山东省九五联盟2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题

高三年级9月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 2 3 8 答案 B B B A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.51B.是148 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)∫(x)为偶函数. …2分 证明：(x)的定义域为(-0，+0)，关于原点对称： f(-x)=cos(-x)+(-x)sin(-x)=cosx+xsinx-f(x), 所以f(x)为偶函数. …5分 (2)因为f'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcos x, …7分 因为xe，所以cs0, …8分 所以f)在 上单调递减， 所以f'(x)=xcosx-<0 …9分 因为f孕=>0-10， …1分 由零点存作定理可得广倒在受有且仅有一个零点。 π …13分 16.【解析】 (1)取AC中点为M,连接BMM,AM,AB, 山△ABC和△AAC为正三角形可知MB⊥AC,MA⊥AC,…2分 数学试题答案第1页（买4页） 又MB,MAc乎面MB4,H.MB∩MA=M 故AC⊥平面BA.… …4分 义ABc平面MBA,故AC⊥B4.… …6分 (2)H题意可知AABC为正四面体，所以点A在平面ABC上.的射影ABC的中心，记该 点为H, …8分 所以∠AH为一面角A-AC-B的乎面角，记为0.… …9分 在△ABC巾，解得H= 3 所以AH=V4-AH=6 ……………1l分 A 因为M=HA=5 6 则am6-4g=2N2. HM 所以平面AAC与平血ABC夹角的正切值为2√互 …15分 17.【解析】 (1)由山题意：2b=4,所以b=2. 因为e=￡- ,所以a=3,c=5, a 3 所以五们方程为号片-1. ·4分 (2)证明：由(1)可知A(-3,0),B(0,-2) 直线PA的方程为y=c+3),令x=0.得M0,3业 。+3 0+3 直线PB的方程为y=+2x-2,令y=0,得N 2x0,0 ……6分 x。 %+2 因为四边形ABMN的对角线互和垂直，所以S:= 三|AN|BM.…8分 因为1AN非2+3=25+3+6 %+2 %+2 1BM作3%+2=2+3y+6 0+3 0+3 …12分 所以1aN1BM=2+34+6_4+9y+12x4+24+36+36 (+300y+2) x%+20+3y,+6 12(x%+2x。+3%+6) 6+2x+3%+6 =12 数学试题答奈第2页（共4页） 所以Sn=2x12=6 所以四边形AB领M的面积为定值.…15分 18.【解析】 (1)()第2次叹出的是2号卡牌等价于第1次取：的不是2号卡牌， 所以P名 …3分 (i)X的取值为1,3,4,5,6. …4分 当X=3时，可分为第1次取1,4,5,6号卡牌和第1次取2号卡牌两类情况： 所以P(X=3)=4+1.4_204244 ……6分 66530'30305 因为P(X≠3)=1- 55且1,4,5,6四张卡牌等可能被抽取到. 41 111 所以P(X=1)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)==× 5420 1 5 6 4 1 1 20 5 20 20 E(x)=1x+3x+4x 4 116 ,5× +6× …9分 20 5 20 20 205 (2)记盒中装有编号12，，n的n张牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为P, 第1次取卡分为三类互斥事件： ①第1次取出1号卡牌，概率为，后续依次取出2,3，，n-1号卡牌，则最后一次取出 的是n号卡牌： ②第1次取出n号卡牌，概*为，最后一次叹停的不可能是n号卡牌： ③第1次取m号卡牌，2≤m≤n-1,概率为上：第2，，m-1次按规则取2，，m-1, m 第m次在剩余n-m+1张卡牌中等概率扯取，该了问题等价规模为n-m+1的原型. =+,整理=1+， 所以P=一+一】 ……………13分 nn t-2 月-2 同理对n-1:(n-1)Pn1=1+∑， - 两式相减nPn-(-)P-1=Pn1,nPn=nPn→P=Pn-1,所以P}是常数列， 义n=2,片=行，故对任意整数n≥2，儿=方 所以最后一次取出的是n号卡牌的機淋为 ……17分 2 数学试题答案第3页（买4页） 19.【解析】 (1)T(A0:4,4,3,1:… 1分 B:4,4,3,1,… 3分 (2)山题意知，(A)中的最大项即为A的项数， 结合T(A)=A,得a=2,… …2分 枚5A0=24≤24=n4=4,即g≥2027， 注意到%∈N,枚a,≥46，… …5分 注意到数列4：46,45,45，，45lO, 个 满足S(A)=2027,且T(A)=A.存在数列①式满足要求， 枚a的最小值为46.… …8分 (3)设a,=r,4=8,则数列A共有r项，几有s项不小于2， 故SA0=∑4，=a+a2+∑9，+∑4，≥r+8+26s-2)+0-)-2r+)-4,…10分 广31 由题总≤41，k=2,3,…,n,牧r≥3， 从而S(A)≥2(r+s)-4≥4-4， 注意到s∈N,故5≤507.…。 …12分 若a≥509，且a,=507,则数列A有且仅有两个1，则 S(40≥509+507+505×2+×1-2028，不符合题意： …13分 若a=508,且a=507,则数列A有且仅有一个1，则 S(A)=508+507+a5+…+am+1=1016+a3+…+a07, 故a+…+m=1011,注意到a,≥2，放只能a3=3,，a,=a5=…=sn=2, 此时数列4：508,507,3,22,1满足奖求 …15分 504个 若a=507,且，=507，则数列每一项均不小于2， 此时S(4)=507+507+a+…+aso=1014+4+…+as0:, 枚43+…+a0,=1013,从而a、=4,=…=a0=2, 此时数列可能为4：507,507,5,2…，2 4:507,507,4,3,2,…,2 04不 503个 4:507,507,3,3,3,2,,2 ,验证只有507,507,4,32·2符合题目要求 03个 枚a2取最大俏507时，可能的数列有 A:508,507,3,2,…,2,1.4:507,507,4,3,2,,2两种可能.…17分 504 503个 数学试题答察第4页（共4页） 保密★启用并使用完毕前 高三年级9月学习质量综合评估 数学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则 A． B． C． D． 2．点到抛物线的焦点的距离为 A． B． C． D． 3．集合M中的元素个数记为，若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．若，均为非零向量，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．不全相等的正整数a，b，c，d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则该组数据的极差为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知直线与曲线和均相切，则 A． B． C． D． 7．由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为（）的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三棱锥，则x的最大值为 A． B． C． D． 8．若，则关于x的方程的实数根的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在锐角中，则 A． B． C． D． 10．已知三棱锥的外接球O的半径为1，且，平面，则下列结论正确的有 A．三棱锥为正三棱锥 B．平面平面 C．面积的最大值为1 D．三棱锥体积的最大值为 11．将1，2，3，…，（，）这个连续正整数随机分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，则下列结论正确的有 A．若，则的概率为 B．若，则的概率为 C．的概率为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，则C的离心率为________． 13．已知函数的最大值为2，则的最小值为________． 14．已知集合，，任取m，n，，，都有，则集合B中元素个数的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）判断的奇偶性并给出证明； （2）证明：在区间有且仅有一个零点． 16．（本小题满分15分） 已知三棱柱的棱长均为1，且． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正切值． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆E：（）的左顶点为A，下顶点为B，短轴长为4，离心率为．是E上位于第一象限内的动点，直线交y轴于点M，直线交x轴于点N． （1）求E的方程； （2）证明：四边形的面积为定值． 18．（本小题满分17分） 盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1，2，3，…，n．从盒内每次不放回地取出一张卡牌，直至卡牌全部取出．具体规则如下： ①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌； ②第k次取卡（）：若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒内随机取出1张卡牌． （1）已知． （ⅰ）求第2次取出的是2号卡牌的概率； （ⅱ）设第3次取出的卡牌编号为X，求X的分布列与数学期望； （2）求最后一次取出的是n号卡牌的概率． 19．（本小题满分17分） 已知数列A：，，…，的各项均为正整数，且，k=2，3，…，n．定义变换T，T将数列A变换为数列：，，…，，其中，为数列A中不小于i的项的个数． （1）若数列A：4，3，3，2，求，并求一个数列B，满足（直接写出结果即可）； （2）记为数列A的各项之和，若，． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列A． 学科网（北京）股份有限公司 $