河北承德市部分校2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题

高二数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量a,b满足a=2,b=3a与b的夹角为，则a·b- A.-1 B.-2 C.3 D.-3 2.已知角0的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(一1，√3)，则点 Q(sin0,tan0)位于 A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.设l,m是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若l∥a,l∥B,则a∥g B.若l∥a,mCa,则l∥m C.若l⊥a,l⊥B,则a∥B D.若1⊥a,a⊥B,则l∥B 角A为第三象限角，则oA-)的值为 1 4.已知tanA= A.-25 5 B.、 5 C.、0 10 D.-3I0 10 5在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c若6=3a=3E,A=交，则B= A晋 B.或6 .5π 2π 6 6陀螺是我国一种传统的玩具，也叫作“冰尜(g)”或“打老牛”如图，将一个底面半径为5 的圆锥形陀螺放倒在水平面上，并在水平面上绕顶点S滚动，其首次转回到原位置时，陀 螺本身恰好滚动了3周，则该陀螺的侧面积为 A.75π B.100π C.125π D.150π @第1页（共4页） 茶3： 7.如图，在四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=6,AB=4,且 ∠C,CB=∠C,CD=,则下列结论错误的是 A.AB+AD-CC=AC B.AB·CC=24 C.AC1=2√5 D.直线C,:与平面ABCD所成的角为买 8,如图，在△ABC中，∠BAC=,AD=2D,P为CD上一点，且清足A=mA衣+ 号A店若△ABC的面积为2，则A的最小值为 A.√2 B√3 C.3 吃 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知平面向量a=(-1,-2),b=(1,-3),a与b的夹角为0，则 A.a∥b B.a⊥(a-b) C.0=45° D.b在a上的投影向量的坐标为 合-别 10.已知函数fx)=2 2sin(wx-+go>0,lp< 的部分图象如图所示，则 A9=-晋 B.f(x)在区间 2π2π 9’3 上单调递减 1818 C.f(x)的图象关于直线x= 9对称 8 D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数 ④第2页（共4页） 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,D为BC的中 点者P,Q为线段CB上两点CP<CQ,且PQ=宛 A.A1B∥平面AC,D B.异面直线A:B与C,D所成角的余弦值为 10 C.三棱锥B一APQ的体积为定值 D点A,到平面AC,D的距离为名 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 sin sin(π-a)tana 12.化简： 2cos 3 2-acos(5x-a)tan(3x-a) 13.已知空间直线l的方向向量是m=(1,a+2b,a一1)(a,b∈R),平面a的一个法向量为n= (2,3,3).若l⊥a,则a十b=;若l∥a,则a十b=.(第1空2分，第2空 3分) 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB+5sinB=2,且osB+ b cos C23 sin A 3sinC,则a十c的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)尼知ana=号n月=号且∈o,}8e0,2》 (1)求tan(a+B)的值； （2)求1-cos2的值. sin 2a 16.(15分)海岸上建有相距20√3海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障 发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为α= ∠BCA=45°，B=∠ACD=30°，Y=∠BDC=45°，8=∠ADB=75°. (1)救援出发时，A船距离雷达站C的距离为多少海里？ (2)判断若A船以30海里/时的速度前往B处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算 说明理由)？（参考数据：√5≈2.236） D @第3页（共4页） 17.(15分)如1图，在，棱维P一A3中，AB⊥平面PBC,∠ACB=45°，平面PAC⊥平 面AB,棱AC的中点为(O). (1)求证：P(⊥平iABC; 2)芳AB=2,P心=mm≥)，直线0P与平面PAB所成角的正弦值为g求实数m 的值. 9 1 1 18.(17分)已知函数f(x)=3 sin+之cosz-2 sinz(w>0)的最小正周期 是π. (1)求函数f(x)的解析式； ②解不等式f:)9: (3)若当z∈[后，]时，方程了x)=m恰好有两个不同的根x1,求实数m的取 值范围及x1十x2的值. 19.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，其 中AB∥CD,AB⊥AD,AD=PD,E为AP的中点，F为PC上一点. (1)求证：平面DEF⊥平面PAB. (2)若CD=PD=2,AB=1,且PF=λPC ①当PA∥平面BFD时，求入的值； ②当A=专时，求平面BEF与平面PAB夹角的大小， @第4页（共4页）高二数学参考答案及评分意见 1.C【解折1a·b=a·coxa,b)=2X3×号-3.故选C 【解析】根据角0的终边过点P(13),可得r=Op=√(-1)2十(3)2=2，则sim0=,tan0= 点Q停-)位于第四象限放法n 3.C【解析】若1∥a,l∥3，则a,3平行或相交，故A错误. 若l∥a,则l与平面a无公共点，即l与平面a内的直线无公共点. 又m二a,所以l∥m或l与m异面，故B错误. 若1⊥a,l⊥B,则a∥3，故C正确。 若l⊥a,a⊥3，则l∥3或lC3,故D错误.故选C. 4.D【解析】因为tanA三2，所以s1n41 cos A 2 (sin A 1 sin A=5 sin A=5 由cosA2’ 6, 解得 或 sin2A+cos2A=1, cos A-2/5 c0sA--25 6 因为角A为第三象限角，所以sinA=-5 ,c0sA=一25 (51 2 10 5.A【解析】在△ABC中，由正弦定理可得，a sin Asin B将6=3，a=3E,A=代人上式，得32-3 b √2sinB,解 得snB=号由于B∈(0，)则B=若或B-又因为6=3<a=3巨.所以B<A=子即B-晋不符合要 求.故舍去.因此B=后故选A 6.A【解析】设该圆锥形陀螺的母线长为l(即图中SA=SB=).因为圆锥形陀螺的底面半径r=5, 所以圆锥形陀螺底面的周长为C底=2πr=2π×5=10π，即陀螺自身完整滚动1周时，它的底面边缘在水平面上 扫过的路径长度等于底面的周长10π. 陀螺绕顶点S在水平面滚动，首次回到原位置时，陀螺的底面边缘会绕点S画出一个以S为圆心、母线长1为半 径的完整大圆，这个大圆的周长为C总=2π. 由题意得2πl=3×10π，解得1=15.所以S侧=π×5×15=75π.故选A. 7.B【解析】由题可知AB+AD-C1C=AC+CC=AC,A正确， AB.CCi=DC.CC=-6×4cos∠C1CD=-12,B错误. 因为底面ABCD是正方形，所以AB·AD=0,同B可得AD·CC=一12. 所以ACI?=(AB+AD+CC) =AB2+AD2+|CC12+2AB·AD+2AB·CC+2AD·CC =42+42+6-24-24=20,所以AC11=2W5,即AC1=2√5，C正确. ④数学答案第1页（共7页） 如图，连接AC,则∠C1CA即为直线CC1与平面ABCD所成的角. C D 所以cos∠C,CA=CC+AC-AC_V2 2CC1·AC ，所以∠CCA=牙D正确故选B, 含B【解析】抽aA=mAC+号A店，Ad-2Di.可得A=mAC+号×Ad=mAC+Ad. 因为C,P,D三点共线，所以m+氵-1，解得m=,放A市-AC+2A 设AB=cAC=6.因为△ABC的面积为25，∠BAC=行所以2csn行-c=2,5解得灰=8， 将-A正+两边取平方，可得A:-AC+2A)-心+号A店·C+a店 品++8 1 π1 bccos 16 316 因为+≥2 1 6b3·c2=bc,当且仅当b=2c=4时，等号成立， 4 3 所以当b=4,c=2时，A户取得最小值，为√ c=√3.故选B. 9,C【解折】对于A,因为号即不存在实数A,使a-A汕，所以a与6不平行，故A不正确： 对于B,因为a-b=(-1,-2)-(1,-3)=(-2,1),所以a·(a-b)=-1×(-2)+(-2)×1=0,所以a⊥ (a一b),故B正确； 对于C,因为cos0=ab a·b-1×1+(-2)X(-3)√2 √5X10 ,0≤0≤180°，所以0=45，故C正确： 对打D.b在a上的报影利量的华标为。。=-1X1+(2》X-8》×(-1,-2》=(-1,-2》,故D不正确 5 故选BC. 1aAC【解析设函数f:)的最小正闲期为下由题意可得，T--)一则=3. 因为f(x)在x= 8,8-25处取得最大值，所以3×2十g=受+2张x,k∈五， 2 9 解得9=一看+2kx∈乙又9<受所以9=一吾故A正确 面A运项/)=2a一)国为[后]，所以君[臣 所以了（✉）在[，贸]上先单洞递减：再单调递塔，故B结说。 因为于）-23×看）=2sn子-2，所以函数)的图象关于直线x-对称，故C正确， 9 ④数学答案第2页（共7页） 由题意得gx)=fr-哥=2sim3(-哥一6-2sin3x-)-2cos3x, 则g(-x)=-2cos3x=g(x),故g(x)为偶函数，故D错误.故选AC. 11.ACD【解析】对于A,如图，连接A,C交AC1于点E,连接DE.易知E为线段AC1的中点，又D为线段BC的 中点，则DE∥A1B.又DEC平面AC1D,A1B平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D,故A正确. 对于B,由A选项知A1B∥DE,所以∠EDC1即为异面直线A:B与C1D所成的角或其补角. 因为AA1⊥AB,AA1⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1-2,所以A1B=A1C=5,BC=√2， 所以DE-AB-cE-4C,A,G-医 D=CD+CCF- √2 +232 2 2 5 +32) 5 在△EDC中，coS∠EDC,= DE2+CD2-CE2 2 2 2 3√1 2DE·C1D 2X5×32 10 ,故B不正确 21 2 对于C,由题意，得VB-APQ=VA-BPo 、因为在平面BB,CC中，点B到CB,的距离为定值，且PQ二， 所以△BPQ的面积是定值. 又因为三棱柱A1B1C,一ABC是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.又ADC平面ABC,所以BB1⊥AD. 因为D为BC的中点，AB=AC,所以BC⊥AD. 因为BB,∩BC=B,BB1,BCC平面BBC1C,所以AD⊥平面BB1C1C, 所以V,-5n=号×AD×Ss是定值，所以三棱锥B-APQ的体积为定值，放C正确， 对于D,设点A,到平面AC1D的距离为d. 因为AD-号AC,-5,DC,-32,所以AD+CD=AC所以AD1CD. 因为三棱柱ABC一A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC. 又AA,C平面AA1C1C,所以平面ABC⊥平面AAC1C. 因为平面ABC∩平面AA1C1C=AC,AB⊥AC,ABC平面ABC,所以AB⊥平面AA,C1C. 因为D为BC的中点，所以点D到平面AA1CC的距离为)AB=)· 由U=%得时×号×号×8a=日×号×1Xx号银特d= 故D正确.故选ACD. 12.--0.5【解析】 sina )sin(x-a)tan a cos asin atan a 1 (3π 21 2c0S2 -a cos(5x-a)tan(3x-a) -2sin a(-cos a)(-tan a) ④数学答案第3页（共7页） 13.2专（第1空2分，第2空3分）【解析】由题意，m=(1a+2ha-1)(a,b∈R)是直线1的方向向量，n=(2, 3,3)是平面a的一个法向量. 5 若1La,则m∥n,即2 a+2ba-1 ,解得 则a十b=2; 3 3 2, L∥a,则m⊥m,即m·m=2+3(a+2b)+3(a-1)=6a+6b-1=0,解得a+五 【解析】在△ABC中，由cosB+5sinB=2,得simB+若)-1. 6日解得B=子 又B∈(0，)，则B+开=T, 由0s及6osC23及正弦定理，得cosC2即c0sB+beos C子3 b c 3 ab. 由余弦定理得c.4-+6,a2+6-c2 2ac 2ab 3ab,则6=y3 2 √3 由正弦定理，得，a b sin A sin C sin B3 =2=1,a=sin A,c=sin C. 因此a+c=mA+nC=nA+n-A）=aA十9sA十mA 3 nA+osA=8na+】 <A+<则mA+)( 由0<A<2 6 所以a十：的取值范相是复5 15.解：(1)根据两角和的正切公式tan(a十B)= tan a+tan B 1-tan atan B' 1 1 1010 1 1 37 21 211 代入tana=3,tanB=7,得tan(a+B)= 120 2 ……6分 11 -3×71-21 1 21 (2)因为1-cos2a=2sina,sin2a=2 sin acos a, 所以1-0s2。 Rinatap sin 2a 2sin acos a cos a 又因为ana=3,所以2co2a-} 1 sin 2a 3…………………”13分 16.解：(1)在△ADC中，因为∠ACD=30°，∠BDC=45°，∠ADB=75°， 所以∠DAC=180°-∠ACD-∠BDC-∠ADB=30°，∠ADC=∠BDC+∠ADB=120°..3分 n☑DACsin ADC,即205=Ac 又DC=205,所以由正弦定理可得DC=,AC sin30sin120,解得AC=60. 所以A船距离雷达站C的距离为60海里.………7分 ④数学答案第4页（共7页） (2)在△BDC中，因为∠BCA=45°，∠ACD=30°，∠BDC=45°， 所以∠DBC=180°-∠BCA-∠ACD-∠BDC=60. BC DC 由正弦定理可得 sin∠3DC sin,∠DBCi 即BC0屏得BC202。ss0 在△ABC中，由余弦定理可得AB=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA =602+(20√2)2-2×60×20√2c0s45°=2000， 解得AB=20W5.… 13分 因为A船以0海里时的速度前往B处，面29.5-219<1.5 30 所以能在1.5小时内赶到救援.…15分 17.(1)证明：如图，连接BO.,AB⊥平面PBC,BC,PCC平面PBC,∴.AB⊥BC,AB⊥PC .∠ACB=45°，∴.在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC.点O为AC的中点，.BO⊥AC.…3分 又.·平面PAC⊥平面ABC,OBC平面ABC,平面ABC∩平面PAC=AC .BO⊥平面PAC.:PCC平面PAC,BO⊥PC.…6分 又AB∩BO=B,AB,BOC平面ABC,∴.PC⊥平面ABC.…7分 (2)解：取PA的中点E,连接OE,则OE为△PAC的中位线， .OE∥PC,OE⊥平面ABC.…8分 以O为坐标原点，OB,OC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(√2,0,0)，C(0,√2,0)，A(0,-√2,0)，P(0,√2，m), AB=(W2,2,0),Ap=(0,2W2,m).…10分 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), AB·n=0,W2x+√2y=0, 则 即 Ap.n=0,22y+m2=0. 令x=m,则y=一m,之=2√2，n=(m,一m,22).…12分 设直线OP与平面PAB所成的角为a.OP=(0,√2，m), 六sina=|cos(Op,n)=1O庐·nl。 √2m √42 OP|ln√m+2·√2m2+8 28 3m38m+240,…m=12或m2-务 ④数学答案第5页（共7页） 解得m=25或m=5<1(舍去). 3 …15分 1 18.解：(1)因为√3 sin wxcosωx 3 2 sin cos 2 sin'ar= 所以f(x)=5。 2ar+os2ar=sin2ort …3分 因为函数f(x)的最小正周期T=元，且T==,所以 2w =π，解得w=1. 因此f)=sim2x+)月 ……5分 不等式)号即m: 2 ……6分 弦函数的图象，解不等式n日<名，得20<十2π，k∈么.… 令0-2x十后代入得-领+2x<2:十行<号+2张，解得-<：<x臣4∈Z 放不等式的解为x十)k∈ …… …11分 《8)令1=2x+骨当x∈[-名]时1∈[-否到]方程)加恰好有两个不同的银等价于y一m:在 [-誓]上的图象与直线y=m有两个交点， …12分 y=s血！在[-吾]上的大致图象，如图 结合y=sint在 -,]上的图象，得 6’3 当m∈ 3 2,1/ 时，直线y=m与y=sint的图象有两个交点， 因此实数m的取值范围为 21 ……15分 由正弦函数图象的对称性知，若sn11=in1:=m,则1十1，=元，即2x1+名+2：十石=元 2π 整理得2(x1十x)=3,故x1+x?=3 17分 19.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD⊥AB. 又AB⊥AD,AD∩PD=D,ADC平面PAD,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. 又DEC平面PAD,所以DE⊥AB.…2分 在△PAD中，AD=PD,E为AP的中点，所以DE⊥AP 又AP∩AB=A,APC平面PAB,ABC平面PAB, ④数学答案第6页（共7页） 所以DE⊥平面PAB.………4分 又DEC平面DEF,所以平面DEF⊥平面PAB.……5分 (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,:轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2).…6分 42 ①因为PF=入PC,PC=(0,2,-2),所以F(0,2λ，2-2入)， 所以DB=(2,1,0),Df=(0,2入，2-2入).7分 设平面BFD的法向量为n=(x,y,z), n·DB=2.x+y=0, 则 n·DF=2λy+(2-2x)z=0. 令1期y=2=%放a=-2 2λ …9分 因为PA=(2,0,-2),PA∥平面BFD, 2λ 所以P·n=0,故2-2·二入=0，解得入= 3 …11分 @当X=号时，F=0,1.1).因为E为PA的中点，所以E1,0,1). 所以BE=(-1,-1,1),BF=(-2,0,1).…12分 设平面BEF的法向量为m=(x1y1,z1), (m·BE=-x1-y1十之1=0， 则 m·BF=-2x1十之1=0. 令x1=1,则z1=2,y1=1,故m=(1,1,2).…14分 由(1)知DE⊥平面PAB,则DE=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量. 设平面BEF与平面PAB的夹角为9，则cosg=m·D应 11+2 3 m|DE|√12+12+2X1+1F2 又0∈0，]，所以0=否放平面BEF与平面PAB的夹角大小为答 ……………………17分 ④数学答案第7页（共7页）