学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷02（新教材人教版，范围：九年级上册第25～26章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以校园足球赛、跳水运动轨迹、奶茶经营等真实情境为载体，考查运算能力、模型意识与创新思维，适配九年级9月学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、抛物线平移、函数性质|第3题以单循环赛制考查方程应用，第8题结合跳水数据表格分析函数图像性质| |填空题|6/18|方程根与几何、新定义“邻根方程”、二次函数最值|第12题创设“邻根方程”新定义，第16题考查对称轴上动线段周长最小问题| |解答题|8/72|方程求解、利润模型、函数综合、新定义“包络线”|第22题结合产量与需求函数计算最大利润，第24题以音乐喷泉“包络线”为背景考查抛物线综合应用|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 3．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 5．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 8．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 9．如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 12．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 13．在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 14．当时，二次函数的最大值为8，则_________． 15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 16．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 18．（8分）某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． (1)当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 19．（8分）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 20．（8分）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 21．（10分）30．抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． (3)当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 22．（10分）s某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 23．（10分）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位， x变为； 再向上平移1个单位， 整体加1， ， 故选：A． 3．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 5．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 6．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 7．小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号； ∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限， ∵当时，的图象经过第一、二、三象限， 当时，的图象经过第一、二、四象限， ∴选项A不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项B不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、三象限， 当时，的图象经过第二、四象限， ∴选项C符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 8．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 【答案】C 【分析】利用表格数据结合二次函数的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格可知，当和时，的值相等，均为， 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， 对称轴为直线，故B错误； 运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点在对称轴处， 运动员重心相对于水面的最大高度大于，故A错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，故C正确； 根据抛物线对称性，和时，值相等， 即时，，重心高度仍为，运动员未入水，故D错误． 9．如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数综合，函数图像和不等式的关系，首先根据题意得到抛物线与双曲线的交点的横坐标是，结合图像求解即可． 【详解】解：∵双曲线和双曲线关于y轴对称，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1， ∴抛物线与双曲线的交点的横坐标是，如图所示， ∴由图象可得，当时，抛物线的图像在双曲线的图像下面 ∴当时， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：D． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 12．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 13．在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 14．当时，二次函数的最大值为8，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 16．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． （3）用配方法求解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2分） （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． （4分） （3）解：， ， ， ， ， ，； （6分） （4）解：， ， ， 或， ，． （8分） 18．（8分）某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． (1)当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 【答案】(1)销售量：；月销售利润：元 (2)； (3)销售单价应为每千克元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）利用月销售量（销售单价-30），即可求出月销售量，利用月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）根据月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可得出与之间的函数关系式； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，解之，根据题意为减少库存（即增大销量），应选取较小的销售单价，即可得出结论． 【详解】（1）解：销售量：． 月销售利润：（元）； （2分） （2）解：． 与之间的函数关系式为； （4分） （3）解：设销售单价为每千克元， 则， 整理，得， 解得，， 要减少库存， ∴， 答：销售单价应为每千克元． （8分） 19．（8分）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明如下 ② 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得，解得； （2分） （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； （5分） ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． （8分） 20．（8分）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； （2分） （2）解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根，   ，， ； （4分） （3）解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． （8分） 21．（10分）30．抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． (3)当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 【答案】(1)， (2) (3)2或3 【分析】（1）根据点A的横坐标为1，代入，得，可得A点坐标；再将A点坐标代入，可得m的值，进而得出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）首先，根据题意得二次函数的最小值为，当时，在抛物线对称轴的左侧，最大值与最小值的差小于4，然后，判断在对称轴右侧的部分的最大值为，令，解得(舍去)或，再结合函数图象即可得出结论； （3）当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况并画出函数图象，再得到抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为，直线平移后的函数解析式为，情况①：联立沿y轴翻折后的抛物线及平移后的函数的解析式，当时，直线与图象W有三个交点，此时，情况②：当直线过点时，直线与图象W有三个交点，此时，，解得． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点A的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴抛物线的函数解析式为． ， ∴抛物线的顶点坐标为； （3分） （2）解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为． 当时， 将代入，得，而， 当时，， 令， 解得(舍去)或． 结合函数图象，可得t的取值范围是； （6分） （3）解：当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况，如图所示． 抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为， ∵直线向左平移n个单位长度， ∴直线平移后的函数解析式为． 情况①：令，整理，得． 当时，直线与图象W有三个交点，此时． 情况②：∵将代入，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当直线过点时，直线与图象W有三个交点，此时，，解得． 综上所述，n的值为2或3． （10分） 22．（10分）s某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2分） （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （6分） （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． （10分） 23．（10分）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2分） （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （4分） （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； （6分） 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； （8分） 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． （10分） 24．（10分）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2分） ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， （4分） 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （6分） （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， （8分） 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． （10分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 3．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 5．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 8．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 9．如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 12．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 13．在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 14．当时，二次函数的最大值为8，则_________． 15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 16．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 18．（8分）某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． (1)当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 19．（8分）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 20．（8分）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 21．（10分）30．抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． (3)当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 22．（10分）s某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 23．（10分）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（   ） A． B． C． D． 3．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 5．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 7．小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 8．在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（    ） … … A．运动员的重心相对水面的最大高度是 B．运动轨迹路线的对称轴是直线 C．当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D．当时，运动员入水 9．如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 12．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 13．在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 14．当时，二次函数的最大值为8，则_________． 15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 16．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 17．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 18．（8分）某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． (1)当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 19．（8分）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 20．（8分）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： (1)若方程的两个实数根为，，则 ． (2)已知实数m，n满足，，且，求 的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 21．（10分）30．抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． (1)求m的值及抛物线的顶点坐标． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． (3)当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 22．（10分）s某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 23．（10分）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 2 4 5 6 8 10 A 不 D B A C D B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.V3 12.-1或-3 13.14 4子时 3-亚<x<3+亚 5 2 16.4,4 2 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-20每题8分，21-24题每题10分。 17.【解析】(1)解：这里a=3,b=2,c=-5. .4=b2-4ac=22-4×3×-5=64>0 x=-2±8642±8 2×3 6 为1.名景 (2分) (2)解：原方程可变形为x+3?-2x+3=0 因式分解，得x+3(x+1=0, ∴.x+3=0,或x+1=0, ∴.X1=-3’X2=-11 (4分) (3)解：x2-4x+1=0, x2-4x=-1, x2-4x+4=-1+4, x-22=31 x-2=±V3, x1=2+93'x,=2-3 (6分) 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (4)解：3xx-1)=2-2x, 3xx-1+2x-1=0, x-13x+2=0, x-1=0或3x+2=0, X1,名=号 (8分) 18.【解析】(1)解：销售量：500-35-30×10=450kg. 月销售利润：450×35-20=450×15=6750（元）： (2分) (2)解：y=x-201500-10(x-301l=-10x+1000x-160001 之间的函数关系式为 =-10x2+1000x-16000 (4分) ..yx (3)解：设销售单价为每千克X元， 则x-20500-10x-30=8000' 整理，得x2-100x+2400=0, 解得X1=40,X2=60, 要减少库存， ∴.x=40, 答：销售单价应为每千克40元. (8分) 19.【解析】(1)解：把P2,0代入抛物线解析式， 1 得0=4a-8a+1,解得a= (2分) (2)①i证明：抛物线y=aX-4x+1的对称轴为直线x=-4a=2, 2a X1+X2>4, .X2-2>2-X1, .X1<2<X2, ·为，-2为BX2,y,到抛物线对称轴直线x=2的距离， 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2-X,为AX,y,到抛物线对称轴直线x=2的距离， a<0, ∴.抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ∴.y1>y2 (5分) ②解：.y1=y2 名=6或当=-2 当X1=X2时，X1=X2=2a+1, .∴.-a<2a+1<a, 解-a<2a+1得a>-1 解2a+1<a得a<-1, .不等式组无解； 当+=2时，即X+X,=4, 2 ∴.x1=4-x2=4-2a+1=3-2a' .∴.-a<3-2a<a, 解-a<3-2a得a<3, 解3-2a<a得a>1, ∴，不等式组的解集为1<a<3, 综上，1<a<3, (8分) 20.【解析】(1)解：根据题意得：X1+X2=4,X1x2=-3, 1+1=X+=-4, X1 X2 X1X2 3 被容案为：一手 (2分) (2)解：m2-3m+1=0,n2-3n+1=0,且m≠n, 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 “mn可看作方程X-3X+1=0的两个不等的实数根， ∴.m+n=3,mn=1, ∴.m-2n-2=mn-2m+n+4=1-2×3+4=-1: (4分) (3)解：.2q2=1-3q,即1-3q-2q2=0, .q≠0， 六方程两边除以g得：-3日-2=0 .p=3p+2,即p-3p-2=0,且pq≠1， p、 二可看作方程x-3x-2=0的两个不等的实数根， ∴p+=3,pL=-2, q q .p9tp+1=p+卫+=p+h+pL=3-2=1. (8分) 9 991 21.【解析】（1)解：将x=1代入y=x+1,得y=2, ∴点A的坐标为1,2). 将A(1,2)代入y=x2-mx+4, 得2=12-m+4,解得m=3. .抛物线的函数解析式为y=x2-3x+4. y=x3x+4=x引+ 抛物线的顶点坐标为37： (3分) 2'4 (2)解：，抛物线的开口向上，顶点坐标为37， 2'4 二次函数的最小值为4 3 当0<x≤2时， 4/10 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 将X=0代入y=x2-3x+4,得y=4,而4元<4 7+4-23 2xt时， 4 令x2-3x+4=23 解得X=一 (全雪去)龙x一子 结合函数闲泉，可得（的取值范用是0<（子： (6分) (3)解：当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况，如图所示. 抛物线y=x2-3x+4沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为y=x2+3x+4, ,直线y=x+1向左平移n个单位长度， .直线平移后的函数解析式为y=x+n+1. 情况①：令x2+3x+4=X+n+1,整理，得x+2x+3-n=0. 当4=22-43-n)=0时，直线与图象m有三个交点，此时n=2 情况②：，将X=0代入y=x2-3x+4,得y=4, ∴.抛物线与y轴的交点坐标为(0,4)： 当直线y=x+n+1过点0,4)时，直线与图象W有三个交点，此时，n+1=4,解得n=3. 综上所述，n的值为2或3. (10分) 22.【解析】(1)解：设n与x的函数关系式为n=k心+b, 由题意得， 4k+b=120 k=-10 15k+b=110 解得b=160/ .n=-10x+1604≤x≤10； (2分) (2)解：①当x=5时，m=5×5+80=105,n=-10×5+160=110, 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .105<110,.基底原液可全部卖完， ∴.奶茶小店每天销售基底原液利润为：5-2×105=315（元）： ②当x=8时，m=5×8+80=120,n=-10×8+160=80, .120>80,.基底原液无法卖完. ∴.奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：8-2×80-2×120-80=400（元）.(6分) (3)解：设奶茶小店每天获得的利润为元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即m≤n, 即5x+80≤-10x+160,解得x≤6， A4x 3 则w=(x-2)(5x+80)=5(x+7P-405' :5>0,对称轴为直线x=-7,当4≤x≤时，r随x的增大而指大 当x= 3时，W银头=5x(16 +7)-405=3555(元)： 9 ②当每天的产量大于市场需求量时，即m>n, 即5x+80>-10x+160,解得x>5, 316<x≤10 则w=(x-2)(-10x+160)-25x+80--10x+160 =-10x2+150x-160=-10(x-7.52+402.5 ,-10<0,对称轴为直线x=7.5, ∴当x=7.5时，w最大=402.5（元)， 3555<402.5 9 ∴.原液定价为7.5元/升时，每天可获得最大利润为402.5元. (10分) 23.【解析】(1)解：，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0,B3,0两点， 抛物线的解析式为y=-x+1x-3=-x2+2x+3 (2分) (2)解：设直线BC的解析式为y=kx+b, 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 将点B3.01、C0,3代入，得b=3 ,3k+b=0 k=-1 解得6=3月 直线BC的解析式为y=-x+3 设点P坐标为x,-X+2x+3}则Ex,-X+3 PE=-X2+2x+3x+3=-x+3xx-号+ -1<0, 时，PE有最人值，员大值为好 3 .当X= (4分) (3)解：“y=-X+2x+3=-x-1+4 ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, 当X号时，PE有大值， 引 设点Q的坐标为1，m, s3orr3引 E水0-2 BQ=3-12+0-m2=4+m2 QE1-+m-=m-3m+ 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当BQ=B记即BQ2=BE时4+m=号即m2= 解得m= 2 ∴.点Q的坐标为 ,2 (6分) 当QE=BE即QE2=BE时，m2-3m+5=9 22 解得m=3+/17 2 或m,=3-7 2 ∴点Q的坐标为 亚，2 ,32 (8分) 当0G=B0m0E-BQ2时，m-3m+4+m2 解得m=- 1 2 .点Q的坐标为 *点e标1要1.要肉1+亚1,3亚1，引 (10分) 24.【解析】(1)解：①a=1, y=-x- 将y品代入y=父-有， x-1品 潮得=±号 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 “点4的坐标为_6,13 点B的坐标为6,13 7'98 7’98 B9引号 (2分) ②由图可知，抛物线y经过原点，故设抛物线y的解析式为y=tx+dx, 将点B 613代 7’98 y=tx2+dx'得， 品-的c+9a, 9849 d=136 847t, 腾线，的式为y1以✉得马以 (4分) 联立抛物线y1与抛物线y,并消去y,得， tx2+ 13_6tx=- 847 x-1 整理，得184t+42X2+13-72tx-42=0 ,两条抛物线有且仅有一个交点， ∴4=13-72tP-484t+42×-42=01 整理，得5184t+12240t+7225=0, 因式分解，得72t+85=0 85 解得t三- 72 d=3-5t=7 847 61 ·抛物线y的解析式为y=- (6分) (2)解：，抛物线y2的顶点坐标为1,1， 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .设抛物线，的解析式为 =kx-12+1 将点0,0代入y=kx-1P+1得. 0=k+1, 解得k=-1, ÷抛物线y,的解析式为y=-x-1+1 (8分) 联立抛物线y2与抛物线y,并消去y,得， 整理，得a-2X2+4x-1=0, 两条抛物线有且仅有一个交点， 六a-4-4a-2-日-0 解得a= 6 ·“包络线”的解析式为y=-上x+三 (10分) 4 10110 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 正确填涂 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]1[/] 一、 单项选择题：本题共10小题， 每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.[A][B]IC][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A1[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11. 2 13 14. 15. 6 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. (10分) 22. (10分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. (10分) B 24. (10分) B 0 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！