第二十六章二次函数强化训练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现二次函数从概念辨析到综合探究的渐进式巩固，适配单元复习需求，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数定义、顶点坐标、对称轴、平移|以概念辨析（如选择1）和基本运算（如填空13平移）为主，夯实抽象能力| |能力提升|图像性质应用、简单实际问题|结合图像解不等式（选择6）和物理情境求最值（选择9），发展推理能力| |综合应用|多结论判断、动态几何、函数与几何综合|通过多结论判断（选择8）和存在性探究（解答21），强化模型意识与创新意识|

第二十六章二次函数强化训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1.下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3.正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 4.二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 6．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．二次函数与一次函数的图象大致可能是（ ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点（-2,0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1<x2，则-2x1<x2<4. 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 10.如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是(     ) A．B．C．D． 二、填空题 11.若函数是二次函数，则的值是 ． 12．抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 13.把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 14．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 15．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 16．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 三、解答题 17．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。 18.如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 19.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 20.某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果． (1)若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元； (2)当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？ 21.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章二次函数强化训练2026-2027学年 人教版九年级上册 一、选择题 1.下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4.二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 5．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 6．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D． 7．二次函数与一次函数的图象大致可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象过点（-2,0），对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a（x+2）（4-x）=-2的两根为x1，x2，且x1<x2，则-2x1<x2<4. 其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 9．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 10.如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是(     ) A．B．C．D． 【答案】A 二、填空题 11.若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 12．抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 13.把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 【答案】 14．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 15．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 16．如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣2x2+8x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是　 　米． 【答案】8 三、解答题 17．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。 【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5，0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（1，4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+ 18.如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 【答案】 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴，轴于两点 ∴，则 ∴ ∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. ∴把和代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 结合图象，的解集为 19.某学校在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. （1）当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； （2）求矩形养殖园面积的最大值. 【答案】 【小问1详解】 解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； 【小问2详解】 解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且平方米． 20.某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg．超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降价销售这种水果． (1)若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元； (2)当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元； (2)当销售单价定为21元时，超市所获利润最大，最大利润是3240元 【详解】（1）解：设降低元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意得， ， 整理得， 或． 要尽可能让顾客得到实惠， ， 售价为（元， 答：水果的销售价为每千克19元时，超市每天可获得销售利润3080元； （2）解：设降低元，由题得， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，最大． 售价为（元， 答：水果的销售价为每千克21元时，超市每天一天获利最大为3240元． 21.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：， 故直线l的表达式为：， 将点A、D的坐标代入抛物线表达式， 同理可得抛物线的表达式为：； （2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为， 即：则， 设点P坐标为、则点， ，故有最大值， 当时，其最大值为18； （3）由题意得，， ①当NC是平行四边形的一条边时， 设点P坐标为、则点， 由题意得：，即：， 解得或0或4（舍去0，此时M和C重合）， 则点M坐标为或或； ②当NC是平行四边形的对角线时， 则NC的中点坐标为， 设点P坐标为、则点， N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点， 即：， 解得：或（舍去0，此时M和C重合）， 故点； 故点M的坐标为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $