河北定州中学2026-2027学年高二年级上学期开学考数学试题

高二数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 00. 1.已知复数z满足z=2+片，则z的虚部为() 300.0 00!说03,0%0 A.1 B.-1 C.i D.i 2.己知平面向量ā=(x,),=(x-1,2x),若a1(a-),则同=() A1光法 B.5 入好 c.5 D.2 3.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题正确的是（) A.若mlla,nlla,则mllm B.若m⊥a,n⊥a,则mllm C.若mlla,mllp,则al川p D.若B⊥a,m⊥B,.则mla 4.投掷一枚质地均匀的骰子，事件A:点数小于4，事件B:点数大于2，事件C:点数为偶数. 则下列关于事件描述正确药葚 片（小1 A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件可：，1 C.A与C是独立事件 D.B与C是独立事件 5.边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为(，) 2 1=08,0D8西平105 ,81时 C.8 流80过 6. 已知两个随机事件4，B相互独立，R(4)=2P(B)=0.6,则P(4UB)=（)11 A.0.72 B.0.76 C.0.84 D.0.90: 7,在AABC中，=G,P是BN上靠近N的一个三等分点，若亚=m丽+nAC,则实数m+n 的值为() 止万的成大是G9通平已好，点 宜)- B.1 C. 4-5 D. 第1页（共4项） 8.如图；六芒星是由两个边长为6的正三角形组成，中心重合于点0且三组对边分别平行，点 A,B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界)，则可严的取值 范围是() 0° 图1六芒星 茶图2 ,i1容达，的汉t中门8么g花 A.[-10,2]. B.[-18,6 C.[「-25,25 D.[-25 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分西， 9.现有一组样本数据1,3,1,5,5,6,8,2,5，则这组数据的（.)+{-5兰 A.众数为5 B.中位数为3.会共出心+ C.极差为7 D.70%分位数为5 10.已知△ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,b=ccosA+一a,c=2W5,则() 2 AC=6-d,且3,8 B.△ABC的外接圆面积为π送dl C.若b=2√互，则满足条件的三角形仅有1个 D.△MBC周长的最大值为25+6 台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的命 ,无=n89) A.该圆台的母线长为4 B.该圆台的侧面积为8√5π 环已C.该圆台的体积为263 中市D.能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为5，： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.实从是用 12.已知平面向量a,i,且a=(-2,1),b=(3,4),则a在石方向的投影向量的坐标为一一： 第2页（共4页） 13.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是号和子，山，c闭合与断开的概率都 是，且是相互独立的，则灯亮的概率为从，一 14.在锐角。1BC中，角4B所对的边为ab,若amC=1,则号的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 六： 15.已知向量a,6满足a=1,0,同=2且a与6的夹角为买 用3战金次更白合 (1)诺(2ā-)1（位+），求实数的值： 2)求a与a+2的夹角的余弦值.心.S 成*. 0式长 。:的=4。.5r的浅门4,8ka 16.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且V5 asin C-acosC-+b-c=0. (L)证明：△ABC为钝角三角形： 个”西5t.国v5字 (2)若a=3,且△ABC的面积为√5，求△ABC的周长. 歌的欢说蓝超 ,汇床！出派}￥丽，的百.1 无6火福.日 然公.A 17,为弘扬中华优秀传统文化，增强学生人文底蕴，某市高中举办了“诗韵流芳”古诗词默写与常 识竞赛活动.现从所有参赛试卷的分数中随机抽取200份作为样本数据，将这些分数x(40≤x≤10) 分成六组：[40,50，[50,60)，血，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图1 (第3页（共4项） 个频率/组距 强际学地二高 0.025 0.020 花亦食0小共，代在厨小谛颜小8共本：酒乳滋 0.010 站次要目感分的头买：自 0.005 0405060708090100分数 1出治：识. ,+5=品和造过城8 (1)求频率分布直方图中a的值： -.8 (2估计200份样本分数的平均值！：，(0)1D管·(-=6,1，x)=叠向面平5 (3)若规定分数排名前20%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学至少应达到多少分？ 或公才，面平2不个西0，，为道的同不最两，院5. t、i,0m谷.国 顶，n”,0 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PC=PD,底面ABCD是平行四边形，AD=本，点O为AD 的中点，a0CD是等边三角形，P0=V5.千小学片、补萍下赠m心R一 (1)求证：PO⊥平面ABCD: 米顺可明 (2)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.日 抖d B 人长品小问帕如评，思一前浪或染乐武三水容的1比于女. 8 . 19.如图，己知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，AB=2, .0 E,F分别是BC,.PC的中点. (1)若平面PAD与平面PBC的交线为，判断直线BC与1的位置孙8，k升这个两映5 .0 关系，并证明你的结论 8.0. or.0.8 .0 F (②)求直线BC和平面PAD的距离：长分三个-装县年， (3)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ,求三面角B-R-C的余弦m . 第4须供项)《高二数学试题》参考答案 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 B B B D A A D B ACD AC 题号 11 答案 ACD 4.D【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立 事件，故AB错误； 由题意得P(A=P(a)-子，P(C)=P(aC)=P(BC) 由于PPQ)-对片所以4与C不程验立事件，故C误 由于P(@P(e)对P(eC,所以8与C是立件，故D正确： 故选：D 5.A【详解)边长为1的等边三角形，绕其中一条边旋转一周，所得几何体是两个底面重合的同底圆 锥 等边三角形的高h V-(- 即咽锥底面半径，=5，每个图锥的高为} 11 几何体的体积为两个圆锥体积之和：V-2×52h=2× 三编 6.A【详解)因为随机事件A,B相互独立，P(4)=2P(B)=0.6, 所以P(B)=0.3,P(4B)=P(A)P(B)=0.6x0.3=0.18, 、<时 5行1 所以P(4uB)=P(4)+P(B)-P(4B)=0.6+0.3-0.18=0.72, 1D详解】由题意瓜=兮c, 做亚-而+丽-而+号丽恋+号而-而+号c-+号c, 答案第1页.1 根据平面向量基本定理可知，m一m=弓，则m+n 2= 399 8.B详解1已知正三角形边长为6，则中心点0到顶点距离，-26.5=25， 3 2 已知A,B是相邻顶点，故∠AOB=60, 则可.0=r2c0s60=12×=6, 动点P在六芒星上，则o示在O方向的投影范围为-r,], 故oA.0丽e[-r,2]=-12,12],故oi丽=oi:(@m-0B）OAo丽-6e-18,6] 10AC详解对于A,由于b=o+,结合正弦定理得nB=6mGco+分n, 在aABC中，有A+B+C=元，所以sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC, 则有Tsin AcosC+eos4sinC=sinCo+5sin4,即sin4cosC=支sin4,r分2 又因为Ae(0,x),sinA≠0，所以cosC=2 因为Ce(0,,所以C=号，故A正确： 对于B,已知c=25,C=骨，由正弦定理得C2R,其中R为aMBC外接圆的半径， 则2R一4，解行R2,外孩圆面积S=R=x×2=4,放B错误 3200 ,以s 对于C,已知e=25,C-号，b=2反， 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,代入数据得(5=a2+5）-2xax2反xcos 133.. 化简得a2-22a-4=0,解得a=√反±√6，舍去负值，则a=√2+√6，所以a只有一个正解， 因此满足条件的三角形仅有1个，故C正确； ·1530 对好D,已知e=25,C=号， 0=00 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,代入数据得（25)=a2+b2-2 abcos (供4项) 化简得12=a2+b2-ab=(a+b-3ab, 。 由整本不等式调-：， 当且仅当a=b时取等号， 则12=a+b-3aba+by-3.a+b_a+b,解得a+bs丽=4W5, 80:-00 4 点 因此△ABC周长的最大值为a+b+c=4W3+2√5=6万，故D错误 -无 11.ACD【详解】对于A,设圆台上底面的半径为；=1，下底面的半径为：=3， ×.行○以0 由于母线与底面所成的角为子，则母线长：兰=4， cos 元=4，故A正确； -1:写 对于B,圆台的侧面积为π(1+3)×4=16π，故B错误； 1） 对于C,由题意有：S上=2=元，S下==πx9=9元，圆台的高h-2√， 所以该圆台的体积为：+年+S)h=×k+反x97+9r人25=265，故C正确； 对于D,设梯形ABCD为圆台的一个轴截面，如图所示： 设圆台上、下底面圆心分别为O,02,点0为线段0，O的中点，则 05 0 1 AB,O 1 CD, g.n5间 由已知AD=4,取DE=0,D=1,则AE=O,A=3, 0-。-猫 连接OD,OE,OA, A国 因为0，D=1,00,=V5,∠00，D=90,所以0D=2,∠0D0=60, 又∠4D0=120',所以∠ED0=60', 答案第 由余弦定理可得0E=万，所以OE1AD,OE=00=00, 由对称性可得以点0为圆心，O0,为半径的圆与梯形ABCD内切， 所以以0为球心，00，为半径的球与圆台的两个底面和侧面都相切， 所以能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为、√万. 2（)详解1因为a6=(-2x341x4)=-10,-F+(可-5， 所以ā在i方向上的投影向量为 0（别 型 13.0.5【详解】记事件A:开关a闭合，事件B:开关b闭合，事件C:开关c闭哈， 其西 若灯亮，则开关a闭合，开关b、c至少闭合一个， 故所求事件的率为PP0-P间P到对引子号 详解由amc=l,且Ce0,),得c=子 议 所以4+8=-C=交，所以4=买B, 4 避 由正弦定理，得a-sinA sin (3x-B sin cos b sinB sinB sinB 2 tan B 无远 0<B< 因为△ABC是锐角三角形，所以 2 余图 即<B< 0<3-B< 4 减》 ()-( 所以tanB>l,】 油酒 +1k2, 22 tanB 。 围 15.详解0由题意可得e-l,-2,a6=问os分=1x2×,- 答案第2项（供4须） 因为(2a-6)1(a+6).所以(2a-6)(6+5)上0， 即2a-后6+2a6-A5=2x1-1+21-4M=1-2A=0,解得A= )设a与a+26的夹角为8，由()可知，a.6=1, 由题意可得a:(a+26)=a2+2a6=1+2x1=3, 由后+2=2+466+462=1+4+16=21，得+26=万， 所以cos8= 6+26）3. a+2 1xv217 16.()油正弦定理得：4=6 =C-=2R, sinA sin B sinC a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC, 代入已知条件得：√5 sin AsinC-sin AcosC+sinB-sinC=0, 由三角形纳角和定理得：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos AsinC, 代入上式得：√5 sinAsinC-sin AcosC+sin AcosC+cosAsinC-sinC=0, 化简得：√5 sin AsinC+cos AsinC-sinC=0; 在aABC中，sinC≠0， 两边同时除以sinC得：√3sinA+cosA=l, 电第动痛公式得：2(4+号引-1，即(+引片 团为Ae@,所以4+号传） 所以4+管-管，即4=， 3， 所以△ABC为钝角三角形. 包)由三角形面积公式得：及=c加4=5， 代入4：晉得c9-5,解e4: 答案第3页1 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccosA, 代入a=3,4-径，c=4得：9=+2-2x4(》-6+ey-244 所以9=(b+c}-8+4,即(b+c了=13， 又因为b+c>0,所以b+c=万， 所以aABC的周长为Ca底=a+b+c=3+厅. 17、【详解)(1)由频率分布直方图可知组距为10，根据所有小矩形的面积之和为1可得： (0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, 解得a=0.030. ·2)根据频率分布直方图，样本分数的平均值估计为 x=(45×0.005+55×0.01+65×0.02+75x0.03+85×0.025+95×0.01)×10 =(0.225+0.55+1.3+2.25+2.125+0.95)×10 =74 所以估计200份样本分数的平均值为74分. (3)因为分数排名前20%的同学入围决赛，即对应累计频率为为80%的分数， 前四组的频率之和为0.05+0.10+0.20+0.30=0.65<0.80，前五组的频率之和为 0.65+0.25=0.90>0.80, 所以入围决赛的分数线位于区间[80,90)内， 设进入决赛的同学至少达到x分，则(x-80)×0.025=0.80-0.65, 即(x-80)×0.025=0.15,解得x=86, 故估计进入决赛的同学至少达到86分. 18.(I)如图，因为PA=PD,点O为AD的中点，所以P01AD,所以PD2=PO+OD2; 又因为aOCD是等边三角形，所以OC=OD,PD=PC,所以PC2=PO2+OC2,所以P01OC 因为OD∩OC=O,OD,OCc平面ABCD,所以PO1平面ABCD; (供4须) ()设点A到平面PCD的距离为d,则，4m=V,o, 由)知，PO1平面BCD,所以PO为三棱锥P-ACD的高，所以与xS×P0=xSm×4, 因为CD=2CPn=P0+00.万，所以eCP0-22号-号.i以LCD:25: 2×7 所以5m-万x万*25=6,8a-x4x2x咖60=25： 所以×25x5=x6xd,解得a=6; 设直线PM与平面PcD所成确为8，则g=是-6-厘， PA万 7 所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为√匣 19.()111BC,理由如下： 因为底面ABCD为菱形，所以BCIIAD,又因为BCE平面PAD,ADc平面PAD, 所以BCI平面PAD,又BCc平面PBC,平面PBCn平面PAD=l, 所以111BC; 2)四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形， 发女父园 又E是BC的中点，所以AE⊥BC, 又因为BCIIAD,所以AE⊥AD, 因为PAI平面ABCD,AEc平面ABCD,所以PA L AE, ,0g0<00、 又PAc平面PAD,ADc平面PAD,PAO AD=A, 所以AE1平面PAD,由()可知BC1I平面PAD, 所以AE的长为直线BC和平面PAD的距离， 又因为△ABC为正三角形，且AB=2, 80”, 所以AB=AB-sin4BC=2x5-5, 所以直线BC和平面PAD的距离为√5. ()H为PD上任意一点，连接AH,EH, 由)知AEI平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角， 000, 答案第 在RtaEHA中，AE=√厅，所以当AH最短时，即当AH L PD时，∠EHA最大. 时m~号-语-竖，iMm=n,t 又因为AD=2,所以∠ADH=45°，所以PM=2,,5( 又因为PA1平面ABCD,PCc平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD, 过E作E01AC于O,则E01平面P4C,C- 过O作OS1AF于S,连接ES,则∠ES0为 二面角E-AF-C的平面角，在R△40B中，E0=AEi血30=昼， A0=AEc0s30°= 2 又F是PC的中点，在Rte4SO中，S0=A0sin45=3y2 4 又$E=VEo2+s0-3 4 在RtES(0中，os∠ES0=S2-压 SE 5， 所以二面角E-AR-C的余弦值为 5 H A 项（供4项）