26.2.3 二次函数图像与性质——图像与各项系数符号问题 专项练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数系数与图像特征的关联性，通过分层题型构建“图像观察-符号判断-综合推理”的方法体系，强化数形结合思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|30题（如第3、5题）|开口方向定a，左同右异定b，y轴交点定c|从单一系数符号到a、b、c初步组合，建立“形→数”直接关联| |综合应用|25题（如第6、13题）|判别式定交点个数，特殊值（x=±1）判系数组合|多条件融合，强化“数→形”逆向推理，渗透方程思想| |拓展提升|15题（如第44、57题）|图像变换与系数关系，跨函数综合判断|结合一次函数、方程等知识，培养模型观念与综合分析能力|

二次函数图像与各项系数符号 一、单选题 1．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 2．如图1是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 3．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 5．二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．已知二次函数的图象如图2所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 图1 图2 图3 图4 7．二次函数的图象如图3所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．二次函数的图象如图4所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．二次函数的图象如图5，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 图5 图6 图7 图8 10．若二次函数的图象如图6所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 11．已知二次函数的图象如图7所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 12．已知二次函数的图象如图8所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 13．如图9，抛物线的对称轴是直线，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 图9 14． 已知二次函数的图象如图10所示， 则以下结论中正确的有（    ） ①   ②  ③   ④ A． ①② B．②③ C．②④ D．①②④ 图10 15．已知二次函数的图象如图11所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 图11 图12 图13 16．下列函数中，图象经过第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 17．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B．C． D． 18．已知二次函数的图象如图12所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 19．如图13是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20． 如图14，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 图14 21．如图15，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 图15 图16 图17 22．已知二次函数的图象如图16，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．已知二次函数的图象如图17所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 25．二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值： ． 26．已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 27．二次函数的图象如图，给出下列四个结论： ①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 28．已知二次函数的图象如图18所示，则点在第______象限． 图18 图19 图20 图21 29．二次函数的图象如图19所示，则______ ，______ 30．二次函数的图象如图20所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 31．下图是抛物线的示意图21，则a的值可以是________（填写符合条件一个数值即可）． 32．如图22为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 图22 图23 图24 33．如图23所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 34．如图24，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 35．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 36．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 37．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 38．已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 39．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 40．抛物线（、、为常数，）经过，两点．下列五个结论：①抛物线不经过第三象限；②将抛物线向左平移个单位长度，若平移后的抛物线经过原点，则；③；④若关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，则满足条件的整数的值只有一个；⑤对于函数，若，则当时，随的增大而增大．其中正确的是_________（填写序号）． 三、解答题 41．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 42．在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 43．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 44．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 45．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 46．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，求它的解析式； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度，点为抛物线上点之间（不含点）的一个动点，求的取值范围． 47．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 48．已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 49．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点在抛物线上，对于都有，求a的取值范围． 50．已知二次函数 (1)若函数图象过点，，求的取值范围； (2)若函数图象过点，其中，，都整数，且是偶数． 求证：，，都是偶数． 51．已知的图像如图，则：a______0；b______0；c______0；______0；______0；______0；______0；______0 52．如图，已知二次函数图象过点和点． (1)求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标； (2)请根据图象直接写出：当时，的取值范围． 53．已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： (1)填空（填“”“ ”或“”）： ①a 0；②b 0；③c 0；④ 0；⑤ 0； ⑥ 0；⑦ 0；⑧ 0； ⑨若点，均在该二次函数图象上，则 ； (2)若点，均在该二次函数图象上，则n的值为 ； (3)关于x的一元二次方程的实数根的情况为 ； (4)若图象与x轴的交点为，，，当时，x的取值范围为 ． 54．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 55．在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 56．二次函数（a，b，c是常数）的部分图象如图所示．若，求的取值范围． 57．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，是“三倍点”． (1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）． ①；②；③；④． (2)已知二次函数（c为常数）．若该函数经过点， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 58．平面直角坐标系中，抛物线经过点，点． (1)若轴，求抛物线的解析式； (2)点为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，点在抛物线上， 求证：当时，h的最大值是4． 59．已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章 二次函数图像与性质——图像与各项系数符号》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A A C B D B C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D D C D C B C C C B 题号 21 22 23 24 答案 D D C C 1．C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 2．B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 3．D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 4．A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 5．A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 6．C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 7．B 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 8．D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 9．B 【分析】开口方向判断的符号，左同右异判断的符号，与轴的交点位置判断的符号，与轴的交点个数判断判别式的符号. 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，与轴有2个交点， ∴，，，， 故选项B不正确，符合题意. 10．C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 11．D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 12．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 【详解】解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 13．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题．观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，再由对称轴计算公式可得，据此可判断①③；根据抛物线与x轴有两个不相同的交点，据此可判断②；当时，，可得，再结合，可判断④． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴，即， ∴，，故①错误；③正确 ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； ∴正确的为②③④，共3个． 故选：C 14．D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 15．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据对称轴公式得到，即可判断④；根据二次函数的图象即可判断，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；由图象可得，当时，，即可代入求解判断③． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 由图象可得，， ∴由得，， ∵抛物线与轴负半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有个交点， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴把代入，则，故③错误， ∴正确的有个， 故选：C． 16．B 【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质．根据一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A、，， ∴函数的图象经过第二、四象限，不符合题意； 选项B、，， ∴函数的图象经过第一、三象限，符合题意； 选项C、，，，函数的图象经过第一、二、四象限，不符合题意； 选项D、，，开口向上，顶点在，函数的图象经过第一、二、三、四象限，不符合题意； 故选：B． 17．C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 18．C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 19．C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 20．B 【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置判断 关系；利用抛物线对称性确定 时函数值的符号；根据顶点坐标公式变形判断等式；结合函数图象顶点纵坐标与直线 的位置关系判断方程根的情况 ． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，则 抛物线顶点坐标为 对称轴为直线 ，即 ，故②错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 当时， ，故①正确； 顶点坐标为 ，故③正确； 抛物线顶点纵坐标为，且开口向下， 抛物线与直线有两个交点 一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 21．D 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 22．D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 23．C 【分析】根据表格数据推出，，判断①，求出对称轴，结合表格数据推出和2是关于x的方程的两个根，判断②，根据时，与其对应的函数值，求出的范围判断③，求出，进而求出的范围，判断④. 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴ ∴，①正确； ∵和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，则时，， ∴和2是关于x的方程的两个根；故②错误； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④错误. 24．C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 25．（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象的性质：当二次项系数时，二次函数图象开口向上即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 取即能满足题意． 26． 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 27．③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向可判断①，根据对称轴公式可判断②，根据函数图象与x轴有两个不同的交点可判断③，根据当时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； ∴正确的只有③， 故答案为：③． 28．二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及判断点所在的象限，解题的关键在于熟练掌握开口方向，图象与y轴的交点情况与系数的关系． 先根据二次函数的图象及性质判断a与c的符号，从而即可得出点所在象限． 【详解】解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， 则点在第二象限； 故答案为：二． 29． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；抛物线由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线得 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 故答案为：， 30．①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 31．1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键．由图象可知，抛物线开口向上，，即可写出a的值． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，即， 则a的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 32．①②/②① 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 故①符合题意； ∵当时，函数值小于0， ∴，故②符合题意； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， 故③不符合题意； ∵抛物线与轴交于两点，即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故④不符合题意； 综上可知，代数式的值为负数的是①②． 33．①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，故③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 34．①③④ 【分析】由二次函数开口向下，对称轴，交y轴于正半轴可得，，，从而，故①正确；由顶点的坐标为可得对于任意实数，都有，即，故②不正确；由二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间得，又，故，即，故③正确；由点和点关于对称和点位于和之间可得点的横坐标位于3和4之间，故④正确． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴， ， 二次函数交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 顶点的坐标为， 当时，y最大为， 对于任意实数，都有，即，故②不正确； 二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， 当时，， ，即， ，即，故③正确； 若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点和点关于对称， 点位于和之间，，， 点的横坐标位于3和4之间，故④正确； 综上所述，①③④正确． 35． ①②③ 【分析】根据抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，可得，再根据对称轴为直线，可得，即可判断①②；然后说明，可得和关于对称轴对称，进而得出，说明③即可；最后根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④． 【详解】解：由图象可知抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， 则可知①②正确； ∵，且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， 则，可知③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，可知④不正确． 则正确的有． 36．③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 37．２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 38．①③⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 39．4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 40．①③④⑤ 【分析】先代入已知点得到系数关系，，再逐一判断每个结论的正误．对于①，容易判断当时，，因此抛物线不经过第三象限；对于②，解方程可得抛物线与轴的交点为和，故存在两种平移方案；对于③，由与即可判断；对于④，结合②的结论可得是不等于1的正整数，因此；对于⑤，代入可得，当时，，且随的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴代入坐标得，，整理得， ∴ 对于①：当时， ∵， ∴，， ∴， ∴抛物线不经过第三象限，故①正确； 对于②：将代入，得， ， 因式分解，得， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴向左平移个单位后，交点变为和， ∵平移后过原点， ∴或，因此不一定等于，故②错误； 对于③：∵， ∴，故③正确； 对于④：由②可得，方程的根为和， ∵方程有两个不相等的整数根，且为正整数， ∴为不等于的正整数，即为的正因数，且， ∴，故④正确； 对于⑤：∵， ∴， ∴， 设， ∴与成二次函数关系， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵当时，， ∴， ∵， ∴与成反比例函数关系， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵随的增大而减小， ∴随的增大而增大，故⑤正确； 综上，正确的结论为①③④⑤． 41．(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 42．， 【分析】考查二次函数图象性质，利用顶点纵坐标公式和开口方向判断符号．关键是掌握与a的符号关系，易错点是符号判断失误． 设二次函数，开口向上则，顶点在第四象限则顶点纵坐标．因，故，进而． 【详解】对于二次函数，开口向上则；顶点在第四象限，说明顶点的横坐标，纵坐标． 由且，可得，因此． 43．(1)， (2) 经过第二、三、四象限， 理由：， ， 由图可知， ， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）略 44．(1)， (2) 证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）略 （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 45．(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 46．(1) (2) (3)当时，．当时，． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，学会数形结合的思想是解题的关键． （1）根据对称轴直线为求解即可． （2）先求出顶点坐标，再根据定点坐标在直线上，即可得出关于a的一元一次方程，解出a，即可得出抛物线解析式． （3）先求出点A和点B的坐标，结合二次函数图像求解即可． 【详解】（1）解：对称轴直线为 （2）解：由（1）可知，对称轴为直线， 把代入，得， 则顶点坐标为， ∵抛物线的顶点恰好在直线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：． （3）解：令，则， 则， ∵点为抛物线上的一点，且到轴的距离为3个单位长度， ∴， 当时，则，当时，， ∴或 ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，则． 当时，则． 47．(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 48．(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据  得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③； （2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可． 【详解】（1）①∵二次函数（m为常数）， ∴当时，该函数的图像开口向上， 正确． ②∵   ∴该函数的图像的对称轴是直线， 不正确． ③令，则， ∴函数的图像一定经过， ∵，两点关于对称轴对称， ∴函数的图像一定经过，两点， 正确． 故答案为：①③． （2）解：∵点在函数图像上， ∴的对称点为， 若， ∵当时，y随x增大而增大， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合； 若， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合． 综上， 或． 49．(1)直线 (2)或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）根据对称轴求出点A关于对称轴的对称点，再分与分析求解即可. 【详解】（1）解：， 该抛物线的对称轴为直线：，即直线； （2）解：点在抛物线上，， 设点关于对称轴的对称点为， ， ， ； 若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 当时， 对于都有， ， ， ，与矛盾，不合题意； 当时， 对于都有， ，即， ， ； 若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 当时， 对于都有， ， ， ， ； 当时， 对于都有， ，即， ， ，与矛盾，不合题意； 综上可知，a的取值范围是或． 50．(1) (2) 证明：∵函数图象过点， ∴， ∴， ∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数， ∴是偶数； ∴， ∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数， ∴是偶数； ∴， ∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数， ∴是偶数； 综上所述：，，都是偶数． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，代数式的配方，偶数的性质等知识点， 将已知点代入函数得到方程组，通过方程组表示出和，再根据、、的关系来确定的取值范围； 把点代入函数得到关于、、的表达式，结合是偶数以及、、是整数即可证明所给式子都是偶数； 熟练掌握二次函数的性质，代数式的配方是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ，解方程组得， ∴， ∵为不等于0任意实数， ∴，则， ∴； （2）略 51．，，，，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答此题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点情况及特殊值的情况即可解答． 【详解】解：根据函数的图像得：图像开口向下，对称轴为，函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴，与x轴有两个交点， ∴，，，， ∴，， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，，，，，，． 52．(1)， (2) 【分析】（1）将点和点代入二次函数，可得，解方程组即可求出与的值，进而可求出该二次函数的解析式；将该二次函数的解析式化成顶点式，然后根据的图象与性质即可得出图象的顶点坐标； （2）由二次函数的图象与系数的关系可知函数图象开口向上，于是可求得该二次函数的最小值，然后分别求得当和时的函数值，即可得出当时的取值范围． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数，得： ， 解得：， 该二次函数的解析式为：， ， 该二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：， 且， 函数图象开口向上， 当时，该二次函数取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 53．(1)，，，，，，，， (2) (3)两个不相等的实数根 (4) 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的特征． （1）由抛物线开口方向，对称轴以及，坐标轴的交点以及由、、、时的函数值即可得到结论； （2）由两点关于对称轴对称即可求得； （3）由抛物线与直线有两个交点即可得出结论； （4）根据图象可得当时函数图象位于轴上方，即可求得结果． 【详解】（1）解：由函数图象可知：抛物线开口向下， ∴①； ∵对称轴在y轴左边，即， 又∵， ∴②； ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴③； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴④； ∵当时，， ∴⑤； ∵当时，， ∴⑥； ∵当时，， ∴⑦； ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∴⑧； ∵对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴； 故答案为：，，，，，，，，； （2）解：∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； （3）解：由图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的实数根； （4）解：若图象与x轴的交点为，，， 当时，x的取值范围为， 故答案为：． 54．(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 55．(1)，理由 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 56． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后得到，根据的取值范围求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ． 抛物线经过点，， ，， ， ， ． ， ， ，即． 57．(1)①④ (2)①；②当时，；当时， (3) 【分析】（1）利用“三倍点”的定义逐项判断； （2）①把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； ②由①可知，分为当，即时；当，即时两种情况，分别求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：设三倍点坐标为， ①将代入，得，解得，，可知中存在三倍点； ②将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ③将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ④将代入，得，解得，可知中存在三倍点； 故答案为：①④； （2）解：①∵函数经过点， ∴，解得：， ∴该函数解析式为． 设点P是函数图象上的“三倍点”，则， ∴，解得：， ∴． ②由（1）可知，配方得， ∴抛物线的对称轴为直线． 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，， 当时，． （3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得：， 则， 解得：． 把代入，得， 代入，得，则， 解得：． 把代入，得， 代入，得， 则，解得：． 综上，c的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程的关系等，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． 58．(1) (2)或 (3) 证明：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，h无最大值， 当时，h有最大值， ∴当时，h取得最大值， ∴h随a的增大而减小， 由（2）知，， ∴当时，h取得最大值，为． 【分析】（1）根据轴，可得，得，解得，即得， （2）可得抛物线为，对称轴为，当 时，开口向上， A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，最低点在端点时，，都有．当时，开口向下，顶点为最高点，最低点在端点或，当时，，得； （3）可得，得，可得，得，得，根据h有最大值，知当时，h取得最大值，由（2）知，，故当时，h取得最大值 ． 【详解】（1）解：∵轴， ∴点，点的纵坐标相同， 即， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∴， ∴对称轴为， 当 时，开口向上，抛物线在A、B之间的部分图象位于对称轴右侧，y随x增大而增大，最低点出现在端点时，，如图： 故当时，都有． 当时，开口向下，顶点为最高点，最低点出现在端点或，如图： ∴当时，， 即：， 解得：， 综上， a的取值范围为 或；          （3）略 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，增减性，二次函数与一次函数综合，二次函数最值，熟练掌握是解题的关键． 59．(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线过点，得且，求解即可； （2）当时，则，即可求解；当时，当时；当即时，只要满足即可；当即时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴且， 解得：或（舍去）， 即； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴抛物线开口向上，点与关于直线对称， ∵，在抛物线上，且对于，都有， ∴， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵，在抛物线上，且对于，都有， 又∵， ∴在对称轴的右侧； 当，即， 此时，即， ∵， ∴与对称轴的距离小于与对称轴的距离， ∴， 则； 当即时，则， 解得：； 此时不合题意； 当即时，， 解得：； 此时不合题意； 综上，； 综上所述，的取值范围或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $