山东省九五联盟2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题

高三年级9月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 2 3 8 答案 B B B A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.51B.是148 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)∫(x)为偶函数. …2分 证明：(x)的定义域为(-0，+0)，关于原点对称： f(-x)=cos(-x)+(-x)sin(-x)=cosx+xsinx-f(x), 所以f(x)为偶函数. …5分 (2)因为f'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcos x, …7分 因为xe，所以cs0, …8分 所以f)在 上单调递减， 所以f'(x)=xcosx-<0 …9分 因为f孕=>0-10， …1分 由零点存作定理可得广倒在受有且仅有一个零点。 π …13分 16.【解析】 (1)取AC中点为M,连接BMM,AM,AB, 山△ABC和△AAC为正三角形可知MB⊥AC,MA⊥AC,…2分 数学试题答案第1页（买4页） 又MB,MAc乎面MB4,H.MB∩MA=M 故AC⊥平面BA.… …4分 义ABc平面MBA,故AC⊥B4.… …6分 (2)H题意可知AABC为正四面体，所以点A在平面ABC上.的射影ABC的中心，记该 点为H, …8分 所以∠AH为一面角A-AC-B的乎面角，记为0.… …9分 在△ABC巾，解得H= 3 所以AH=V4-AH=6 ……………1l分 A 因为M=HA=5 6 则am6-4g=2N2. HM 所以平面AAC与平血ABC夹角的正切值为2√互 …15分 17.【解析】 (1)由山题意：2b=4,所以b=2. 因为e=￡- ,所以a=3,c=5, a 3 所以五们方程为号片-1. ·4分 (2)证明：由(1)可知A(-3,0),B(0,-2) 直线PA的方程为y=c+3),令x=0.得M0,3业 。+3 0+3 直线PB的方程为y=+2x-2,令y=0,得N 2x0,0 ……6分 x。 %+2 因为四边形ABMN的对角线互和垂直，所以S:= 三|AN|BM.…8分 因为1AN非2+3=25+3+6 %+2 %+2 1BM作3%+2=2+3y+6 0+3 0+3 …12分 所以1aN1BM=2+34+6_4+9y+12x4+24+36+36 (+300y+2) x%+20+3y,+6 12(x%+2x。+3%+6) 6+2x+3%+6 =12 数学试题答奈第2页（共4页） 所以Sn=2x12=6 所以四边形AB领M的面积为定值.…15分 18.【解析】 (1)()第2次叹出的是2号卡牌等价于第1次取：的不是2号卡牌， 所以P名 …3分 (i)X的取值为1,3,4,5,6. …4分 当X=3时，可分为第1次取1,4,5,6号卡牌和第1次取2号卡牌两类情况： 所以P(X=3)=4+1.4_204244 ……6分 66530'30305 因为P(X≠3)=1- 55且1,4,5,6四张卡牌等可能被抽取到. 41 111 所以P(X=1)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)==× 5420 1 5 6 4 1 1 20 5 20 20 E(x)=1x+3x+4x 4 116 ,5× +6× …9分 20 5 20 20 205 (2)记盒中装有编号12，，n的n张牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为P, 第1次取卡分为三类互斥事件： ①第1次取出1号卡牌，概率为，后续依次取出2,3，，n-1号卡牌，则最后一次取出 的是n号卡牌： ②第1次取出n号卡牌，概*为，最后一次叹停的不可能是n号卡牌： ③第1次取m号卡牌，2≤m≤n-1,概率为上：第2，，m-1次按规则取2，，m-1, m 第m次在剩余n-m+1张卡牌中等概率扯取，该了问题等价规模为n-m+1的原型. =+,整理=1+， 所以P=一+一】 ……………13分 nn t-2 月-2 同理对n-1:(n-1)Pn1=1+∑， - 两式相减nPn-(-)P-1=Pn1,nPn=nPn→P=Pn-1,所以P}是常数列， 义n=2,片=行，故对任意整数n≥2，儿=方 所以最后一次取出的是n号卡牌的機淋为 ……17分 2 数学试题答案第3页（买4页） 19.【解析】 (1)T(A0:4,4,3,1:… 1分 B:4,4,3,1,… 3分 (2)山题意知，(A)中的最大项即为A的项数， 结合T(A)=A,得a=2,… …2分 枚5A0=24≤24=n4=4,即g≥2027， 注意到%∈N,枚a,≥46，… …5分 注意到数列4：46,45,45，，45lO, 个 满足S(A)=2027,且T(A)=A.存在数列①式满足要求， 枚a的最小值为46.… …8分 (3)设a,=r,4=8,则数列A共有r项，几有s项不小于2， 故SA0=∑4，=a+a2+∑9，+∑4，≥r+8+26s-2)+0-)-2r+)-4,…10分 广31 由题总≤41，k=2,3,…,n,牧r≥3， 从而S(A)≥2(r+s)-4≥4-4， 注意到s∈N,故5≤507.…。 …12分 若a≥509，且a,=507,则数列A有且仅有两个1，则 S(40≥509+507+505×2+×1-2028，不符合题意： …13分 若a=508,且a=507,则数列A有且仅有一个1，则 S(A)=508+507+a5+…+am+1=1016+a3+…+a07, 故a+…+m=1011,注意到a,≥2，放只能a3=3,，a,=a5=…=sn=2, 此时数列4：508,507,3,22,1满足奖求 …15分 504个 若a=507,且，=507，则数列每一项均不小于2， 此时S(4)=507+507+a+…+aso=1014+4+…+as0:, 枚43+…+a0,=1013,从而a、=4,=…=a0=2, 此时数列可能为4：507,507,5,2…，2 4:507,507,4,3,2,…,2 04不 503个 4:507,507,3,3,3,2,,2 ,验证只有507,507,4,32·2符合题目要求 03个 枚a2取最大俏507时，可能的数列有 A:508,507,3,2,…,2,1.4:507,507,4,3,2,,2两种可能.…17分 504 503个 数学试题答察第4页（共4页）保密★启用并使用完毕前 高三年级9月学习质量综合评估 数学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=1+i,则z·z= A.√2 B.2 C.2i D.-2i 2.点(1，V2到抛物线y2=2x的焦点的距离为 A.1 B. C.2 D.3 3.集合M中的元素个数记为M|,若|A=5,|A∩B=3,|AUB=6,则B= A.1 B.2 C.3 D.4 4.若a,b均为非零向量，则|a+b曰a-b|”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.不全相等的正整数a,b,c,d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则 该组数据的极差为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知直线y=kx+b与曲线y=e-1和y=lnx+1均相切，则k+b= A.1 B.2 C.e D e 数学试题第1页（共4页) 7.由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为 x(0<x<1)的液体，在正方体自由旋转的过程中，若液体形成的几何体可能是三 棱锥，则x的最大值为 A名 B c. D月 8.若a>0,则关于x的方程|x2-cosx-a2=a的实数根的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在锐角△ABC中，则 A.a2+b2>c2 B.sin A>cos B C.cos A>sin B D.sin(A+B)<cos A+cos B 10.己知三棱锥P-ABC的外接球O的半径为1，且BA⊥CA,PO⊥平面ABC, 则下列结论正确的有 A.三棱锥P-ABC为正三棱锥 B.平面PBC⊥平面ABC C.△ABC面积的最大值为1 D.三棱锥P-ABC体积的最大值为 81 11.将1,2,3，…，2n(neN,n≥3)这2n个连续正整数随机分成A,B两组，每组n 个数，A组最小数为A,最大数为A:B组最小数为B,最大数为B。,则下列 结论正确的有 1 A.若n=3,则A<B的概率为 10 2 B.若n=3,则A-A=B-B的概率为 5 C.A,=n+1的概率为nn (2n)！ D.E(A.)= 2n2+n n+1 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 知双曲线C:二-片红@>0，b>0的渐近线方程为y士式 则C的离心 率为 13.已知函数f(x)=sin(x+p)+cosx(p>0)的最大值为2，则p的最小值 为 14.已知集合A={x∈N|1≤x≤14，BsA,任取m,n,p∈B,m<n<p,都有 m+p≠2n,则集合B中元素个数的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=cosx+x sinx. (1)判断f(x)的奇偶性并给出证明： (2)证明：f(x)在区间 [臣有且仅有一个零点。 16.(本小题满分15分) 已知三棱柱ABC-AB,C的棱长均为1，且 B ∠AAC=∠AAB= 3 (1)证明：AB⊥AC: (2)求平面AAC与平面ABC夹角的正切值. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆E:x+y a2+62 =1(a>b>0)的左顶点为A,下顶点为B,短轴长为4，离 心率为 . P(x,,y)是E上位于第一象限内的动点，直线PA交y轴于点M, 3 直线PB交x轴于点N, (1)求E的方程： (2)证明：四边形ABNM的面积为定值. 数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1,2,3，…，n.从盒内每次不放回地取出 一张卡牌，直至卡牌全部取出，具体规则如下： ①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌； ②第k次取卡(2≤k≤n):若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒 内随机取出1张卡牌. (1)已知n=6 (i)求第2次取出的是2号卡牌的概率： (i)设第3次取出的卡牌编号为X,求X的分布列与数学期望； (2)求最后一次取出的是n号卡牌的概率 19.(本小题满分17分) 己知数列A:a,42,…,an的各项均为正整数，且a≤ak-1,k=2,3,…,n.定义 变换T,T将数列A变换为数列T(A):b,b2,…,bnm,其中m=4,b为数列A中 不小于i的项的个数， (1)若数列A:4,3,3,2,求T(A),并求一个数列B,满足T(B)=A(直接写 出结果即可)： (2)记S(A)为数列A的各项之和，若T(A)=A,S(A)=2027. (i)求4的最小值； (ii)求a2的最大值，并求出a2取得最大值时的所有满足条件的数列A. 数学试题第4页（共4页）