九年级数学上学期9月学情自测（新教材华东师大版第20章～第21章，高效培优）

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C C A D A A A A D C 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．1 14． 15．6 16． 17．25 18．1 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分） 【详解】（1）解：， ， ，（1分） ， ∴，（2分） ∴，；（3分） （2）解：， ，（4分） ， ， ∴或，（5分） ∴，．（6分） 20．（6分） 【详解】（1）解：原式 （2分） ；（3分） （2）解：原式 （4分） ， 当时，（5分） 原式．（6分） 21．（8分） 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，（2分） 解得．（3分） （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，，（4分） ∴，（5分） 解得，．（6分） ∵方程有两个实数根， ∴，解得，（7分） ∴．（8分） 22．（8分） 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （2分） （米），（4分） 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （6分） （平方米）（8分） 答：刷涂料的面积为平方米． 23．（10分） 【详解】（1）解：∵， ∴；（2分） （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时，（4分） ，， ∴，无解； ②当，即 时，（6分） ∴，， ∴，解得； ③当，即时，（8分） 此时成立， 综上，的值为或．（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得，（4分） 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；（4分） （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，（6分） 根据题意，得， 解得，，（8分） 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元．（10分） 25．（12分） 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ，（2分） ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的．（4分） （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，（6分）      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，；（8分） ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解．（10分） 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为．（12分） 26．（12分） 【详解】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ，（2分） 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长；（3分） （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即．（10分） 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是（7分） （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取，（10分） 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即．（12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版九年级上册第20章~第21章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．代数式有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：要使有意义， ∵被开方数非负且分母不为0， ∴， 解得. 2．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 3．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 5．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 6．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 8．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出对应的数的正负，以及式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可. 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ . 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10．若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到的符号，再利用二次根式的性质化简，去绝对值整理后得到结果． 【详解】解：∵ 点在第二象限， ∴ ，， ∴， ∵ ，， 将上述结果代入得：原式． 11．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 12．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 14．若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，求出参数的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 则原方程为， 可得， 解得，， 故方程的另一个根是． 15．若，则的值是______ ． 【答案】6 【分析】等式两边分别平方，平方后展开即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：， ， 即 ， ， ． 16．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知：． 17．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 18．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 20．（6分）计算、化简求值： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 21．（8分）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 22．（8分）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 23．（10分）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为0或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意可知，，即 ． ∵， ①当，即时， ，， ∴，无解； ②当，即 时， ∴，， ∴，解得； ③当，即时， 此时成立， 综上，的值为或． 24．（10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 25．（12分）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 26．（12分）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版九年级上册第20章~第21章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．代数式有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 5．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 8．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 9．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 11．如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 12．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 14．若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 15．若，则的值是______ ． 16．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 17．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 18．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）解方程 (1) (2) 20．（6分）计算、化简求值： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 21．（8分）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 22．（8分）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 23．（10分）对于任意两个非负数a，b，定义运算为：． (1)计算的结果； (2)若，求x的值． 24．（10分）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 25．（12分）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 26．（12分）综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $