2.1 认识实数 课后同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖实数概念、分类、数轴表示等核心知识点，通过概念辨析、运算应用、跨知识整合题，培养抽象能力与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|无理数概念、实数分类、绝对值|单选题1-6（概念辨析）、填空题11-13（基础分类）| |提升|实数与数轴、大小比较、勾股定理初步|单选题7-9（数轴表示）、填空题14-15（中点计算）、解答题16-18（作图与比较）| |拓展|综合应用与推理|解答题19-20（配方求最值、勾股定理综合）|

2.1 认识实数 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．关于实数，下列说法错误的是（    ） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 4．我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 5．下列实数中，大于3且小于4的无理数是（    ） A． B．3.5 C． D． 6．实数的相反数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．数，0，，中最小的是（   ） A． B．0 C． D． 9．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 10．若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 二、填空题 11．满足的整数可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 12．下列各数①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦（每两个5之间依次增加1个2）其中是非负整数的有______，正分数是______（填序号） 13．写出一个有理数 ___，写出一个无理数 ___，其中是实数的有 ___． 14．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 15．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 三、解答题 16．如图，方格纸上每个小正方形的边长都为1，用直尺、圆规在数轴上画出到原点距离为的点（保留作图痕迹，不写画法） 17．把下列各数填入相应的括号内（请填序号）． ①，②0，③，④，⑤，⑥． 整数：_______； 负数：_______； 无理数：______． 18．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 19．阅读与理解 上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是1， 所以的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________； (2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)知识拓展：若，求的最小值． 20．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D A A B D D D 1．【答案】B 【知识点】无理数 【分析】此题考查了无理数．根据无理数的定义（无限不循环小数为无理数），对各选项中的数进行判断即可． 【详解】解：有理数包含整数、分数（有限小数和无限循环小数），无理数是无限不循环小数． A. 是有限小数，属于有理数； B. 是无限不循环小数，属于无理数； C. 是整数，属于有理数； D. 是分数，属于有理数． 故选：B 2．【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 3．【答案】D 【知识点】无理数、实数与数轴、实数概念理解 【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意； C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意； D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，直接根据实数的分类方法即可得到答案． 【详解】解：是正分数，是有理数， 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟知有理数和无理数的定义．本题需先明确无理数的定义，再逐一判断各选项是否满足“大于3且小于4”的条件． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， 又∵，，满足大于3且小于4的无理数要求， ∵3.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数条件， ∵，不满足小于4的条件， ∵是负数，小于3，不满足大于3的条件， ∴符合要求的是选项A， 故选：A 6．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与其相加等于零的数，判断即可． 【详解】解：实数的相反数是其符号取反后的结果，原数为，其相反数为， 选项中只有A项为，B项为原数本身，C、D项涉及倒数，与相反数无关， 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 8．【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数比较大小，根据负数比较大小，其绝对值大的反而小进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴． 根据勾股定理可求出点到原点的距离，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】∵点表示的数为3， 点到原点的距离为3， 由图可得， 点到原点的距离． ∵点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为． 故选：D． 10．【答案】D 【知识点】无理数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 11．【答案】2（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算． 先判断出的取值范围，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵且a是整数， ∴a可以是2或3． 故答案为：2（答案不唯一）． 12．【答案】 ② ④⑥ 【知识点】带“非”字的有理数、求一个数的绝对值、实数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握实数的分类、分数的定义，从而完成求解． 根据有理数的分类、分数的定义进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴非负整数为：②； 正分数为：④⑥. 故答案为：②； ④⑥． 13．【答案】 2（答案不唯一）， π（答案不唯一）， 2，π（答案不唯一）． 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：一个有理数是2，一个无理数是π，其中是实数的有2、π（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一），π（答案不唯一），2、π（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定义是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、线段中点的有关计算 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 15．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】由题意可知，根据勾股定理得到，根据作图可知，即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 16．【答案】见解析 【知识点】实数与数轴、勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定理可得，再以为半径画弧与数轴相交于点，则，则点到原点距离为． 【详解】解：如图，点即为所求． 17．【答案】②⑤；①③；④⑥ 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查了实数的概念，有理数和无理数的概念，解题的关键在于掌握相关的概念． 根据实数的概念，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】解：， 整数：②⑤； 负数：①③； 无理数：④⑥． 故答案为：②⑤；①③；④⑥ 18．【答案】(1) (2) 点所表示的数为，如图所示： (3)，理由如下： ，， 又， ， ． 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为， 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）略 19．【答案】(1)3,3 (2)1, 大， (3) 【知识点】实数的性质、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可； （2）根据题意，得，根据提供方法解答即可； （3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可． 本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是3， ∴的最小值是3， 故答案为：3,3． （2）解：根据题意，得， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴的最大值是， 故答案为：1, 大，． （3）解：根据题意，得变形为， 故， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值为． 20．【答案】(1)，或 (2) 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段 ，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $