专题03 线段中的双中点模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学讲义以线段中点模型为核心，通过“单中点-双中点-多中点”三级框架图系统构建知识体系，梳理中点定义、等分性质及动态定值结论，用对比表格呈现不同位置关系下的推导逻辑，突出整体代换与分段拆解的几何思想。 讲义亮点在于分层例题设计，从基础单中点求值（如典例1线段延长线中点计算）到双中点动态问题（如典例5动点线段综合题），结合“一半一半又一半”口诀强化模型意识，培养推理能力与几何直观，配套不同难度练习题，助力教师实施分层教学，提升学生解题效率。

专题03 线段中的双中点模型 线段双中点模型是初中几何线段计算板块中的基础核心模型，是初一几何入门、线段求值、动点线段综合题的常考内容。该模型以线段中点定义为核心依据，通过两个不同中点的位置关系，推导出固定、简 洁的线段长度结论，能够快速解决多线段叠加、分段嵌套、动点变化等复杂线段计算问题。 不同于复杂的角度模型，双中点模型结构简洁、规律固定，无论点在线段中间、线段延长线上或动态移动，都存在通用不变的长度公式。它集中体现了初中几何整体代换、分段拆解、定值不变的基础思想，是后续几何动点、坐标系线段距离学习的重要铺垫。 熟练掌握双中点模型的识别条件、固定结论与推导逻辑，可大幅简化繁琐的线段加减运算，实现快速求解线段填空、压轴动点线段求值题型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 单中点模型 4 模型2. 双中点模型 7 模型3. 多中点模型 11 模型运用 16 线段双中点模型并非教材独立定理，是依托线段中点定义与线段和差运算归纳总结出的基础几何模型，是初一几何线段运算体系的核心提炼。 模型的底层原理源于中点基本性质：若一点为线段中点，则该点将原线段平分为两段相等的线段。在同一直线上出现两个不同线段中点时，通过线段的拆分、合并与等量代换，可消去中间未知线段，最终得到恒定不变的定值结论。 该模型最初诞生于直线多点排布的静态线段计算题，针对线段嵌套、线段叠加、线段部分重叠等基础场景，解决繁杂的逐段运算问题。随着题型演变，模型拓展至点在线段上、点在线段延长线上、动态动点平移三类通用场景。 无论点的位置如何变化，双中点之间的距离始终仅与总线段长度相关，与中间动点位置无关，这一“动态定值”特性是本模型的核心精髓。 作为初中几何第一个定值类模型，它承载了几何整体代换、消元求值、以静制动的基础思维，是后续 三角形中位线、几何动点最值、坐标系长度计算等高阶知识的重要铺垫。 1.单中点模型 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。 如图①所示，点 是线段的中点，则或。 如图②所示，点和点把线段分成相等的条线段，点和点叫作线段的三等分点。类似的还有四等分点等。 2.双中点模型 （1）两线段无公共部分 已知点是线段上任意一点，点、分别为线段、的中点，则。 证明：∵点、分别为线段、的中点， ∴，。 则。 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半。 （2）两线段有公共部分 ①已知点是线段的延长线上，点、分别为线段、的中点，则。 证明：∵点、分别为线段、的中点， ∴，。 则。 ②已知点是线段的延长线上，点、分别为线段、的中点，则。 证明：∵点、分别为线段、的中点， ∴，。 则。 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解。 速记口诀：一半一半又一半 3.三中点模型 已知点是线段上任意一点，点，，分别是，，的中点， 则①， ②。 模型1. 单中点模型 【模型提炼】 单中点模型是初中线段几何最基础的核心模型，指一条线段仅有一个中点，利用中点等分线段的性质，实现线段等量转化、长度代换与简单求值，是所有中点类模型的底层基础。 1. 等分性 若点是线段中点，则： 整条线段被平均分为两段，长度完全相等。 2. 倍长性 已知半段可求整段： 是线段计算最常用的变形公式。 3. 整体代换性 在多点共线图形中，可利用中点进行等长替换，将零散线段统一转化为同一条主线段，简化复杂加减运算。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•普宁市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，BC＝2AB，点D是线段AC的中点，AB＝2cm，则BD的长度是（　　） A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．1cm 【分析】先求出AC的长，再根据中点的定义求出AD的长，最后根据BD＝AD﹣AB即可得解． 【解答】解：∵BC＝2AB，AB＝2cm， ∴BC＝4cm， ∴AC＝AB+BC＝6cm， ∵点D是线段AC的中点， ∴， ∴BD＝AD﹣AB＝3﹣2＝1（cm）， ∴BD的长度是1cm． 故选：D． 【典例2】（2025秋•新余校级期末）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段AB的中点，若AB＝14，AC＝9，则CD＝　2　 ． 【分析】先由线段中点的定义得到AD，再根据线段之间的关系求出线段CD的长即可． 【解答】解：点C是线段AB上的点，点D是线段AB的中点，AB＝14，AC＝9， ∴， ∴CD＝AC﹣AD＝2． 故答案为：2． 【典例3】（2025秋•中山市校级期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的　中点　 ，AM＝MB＝　　 AB； 拓展延伸 （2）如图2，线段AC上依次有B，D两点，D是BC的中点，，求线段AB的长． 【分析】（1）根据中点的定义，作答即可； （2）中点求出BC的长，线段的和差关系求出AB的长即可． 【解答】解：（1）点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，； 故答案为：中点，； （2）∵， ∴AC＝5BD＝5×2＝10， ∵D是BC的中点， ∴BC＝2BD＝2×2＝4， ∴AB＝AC﹣BC＝10﹣4＝6． 【典例4】（2025秋•昌邑区期末）如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可； （2）根据线段中点的定义，线段的倍分关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点C是线段AE的中点，AC＝3， ∴AC＝CEAE＝3， ∴AE＝6， ∵DE＝2， ∴CD＝CE﹣DE＝1； （2）由于CD：AD＝1：4，设CD＝x，则AD＝4x， ∵点B是线段AD的中点， ∴AB＝BD＝2x， ∵BD﹣CD＝BC，即2x﹣x＝3， 解得x＝3， 即CD＝3＝BC， ∴AB＝BD＝6， ∴AC＝AB+BC＝9． 【典例5】（2025秋•郯城县期末）如图，已知点M，N两点把线段AB分成三部分，且AM：MN：NB＝3：1：4，AB＝24cm，C为NB的中点，求MC长． 【分析】设AM＝3x，MN＝x，NB＝4x，利用线段的和差可得3x+x+4x＝24，即可求得MC的长． 【解答】解：点M，N两点把线段AB分成三部分，且AM：MN：NB＝3：1：4， 设AM＝3x， ∴MN＝x，NB＝4x． ∵AB＝24cm， ∴3x+x+4x＝24， 解得x＝3， ∴MN＝3cm，NB＝12cm． ∵C为NB的中点， ∴， ∴MC＝MN+NC＝3+6＝9cm． 【典例6】（2025秋•台江区期末）如图，点C，D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）若E是直线AB上一点，且AE＝CD，求线段EB的长． 【分析】（1）先求BC，因D为线段BC的中点，可得线段CD； （2）分情况讨论． 【解答】解：（1）BC＝AB﹣AC＝10， ∵D为线段BC的中点， ∴CD＝BDBC＝5； （2）∵AE＝CD， ∴AE＝5， 若E在A的左侧，则EB＝EA+AB＝17， 若E在A的右侧，则EB＝AB﹣AE＝7， ∴线段EB的长为17或7． 模型2. 双中点模型 【模型提炼】 两个中点产生两次二分之一等分，通过代数加减抵消中间浮动线段，使最终结果与中间点的位置无关，只与总线段长有关。 1. 线段重叠型（点在线段内部） 已知：点在线段上，、分别为 、中点 结论： 2. 线段延伸型（点在延长线上） 已知：点在线段延长线上，、分别为 、中点 结论： 无论点在内部还是延长线，双中点间距永远等于： 大线段与小线段差值（或和）的一半 一句话万能式：双中点距离 = 定长线段的一半 【模型运用】 【典例1】（2026春•博山区期末）如图，点C是线段AB的中点，E是线段AB上的一点（AE＜BE），点D是BE的中点，AB＝21，BD＝3AE，则CD的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】设AE＝x，用中点性质表示BE，列方程求x，再算BC和CD． 【解答】解：设AE＝x，则BD＝3x， ∵D是BE的中点， ∴BE＝2BD＝6x， ∵AB＝21， AB＝AE+BE， 即x+6x＝21， 7x＝21， 解得x＝3， ∴AE＝3，BE＝18，BD＝9， 又∵C是AB的中点， ∴BCAB＝10.5， 于是：CD＝BC﹣BD＝10.5﹣9＝1.5， 故选：A． 【典例2】（2025秋•诸城市期末）如图，点A，B，C在同一直线上，O为AC的中点，E为AB的中点，F为BC的中点，则下列说法错误的是（　　） A．AO＝EF B． C． D． 【分析】设AC＝2a，OB＝b，由O为AC的中点，则，所以AB＝OA+OB＝a+b，BC＝OC﹣OB＝a﹣b，然后通过线段中点的意义，线段的和差逐一排除即可． 【解答】解：设AC＝2a，OB＝b， ∵O为AC的中点， ∴， ∴BC＝OC﹣OB＝a﹣b，AB＝OA+OB＝a+b， A、∵F为BC的中点，E为AB的中点， ∴，， ∴， ∴AO＝EF，该选项正确； B、设AC＝2a，OB＝b， 由上可得：，， ∴，该选项正确； C、设AC＝2a，OB＝b， 由上可得：，， ∴EO＝BE﹣OB， ∴，该选项正确； D、∵，， ∴，该选项错误； 故选：D． 【典例3】（2025秋•衡南县期末）如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC、BC中点，AC＝8cm，BC＝6cm，则MN＝　7　 ． 【分析】根据线段的中点的定义求出CM，CN，根据MN＝CM+CN求解即可． 【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴，， ∴MN＝CM+CN＝7cm． 故答案为：7cm． 【典例4】（2025秋•分宜县期末）如图，线段AB＝12，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）若在线段AB上有一点E，CEBC，求AE的长． 【分析】（1）根据AD＝AC+CD，只要求出AC、CD即可解决问题； （2）先求出CE，再根据点E的位置即可解决问题． 【解答】解：（1）∵AB＝12，C是AB的中点， ∴AC＝BC＝6， ∵D是BC的中点， ∴CDBC＝3， ∴AD＝AC+CD＝9； （2）∵BC＝6，CEBC， ∴CE6＝2， 当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4； 当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝6+2＝8． ∴AE的长为4或8． 【典例5】（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 【分析】（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b，在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； （2）根据线段中点的性质得出，即可求解． 【解答】解：（1）在射线AF上截取AP＝b，在射线PF上截取PB＝a，则AB＝a+b， 在射线AE上截取AQ＝a，在线段QA上截取QC＝b，则AC＝a﹣b； 如图所示，AB，AC即为所求； （2）∵AB＝a+b，AC＝a﹣b，M、N分别是AB、AC的中点， ∴，， ∴． 模型3. 多中点模型 【模型提炼】 1. 逐层减半规律 连续等分的多中点结构中，相邻中点间距，呈现原线段的、、等倍分关系。 2. 跨段定值规律 任意两个不同层级的中点距离，恒等于首尾总线段对应比例的定值，不受中间点偏移影响。 3. 整体优先规律 多中点难题无需逐段硬算，优先用整体代换，避开复杂分段加减。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•永定区期末）如图，点P在线段AB的延长线上，BP＝64，记线段AP和AB的中点分别为P1，B1；线段AP1和AB1的中点分别为P2，B2；线段AP2和AB2的中点分别为P3和B3；…依次进行这样的标记，则B1P1+B2P2+B3P3+B4P4+B5P5+B6P6＝（　　） A．62 B．63 C．64 D．65 【分析】先根据线段中点定义分别求出AP1和AB1与AP和AB的关系，从而求出B1P1的长与BP的关系．以此方法分别求出B2P2，B3P3，B4P4，B5P5，B6P6的长，相加即可． 【解答】解：∵线段AP和AB的中点分别为P1，B1， ∴AP1AP，AB1AB， ∴B1P1（AP﹣AB）BP， 又∵BP＝64， ∴B1P1＝32； 同理：B2P2B1P1＝16， B3P3B2P2＝8， B4P4B3P3＝4， B5P5B4P4＝2， B6P6B5P5＝1． ∴B1P1+B2P2+B3P3+B4P4+B5P5+B6P6＝32+16+8+4+2+1＝63． 故选：B． 【典例2】如图，已知，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝2023，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3：．连续这样操作2024次，则M2024N2024＝　　 ． 【分析】根据MN＝2023，M1、N1分别为AM、AN的中点，求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，找到MnNn的规律即可求出M2024N2024的值． 【解答】解：∵MN＝2023，M1、N1分别为AM、AN的中点， ∴M1N1＝AM1﹣AN1AMAN（AM﹣AN）MN， ∵M2、N2分别为AM1、AN1的中点， ∴M2N2＝AM2﹣AN2AM1AN1（AM1﹣AN1）， ∵M3、N3分别为AM2、AN2的中点， ∴M3N3＝AM3﹣AN3AM2AN2（AM2﹣AN2）， …， 由此可得：MnNn， ∴M2024N2024， 【典例3】（2025秋•聊城期末）如图，已知点C为线段AB上一点，其中AC＝12cm，CB＝8cm，点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点． （1）求DE的长度； （2）若点F在直线AB上，且CF＝2CB，求AF的长度． 【分析】（1）根据已知条件得到AB、AD、AE的长，继而根据DE＝AE﹣AD，得到DE的长； （2）根据当点F在点C的左侧和右侧时，分两种情况讨论，得到AF的长． 【解答】解：（1）已知点C为线段AB上一点，其中AC＝12cm，CB＝8cm，点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点． ∵AC＝12cm，CB＝8cm， ∴AB＝AC+CB＝12+8＝20（cm）， ∵点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点， ∴，， ∴DE＝AE﹣AD＝10﹣4＝6cm； （2）如图，当点F在点C的左侧时， ∵CF＝2CB， ∴CF＝2CB＝2×8＝16（cm）， ∵CA＝12cm， ∴点F在点A的左侧，即AF＝CF﹣CA＝16﹣12＝4（cm）， 如图，当点F在点C的右侧时， ∵CF＝2CB， ∴CF＝2CB＝2×8＝16（cm）， ∵CA＝12cm， ∴AF＝CF+CA＝16+12＝28（cm）． ∴AF的长度为4cm或28cm． 【典例4】（2025秋•武汉期末）已知线段AB上有两个动点C、D； （1）已知AB＝24，C在D的左侧，AD+BC＝30． ①如图1，求CD的长； ②如图2，M、N分别为AD和BC的三等分点，且AD＝3AM，BC＝3BN，求MN的长； （2）若M、N分别为AD和BC的三等分点，且AD＝3AM，BC＝3BN，请直接写出线段AB、CD、MN之间的数量关系：　3MN＝2AB﹣CD ． 【分析】（1）①利用CD＝AD+BC﹣AB即可； ②利用AD＝3AM，BC＝3BN转化成AMAD，BN可以求出MN； （2）结合②中的转化，以及AD+BC＝AB+CD即可求解． 【解答】解：（1）①∵AB＝24，C在D的左侧，AD+BC＝30， AD+BC＝AD+BD+CD＝AB+CD＝30， ∴CD＝30﹣24＝6； ②∵M、N分别为AD和BC的三等分点，且AD＝3AM，BC＝3BN， ∴AMAD，BN， ∴AM+BN（AD+BC）＝10， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝24﹣10＝14， ∴MN＝14； （2）由题意得，AMAD，BN，AD+BC＝AB+CD AM+AN（AD+BC）（AB+CD）， ∵MN＝AB﹣（AM+AN）＝AB（AB+CD）， 3MN＝3AB﹣AB﹣CD， 3MN＝2AB﹣CD， 故答案为：3MN＝2AB﹣CD． 【典例5】小明在学习了线段的和差后对下面一道题进行了探究． 【基础探究】 如图（1），点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． （1）MN＝ 　6　 ． 【深入探究】 （2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他将题中的条件一般化：设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你进行解答． ①如图（1），M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ 　　 ； ②如图（2），M，N分别是AC，BC的三等分点，且AMAC，BNBC，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，且AMAC，BNBC，则MN＝ a　 ． 【分析】（1）根据线段中点的定义进行计算即可； （2）①根据线段中点的定义进行计算即可； ②利用整体思想进行求解即可； ③利用整体思想进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝8， ∴BC＝AB﹣AC＝12﹣8＝4． ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM， ∴MN＝CM+CN＝4+2＝6． 故答案为：6； （2）①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM， ∴MN＝CM+CN． ∵AB＝a， ∴MN． 故答案为：； ②∵AMAC，BNBC， ∴AM+BN， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝a； ③∵AMAC，BNBC， ∴AM+BN， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝a． 故答案为：a． 1．（2025秋•下陆区期末）如图，线段AB＝12，延长AB至点C，使得BC＝2．若D是线段AC的中点，则AD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据已知AB＝12，BC＝2，由AB+BC＝AC，即可得出AC的长，再根据点D是线段AC的中点，由线段的中点定义，可得，即可得出答案． 【解答】解：∵AB＝12，BC＝2， ∴AC＝AB+BC＝12+2＝14， ∵点D是线段AC的中点， ∴． 故选：D． 2．（2026春•淄川区期末）若A，B，C三点在同一条直线上，线段AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　） A．8cm B．4cm C．8cm或2cm D．8cm或4cm 【分析】根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点， ∴AE＝BEAB＝6cm，BF＝CFBC＝2cm， 当点C在线段AB上时，EF＝BE﹣BF＝6﹣2＝4（cm）， 当点C在线段AB的延长线上时，EF＝BE+BF＝6+2＝8（cm）， 即EF＝4cm或EF＝8cm． 故选：D． 3．（2025秋•宜州区期末）如图，点C是线段AB的一个三等分点，AB＝9，则AC的长度为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【分析】根据线段的三等分点的定义进行求解即可． 【解答】解：点C是线段AB的一个三等分点，点C靠近端点B， ∴AC占AB的， ∴， 故选：C． 4．（2026春•芝罘区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若AB＝10cm，AC＝6cm，则线段BD的长度是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC＝AB﹣AC＝4cm， ∵D是线段AC的中点， ∴AD＝CDAC＝3cm， ∴BD＝BC+CD＝4+3＝7（cm）， 故选：D． 5．（2025秋•越城区期末）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　） A．10cm B．4cm C．10cm或8cm D．8cm或4cm 【分析】根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BCAB＝6cm， ∵点D是线段AC的三等分点， ∴ADAC＝2cm或ADAC＝4cm， ∴BD＝AB﹣AD＝12﹣2＝10cm或BD＝AB﹣AD＝12﹣4＝8cm， 即BD＝8cm或BD＝10cm， 故选：C． 6．（2025秋•焦作期末）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列式子中错误的是（　　） A．CD＝AD﹣AC B． C．CD＝AC﹣BD D． 【分析】根据两点之间的距离、线段中点的定义逐项分析判断即可． 【解答】解：由题意可得：， ∵CD＝AD﹣AC， 故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B选项错误，符合题意； ∵CD＝BC﹣DB， ∴CD＝AC﹣DB，故C正确，不符合题意； ∵CD＝BC﹣DB，， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 7．（2025秋•平邑县期末）如图，点M是AB的中点，点N是AD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【分析】根据题意，点M是AB的中点，AB＝12cm，由线段的中点定义可得：AM（cm），再根据已知AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，由AD＝AB+BC+CD求出AD的长，再根据点N是AD的中点，由线段的中点定义得出：，最后由MN＝AN﹣AM进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵点M是AB的中点，AB＝12cm， ∴AM（cm）， ∵AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm， ∴AD＝AB+BC+CD ＝12+20+16 ＝32+16 ＝48（cm）， ∵点N是AD的中点， ∴（cm）， ∴MN＝AN﹣AM＝24﹣6＝18（cm）． 故选：B． 9．（2026春•东营期末）如图，已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD＝16cm，BD＝10cm，则线段CD的长度为（　　） A．6cm B．3cm C．5cm D．8cm 【分析】先根据线段的和差关系求出AB的长，再利用中点定义求出BC的长，最后根据CD＝BC﹣BD求解即可． 【解答】解：∵BD＝10cm，AD＝16cm， ∴AB＝AD+BD＝16+10＝26（cm）， ∵C为AB的中点， ∴BCAB13（cm）， ∵D在线段BC上， ∴线段CD的长度＝BC﹣BD＝13﹣10＝3（cm）． 故选：B． 10．（2026春•荣成市期末）如图，线段AD上有点M，C，B，N，且AB＝10，CD＝6，点M，N分别是AC，BD的中点，则MN的长度为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．无法确定 【分析】根据点M，N分别是AC，BD的中点得到，，从而推出得到结果． 【解答】解：线段AD上有点M，C，B，N，且AB＝10，CD＝6，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴，， ∵MN＝MC+CB+BN ∴， ∵AB＝10，CD＝6， ∴． 故选：C． 11．（2025秋•滨江区期末）如图，点C，D把线段AB三等分，点P是线段BD上一点，且AC+BP＝CP，AP﹣CD＝mBP，则（　　） A．m＝1 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝4 【分析】根据题意，令AC＝CD＝DB＝a，BP＝b，由AC+BP＝CP得出a，b之间的关系，再结合AP﹣CD＝mBP求出m的值即可． 【解答】解：由题知， 因为点C，D把线段AB三等分， 所以令AC＝CD＝DB＝a，BP＝b． 因为AC+BP＝CP， 所以a+b＝a+a﹣b， 则a＝2b． 因为AP﹣CD＝mBP， 所以a+a+a﹣b﹣a＝mb， 整理得，2a﹣b＝mb， 所以4b﹣b＝mb， 则3b＝mb， 所以m＝3． 故选：C． 12．（2025秋•兖州区期末）有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 【分析】根据题意，画出示意图即可解决问题． 【解答】解：由题知， ①如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴AM，AN， ∴MN＝AN﹣AM＝65﹣40＝25（cm）； ②如图所示， ∵M，N分别为AB和CD的中点， ∴BM，BN， ∴MN＝BM+BN＝40+65＝105（cm）， 综上所述，MN的长为25cm或105cm． 故选：C． 13．（2025秋•南阳期末）如图，已知C为线段AB的中点，AB＝12，BD＝3，有下列结论： ①CD＝AC﹣DB； ②D是线段BC的中点； ③CD＝AD+BC﹣AB； ④． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【分析】根据线段的中点性质及线段的和差逐项求解判断即可． 【解答】解：①右边：AC﹣DB＝6﹣3＝3，左边CD＝3， 等式成立，故①正确； ②∵BD＝3，CD＝3， ∴D是线段BC的中点，故②正确； ③∵AD+BC﹣AB＝AC+CD+BC﹣AB＝6+3+6﹣12＝3，CD＝3， ∴CD＝AD+BC﹣AB，故③正确； ④∵CD＝3，， ∴． 综上，正确的有①②③． 故选：A． 14．（2026春•让胡路区校级期末）如图，已知C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点，若AB＝12，BC＝4，则BD的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【解答】解：如图，已知C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点， AC＝AB﹣BC＝12﹣4＝8， ∵点D是线段AC中点， ∴， ∴BD＝CD+BC＝4+4＝8． 故选：C． 15．（2025秋•栖霞区校级期末）如图，已知C为线段AB的中点，D为CB的中点，下列结论：①CD＝AC﹣DB，②，③CD＝AD+BC﹣AB，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【分析】根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【解答】解：①∵C为线段AB的中点，D为CB的中点， ∴， ∵CD＝BC﹣DB， ∴CD＝AC﹣DB，①正确； ②由题意可推断：， ∴，②正确； ③∵CD＝BC﹣BD＝BC﹣（AB﹣AD）＝BC﹣AB+AD，∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 16．（2025秋•贵池区期末）如图所示，B在线段AC上，且BC＝3AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点BE：EC＝2：1，则下列结论：①ECAE；②DE＝5BD；③BE（AE+BC）；④AE（BC﹣AD），其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【解答】解：∵E是BC的三等分点，BC＝3AB， ∴，， ∴AB＝EC， ∴AB+BE＝EC+BE， ∴AE＝BC， ∴，故①正确； ∵， ∴AE＝3EC， ∵AB＝EC， ∴AE＝3AB， ∵D是线段AB的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵BE＝2AB，AE＝3AB， ∴， ∵BE＝AE﹣AB＝3AB﹣AB＝2AB， ∴， ∴，故③不正确； ∵BC＝3AB，， ∴， ∵AE＝3AB， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 17．（2025秋•潮南区期末）如图，P、Q两点将线段AB分成了1：2：6的三个部分，点G是线段AB的中点，QG＝3，则线段AB的长为 　18　 ． 【分析】根据题意得出，，计算即可得到答案． 【解答】解：∵P，Q两点将线段AB分成了1：2：6的三个部分， ∴， ∵点G是线段AB的中点， ∴， ∴QG＝BQ﹣BG， ∵QG＝3， ∴， ∴， 解得：AB＝18， 故答案为：18． 18．（2026春•蓬莱区期中）如图所示，B在线段AC上，且BC＝3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点且BE＞EC，则下列结论：①3EC＝AE；②DE＝3BD；③2BE＝AE+BC；④5AE＝6（BC﹣AD），其中正确结论的有 　①④　 ． 【分析】根据题中的已知条件，结合图形，对结论进行一一论证，从而选出正确答案． 【解答】解：∵E是BC的三等分点，BC＝3AB， ∴BC＝3EC，， ∴AB＝EC， ∴AB+BE＝EC+BE， ∴AE＝BC， ∴3EC＝AE， 故①正确； ∵3EC＝AE，AB＝EC， ∴AE＝3AB， ∵D是线段AB的中点， ∴， ∴2AD＝2BD＝AB， ∴， ∴， 故②错误； ∵BE＝AE﹣AB＝2AB，AE＝BC＝3AB， ∴， ∵BE＝AE﹣AB＝3AB﹣AB＝2AB， ∴， ∴， ∴3BE＝AE+BC； 故③错误； ∵BC＝3AB，， ∴， ∵AE＝3AB， ∴， ∴5AE＝6（BC﹣AD）， 故④正确； 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 19．（2026春•宁阳县期末）如图，线段AB＝14，BC＝10，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 【分析】（1）根据线段和差关系可求得AC的长，再由中点的性质可得AM的长； （2）由线段之间的数量关系可求得CN的长，再由MN＝MC+CN求解即可． 【解答】解：（1）线段AB＝14，BC＝10，点M是AC的中点． ∴AC＝AB﹣BC＝14﹣10＝4． ∴； （2）∵在CB上取一点N，BC＝10，CN：NB＝2：3， ∴． ∵MC＝2， ∴MN＝MC+CN＝2+4＝6． 20．（2025秋•兰州期末）如图，已知点B、C、E都是线段AD上的点，，BD＝6，点E是AB的中点． （1）求AE的长； （2）若点F是CD的中点，求EF的长． 【分析】（1）根据，BD＝6，求出AB，再根据中点的定义求出AE，即可； （2）首先求出CE，得到CD，根据中点的定义求出CF，即可． 【解答】解：（1）因为， 所以AD＝30． 因为BD＝6， 所以AB＝AD﹣BD＝24． 因为点E是AB的中点， 所以． （2）因为AE＝12，AC＝10， 所以CE＝2． 因为AD＝30，AC＝10， 所以CD＝20． 因为点F是CD的中点， 所以， 所以EF＝CF﹣CE＝8． 21．如图，P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分．已知线段CP的长为1cm，求线段AB的长． 【分析】根据中点的概念以及三等分点的概念可得出结论． 【解答】解：∵C、D是线段AB的三等分点，P是线段AB的中点， ∴P为CD的中点， ∵CP＝1m， ∴CD＝2CP＝2m， ∴AB＝3CD＝6m． 22．如图，根据提示，完成（1）作图，并解答（2）问题 （1）延长线段BC到D，使BDBC；再延长CB到A，使AC＝3BC； （2）在（1）的基础上，若M是AD中点，BM＝2，求AD和CM的长． 【分析】（1）按要求作图即可； （2）设CD＝x，即得BC＝2CD＝2x，AB＝2BC＝4CD＝4x，从而AD＝AB+BC+CD＝7x，由M是AD中点，得AM＝MDADx，即得BM＝AB﹣AMx，可知x＝2，即可解得x＝4，从而AD＝7x＝28，CM＝BM+BC＝10． 【解答】解：（1）按要求作图如下： （2）如图： 设CD＝x，根据作图可知： ∴BC＝2CD＝2x，AB＝2BC＝4CD＝4x， ∴AD＝AB+BC+CD＝7x， ∵M是AD中点， ∴AM＝MDADx， ∵BM＝AB﹣AM＝4xxx， ∵BM＝2， ∴x＝2， 解得x＝4， ∴AD＝7x＝7×4＝28， CM＝BM+BCx+2xx＝10． 答：AD的长是28，CM的长是10． 23．如图，已知C，D是线段AB的两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）若AB＝10cm，CD＝4cm，求MN的长； （2）如果AB＝a，CD＝b，用含有a，b的式子表示MN的长． 【分析】（1）根据已知易得：AC+BD＝6cm，然后利用线段的中点定义可得AM+BN（AC+BD）＝3cm，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝10cm，CD＝4cm， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝10﹣4＝6（cm）， ∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴AMAC，BNBD， ∴AM+BNACBD（AC+BD）6＝3（cm）， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝10﹣3＝7（cm）， ∴MN的长为7cm； （2）∵AB＝a，CD＝b， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝a﹣b， ∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴AMAC，BNBD， ∴AM+BNACBD（AC+BD）（a﹣b）， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝a（a﹣b）ab， ∴MN的长为ab． 24．如图1，已知线段CD＝9，点E在线段CD上，延长DC到点F，使EF＝12． （1）若CE＝3，求线段DF的长； （2）若线段CE的长恰好等于线段DF的一半，求线段CE的长； （3）如图2，取线段DE的中点M，线段CF的中点N，求线段MN的长． 【分析】（1）利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设CE＝x，利用线段的和差关系可得DF＝21﹣x，然后根据已知可得：x（21﹣x），从而进行计算即可解答； （3）设CE＝x，则DE＝9﹣x，CF＝12﹣x，DF＝21﹣x，然后利用线段的中点定义可得DM，FN，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵CD＝9，EF＝12，CE＝3， ∴DF＝EF+CD﹣CE＝12+9﹣3＝18， ∴线段DF的长为18； （2）设CE＝x， ∵CD＝9，EF＝12， ∴DF＝EF+CD﹣CE＝12+9﹣x＝21﹣x， ∵线段CE的长恰好等于线段DF的一半， ∴x（21﹣x）， 解得：x＝7， ∴线段CE的长为7； （3）设CE＝x， ∵CD＝9，EF＝12， ∴DE＝CD﹣CE＝9﹣x，CF＝EF﹣CE＝12﹣x，DF＝EF+CD﹣CE＝12+9﹣x＝21﹣x， ∵点M是DE的中点，点N是CF的中点， ∴DMDE，FNCF， ∴MN＝DF﹣DM﹣FN＝21﹣x10.5， ∴线段MN的长为10.5． 25．（2025秋•抚宁区期末）如图，已知线段AB＝24cm，C为AB延长线上一点，且BCAB． （1）求AC的长； （2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长． 【分析】（1）首先求出BC＝8cm，再根据线段的和差可得AC的长； （2）首先根据线段中点的定义可得AD＝12cm，AE＝16cm，再根据DE＝AE﹣AD可得答案． 【解答】解：（1）因为， 所以， 所以AC＝AB+BC＝24+8＝32（cm）； （2）因为D是AB的中点，E是AC的中点， 所以， 所以DE＝AE﹣AD＝16﹣12＝4（cm）． 26．（2025秋•湖北校级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，已知AD＝10，AC＝6． （1）求BC的长； （2）若点P是线段AC上靠近点A的三等分点，求BP的长． 【分析】（1）根据中点的定义和各线段长度之间的关系解答即可； （2）根据APAC及各线段长度之间的关系解答即可． 【解答】解：（1）∵AD＝10，AC＝6， ∴CD＝AD﹣AC＝4， ∵点B为CD的中点， ∴BCCD＝2． （2）∵点P是线段AC上靠近点A的三等分点， ∴PCAC＝4， ∴BP＝PC+BC＝4+2＝6． 27．（2025秋•贵州期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长． 【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7； （2）当点C线段DE的三等分点时，可求得CEDE，则CD，由线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18， ∴BC＝6，AC＝12， ∵E为BC中点， ∴CE＝3， ∵DE＝8， ∴CD＝5， ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7； （2）∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8， ∴当点C靠近E点时，CEDE， ∴CD， ∴AD＝AC﹣CD＝12； 当点C靠近点D时，DCDE， ∴AD＝AC﹣CD＝12． 综上所述，AD的长为或． 28．如图所示，点C在线段AB上，线段AC＝8cm，BC＝6cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度． （2）根据（1）中的计算过程和结果，设AC+BC＝m，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？ （3）若题中的条件变为“点C在直线AB上”，其他条件不变，则MN的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 【分析】（1）由中点的定义可得AM＝CMAC，BN＝CNBC，因为MN＝MC+CN，将所得式子代入即可； （2）由（1），得MN＝MC+CNACBC（AC+BC），即可得出答案； （3）C点在AB的延长线时，由中点定义可求CM＝AM＝4cm，BN＝CN＝3cm，则MN＝MC﹣NC＝4﹣3＝1cm． 【解答】解：（1）∵点M、N分别是线段AC、BC的中点， ∴AM＝CMAC，BN＝CNBC， ∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）（8+6）＝7（cm）； （2）由（1）可得MN（AC+BC）m； （3）有变化． 理由如下：当C点在AB的延长线时， ∵AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝8﹣6＝2cm， ∵点M、N分别是线段AC、BC的中点， ∴CM＝AM＝4cm，BN＝CN＝3cm， ∴MN＝MC﹣NC＝4﹣3＝1（cm）， ∴MN的长度有变化． 29．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x秒． （1）若x＝5时，求BM的长； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度． 【分析】（1）根据已知易得：AP＝10，然后根据线段的中点定义可得AM＝5，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）根据线段的中点定义可得：AP＝2MP，然后利用线段的和差关系以及等量代换可得2BM﹣PB＝AB，即可解答； （3）分两种情况：当P在线段AB上运动时；当P在线段AB的延长线上运动时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）当x＝5时，AP＝2×5＝10， ∵M为AP的中点， ∴AMAP＝5， ∵AB＝24， ∴BM＝AB﹣AM＝24﹣5＝19， ∴BM的长为19； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB是定值， 理由：∵M为AP的中点， ∴AP＝2MP， ∴2BM﹣PB ＝2（MP+PB）﹣PB ＝2MP+2PB﹣PB ＝2MP+PB ＝AP+PB ＝AB ＝24， ∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB＝24； （3）分两种情况： 当P在线段AB上运动时，如图： ∵M为AP的中点，N为BP的中点 ∴MPAP，NPBP， ∵AB＝24， ∴MN＝MP+NPAPBP（AP+BP）AB＝12； 当P在线段AB的延长线上运动时，如图： ∵M为AP的中点，N为BP的中点 ∴MPAP，NPBP， ∵AB＝24， ∴MN＝MP﹣NPAPBP（AP﹣BP）AB＝12； 综上所述：MN的长度为12． 30．（2025秋•朔州期末）综合与探究 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似的看作三条线段（线段AB、线段CD和线段EF），已知AB＝30cm，CD＝20cm，EF＝20cm，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题解决： 如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，BC＝DE＝2cm． （1）自拍杆延伸至最长状态时，CE　＝　 BD；（填“＜”“＝”或“＞”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（AF的长）； 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55cm，此时点D恰好为EF的中点，求BC的长． 【分析】（1）根据图形结合条件得出CE＝CD﹣2＝18（cm），BD＝CD﹣2＝18（cm），CE＝BD； （2）求总长可以分成AF＝AB+BD+DF进行求解； （3）根据D是EF中点得出DF＝10，再结合图形与总长求出BC的长． 【解答】解：（1）∵CD＝20cm，BC＝DE＝2cm， ∴CE＝CD﹣DE＝20﹣2＝18（cm），BD＝CD﹣BC＝20﹣2＝18（cm）， ∴CE＝BD， 故答案为：＝； （2）∵由（1）解得BD＝18cm， ∵EF＝20cm，DE＝2cm，∴DF＝18cm， ∴AF＝AB+BD+DF＝30+18+18＝66（cm）， ∴自拍杆延伸至最长状态时的总长度是66cm； （3）∵D恰好为EF的中点，EF＝20cm，∴DF＝10cm，∵CF＝CD+DF＝20+10＝30（cm），AC＝AF﹣CF＝55﹣30＝20（cm），∴BC＝AB﹣AC＝30﹣25＝5（cm）． 31．（2025秋•路南区期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案； （2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，AE﹣AD即为DE的长； （3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）∵AC＝12cm，D是AC的中点， ∴； （2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm）， 由线段中点的性质，得， 由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）； （3）当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm）， 当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm）， ∴AM的长度为14cm或26cm． 32．（2026春•莱山区期中）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点． （1）若AE：BE＝5：2，且AB＝14，求CD的长． （2）若线段AB＝a，CE＝b且（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，求AD的长． 【分析】（1）已知AE：BE＝5：2，AB＝14，可得AE、BE的长，因为点C为线段AB的中点，点D为线段AE的中点，可得AC、AD的长，因为CD＝AC﹣AD，可得CD的长； （2）根据（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，可求得a、b的值，即得AB、CE的长，因为点C为线段AB的中点，可得AC、BC的长，因为BE＝BC﹣CE，求得BE的长，可得AE的长，因为点D为线段AE的中点，可得AD的长． 【解答】解：（1）∵AE：BE＝5：2，AB＝14， ∴AE＝10，BE＝4， ∵点C为线段AB的中点，点D为线段AE的中点， ∴AC＝7，AD＝5， ∴CD＝AC﹣AD＝2； （2）∵（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0， ∴a﹣16＝0，2b﹣8＝0， ∴a＝16，b＝4， ∴AB＝16，CE＝4， ∵点C为线段AB的中点， ∴AC＝BC＝8， ∴BE＝BC﹣CE＝4， ∴AE＝12， ∵点D为线段AE的中点， ∴AD＝6． 33．（2025秋•中江县期末）如图，AC＝m，BC＝n，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点． （1）若|m﹣4|+（n﹣6）2＝0， ①求DE的长； ②求CF的长； （2）若AB＝12CF，求的值． 【分析】（1）先根据已知求出m、n的值， ①根据线段的中点性质求出DC，CE，然后相加即可， ②根据线段中点的性质求出DF，然后用DF减去DC即可； （2）分两种情况讨论，AC＜BC，AC＞BC． 【解答】解：（1）由题意可得：m﹣4＝0，n﹣6＝0， ∴m＝4，n＝6， ∴AC＝4，BC＝6， ①∵D为AC的中点，E为BC的中点， ∴DC＝ADAC＝2，CE＝BEBC＝3， ∴DE＝DC+CE＝5， ②∵F为DE的中点， ∴DFDE＝2.5， ∴CF＝DF﹣DC＝0.5； （2）分两种情况： 当AC＜BC时，如图： 设DC＝AD＝x，CE＝BE＝y， ∴AB＝AC+BC＝2x+2y，DE＝DC+CE＝x+y， ∴DFDE（x+y）， ∴CF＝DF﹣CD（x+y）﹣x（y﹣x）， ∵AB＝12CF， ∴2x+2y＝12•（y﹣x）， ∴2x＝y， ∴， 当AC＞BC时，如图所示： 设DC＝AD＝x，CE＝BE＝y， ∴AB＝AC+BC＝2x+2y，DE＝DC+CE＝x+y， ∴DFDE（x+y）， ∴CF＝CD﹣CF＝x（x+y）（x﹣y）， ∵AB＝12CF， ∴2x+2y＝12•（x﹣y）， ∴2y＝x， ∴， 综上所述，的值为或2． 34．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且（a+4）2+|c﹣6|＝0．b是最小的正整数． （1）a＝　﹣4　 ，b＝　1　 ，c＝　6　 ． （2）请你把点A，B，C表示在数轴上； （3）若点E是线段OC的三等分点，请求出AE的值． 【分析】（1）由题意可得a+4＝0，c﹣6＝0，求出a、c的值，再由b是最小的正整数，求出b的值； （2）在数轴上表示出来即可； （3）求出OC的三等分点分得每一份2个单位长度，可知E点表示的数是2或4，再求AE的长度即可． 【解答】解：（1）∵（a+4）2+|c﹣6|＝0， ∴a+4＝0，c﹣6＝0， 解得a＝﹣4，c＝6， ∵b是最小的正整数， ∴b＝1， 故答案为：﹣4，1，6； （2）如图， （3）∵OC＝6， ∴OC的三等分点分得每一份2个单位长度， ∴E点表示的数是2或4， ∴AE的长度为6或8． 35．（2025秋•南阳期末）已知点C在线段AB上，AB＝18，AC＝2BC，线段DE在直线AB上移动（点D，E不与点A，B重合）． （1）求AC和BC的长； （2）若DE＝8，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为BC的中点时，求AD的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，请直接写出AE的长． 【分析】（1）根据AB＝18，AC＝2BC，结合AB＝AC+BC求解即可； （2）①首先由线段中点的性质得到，然后利用线段的和差求解即可； ②根据题意，分两种情况，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，画出图形，利用线段的和差倍分计算即可． 【解答】解：（1）已知点C在线段AB上，AB＝AC+BC＝18，AC＝2BC， 把AC＝2BC代入：2BC+BC＝18， 3BC＝18， BC＝6， AC＝2×6＝12； （2）①∵BC＝6，点E为BC的中点， ∴， ∵DE＝8， ∴DB＝DE+EB＝8+3＝11， ∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7； ②分两种情况： （i）当点F在点C右侧时， ∵AC＝12，CF＝3， ∴AF＝AC+CF＝12+3＝15， ∵AF＝3AD， ∴， 如图1所示，当D在A右侧时， ∵DE＝8， ∴AE＝AD+DE＝5+8＝13； 如图2所示，当D在A左侧时， ∵DE＝8， ∴AE＝DE﹣AD＝8﹣5＝3； （ii）当点F在点C左侧时， ∵AC＝12，CF＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9， ∵AF＝3AD， ∴， 如图3所示，当D在A右侧时， ∵DE＝8， ∴AE＝AD+DE＝3+8＝11， 如图4所示，当D在A左侧时， ∵DE＝8， ∴AE＝DE﹣AD＝8﹣3＝5， 综上所述，AE的长为13或3或11或5． 36．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0＝1．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；… （1）请完成下列表格数据． 次数 Pi﹣1Pi 线段OPi的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … … … （2）小明对线段OP4的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式． （3）类比猜想：Pn﹣1Pn＝　　 ，OPn＝　　 ，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是 　　 ． 【分析】（1）根据表中的规律可求出P4P5，根据OP5＝OP4﹣P4P5可得出答案； （2）参照小明对线段OP4的表达式的化简可得OP5的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），，随着取中点次数n的不断增大OPn的长最终接近的值是． 故答案为：，，． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段中的双中点模型 线段双中点模型是初中几何线段计算板块中的基础核心模型，是初一几何入门、线段求值、动点线段综合题的常考内容。该模型以线段中点定义为核心依据，通过两个不同中点的位置关系，推导出固定、简 洁的线段长度结论，能够快速解决多线段叠加、分段嵌套、动点变化等复杂线段计算问题。 不同于复杂的角度模型，双中点模型结构简洁、规律固定，无论点在线段中间、线段延长线上或动态移动，都存在通用不变的长度公式。它集中体现了初中几何整体代换、分段拆解、定值不变的基础思想，是后续几何动点、坐标系线段距离学习的重要铺垫。 熟练掌握双中点模型的识别条件、固定结论与推导逻辑，可大幅简化繁琐的线段加减运算，实现快速求解线段填空、压轴动点线段求值题型。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 3 模型1. 单中点模型 3 模型2. 双中点模型 6 模型3. 多中点模型 8 模型运用 10 线段双中点模型并非教材独立定理，是依托线段中点定义与线段和差运算归纳总结出的基础几何模型，是初一几何线段运算体系的核心提炼。 模型的底层原理源于中点基本性质：若一点为线段中点，则该点将原线段平分为两段相等的线段。在同一直线上出现两个不同线段中点时，通过线段的拆分、合并与等量代换，可消去中间未知线段，最终得到恒定不变的定值结论。 该模型最初诞生于直线多点排布的静态线段计算题，针对线段嵌套、线段叠加、线段部分重叠等基础场景，解决繁杂的逐段运算问题。随着题型演变，模型拓展至点在线段上、点在线段延长线上、动态动点平移三类通用场景。 无论点的位置如何变化，双中点之间的距离始终仅与总线段长度相关，与中间动点位置无关，这一“动态定值”特性是本模型的核心精髓。 作为初中几何第一个定值类模型，它承载了几何整体代换、消元求值、以静制动的基础思维，是后续 三角形中位线、几何动点最值、坐标系长度计算等高阶知识的重要铺垫。 1.单中点模型 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。 如图①所示，点 是线段的中点，则或。 如图②所示，点和点把线段分成相等的条线段，点和点叫作线段的三等分点。类似的还有四等分点等。 2.双中点模型 （1）两线段无公共部分 已知点是线段上任意一点，点、分别为线段、的中点，则。 证明：∵点、分别为线段、的中点， ∴，。 则。 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段和的一半。 （2）两线段有公共部分 ①已知点是线段的延长线上，点、分别为线段、的中点，则。 证明：∵点、分别为线段、的中点， ∴，。 则。 ②已知点是线段的延长线上，点、分别为线段、的中点，则。 证明：∵点、分别为线段、的中点， ∴，。 则。 文字语言结论：两中点的距离=被平分的两条线段差的一半解。 速记口诀：一半一半又一半 3.三中点模型 已知点是线段上任意一点，点，，分别是，，的中点， 则①， ②。 模型1. 单中点模型 【模型提炼】 单中点模型是初中线段几何最基础的核心模型，指一条线段仅有一个中点，利用中点等分线段的性质，实现线段等量转化、长度代换与简单求值，是所有中点类模型的底层基础。 1. 等分性 若点是线段中点，则： 整条线段被平均分为两段，长度完全相等。 2. 倍长性 已知半段可求整段： 是线段计算最常用的变形公式。 3. 整体代换性 在多点共线图形中，可利用中点进行等长替换，将零散线段统一转化为同一条主线段，简化复杂加减运算。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•普宁市期末）如图，点C在线段AB的延长线上，BC＝2AB，点D是线段AC的中点，AB＝2cm，则BD的长度是（　　） A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．1cm 【典例2】（2025秋•新余校级期末）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段AB的中点，若AB＝14，AC＝9，则CD＝　 　 ． 【典例3】（2025秋•中山市校级期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的　 　 ，AM＝MB＝　 　 AB； 拓展延伸 （2）如图2，线段AC上依次有B，D两点，D是BC的中点，，求线段AB的长． 【典例4】（2025秋•昌邑区期末）如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点． （1）若AC＝3，DE＝2，求CD的长； （2）若BC＝3，CD：AD＝1：4，求AC的长． 【典例5】（2025秋•郯城县期末）如图，已知点M，N两点把线段AB分成三部分，且AM：MN：NB＝3：1：4，AB＝24cm，C为NB的中点，求MC长． 【典例6】（2025秋•台江区期末）如图，点C，D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）若E是直线AB上一点，且AE＝CD，求线段EB的长． 模型2. 双中点模型 【模型提炼】 两个中点产生两次二分之一等分，通过代数加减抵消中间浮动线段，使最终结果与中间点的位置无关，只与总线段长有关。 1. 线段重叠型（点在线段内部） 已知：点在线段上，、分别为 、中点 结论： 2. 线段延伸型（点在延长线上） 已知：点在线段延长线上，、分别为 、中点 结论： 无论点在内部还是延长线，双中点间距永远等于： 大线段与小线段差值（或和）的一半 一句话万能式：双中点距离 = 定长线段的一半 【模型运用】 【典例1】（2026春•博山区期末）如图，点C是线段AB的中点，E是线段AB上的一点（AE＜BE），点D是BE的中点，AB＝21，BD＝3AE，则CD的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【典例2】（2025秋•诸城市期末）如图，点A，B，C在同一直线上，O为AC的中点，E为AB的中点，F为BC的中点，则下列说法错误的是（　　） A．AO＝EF B． C． D． 【典例3】（2025秋•衡南县期末）如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC、BC中点，AC＝8cm，BC＝6cm，则MN＝　 　 ． 【典例4】（2025秋•分宜县期末）如图，线段AB＝12，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）若在线段AB上有一点E，CEBC，求AE的长． 【典例5】（2026春•环翠区期末）已知：如图，线段a和线段b． （1）尺规作图：求作线段AB＝a+b，并在线段BA的延长线上，求作线段AC＝a﹣b；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） （2）若M、N分别是AB、AC的中点，求MN的长（用含a、b的式子表示）． 模型3. 多中点模型 【模型提炼】 1. 逐层减半规律 连续等分的多中点结构中，相邻中点间距，呈现原线段的、、等倍分关系。 2. 跨段定值规律 任意两个不同层级的中点距离，恒等于首尾总线段对应比例的定值，不受中间点偏移影响。 3. 整体优先规律 多中点难题无需逐段硬算，优先用整体代换，避开复杂分段加减。 【模型运用】 【典例1】（2025秋•永定区期末）如图，点P在线段AB的延长线上，BP＝64，记线段AP和AB的中点分别为P1，B1；线段AP1和AB1的中点分别为P2，B2；线段AP2和AB2的中点分别为P3和B3；…依次进行这样的标记，则B1P1+B2P2+B3P3+B4P4+B5P5+B6P6＝（　　） A．62 B．63 C．64 D．65 【典例2】如图，已知，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝2023，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3：．连续这样操作2024次，则M2024N2024＝　 　 ． 【典例3】（2025秋•聊城期末）如图，已知点C为线段AB上一点，其中AC＝12cm，CB＝8cm，点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点． （1）求DE的长度； （2）若点F在直线AB上，且CF＝2CB，求AF的长度． 【典例4】（2025秋•武汉期末）已知线段AB上有两个动点C、D； （1）已知AB＝24，C在D的左侧，AD+BC＝30． ①如图1，求CD的长； ②如图2，M、N分别为AD和BC的三等分点，且AD＝3AM，BC＝3BN，求MN的长； （2）若M、N分别为AD和BC的三等分点，且AD＝3AM，BC＝3BN，请直接写出线段AB、CD、MN之间的数量关系：　 　 ． 【典例5】小明在学习了线段的和差后对下面一道题进行了探究． 【基础探究】 如图（1），点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． （1）MN＝ 　 　． 【深入探究】 （2）小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他将题中的条件一般化：设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你进行解答． ①如图（1），M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ 　 　 ； ②如图（2），M，N分别是AC，BC的三等分点，且AMAC，BNBC，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，且AMAC，BNBC，则MN＝　 　． 1．（2025秋•下陆区期末）如图，线段AB＝12，延长AB至点C，使得BC＝2．若D是线段AC的中点，则AD的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026春•淄川区期末）若A，B，C三点在同一条直线上，线段AB＝12cm，BC＝4cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　） A．8cm B．4cm C．8cm或2cm D．8cm或4cm 3．（2025秋•宜州区期末）如图，点C是线段AB的一个三等分点，AB＝9，则AC的长度为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（2026春•芝罘区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点，若AB＝10cm，AC＝6cm，则线段BD的长度是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 5．（2025秋•越城区期末）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　） A．10cm B．4cm C．10cm或8cm D．8cm或4cm 6．（2025秋•焦作期末）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列式子中错误的是（　　） A．CD＝AD﹣AC B． C．CD＝AC﹣BD D． 7．（2025秋•平邑县期末）如图，点M是AB的中点，点N是AD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 9．（2026春•东营期末）如图，已知C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD＝16cm，BD＝10cm，则线段CD的长度为（　　） A．6cm B．3cm C．5cm D．8cm 10．（2026春•荣成市期末）如图，线段AD上有点M，C，B，N，且AB＝10，CD＝6，点M，N分别是AC，BD的中点，则MN的长度为（　　） A．7 B．7.5 C．8 D．无法确定 11．（2025秋•滨江区期末）如图，点C，D把线段AB三等分，点P是线段BD上一点，且AC+BP＝CP，AP﹣CD＝mBP，则（　　） A．m＝1 B．m＝2 C．m＝3 D．m＝4 12．（2025秋•兖州区期末）有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（　　） A．105cm B．20cm C．105cm或25cm D．105cm或20cm 13．（2025秋•南阳期末）如图，已知C为线段AB的中点，AB＝12，BD＝3，有下列结论： ①CD＝AC﹣DB； ②D是线段BC的中点； ③CD＝AD+BC﹣AB； ④． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①③④ 14．（2026春•让胡路区校级期末）如图，已知C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC中点，若AB＝12，BC＝4，则BD的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 15．（2025秋•栖霞区校级期末）如图，已知C为线段AB的中点，D为CB的中点，下列结论：①CD＝AC﹣DB，②，③CD＝AD+BC﹣AB，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 16．（2025秋•贵池区期末）如图所示，B在线段AC上，且BC＝3AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点BE：EC＝2：1，则下列结论：①ECAE；②DE＝5BD；③BE（AE+BC）；④AE（BC﹣AD），其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 17．（2025秋•潮南区期末）如图，P、Q两点将线段AB分成了1：2：6的三个部分，点G是线段AB的中点，QG＝3，则线段AB的长为 　 　 ． 18．（2026春•蓬莱区期中）如图所示，B在线段AC上，且BC＝3AB，D是线段AB的中点，E是BC的三等分点且BE＞EC，则下列结论：①3EC＝AE；②DE＝3BD；③2BE＝AE+BC；④5AE＝6（BC﹣AD），其中正确结论的有 　 　 ． 19．（2026春•宁阳县期末）如图，线段AB＝14，BC＝10，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长． 20．（2025秋•兰州期末）如图，已知点B、C、E都是线段AD上的点，，BD＝6，点E是AB的中点． （1）求AE的长； （2）若点F是CD的中点，求EF的长． 21．如图，P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分．已知线段CP的长为1cm，求线段AB的长． 22．如图，根据提示，完成（1）作图，并解答（2）问题 （1）延长线段BC到D，使BDBC；再延长CB到A，使AC＝3BC； （2）在（1）的基础上，若M是AD中点，BM＝2，求AD和CM的长． 23．如图，已知C，D是线段AB的两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）若AB＝10cm，CD＝4cm，求MN的长； （2）如果AB＝a，CD＝b，用含有a，b的式子表示MN的长． 24．如图1，已知线段CD＝9，点E在线段CD上，延长DC到点F，使EF＝12． （1）若CE＝3，求线段DF的长； （2）若线段CE的长恰好等于线段DF的一半，求线段CE的长； （3）如图2，取线段DE的中点M，线段CF的中点N，求线段MN的长． 25．（2025秋•抚宁区期末）如图，已知线段AB＝24cm，C为AB延长线上一点，且BCAB． （1）求AC的长； （2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长． 26．（2025秋•湖北校级期末）如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，已知AD＝10，AC＝6． （1）求BC的长； （2）若点P是线段AC上靠近点A的三等分点，求BP的长． 27．（2025秋•贵州期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长． 28．如图所示，点C在线段AB上，线段AC＝8cm，BC＝6cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度． （2）根据（1）中的计算过程和结果，设AC+BC＝m，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？ （3）若题中的条件变为“点C在直线AB上”，其他条件不变，则MN的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果． 29．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x秒． （1）若x＝5时，求BM的长； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度． 30．（2025秋•朔州期末）综合与探究 问题情境：图1为一款可伸缩自拍杆，自拍杆共三段，三段可近似的看作三条线段（线段AB、线段CD和线段EF），已知AB＝30cm，CD＝20cm，EF＝20cm，设计时为防止脱落，两段自拍杆之间有重叠． 问题解决： 如图2，当自拍杆延伸至最长状态时，BC＝DE＝2cm． （1）自拍杆延伸至最长状态时，CE　 　 BD；（填“＜”“＝”或“＞”） （2）求自拍杆延伸至最长状态时的总长度（AF的长）； 问题拓展： （3）如图3，固定第一段不动，收缩自拍杆第二段和第三段，使其总长度为55cm，此时点D恰好为EF的中点，求BC的长． 31．（2025秋•路南区期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）求AD的长度； （2）求DE的长度； （3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度． 32．（2026春•莱山区期中）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点． （1）若AE：BE＝5：2，且AB＝14，求CD的长． （2）若线段AB＝a，CE＝b且（a﹣16）2+|2b﹣8|＝0，求AD的长． 33．（2025秋•中江县期末）如图，AC＝m，BC＝n，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点． （1）若|m﹣4|+（n﹣6）2＝0， ①求DE的长； ②求CF的长； （2）若AB＝12CF，求的值． 34．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且（a+4）2+|c﹣6|＝0．b是最小的正整数． （1）a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ． （2）请你把点A，B，C表示在数轴上； （3）若点E是线段OC的三等分点，请求出AE的值． 35．（2025秋•南阳期末）已知点C在线段AB上，AB＝18，AC＝2BC，线段DE在直线AB上移动（点D，E不与点A，B重合）． （1）求AC和BC的长； （2）若DE＝8，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为BC的中点时，求AD的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，请直接写出AE的长． 36．学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0＝1．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；… （1）请完成下列表格数据． 次数 Pi﹣1Pi 线段OPi的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … … … （2）小明对线段OP4的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式． （3）类比猜想：Pn﹣1Pn＝　 　 ，OPn＝　 　 ，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是　 　 ． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $