得． 5．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【规范解答】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【规范解答】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 7．（25-26七年级下·北京密云·期中）计算：． 【答案】 【规范解答】解：原式． 8．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）请在数轴上表示下列各数：，3，，0，，并把这些数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来． 【答案】数轴见解析， 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小，相反数，有理数的乘方，理解数轴上右边的数总比左边大是解题的关键．先根据乘方的运算法则、相反数的意义进行化简，然后用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小方法即可求解． 【规范解答】解：如图所示： ． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，，，…，请据此解答下列问题： (1)验证：______；______． (2)通过上述验证，归纳得出：______，______． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)， (3) 【思路引导】本题考查有理数乘方的应用，正确掌握乘方的运算是解题的关键． （1）根据乘方的定义运算即可求解； （2）根据验证，归纳即可； （3）根据归纳的结论，应用计算即可求解． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：1，1； （2）通过（1）的验证可得，； ， 故答案为：，； （3）解： ． 10．（25-26七年级上·江西新余·期末）综合与实践． 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】（1）从左起第二个符号表示的二进制数为 ； 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如，，．（其中）， （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数．（其中） 【答案】（1）；（2）3745；（3）1046 【思路引导】本题主要考查了有理数的乘方运算，理解题意是关键． （1）根据阳爻或阴爻的表示即可解答； （2）图2对应的二进制数分别为，，，，根据二进制数转换成十进制数的方法求出这个四位数各数位上的数字，即可解答； （3）仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：根据【课本再现】可以发现从左起第二个符号表示的二进制数为， 故答案为：； （2）解：图2中的记数符号由四个二进制数分别为： ，，，， ∵， ， ， ， ∴这个四位数为； （3）解： ，   ∴这个十进制数为． 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【规范解答】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 2．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【规范解答】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【规范解答】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 4．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 7的相反数 0 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方运算．先计算卡片正面的数值，再比较大小进行排序，最后对应背面字母得到单词． 【规范解答】解：的相反数为；；；；．数值由小到大排序为，，，，．对应背面字母依次为，，，，，故单词为． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，将第四行和第五行的二进制数字转化为十进制数，即可得出结果． 【规范解答】解：由题意，第四行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； 第五行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； ∴王强的工号为； 故答案为：． 6．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了代数式求值，非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）在数轴上表示下列各数：，0，，，，，并用“”连接． 【答案】见解析， 【思路引导】先计算乘方和绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】解：，， 各数表示在数轴上为： ∴． 8．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），；（2）， 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可得到答案． 【规范解答】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在，，理由见详解 【规范解答】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 10．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码，例如：明码A对应暗码1…明码Z对应暗码26，以此类推．若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“I”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【答案】(1)①；；②2410272108； (2)①，空格，，，；②二维码见解析. 【思路引导】本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）①根据题中的规则求解； ②根据题中的规则化二进制为十进制； （2）①根据代码进行换算； ②先把代码换算成二进制，再画二维码． 【规范解答】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， ①第一行代表的二进制的数字为，第二行代表的二进制数字为； ②转换成十进制数为； 同理，转换成十进制数为10； 转换成十进制数为27； 转换成十进制数为21； 转换成十进制数为08； 小辉同学的准考证号为：2410272108； （2）解：①转换成十进制数为22； 转换成十进制数为29； 转换成十进制数为2； 转换成十进制数为12； 转换成十进制数为6； 根据转换规则，图2中从左到右五列对应的明码分别是，空格，，，； ②L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为， 同理其他字母表示的二进制分别为，，， 二维码如下图所示： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6有理数的乘方『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的乘方 2 知识点二 乘方的符号法则 3 知识点三 科学记数法 3 题型讲练 4 题型一 有理数幂的概念理解 4 题型二 有理数的乘方运算 5 题型三 有理数乘方逆运算 7 题型四 乘方运算的符号规律 7 题型五 乘方的应用 8 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 9 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 10 中考真题演练 10 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 13 知识点一 有理数的乘方 1.乘方的概念：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：叫做指数. 典型例子：此处2叫做底数，3是指数，表示2的个数； 2.特例：当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 技巧点拨： （1） 乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 类比以前学的加减乘除法学习乘方。 运算名称 符号表示 加法 加数 加数 和 减法 被减数 减数 差 乘法 乘数 乘数 积 除法 被除数 除数 商 乘方 底数 指数 幂 幂特指乘方作为结果时的一种叫法，与和差积商相对应。 （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 知识点二 乘方的符号法则 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3.0的任何正整数次幂都是0； 4.任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 技巧点拨： (1)有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点三 科学记数法（这是一个很小，但非常非常重要的知识点，要牢记） 科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 技巧点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 题型一 有理数幂的概念理解 【典例精讲】下列说法中正确的是（    ） A．两个有理数的差一定小于被减数 B．一对相反数的平方也互为相反数 C．数轴上的点不都表示有理数 D．倒数等于本身的数是、0 【变式训练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【变式训练2】（23-24六年级上·山东烟台·期末）大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中约80%的小方格用做纠错码和其他用途的编码，只有约200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码．现有对的说法如下：①就是200个2相乘；②；③；④的个位数字是6．其中正确的是______（填写序号）． 题型二 有理数的乘方运算 【典例精讲】在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1】【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【变式训练2】（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 题型三 有理数乘方逆运算 【典例精讲】定义新运算“※”如下：当时（“≥”是指大于或等于），；当时，． (1)求的值； (2)若，求b的值； (3)若，求x的值． 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1) ； (2)． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 题型四 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【变式训练1】（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知，，满足，． (1)求出，，的值； (2)，，在数轴上所对应的点分别为，，，为数轴上一动点，其对应的数为，当点在点与点之间时，化简式子（写出化简过程） 【变式训练2】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 题型五 乘方的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·新疆·开学考试）若，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式训练1】（25-26七年级上·山东青岛·期末）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北衡水·期中）（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】据猫眼专业版显示，今年国庆档的献礼片《长津湖》已经跻身中国电影票房榜前十名，自上映以来票房累计突破亿元，将亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）2025“湘超”成为了湖南最具话题度的热词，整个联赛共完成13轮常规赛和2轮淘汰赛，球迷和游客纷至沓来，在感受足球激情的同时也留下了与长沙这座城市相关的独特记忆．据统计赛事期间主场城市接待游客总计6325万人次，将63250000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【变式训练1】（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【变式训练2】（25-26七年级上·河南周口·期末）截至2026年1月，我国某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（  ） A．32000 B．320000 C．3200000 D．32000000 【真题演练1】（2025·四川绵阳·中考真题）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·江苏镇江·中考真题）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（   ） A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万 【真题演练3】（2025·江苏淮安·中考真题）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【真题演练4】（2025·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则_____． 【真题演练5】（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【基础夯实】 1．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 5．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 7．（25-26七年级下·北京密云·期中）计算：． 8．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）请在数轴上表示下列各数：，3，，0，，并把这些数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，，，…，请据此解答下列问题： (1)验证：______；______． (2)通过上述验证，归纳得出：______，______． (3)请应用上述性质计算：． 10．（25-26七年级上·江西新余·期末）综合与实践． 【课本再现】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为． 【观察发现】（1）从左起第二个符号表示的二进制数为 ； 【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，，，，依此类推），然后相加．例如，，．（其中）， （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数转换成十进制数．（其中） 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 4．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测）有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 7的相反数 0 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是_________． 5．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 6．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果，那么代数式的值是______． 7．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）在数轴上表示下列各数：，0，，，，，并用“”连接． 8．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 10．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小辉同学的准考证号的二维码的简易编码． ①直接写出第一行，第二行分别代表二进制的数字； ②直接写出小辉同学的准考证号． (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码，例如：明码A对应暗码1…明码Z对应暗码26，以此类推．若二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，若二维码的简易编码所对应的数值大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的明码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转换成十进制数18，则暗码为，则对应的明码为“I”，第二列中所对应的二进制的数字11011转换成十进制数27，则此时二维码的简易编码所对应的明码为空格． ①直接写出图2中从左到右五列对应的明码分别是什么？ ②请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null