专题01 平面向量及其应用（题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦平面向量及其应用专题，系统梳理16个核心题型，涵盖概念辨析、线性运算、基底表示、数量积、极化恒等式及几何综合应用等知识范畴，构建从基础概念到综合应用的完整复习体系。 清单以题型脑图构建核心考法，考法深研部分针对各题型提供解题技能，如判断基底时结合坐标与几何形式验证，培养学生数学思维；总结三角形四心向量式，渗透数学语言表达；例题关联最新模考题，标注易错点与解题步骤，助力学生自主高效复习，教师可据此精准把握考点，提升备考针对性。

专题01 平面向量及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 平面向量的概念辨析 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 1．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 2．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 3．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）（多选）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若同向，则 D．若不共线，则 4．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 题型02 平面向量的线性运算 线性运算以三角形法则、平行四边形法则为核心．向量加法遵循首尾相接，由起点指向终点；向量减法保证共起点，结果指向被减向量；数乘运算重点关注系数正负改变方向，系数绝对值改变模长．遇到复杂图形，借助中点、等分点条件简化式子，优先将目标向量向已知向量转化；多向量化简采用分步归化，不要一次性处理全部向量；图形类线性运算，可结合建系法转化为坐标加减数乘运算，避开几何识图障碍． 5．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·江苏南通·阶段检测）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型03 判断两个向量是否为基底 平面内两个向量能够作为一组基底的充要条件是两个向量不共线（均不为零向量）． 解题技巧：①坐标形式：两向量坐标，，验证，不等于零即可作为基底；②几何形式：观察图形，确认两向量不在同一条直线上，同时排除其中出现零向量的情况；③反向命题：只要两向量共线，无论模长多大，都不能充当基底；做选择题可快速识别共线、含零向量的选项直接排除． 9．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（山西省部分学校2024-2025学年高三下学期二模数学试卷）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·山西长治·阶段检测）抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型04 向量的基底表示 优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 13．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）在中，设，若点满足，点为中点，则=（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 题型05 向量基本定理的应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 17．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）中，设为线段的中点，记，则______. 18．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则_____. 19．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2 20．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型06 向量共线与三点共线 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 21．（25-26高三下·山东潍坊·阶段检测）已知向量不共线，且，则实数___________. 22．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 23．（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知 是不共线向量，且，则以下选项正确的是（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 24．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型07 向量共线定理的推论及应用 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 25．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 26．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 27．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）如图，正方形中，是直线上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 28．（25-26高三下·江西宜春·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 题型08 向量的数量积计算 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 29．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知与的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 30．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C．19 D．9 31．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（    ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 32．（25-26高三上·河南·阶段检测）如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型09 数量积与向量的模长 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 33．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．1 34．（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 35．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型10 数量积与向量的夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 37．（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 39．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，则和的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型11 向量垂直的判定及应用 向量垂直的核心等价条件是数量积为0．①坐标题型：直接代入垂直坐标公式，列方程求解参数；②几何图形无坐标时，列式，再展开数量积进行化简计算；③综合题中，看到垂直条件优先转化为数量积等于0，把几何垂直条件转化为代数等式；注意区分垂直与平行的公式，不要记混；求出参数后可回代检验，避免计算出错． 41．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 42．（2026·江苏苏州·二模）已知平面向量．若，则（    ） A． B． C． D．2 43．（2026·河南郑州·一模）设非零向量，，则“或”，是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型12 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 45．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 48．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型13 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 49．（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 50．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 51．（24-25高三上·云南曲靖·阶段检测）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 题型14 极化恒等式及其应用 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 53．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 55．（24-25高三下·湖南·阶段检测）已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 56．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）如图，外接圆半径等于，三角形内角B是锐角，，点D在AC上，且（）A，B，C所对的边分别是a，b，c. (1)若，证明极化恒等式：，并用此结论求的最大值； (2)若，且BD是角B的平分线，求的面积. 题型15 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 57．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 58．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高三下·湖南永州·阶段检测）在中，，，D是AC中点，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 60．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________. 题型16 平面向量几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 61．（25-26高三上·江西·阶段检测）如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 62．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）如图，在中，. (1)证明：； (2)求的余弦值. 63．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，等腰中，，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段上的一点，且，过点的直线与边分别交于点，已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 64．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）如图，中，是的中点，与交于点. (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 平面向量的概念辨析 1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关． 3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． 5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． 6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． 7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 1．（25-26高三上·甘肃天水·期末）若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【解析】在①中，的大小不能确定，故①错误， 在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误， 在③中，为任一非零向量，则，故③正确， 在④中，由题意可知，故④正确.故选：B. 2．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）（多选）给出下列命题，则（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【解析】选项A，相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B，由，，得，B正确； 选项C，是与同向的单位向量，C正确； 选项D，当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误． 3．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）（多选）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若同向，则 D．若不共线，则 【答案】BC 【解析】若都是非零向量，，则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A错误； 当 时，若或 为零向量，根据规定，零向量与任意向量垂直，结论成立； 若和 均为非零向量，则两向量的夹角为，即 ，综上，B正确； 若同向，不妨设，则，故C正确； 因为不管是否共线，，都有可能相等，所以D错误． 故选：BC. 4．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 【答案】ABC 【解析】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 题型02 平面向量的线性运算 线性运算以三角形法则、平行四边形法则为核心．向量加法遵循首尾相接，由起点指向终点；向量减法保证共起点，结果指向被减向量；数乘运算重点关注系数正负改变方向，系数绝对值改变模长．遇到复杂图形，借助中点、等分点条件简化式子，优先将目标向量向已知向量转化；多向量化简采用分步归化，不要一次性处理全部向量；图形类线性运算，可结合建系法转化为坐标加减数乘运算，避开几何识图障碍． 5．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 6．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确；故选：B 7．（25-26高三下·江苏南通·阶段检测）已知所在平面内一点满足，E为中点，则长度是长度的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 【答案】B 【解析】因为，且E为中点， 所以， 则长度是的4倍.故选：B. 8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则，即，则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得. 故选：A 题型03 判断两个向量是否为基底 平面内两个向量能够作为一组基底的充要条件是两个向量不共线（均不为零向量）． 解题技巧：①坐标形式：两向量坐标，，验证，不等于零即可作为基底；②几何形式：观察图形，确认两向量不在同一条直线上，同时排除其中出现零向量的情况；③反向命题：只要两向量共线，无论模长多大，都不能充当基底；做选择题可快速识别共线、含零向量的选项直接排除． 9．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）下列各组平面向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A选项，，，为零向量，、不能作为基底，A不满足条件； 对于B选项，，，则，、不能作为基底，B不满足条件； 对于C选项，，，则，、不能作为基底，C不满足条件； 对于D选项，，，因为，则、不共线， 、能作为基底，D满足条件.故选：D. 10．（山西省部分学校2024-2025学年高三下学期二模数学试卷）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误.故选：C. 11．（24-25高三上·山西长治·阶段检测）抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率.故选：A． 12．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ACD 【解析】因为，则和共线，不满足条件； 设，则，无解，故和不共线，能作为基底； 同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．故选：ACD． 题型04 向量的基底表示 优先选取图形中现成、简洁的一对不共线向量作为基底，依托三角形法则、平行四边形法则，结合图形中点、等分点、平行、共线等几何特征，对复杂嵌套向量进行分步拆分、首尾归化、反向凑形，逐步消去中间向量，将目标向量完全转化为标准基底的线性形式，完成标准化拆分变形． 13．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）在中，设，若点满足，点为中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，. 故选：B 14．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， .故选：C 15．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设，则，，，， 可得，，. 设， 则，解得， 所以，即. 16．（25-26高三上·云南曲靖·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 题型05 向量基本定理的应用 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 17．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）中，设为线段的中点，记，则______. 【答案】 【解析】在中，由点为线段的中点， 可得， 由，所以，可得. 18．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则_____. 【答案】 【解析】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即. 19．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【解析】在正方形中，为的中点，所以， 又因为，所以，则. 20．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 .故选：C. 题型06 向量共线与三点共线 1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 21．（25-26高三下·山东潍坊·阶段检测）已知向量不共线，且，则实数___________. 【答案】 【解析】因为， 则存在实数，使得： 整理得： 因为不共线，根据平面向量基本定理， 得方程组： ，解得，代入得. 22．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，是平面的基底，内的两个向量分别为，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，即，解得. 23．（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知 是不共线向量，且，则以下选项正确的是（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】对A：，不存在实数，能使得， 故与不共线，故三点不共线，故A错误； 对B：，不存在实数，能使得， 故与不共线，故三点不共线，故B错误； 对C：， 不存在实数，能使得，故与不共线， 故三点不共线，故C错误； 对D： ，故， 又线段与线段有公共点，所以三点共线，故D正确. 24．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 题型07 向量共线定理的推论及应用 1、三点共线结论 如图①，设平面上三点不共线，则平面上任意一点与点共线的充要条件是存在实数与，使得，且．特别的，当为线段的中点时，． 2、三点共线推论 如图②，设平面上三点不共线，点在直线，且，令，，，则有． 25．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由于为的重心，所以， 由于、、三点共线，所以，，故选：B. 26．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【解析】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9.故选：B. 27．（24-25高三上·山东聊城·阶段检测）如图，正方形中，是直线上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】正方形中，，则， 而，则， 又点共线，于是，即，而， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值.故选：C 28．（25-26高三下·江西宜春·期中）如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】四点共线，可设，其中，， 分别是的中点，，， ， ，，， 是线段上两个动点，，， ， 当且仅当，结合，，即时取等号， 的最小值为. 题型08 向量的数量积计算 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角． 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解． （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解． 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积． 29．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知与的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为与的夹角为， 所以， 所以，故选：A 30．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C．19 D．9 【答案】A 【解析】由题设 . 31．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（    ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【解析】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以．故选：C 32．（25-26高三上·河南·阶段检测）如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 .故选：D 题型09 数量积与向量的模长 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 33．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为向量在向量上的投影向量为， 所以确定与的夹角为，所以， 所以，所以.故答案为：B. 34．（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 35．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 整理得，故，解得， ， ．故选：C 36．（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在中，，，，所以， 由于点为边上一点，且，所以， 又， 则.故选：B 题型10 数量积与向量的夹角 求解两个非零向量，夹角的步骤： 第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积； 第二步，分别求出这两个向量的模； 第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值； 第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角． 37．（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知向量，显然， 所以.故选：A 38．（25-26高三上·江西鹰潭·阶段检测）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，， 所以.故选：A 39．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，则和的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 则.故选：C 40．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对两边同时平方，得， 整理得，即， 所以，所以与的夹角为. 题型11 向量垂直的判定及应用 向量垂直的核心等价条件是数量积为0．①坐标题型：直接代入垂直坐标公式，列方程求解参数；②几何图形无坐标时，列式，再展开数量积进行化简计算；③综合题中，看到垂直条件优先转化为数量积等于0，把几何垂直条件转化为代数等式；注意区分垂直与平行的公式，不要记混；求出参数后可回代检验，避免计算出错． 41．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，，， ，， ，整理得，故选：B． 42．（2026·江苏苏州·二模）已知平面向量．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 43．（2026·河南郑州·一模）设非零向量，，则“或”，是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为. 若或可得； 但不能得到或. 所以“或”，是“”的充分不必要条件. 44．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则，解得. 题型12 投影向量及其应用 设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 45．（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：D. 46．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上的投影向量为. 47．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当三个平面向量，，两两夹角都为0时，显然在上的投影向量是. 当三个平面向量，，两两夹角都为时，因，所以， 则在上的投影向量为. 48．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为.故选：D. 题型13 奔驰定理与三角形的“四心” 1、奔驰定理的内容：是内的一点，且，则 2、奔驰定理的推论 ，则 ①；②，，. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 5、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 6、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 49．（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】由正弦定理得， 设， 而，表示与共线的向量 而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心.故选：C 50．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心.故选：D. 51．（24-25高三上·云南曲靖·阶段检测）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以.故选：B. 52．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确；故选：ABD. 题型14 极化恒等式及其应用 1、极化恒等式 （1）极化恒等式内容： （2）平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （3）三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的应用 问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后使用极化恒等式转化，把原本需计算夹角的数量积运算转化为长度运算，进而解决问题． 53．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .故选：C. 54．（25-26高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 55．（24-25高三下·湖南·阶段检测）已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图： 因为， 所以. 取中点，则， 因为，所以设，， 则，， 所以， 当时，为最大值. 此时为最大值.故选：D 56．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）如图，外接圆半径等于，三角形内角B是锐角，，点D在AC上，且（）A，B，C所对的边分别是a，b，c. (1)若，证明极化恒等式：，并用此结论求的最大值； (2)若，且BD是角B的平分线，求的面积. 【答案】(1)证明见解析；(2)的面积为 【解析】（1）证明：当时，为的中点，故，且，所以， 又，， 则 由为的中点，所以， 两边平方得， 即①， 又， 即②， 由①②得， 因为外接圆半径等于，，所以， 所以，又因为三角形内角B是锐角，所以， 所以，所以 化简得，又，所以，解得， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为； （2）当时，， 又BD是角B的平分线，故，即， 又，所以， 由（1）得，，所以， 所以，即， 所以，所以，又，所以， 则，所以， 所以的面积为. 题型15 平面向量的最值与范围问题 1、定义法：①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；②运用基本不等式求其最值问题；③得出结论． 2、坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解． 3、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论． 4、几何意义法：①结合条件进行向量关系推导；②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． 57．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则， 则点， ， 因为，则当时，； 当时，，所以 58．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，.故选：C. 59．（24-25高三下·湖南永州·阶段检测）在中，，，D是AC中点，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 当且仅当时，等号成立， ∵，∴. 所以的最大值为.故选：A. 60．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________. 【答案】 【解析】如图，设正方形的边长为，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则各点坐标为，，，， 直线的方程为， 由题意得，圆与直线相切， 所以圆的半径等于点到直线的距离，即， 所以，动点的轨迹方程为， 因为，，所以， 设，则，，所以， 问题转化为：在圆上，求的最大值， 设，即， 当直线与圆相切时，取得最值， 圆心到直线的距离等于半径，即，解得，， 所以，因此，的最大值为． 题型16 平面向量几何综合应用 向量拔高综合题型，主打向量与平面几何、解三角形、图形性质的融合考查． 核心解题逻辑为“几何条件向量化、向量运算几何化”，精准挖掘图形中中点、比例等分、平行垂直、三角形四心等隐藏几何条件，快速转化为向量等式、数量积关系；通过向量运算完成求值、证明、图形判定、面积求解等问题，最终将向量代数结果反向还原为几何结论，形成完整解题闭环． 61．（25-26高三上·江西·阶段检测）如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 如图所示，可知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，则， 所以， 则； （2）设，则，， 所以，， 因为扇形所在圆的半径为2，， 所以, 可知， 因为，所以当时，取得最小值，当或1时，取得最大值2， 所以的取值范围为． 62．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）如图，在中，. (1)证明：； (2)求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图，连与相交于， 由三角形的三条中线交于一点，有， 有. （2）设，有， 又由， ， 有， ， 有， 有. 63．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，等腰中，，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段上的一点，且，过点的直线与边分别交于点，已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为边的中点，为边上靠近点三等分点， 所以， 又，，所以， 因为共线，又， 则，即； （2）由，得， 所以，又， 由（1）得，联立解得，或，（舍）， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以在中，由余弦定理得， 因为，为边的中点，所以，所以， 又， ， 所以． 64．（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）如图，中，是的中点，与交于点. (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）. （2）因为三点共线，所以，解得. （3），由（1）可知， 所以，得， 则， 所以 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $