专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）例1（25-26七年级上·全国·阶段练习）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 例2（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 例3（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点C、D为线段上两点，，，则等于多少（用含m的式子表示）． 例4（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点． (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 例5（24-25七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动） (1)若． ①运动后，求的长． ②若点在线段上运动，问经过多长时间，？ (2)如果时，，试探索的长． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（25-26七年级上·湖南·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且满足， (1)直接写出_____；线段的中点表示的数为_____； (2)设点C在数轴上对应的数x，当时，直接写出x的值_____． (3)点M、N分别从A、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点？ ②若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t为何值时，有最小值？最小值是多少？ 例2（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 例3（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 例4（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 例5（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 例2（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 例3（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 例4（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 例5（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B、M两点，线段，，线段在直线上，点位于原点的右侧且绝对值为8，点恰好为线段的中点． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______． (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动．设线段的运动时间为秒． ①当点A与点D到原点距离相等时，求t的值； ②当点D为线段中点时，直接写出t的值； ③当时，直接写出t的值； 例2（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 例3（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了许多重要的规律．若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为20． (1)填空：、两点间的距离是__________，线段的中点表示的数为__________ (2)若点、分别从、两点同时出发，向右运动，速度分别为5个单位长度每秒、3个单位长度每秒，则运动了多少秒时，到原点的距离与到原点的距离相等？ (3)若点、仍然以（2）中的速度分别从、两点同时出发向右运动，同时，动点从原点出发也向右运动，点的速度为2个单位长度每秒，设运动时间为秒，当、、三点中其中一点是另外两点连成的线段的中点时，求的值． 例4（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 例5（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和8． (1)线段长是_______； (2)若点C、点D分别是的中点，求线段的长； (3)若点P是数轴上任意一点，，求点P表示的数． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 例3（24-25·七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，点M、N在线段上，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． (1)求线段的长度； (2)若点E在线段上，且，求线段的长度． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）【初探】如图①，数轴上点A，B分别表示数，4，线段的中点C表示的数是多少？请你完善下面两名同学的解法． 小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是 ； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程 ； 【延伸】如图②，数轴上点A，B分别表示数a，b，用含a，b的式子表示线段的中点C所表示的数． 【应用】如果数轴上点A，B分别表示数，4，点P，Q分别从点A，B两点同时出发，设P，Q运动时间为t． ①当点P，点Q都以每秒2个单位长度的速度分别沿数轴向左，向右运动，2秒后的中点M表示的数为 ，t秒后的中点M表示的数为 ； ②当点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，的中点E表示的数为 （用含t的代数式表示）；当t= 秒时，点E与点B重合． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 16．（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 17．（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 19．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点，点对应的数为，，． (1)点对应的数为______，点对应的数为______； (2)动点、同时从、出发，点以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动．若点向数轴负方向运动，相遇点恰好在点，求点运动的速度． (3)是的中点，是的中点，若点以（2）中的速度向数轴正方向运动，设运动的时间为．则点对应的数为______，点对应的数为______；（用含的代数式表示） 20．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 21．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在单位长度为 1 的数轴上，点 A 在数轴上表示的数是 ，点 D 在数轴上表示的数是 15，线段 AB 长为 2，线段 CD 长为 1． (1)点 B 在数轴上表示的数是___________，点 C 在数轴上表示的数是___________，线段 的长 =___________； (2)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与点C相距 3 个单位长度时，点B在数轴上表示的数为多少？ (3)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2 个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为 秒，当 时，为中点，为中点，则线段 的长为多少？ 22．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，点D是的中点，．(注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作这条线段的中点) (1)若， ①点D表示的数为 ； ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，若，试求线段的长． 23．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，数、所对应的点分别为、，点表示原点，且、满足，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，沿数轴向左运动，点的速度是点速度的，、两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点表示的数是，点表示的数是______； (2)点是线段的一个三等分点，点是的中点，设、两点运动的时间为（）秒，用含的式子表示线段的长，不用写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，另一点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，求的值，并直接写出此时线段的长度． 24．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（25-26七年级上·全国·阶段练习）已知线段，延长至点C，使． (1)请补全图形，并求的长． (2)若点D为线段上一点，且，求的长． 【答案】(1)见解析， (2)或 【分析】本题考查两点间的距离，掌握图形中线段的和差关系是正确解答的关键． （1）根据题意画图即可，再根据线段之间的和差关系进行计算即可； （2）分两种情况，即点D在点B的左侧或右侧，根据图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解： 如图， 因为，， 所以， 所以； （2）解：由于， 当点D在点B的左侧时，， 当点D在点B的右侧时，， 所以或． 例2（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，、、、四点在同一直线上． (1)如图1，若，，且，求的长； (2)如图2，若线段被点、分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，线段之间的数量关系， （1）利用线段的和差计算即可； （2）利用线段之间的比例关系，以及线段中点的定义，即可求出线段的长； 解题的关键是掌握线段的加减，线段中点的定义． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）设，则，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 例3（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点C、D为线段上两点，，，则等于多少（用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，先表示出，再结合题意可得，求出，即可求出最后结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 例4（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点． (1)若，求证：； (2)若，，且，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查线段的和差计算； （1）由得到； （2）根据和在线段上与线段外，在的左边或右边，分情况讨论，分别画出图形，根据列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当和都在线段上，且在的左边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 当和都在线段上，且在的右边时， 此时由图可得， 由可得，解得， ∴； 综上所述，或． 例5（24-25七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动） (1)若． ①运动后，求的长． ②若点在线段上运动，问经过多长时间，？ (2)如果时，，试探索的长． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了线段的动点问题，解一元一次方程等知识，注意分类讨论是解题关键． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度，根据列方程，解方程即可； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①当时，，， ∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴经过后，； （2）当时，，， 当点D在C的右边时， 如图： ∴， ∴， ∴； 当点D在C的左边时， 如图： ∴， ∴， ∴； 综上可得，的长为或． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（25-26七年级上·湖南·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且满足， (1)直接写出_____；线段的中点表示的数为_____； (2)设点C在数轴上对应的数x，当时，直接写出x的值_____． (3)点M、N分别从A、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为每秒1个单位长度，N的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点？ ②若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，t为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)或 (3)①或或；②的长度是变化的，时，取得最小值，最小值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离，中点公式，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性列方程求解出的值，再利用两点间的距离公式即可解答； （2）分点C在点A在左侧或点B在右侧，两种情况讨论即可； （3）①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为，则线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，分点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，三种情况讨论即可；②结合中点公式求得点P和点Q，利用两点之间的距离表示出，根据点M和点N表示出，则有，结合分类讨论求得对应的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点C在点A在左侧或点B在右侧， 当点C在点A在左侧时，， ∵， ∴，解得； 当点C在点B在右侧时，， ∵， ∴，解得； 综上，x的值为或， 故答案为：或； （3）解：①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为， 则线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 综上，当t为或或时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点； ②的长度是变化的，时，取得最小值，最小值是5， 由①知线段的中点表示的数为，即点P表示的数为， ∵线段的中点表示的数为，即点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴； 当时，， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，； 当时，， 当时，取得最小值，最小值为； ∴当时，取得最小值，最小值是5． 例2（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【知识准备】 ①若点C在线段上，且把线段分成相等的两段，则称点C为线段的中点，也叫二等分点，若点P，点Q在线段上，且把线段分成相等的三段，则称点P和点Q为线段的三等分点； ②若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧，则的中点N所对应的数为_______________； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，t为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为_______________________． ②在（2）的条件下，若E是最靠近Q的五等分点，F为的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）17；（3）①；②当时，为定值，是 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）求出点D对应的数，即可求解； （2）根据题意可得点P所表示的数为，点Q表示的数为，再由的中点所对应的数为10，列出方程，即可求解； （3）①依题意可得出M对应的数；②根据题意可得点E表示的数为，点F所表示的数为，从而得到，进而得到，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为5，点D与点C的距离为7个单位长度，且位于点C左侧， ∴点D对应的数为， ∴的中点N所对应的数为； 故答案为： （2）由题意得，点P所表示的数为，点Q表示的数为， ∵的中点所对应的数为10， ∴， 解得：， 当时，的中点所对应的数为10； （3）①根据题意∶点M对应的数为， 故答案为∶； ②由题意得，点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，为定值，是． 例3（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 例4（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】（1）根据，得出，利用点对应的数是20，即可得出a，b的值； （2）设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足，表示出，，然后列方程求解即可； （3）设运动的时间为t，则，，表示出，然后根据中点的性质得到，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 例5（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，数轴上线段中点的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用两点间的距离公式求得线段的长，然后结合路程速度时间求得点表示的数； （2）先用含有的式子表示点和点表示的数，然后根据、相距4个单位列出方程，再解方程求得的取值； （3）先利用中点公式求得点和点表示的数，再计算的线段长度． 【详解】（1）解：， 点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：， 故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ， 解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， ， 线段的长度为10． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（25-26七年级上·江苏·阶段练习）已知A，B两点在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P，B两点之间的距离为2时，求点P表示的数； (2)当点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，求点P表示的数； (3)是否存在点P，使点P到A，B两点之间的距离之和最小？若存在，请写出所有符合条件的整数点P的坐标，并求出点P到A，B两点之间的距离之和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2或6 (2)0或2 (3)存在的值最小，点P所表示的整数为，最小值为6 【分析】本题主要考查数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系，熟练掌握数轴上两点距离、绝对值的几何意义及线段的和差关系是解题的关键； （1）根据，分两种情况：①点在点的左边；②点在点的右边；分别求出点表示的数即可； （2）根据点是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点表示的数即可； （3）根据图示，可得当点在、两点之间时，的值最小，据此判断即可． 【详解】（1）解：由题意知点、表示的数分别为，4，分两种情况进行解答： ①点在点的左边时， ，， ∴点表示数的是2， ②点在点的右边时， ，， ∴点表示的是6， 综上，可得点表示的数是2或6； （2）解：点P将A，B两点之间的距离分成长为的两部分，可知：点是线段的三等分点， ， ∴线段的长度是6，分两种情况进行解答： ①时，点表示的数是， ②时，点表示的数是， 综上，可得点表示的是0或2； （3）解：存在，理由如下： 根据绝对值的几何意义，可得： 当点在、两点之间时，的值最小，此时点P所表示的整数为， 此时，最小值为， 所以的最小值是6． 例2（25-26七年级上·全国·单元测试）问题提出 （1）数轴上，点、点表示的数分别为，则线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ； 问题探究 （2）如图，直线上顺次有四个点，，．点是的中点，点是的中点．若线段以每秒的速度沿直线向右运动，同时，线段以每秒的速度沿直线向左运动．在运动的过程中，记的中点为，的中点为．设运动时间为秒． 求在运动过程中时的值； 在运动过程中是否存在，使得的值最小？若存在，求出满足的条件，并求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（），；（）或；最小值，理由见解析． 【分析】本题考查了列一元一次方程解决问题，线段中点，绝对值的几何意义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （）利用数轴可求得，点表示的数为； （）以为原点，建立数轴，分别表示出点的坐标，进而根据列出方程，进一步得出结果； 表示出，进而根据其几何意义得出结果． 【详解】解：（），点表示的数为， 故答案为：，； （）∵，， ∴，，， 以为原点，建立数轴，运动前：点：，：，：，：， 运动后，：，：，：，：， 此时，：，：，：，：， 由得出， ， ∴或； ， 其意义是数到，，，的距离之和， 当时，即时，最小值为． 例3（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，当点Q追上点P时，，求解即可； ②根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 例4（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【答案】①8，②，（1）8或4，（2）12或28 【分析】本题考查了含绝对值的方程的求解，以及利用数轴和图形解决问题，关键是在知识迁移部分，要结合题意进行分类讨论. 问题提出：①②两题，解含绝对值的方程，先判断绝对值里面的式子的符号，如为正，则结果不改变符号，如为负，则需改变符号，从而通过解方程，得到结果； 知识迁移：（1）通过数轴得到各点对应的数值，结合图形，得到相应的线段长，注意需分类讨论； （2）提出一个新的定义——折中点，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论. 【详解】解：问题提出：， ①当时，， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴. 故答案为：； 知识迁移：（1）∵线段的长为，设在数轴上对应的数为， ∴点到点的距离表示为：， 又∵点D是的中点， ∴， ∴点D表示的数为， ①若在点左侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴； ②若在点右侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴， 综上，线段的长为或； （2）如图， ①在上， ∵点为线段的中点，， ∴， ∵点是折线的“折中点”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在线段上， 同理：，，， ， ， 故答案为：或． 例5（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，线段，若在直线上存在一点M使得，求线段的长． 【答案】22或18 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键，注意分类讨论． 本题分两种情况：点M在点A左侧，点M在点A右侧，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，且； ∴，， ∵， 若点在点左侧，则；解得：， 若点在点右侧，则 ；解得：， 综上所述，线段的长为22或18． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点A的右侧顺次有B、M两点，线段，，线段在直线上，点位于原点的右侧且绝对值为8，点恰好为线段的中点． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______． (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点到达点时线段停止运动．设线段的运动时间为秒． ①当点A与点D到原点距离相等时，求t的值； ②当点D为线段中点时，直接写出t的值； ③当时，直接写出t的值； 【答案】(1)2；38 (2)①t的值为1或10；②；③t的值为4或7 【分析】（1）先求出点B表示的数，再根据两点间距离公式求出点M表示的数，根据中点坐标公式求出点C表示的数即可； （2）①先得出点A表示的数为，点D表示的数为，再分两种情况：点A在原点左侧时，点A在原点右侧时，分别列出方程，解方程即可； ②先得出点B表示的数为，点C表示的数为，再根据，列出方程，解方程即可； ③点A表示的数为，点B表示的数为，点D表示的数为，分两种情况：当点B在点D左侧时，当点B在点D右侧，点A在点D左侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数是，， ∴点B表示的数为， ∵点位于原点的右侧且绝对值为8， ∴点D表示的数为， ∵， ∴点M表示的数为：， ∵点恰好为线段的中点， ∴点C表示的数为：； （2）解：①点A表示的数为，点D表示的数为， 点A在原点左侧时，， 解得：； 点A在原点右侧时，， 解得：； 当时，点B表示的数为， ∴此时点B还没有到达点M，符合题意； 综上分析可知，当点A与点D到原点距离相等时，t的值为1或10； ②点B表示的数为，点C表示的数为， 当点D为线段中点时，， ∴， ∴， 解得：， 即当点D为线段中点时，t的值为9； ③点A表示的数为，点B表示的数为，点D表示的数为， 当点B在点D左侧时，， 解得：； 当点B在点D右侧，点A在点D左侧时，， 解得：； 综上分析可知：当时，t的值为4或7． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，用数轴上的点表示有理数．解题的关键根据数轴上两点间距离列出方程，注意进行分类讨论． 例2（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 例3（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了许多重要的规律．若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为20． (1)填空：、两点间的距离是__________，线段的中点表示的数为__________ (2)若点、分别从、两点同时出发，向右运动，速度分别为5个单位长度每秒、3个单位长度每秒，则运动了多少秒时，到原点的距离与到原点的距离相等？ (3)若点、仍然以（2）中的速度分别从、两点同时出发向右运动，同时，动点从原点出发也向右运动，点的速度为2个单位长度每秒，设运动时间为秒，当、、三点中其中一点是另外两点连成的线段的中点时，求的值． 【答案】(1)60； (2)秒或30秒 (3)5或20或80 【分析】本题主要考查了数轴的几何意义，点的平移的性质，数轴上点和数的对应关系等内容，解题的关键是熟练掌握数轴的几何意义． （1）利用给出的两点之间距离公式和线段中点公式进行求解即可； （2）根据给出的两点之间距离公式和平移的性质进行求解即可； （3）根据给出的两点之间距离公式和中点公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题目要求得， ， 线段的中点表示的数为， 故答案为：60，； （2）解：设运动了秒，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况： ①当点在原点左侧时，，解得：； ②当点在原点右侧时，，解得：； 综上，运动了秒或30秒时，到原点的距离与到原点的距离相等； （3）解：根据题意可得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当点是线段的中点时，，解得：； ②当点是线段的中点时，，解得：； ③当点是线段的中点时，，解得：； 综上所述，满足条件的值为5或20或80． 例4（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 例5（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和8． (1)线段长是_______； (2)若点C、点D分别是的中点，求线段的长； (3)若点P是数轴上任意一点，，求点P表示的数． 【答案】(1)10 (2)5 (3)点表示的数为6或10 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的定义，线段的和与差： （1）根据数轴上两点之间的距离解答即可； （2）根据线段中点的定义可得，从而得到，即可求解； （3）求出，然后分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别为和8， ∴； 故答案为∶10 （2）解：因为点，点分别是的中点， 所以， 所以； （3）解：因为数轴上B点所表示的数为8， 所以， 因为， 所以， 当点在线段上时， ， 所以点表示的数为6； 当点在线段的延长线上时， ， 所以点表示的数为10， 综上，所以点表示的数为6或10． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【详解】解：（1），根据题意得，，∴表示的数是； （2）①点C在线段上时，如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N，∴， 又，∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点，∴，∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得； ②如图所示，当时，根据题意得，解得； ③如图所示，当时，根据题意得，解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】（1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【详解】解：（1）设点为线段的中点，∴， ∵点在线段上，∴中点是线段的“奇点”，故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和，∴，， ∵点是线段的“奇点”，∴点在线段上，且或或， 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”，∴或或， 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 例3（24-25·七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①和，见解析，②2或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴；故答案为：，； （2）①∵点P，Q的运动速度均为，∴，， ∵，∴，，； ②∵点P到达点B时，P，Q都停止运动，∴点Q到达点A前，且点P未到达点B用时；点P到达点B时，且点Q从点A未到达点B前用时，用时， 当时，，，则，解得； 当时，，，则，解得； 综上所述，或时，． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段AB上一点，D为BC的中点，且．若点E在直线AB上，且，则CE的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与线段中点有关计算和线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，表示出线段之间的和差关系，代入求解即可得到答案． 【详解】解：点在直线上 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧时，如图所示： 是中点， . 当点在点右侧时，如图所示： 是中点， . 综上所述：的长为或. 故选：． 2．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，点M、N在线段上，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段的和差倍分，解答本题的关键是熟练掌握线段之间的和差倍分关系． 先得出，，得，进而用建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差，图形变换的规律，根据线段的规律得出方程是解题的关键． 设，则，再得出一个端点是的线段和一个端点是的线段，再求出两者之差，即可． 【详解】解：设，则，则， ∵，，     ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段中点，掌握两点间的距离、线段的和差计算是解题的关键．根据题意得出，，计算即可得出答案． 【详解】解：∵P，Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．． （1）若点为折点，则绳子原长为 ； （2）若点为折点，则绳子原长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段折叠问题中的长度计算及比例关系应用，解题的关键是根据不同折点（B或A）确定绳子对折后的线段对应关系，明确剪断P处后最长段的具体来源，再结合“最长段为”列方程求解原长． （1）设，由得、；点B为折点时，剪断后最长段为，结合求，再算原长（原长为． （2）点A为折点时，剪断后得到的三段等长，则最长段为，结合求，再根据“折点A时原长为”计算最终原长． 【详解】（1）解：设，   ∵， ∴，则 ∵点B为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得 绳子原长为．   故答案为：； （2）解：设，   ∵， ∴，则． ∵点A为折点，绳子对折后，剪断P处产生的最长段为． 又∵最长段为， ∴，解得． 绳子原长为．   故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据所给折叠方式，求出折叠后点A所表示的数，再根据点C为折叠前后点A及其对应点所成线段的中点即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， 点B表示的数为3，点A在点B的右边，且， 折叠后的点A表示的数为． 折叠前点A表示的数为， 则， 即点C表示的数为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 10．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的性质以及线段长度的计算，解题的关键是根据点的排列顺序明确各线段间的和差关系，利用中点将线段进行等分转化． 根据A、B、C、D的依次顺序，用、、表示出和的长度，结合已知条件求出、、的和；利用中点性质得到和分别为、的一半，进而通过线段和求出的长度． 【详解】解：如图， ∵在一条直线上且依次排列 ∴， ∵，， ∴，即， ∵M、N分别是、的中点， ∴，． ∴ ． 故答案为：6． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，点C为线段上一点，点D为线段的中点，且，． (1)求线段的长度； (2)若点E在线段上，且，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，熟练掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． （1）根据已知：，用即可求出的长，然后再根据点D为线段的中点，由线段的中点定义，可得，即可求出答案； （2）根据已知：，可设，则，再根据，得出，求出x的值，即可得出的长，再根据进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 又点D为线段的中点， ； （2）， 可设，则， ， ， 解得：， ， ． 12．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）【初探】如图①，数轴上点A，B分别表示数，4，线段的中点C表示的数是多少？请你完善下面两名同学的解法． 小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是 ； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程 ； 【延伸】如图②，数轴上点A，B分别表示数a，b，用含a，b的式子表示线段的中点C所表示的数． 【应用】如果数轴上点A，B分别表示数，4，点P，Q分别从点A，B两点同时出发，设P，Q运动时间为t． ①当点P，点Q都以每秒2个单位长度的速度分别沿数轴向左，向右运动，2秒后的中点M表示的数为 ，t秒后的中点M表示的数为 ； ②当点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，的中点E表示的数为 （用含t的代数式表示）；当t= 秒时，点E与点B重合． 【答案】初探：1；；延伸：C点表示的数：；应用：①1，1；②；． 【分析】本题考查一元一次方程，数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，线段的中点，线段的长度，掌握知识点是解题的关键． (初探)根据数轴上两点的距离，即可解答； (延伸)设点C表示的数是x，则，推导出，则，即可解答． (应用)①先求出可得到，则点P表示的数为，推导出，即可解答； ②可得到，则点P表示的数为，推导出，即可解答． 【详解】解：(初探)小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程； 故答案为：1；． (延伸)设点C表示的数是x，则， ∵点C是的中点， ∴， ∴， 解得． (应用)①由题意，得 ∴，点P表示的数为， ∵点M是的中点， ∴， ∴点M表示的数是． ∴2秒后的中点M表示的数为1，t秒后的中点M表示的数为1． 故答案为：1，1． ② ∴，点P表示的数为， ∵点E是的中点， ∴， ∴点E表示的数是． 当点E与点B重合时，点E表示的数是4， 即，解得． 故答案为：；． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式，一元一次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 16．（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 17．（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)5厘米 (3) 【分析】本题考查两点间的距离． （1）根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段的倍比关系以及和差关系进行计算即可； （3）根据（1）、（2）的方法推广到一般，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 18．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4. (3)或3 (4)不发生变化，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可； （4）将点M表示的数为：，点N表示的数为，即可得到答案． 【详解】（1）解：①，线段的中点表示的数为； ②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为∶①10，；②，； （2）解：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， P、Q两点相遇时，， 解得：， 此时相遇点所表示的数为：； （3）解：t秒后，点P表示的数为， 点Q表示的数为，， 又， ， 或， 解得：或； （4）解：不发生变化，理由如下∶ 点M，N分别为，的中点， 点M表示的数为：， 点N表示的数为， ． 点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，． 19．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点，点对应的数为，，． (1)点对应的数为______，点对应的数为______； (2)动点、同时从、出发，点以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动．若点向数轴负方向运动，相遇点恰好在点，求点运动的速度． (3)是的中点，是的中点，若点以（2）中的速度向数轴正方向运动，设运动的时间为．则点对应的数为______，点对应的数为______；（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)单位/秒 (3)， 【分析】本题考查了有理数和数轴，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设点对应的数分别为，求出，，即可得到答案； （2）根据路程速度时间，确定出点的速度即可； （3）根据题意表示出点表示的数即可． 【详解】（1）解：设点对应的数分别为， 点对应的数为，， ， ； ， ，即， ； 故答案为：； （2）解：（秒）， （单位/秒）； 点运动的速度单位/秒； （3）解：根据题意得，， 是的中点，是的中点， ，， 对应的数为，对应的数为， 故答案为：，． 20．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）如图，的边上有一动点，从距离点的点处出发，沿线段，射线运动，点在线段上速度为．在射线上速度为；动点从点出发，沿射线运动，速度为，点、同时出发，设运动时间是． (1)当点在上运动时，为何值，能使？ (2)若点运动到距离点的点处停止，在点停止运动前，点能否追上点？如果能，求出的值；如果不能，请说出理由； (3)若、两点不停止运动，为何值时，它们相距？（若点在线段上，点在射线上，则、两点的距离为：点到点的距离与点到点的距离之和） 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，然后由可得关于t的方程，解方程即得答案； （2）先计算点Q停止运动时用的时间，然后求出点P运动的时间，再比较即得结论； （3）当在线段上，在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，当、均在射线上时，它们相距，根据题意得：当时，，由此构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：运动时间是， 当，，， 若，则， 解得：； （2）解：点停止运动时，用的时间为秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 点在线段上运动的时间为，秒， 秒 ∵ 点不能追上点； （3）解：当在线段上，在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时， ，解得：． 当、均在射线上时，它们相距， 根据题意得：当时 ，解得：或（舍）． 综上所述：或 21．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在单位长度为 1 的数轴上，点 A 在数轴上表示的数是 ，点 D 在数轴上表示的数是 15，线段 AB 长为 2，线段 CD 长为 1． (1)点 B 在数轴上表示的数是___________，点 C 在数轴上表示的数是___________，线段 的长 =___________； (2)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与点C相距 3 个单位长度时，点B在数轴上表示的数为多少？ (3)若线段 以 1 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2 个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为 秒，当 时，为中点，为中点，则线段 的长为多少？ 【答案】(1)，14，24 (2)或 (3) 【分析】本题考查了两点间的距离、解一元一次方程以及数轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据、的长度结合点、在数轴上表示的数，即可找出点、在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段的长度； （2）找出运动时间为秒时，点、在数轴上表示的数，利用两点之间的距离即可得出关于的方程，解之即可得出结论； （3）找出运动时间为秒时，点、、、在数轴上表示的数，进而即可找出点、在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段的长． 【详解】（1）解：∵，点在数轴上表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是； ∵，点在数轴上表示的数是15， ∴点在数轴上表示的数是； ∴； 故答案为：，14，24； （2）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵点B与点C相距 3 个单位长度， ∴， ， ∴， 解得：或； 时，点在数轴上表示的数为； 时，点在数轴上表示的数为； ∴点 B 与点 C 相距 3 个单位长度时，点在数轴上表示的数为或； （3）解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵， ∴， ∴点一直在点的右侧； ∵为中点，为中点， ∴点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， ∴． 22．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，点D是的中点，．(注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作这条线段的中点) (1)若， ①点D表示的数为 ； ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，若，试求线段的长． 【答案】(1)①；②4； (2)3 【分析】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）①利用数轴上的点对应的数字和线段中点的定义解答即可；②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用列出方程，解方程即可得出结论； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到的值，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①， ． ， ， ∴点C对应的数字为4， ∵点D是的中点， ， 设点D表示的数为x， ， ． ∴点D表示的数为． 故答案为：； ②设运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为，点F对应的数字为， ∵点M是的中点，N是的中点， ∴点M对应的数字为，点N对应的数字为， ， ∴． 解得：或， ， ； （2）解：设点C对应的数字为c，点D对应的数为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，， ． ∵点D是的中点， ， ， ， ， ∴， 解得：． ． 23．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，数、所对应的点分别为、，点表示原点，且、满足，点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从点出发，沿数轴向左运动，点的速度是点速度的，、两点同时出发，相遇后即停止运动． (1)点表示的数是，点表示的数是______； (2)点是线段的一个三等分点，点是的中点，设、两点运动的时间为（）秒，用含的式子表示线段的长，不用写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，另一点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当时，求的值，并直接写出此时线段的长度． 【答案】(1)， (2)当点表示时，，当点表示时， (3)当或时，，此时线段的长度为或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、解一元一次方程，解题的关键是掌握两点间距离公式、中点公式． （1）根据绝对值的非负性求出a，b即可 （2）分情况讨论，根据题意得出点表示或，根据两点间距离公式表示出即可求解； （3）分当点在的右侧时和当点在的左侧时两种情况，分别计算出的值，进而求得点表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 即点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：， 点运动的速度为每秒个单位， 根据题意知，点表示的数为，表示的数为， 设表示的数为， 是的中点， ， ， ， 点是的三等分点，， 点表示或， 当点表示时，， 当点表示时，， 即当点表示时，，当点表示时，； （3）解：根据题意知，点表示的数为， 由（2）知，， 当点在的右侧时，， ， 即 解得， ∴点表示的数为，点表示的数为 此时 当点在的左侧时，， ， 即， 解得， ∴点表示的数为，点表示的数为 此时 综上所述，当或时，，此时线段的长度为或． 24．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $