26.2.3　二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 这份同步练围绕二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，采用“基础达标+能力提升+微专题”三层设计，从单一知识巩固到综合应用深化，适配新授课分层教学需求，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|配方法转化、顶点坐标公式、图象性质、平移|以选择填空为主，如第1题直接考查配方法，第7题画图题培养几何直观，夯实基础运算能力| |能力提升|综合性质判断、函数与几何结合、最值问题|含接力游戏（第1题）培养合作推理，表格数据分析（第2题）提升数据意识，第6题二次函数与平行四边形证明发展逻辑推理| |微专题|抛物线恒过定点|聚焦定点问题，通过参数分离法（第1题）培养模型意识，深化数学思维的严谨性|

26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的关系 1.用配方法将二次函数y=x2-8x-6化为y=a(x-h)2+k的形式为 (　　) A.y=(x-4)2+10　 B.y=(x-4)2-22 C.y=(x+4)2-22 D.y=(x+4)2+10 抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标公式 2.已知抛物线y=-x2+2x+2,该抛物线的对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　.  3.抛物线y=x2-(b-1)x+6b的顶点在y轴上,则该抛物线的顶点坐标为　　　　.  二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 4.已知抛物线y=-x2+2x+1,则下列结论错误的是 (　　) A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为x=1 C.当x=1时,y取最大值2 D.当x>1时,y随x的增大而增大 5.已知点(0,y1),(1,y2),(3,y3)是抛物线y=x2-2x-3上的点,则y1,y2,y3的大小关系为 (　　) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 6.二次函数y=x2+4x-3的图象与y轴的交点坐标为　　　　　　.  7.(2026西宁期中)已知二次函数y=x2+4x+3. (1)在平面直角坐标系xOy中画出该二次函数的图象. (2)直接写出当y<3时x的取值范围. 抛物线y=ax2+bx+c的平移 8.将抛物线y=-x2+6x-7向上平移3个单位长度,向左平移1个单位长度后,得到的抛物线对应的函数解析式为 (　　) A.y=-x2+4x+1 B.y=-x2+5x-4 C.y=x2+4x+9　　 D.y=-x2-4x+1 1.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成“求抛物线y=2x2+8x+4的顶点坐标”,规则如下:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成解答.过程如图所示: 接力中,自己负责的一步出现错误的是 (　　) A.只有甲 B.丙和丁 C.甲和丁 D.乙和丙 2.(2026安庆月考)二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 10 4 0 -2 -2 0 … 下列说法正确的是 (　　) A.此抛物线的开口向下 B.此抛物线与y轴交于点(0,4) C.当x>-6时,y随x的增大而减小 D.此二次函数的最小值是-2 3.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+a和二次函数y=-ax2+3x+2的图象可能是 (　　) 　　 A　　　　　　B 　　 C　　　　　　D 4.已知二次函数y=x2-2x+3,关于该函数在-2≤x≤2的取值范围内,下列说法正确的是 (　　) A.有最大值11,有最小值3 B.有最大值11,有最小值2 C.有最大值3,有最小值2 D.有最大值3,有最小值1 5.二次函数y=-2x2+8x+1的图象如何平移可得到二次函数y=-2x2的图象 (　　) A.向左平移2个单位长度,向上平移9个单位长度 B.向右平移2个单位长度,向上平移9个单位长度 C.向左平移2个单位长度,向下平移9个单位长度 D.向右平移2个单位长度,向下平移9个单位长度 6.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线y=-x+4经过点B,C. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)直线x=m(其中0<m<4)与线段BC交于点P,与抛物线交于点Q,连接OQ,当线段PQ的长度最大时,求证:四边形OCPQ是平行四边形. 微专题3　抛物线恒过定点问题 函数图象过定点,意味着定点坐标(x,y)中x,y的值与参数的取值无关,所以解决此类问题一般先将含有参数的项合并,令与参数相乘的因式为0,求出x的值,再将x的值代入函数解析式中求出y的值即可. 1.抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a≠0)恒过定点,求定点的坐标. 2.求证:抛物线y=(m-2)x2+(2m-3)x-1+m(m≠2)总经过一个定点. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.x=1　(1,3)　3.(0,6) 4.D　5.D　6.(0,-3) 7.解:(1)列表: x … -4 -3 -2 -1 0 … y … 3 0 -1 0 3 … 描点画图,得函数图象如图所示: (2)由图象可得当y<3时,x的取值范围为-4<x<0. 8.A 能力提升 1.C　解析:y=2x2+8x+4=2(x2+4x+2),所以甲错误;y=x2+4x+2=x2+4x+4-2=(x+2)2-2,∴乙、丙正确;由y=(x+2)2-2可得顶点坐标为(-2,-2),所以丁错误.故选C. 2.B　解析:由表格可得,此抛物线的开口向上,故选项A错误;此抛物线与y轴交于点(0,4),故选项B正确;当-6<x<-2.5时,y随x的增大而减小,当x>-2.5时,y随x的增大而增大,故选项C错误;此二次函数的最小值小于-2,故选项D错误.故选B. 3.D　解析:∵y=ax+a=a(x+1),∴一次函数y=ax+a的图象过定点(-1,0),当x=0时,y=-ax2+3x+2=2,∴二次函数y=-ax2+3x+2的图象过定点(0,2).当a>0时,一次函数中y随x的增大而增大,此时抛物线的开口向下,没有符合条件的选项;当a<0时,一次函数中y随x的增大而减小,此时抛物线的开口向上,且对称轴在y轴左侧,所以A,B,C都不符合,D符合.故选D. 4.B　解析:∵二次函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴该函数的图象开口向上,对称轴是x=1.∴在-2≤x≤2的取值范围内,当x=-2时,函数取得最大值11;当x=1时,函数取得最小值2.故选B. 5.C　解析:∵二次函数y=-2x2+8x+1图象的顶点坐标为(2, 9),y=-2x2图象的顶点坐标为(0,0),∴只需将函数y=-2x2+8x+1的图象向左平移2个单位长度,向下平移9个单位长度即可.故选C. 6.解:(1)∵y=-x+4, ∴当x=0时,y=4; 当y=0时,x=4. ∴B(4,0),C(0,4). 将点B,C的坐标代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线对应的函数解析式为y=x2-5x+4. (2)证明:由条件可知Q(m,m2-5m+4),P(m,-m+4), ∴PQ=(-m+4)-(m2-5m+4)=-m2+4m=-(m-2)2+4, ∴当m=2时,PQ最大=4. 又∵C(0,4),∴OC=4, 即此时OC∥PQ且OC=PQ, ∴四边形OCPQ是平行四边形. 微专题3 1.解:∵y=ax2-4ax+3a-2=a(x2-4x+3)-2=a(x-3)(x-1)-2, ∴不论a取任何不为0的实数,当x=3或x=1时,y=-2, 即抛物线恒过的定点坐标为(3,-2),(1,-2). 2.证明:∵y=(m-2)x2+(2m-3)x-1+m =mx2-2x2+2mx-3x-1+m =(mx2+2mx+m)-(2x2+3x+1) =m(x2+2x+1)-(2x2+3x+1) =m(x+1)2-(2x2+3x+1), 令(x+1)2=0,得x=-1, 当x=-1时,y=0, ∴抛物线y=(m-2)x2+(2m-3)x-1+m(m≠2)总经过一个定点(-1,0). 学科网（北京）股份有限公司 $