周周练08 26.3二次函数与一元二次方程（数学新教材人教版九年级上册）

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程核心联系，通过图像分析、参数推理、综合应用构建梯度化周测，强化几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|交点个数、根的判别式、图像与不等式|第6题多结论判断，融合推理能力与几何直观| |填空题|6/18|面积计算、实际情境抛物线、近似根|第12题建筑物截面问题，体现应用意识| |解答题|2/22|图像信息提取、解析式与不等式解集|第18题结合函数交点求不等式解集，强化模型观念|

2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 26.3二次函数与一元二次方程 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 2．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 3．函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，当时，原函数为一次函数，此时与x轴有交点，符合题意；当时，原函数为二次函数，则可利用判别式求出k的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：当时，原函数解析式为，在中，当时，，即此时原函数与x轴交于点，符合题意； 当时，原函数为二次函数，则， ∴且； 综上所述，； 故选：C． 4．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方， 即， ∴不等式的解集是或， 故选：． 5．无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数值始终为正数，则其开口向上且与x轴没有交点，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为二次函数的值始终为正数，且， 所以， 解得，． 故选：D． 6．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 7．“如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于x的方程的两个根，且，则的大小关系是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据抛物线与直线及x轴的交点坐标，结合图像求解． 【详解】 解：令，则为抛物线与x轴交点， ∵是关于x的方程的两个根， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 如图： 可得， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 8．已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式得出抛物线的顶点坐标为，从而可得，再联立抛物线与直线方程得出，设，，则，是方程的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系，结合列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线与直线有两个交点，， ∴， 联立抛物线与直线方程得， 整理可得：， 设，，则，是方程的两个根， ∴，， ∵，且，， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 9．已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积的面积． 【详解】】解：∵， ∴，， 则． 又当时，， 则， 故． ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，根据二次函数图象平移，利用割补法求解． 10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若抛物线与轴交于点，与轴的两个交点是、，则的面积是___________. 【答案】 【分析】根据抛物线的解析式求得点的坐标，利用根与系数的关系求得，再根据面积公式求得即可． 【详解】解：， ， 设、的横坐标分别为， 故，， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 12．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 13．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 【答案】1.2 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 14．已知抛物线与直线相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，则时x的取值范围是___________. 【答案】x≤-2或x≥3 【详解】由题意找出y1≥y2时自变量的取值范围即可. 解：当y1≥y2时，由已知抛物线与直线可知， x≤-2或x≥3， “点睛”此题主要考查了通过两个函数来判断不同自变量的取值范围内函数值的变化情况，属于对基础知识的考查. 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 16．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为______________． 【答案】3或 【分析】本题考查二次函数图像与一次函数图像的交点问题，求出与轴的交点坐标，以及翻折后开口向下的部分的抛物线的解析式，再分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：设二次函数与轴的两个交点分别为， 当时，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方， ∴开口向下部分的抛物线的顶点坐标为， ∴， 当直线与新图像有3个交点时，分种情况， ①当直线恰好经过点时，则：，解得； ②当直线与抛物线只有一个交点时，满足题意， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； 故答案为：3或． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出y随x增大而增大时自变量x的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程 的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围； （3）方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点，据此即可直接求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知，方程的两个根为； （2）解：根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，此时，， 自变量x的取值范围是； （3）解：如图： 方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点， 此时，， 解得． ∴k的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性． 18．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 21．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据解析式求得点的坐标，设抛物线解析式为，将代入，再待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）的结论求得抛物线的对称轴为，再根据题意，求得为与直线的交点，进而求得直线的解析式即可求得点P的坐标． 【详解】（1）抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C， 令，则，即 设抛物线解析式为，将代入，得 解得 （2） 抛物线的对称轴为 根据对称性，关于对称， 连接，交于点 则 当三点共线时，值最小，此时为与直线的交点 设直线的解析式为，将点，代入，得： 解得 直线的解析式为 在上，则当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，理解题意掌握轴对称的性质是解题的关键． 22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P为线段上（不含B、C两点）的一个动点，轴交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段的长； （3）设的面积为S，求S与m的函数关系式，并确定当m为何值时的面积最大． 【答案】（1）；（2）PF＝；（3）m为时，的面积最大 【详解】本题综合考查了二次函数和一次函数．先利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，然后利用待定系数法求解析式； 解：∵抛物线的对称轴为，且点A的坐标为， ∴点B的坐标为． ∵过点，点， ∴， 解得， ∴； （2）【思路分析】求出直线的解析式，根据点F和点P的横坐标相等都是m，且分别在抛物线和直线上，表示出F点和P点的纵坐标，两者之差即为线段的长； 解：设直线的解析式为． ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点P在直线上，且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为． ∵轴， ∴点F的横坐标与点P的横坐标相同，都为m． 又∵点F在抛物线上， ∴点F的纵坐标为． ∴； （3）【思路分析】以为底，被分成和两部分，两部分的面积之和即为的面积，从而得到S与m的函数关系式，根据二次函数取最值的条件即可求出m取何值时S取得最大值． 解：如解图，过点C作，交所在的直线于点N，过点B作，交所在的直线于点M， ∴． ∵， ∴当时，S取得最大值． 即m为时，的面积最大． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 26.3二次函数与一元二次方程 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 2．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 3．函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 4．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 5．无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．“如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于x的方程的两个根，且，则的大小关系是（　　　） A． B． C． D． 8．已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．无法计算 10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若抛物线与轴交于点，与轴的两个交点是、，则的面积是___________. 12．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 13．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 14．已知抛物线与直线相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，则时x的取值范围是___________. 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 16．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为______________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出y随x增大而增大时自变量x的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 18．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 21．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 26.3二次函数与一元二次方程 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 2．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 3．函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，当时，原函数为一次函数，此时与x轴有交点，符合题意；当时，原函数为二次函数，则可利用判别式求出k的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：当时，原函数解析式为，在中，当时，，即此时原函数与x轴交于点，符合题意； 当时，原函数为二次函数，则， ∴且； 综上所述，； 故选：C． 4．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由图可得，当或时，一次函数的图象在二次函数图象上方， 即， ∴不等式的解集是或， 故选：． 5．无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数值始终为正数，则其开口向上且与x轴没有交点，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为二次函数的值始终为正数，且， 所以， 解得，． 故选：D． 6．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 7．“如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于x的方程的两个根，且，则的大小关系是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据抛物线与直线及x轴的交点坐标，结合图像求解． 【详解】 解：令，则为抛物线与x轴交点， ∵是关于x的方程的两个根， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 如图： 可得， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 8．已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式得出抛物线的顶点坐标为，从而可得，再联立抛物线与直线方程得出，设，，则，是方程的两个根，再结合一元二次方程根与系数的关系，结合列不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线与直线有两个交点，， ∴， 联立抛物线与直线方程得， 整理可得：， 设，，则，是方程的两个根， ∴，， ∵，且，， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 9．已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积的面积． 【详解】】解：∵， ∴，， 则． 又当时，， 则， 故． ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，根据二次函数图象平移，利用割补法求解． 10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若抛物线与轴交于点，与轴的两个交点是、，则的面积是___________. 【答案】 【分析】根据抛物线的解析式求得点的坐标，利用根与系数的关系求得，再根据面积公式求得即可． 【详解】解：， ， 设、的横坐标分别为， 故，， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 12．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 13．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 【答案】1.2 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 14．已知抛物线与直线相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，则时x的取值范围是___________. 【答案】x≤-2或x≥3 【详解】由题意找出y1≥y2时自变量的取值范围即可. 解：当y1≥y2时，由已知抛物线与直线可知， x≤-2或x≥3， “点睛”此题主要考查了通过两个函数来判断不同自变量的取值范围内函数值的变化情况，属于对基础知识的考查. 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 16．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为______________． 【答案】3或 【分析】本题考查二次函数图像与一次函数图像的交点问题，求出与轴的交点坐标，以及翻折后开口向下的部分的抛物线的解析式，再分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：设二次函数与轴的两个交点分别为， 当时，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方， ∴开口向下部分的抛物线的顶点坐标为， ∴， 当直线与新图像有3个交点时，分种情况， ①当直线恰好经过点时，则：，解得； ②当直线与抛物线只有一个交点时，满足题意， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； 故答案为：3或． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； (2)取何值时，？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴是直线 (2)或 【分析】本题考查了用配方法将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）令求出的值，然后根据二次函数的性质，即可写出取何值时，． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：， 该函数图象开口向下， 当时，，得，， 当或时，． 18．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 19．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出y随x增大而增大时自变量x的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程 的两个根； （2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围； （3）方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点，据此即可直接求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知，方程的两个根为； （2）解：根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，此时，， 自变量x的取值范围是； （3）解：如图： 方程有两个不相等的实数根，即函数与有两个交点， 此时，， 解得． ∴k的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性． 20．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 21．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据解析式求得点的坐标，设抛物线解析式为，将代入，再待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）的结论求得抛物线的对称轴为，再根据题意，求得为与直线的交点，进而求得直线的解析式即可求得点P的坐标． 【详解】（1）抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C， 令，则，即 设抛物线解析式为，将代入，得 解得 （2） 抛物线的对称轴为 根据对称性，关于对称， 连接，交于点 则 当三点共线时，值最小，此时为与直线的交点 设直线的解析式为，将点，代入，得： 解得 直线的解析式为 在上，则当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，理解题意掌握轴对称的性质是解题的关键． 22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P为线段上（不含B、C两点）的一个动点，轴交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段的长； （3）设的面积为S，求S与m的函数关系式，并确定当m为何值时的面积最大． 【答案】（1）；（2）PF＝；（3）m为时，的面积最大 【详解】本题综合考查了二次函数和一次函数．先利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，然后利用待定系数法求解析式； 解：∵抛物线的对称轴为，且点A的坐标为， ∴点B的坐标为． ∵过点，点， ∴， 解得， ∴； （2）【思路分析】求出直线的解析式，根据点F和点P的横坐标相等都是m，且分别在抛物线和直线上，表示出F点和P点的纵坐标，两者之差即为线段的长； 解：设直线的解析式为． ∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点P在直线上，且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为． ∵轴， ∴点F的横坐标与点P的横坐标相同，都为m． 又∵点F在抛物线上， ∴点F的纵坐标为． ∴； （3）【思路分析】以为底，被分成和两部分，两部分的面积之和即为的面积，从而得到S与m的函数关系式，根据二次函数取最值的条件即可求出m取何值时S取得最大值． 解：如解图，过点C作，交所在的直线于点N，过点B作，交所在的直线于点M， ∴． ∵， ∴当时，S取得最大值． 即m为时，的面积最大． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测08 26.3二次函数与一元二次方程 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 2．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 3．函数的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 4．如图，抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 5．无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．“如果二次函数的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若是关于x的方程的两个根，且，则的大小关系是（　　　） A． B． C． D． 8．已知抛物线与直线有两个交点，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点B，的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．无法计算 10．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若抛物线与轴交于点，与轴的两个交点是、，则的面积是___________. 12．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 13．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是___________； 14．已知抛物线与直线相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，则时x的取值范围是___________. 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 16．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为______________． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线． (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； (2)取何值时，？ 18．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 19．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出y随x增大而增大时自变量x的取值范围； (3)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 20．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 21．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接AP、PC，请直接写出使值最小的点P的坐标． 22．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点P为线段上（不含B、C两点）的一个动点，轴交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段的长； （3）设的面积为S，求S与m的函数关系式，并确定当m为何值时的面积最大． 23．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $