九年级数学上学期9月学情自测（新教材浙教版第1～2章，高效培优）

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．任意画一个三角形，其内角和是，这个事件是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 2．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 6．现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 7．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 8．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（    ）． A． B． C． D． 9．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 12．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 13．一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 15．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 16．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分，。 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 18．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 19．数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 (1)填空：表中（精确到0.01），； (2)根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 21．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 22．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 23．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 24．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D C B C A C D 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．0.618 13．3 14．2 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分，。 17．(1) (2) 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为；-----------------4分 （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积．-----------------8分 18．(1) (2) 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为；-----------------4分 （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为．-----------------8分 19．(1)-----------------3分 (2) 【详解】（1）解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． （2）解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下：           共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）．-----------------8分 20．(1)， (2) 【详解】（1）解：当，时，； 当，频率为时，；-----------------4分 （2）解：观察表格可知，随着摸棋子次数增大，摸到白棋的频率逐渐稳定在附近，因此估计随机摸出一枚棋子摸到白棋的概率为．-----------------8分 21．(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为；-----------------3分 （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ．-----------------8分 22．(1)-----------------4分 (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点.-----------------10分 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 23．(1)①上，；-----------------2分 ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： -----------------5分 (2)①画图像如解图所示； ②． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为．-----------------10分 24．(1) (2)①；②或 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                   -----------------3分      （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                   -----------------7分 ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                 -----------------12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版九年级上册第1~2章。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．任意画一个三角形，其内角和是，这个事件是（     ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：任意三角形的内角和均为，该事件一定会发生，属于必然事件． 2．下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 3．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 4．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 5．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 6．现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为． 7．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 8．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件求出二次函数的表达式，并结合实际情况判断各结论即可． 【详解】解：根据函数图象，设抛物线的表达式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为，故①错误； ∵拱桥的跨度为， ∴抛物线中的取值范围为：， 当水面宽度为时，即，不在抛物线中的取值范围内，且当水面宽度为时，大于拱桥的跨度，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故②错误； 当水面下降时，即， 把代入得：， 解得，此时水面宽度为， ∵大于拱桥的跨度，且不在抛物线中的取值范围内， ∴当水面下降时，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故③错误． 综上，正确结论共个． 9．甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果只有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 10．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 12．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【分析】根据图象，利用频率估算概率即可. 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近，故“钉尖向上”的概率是0.618. 13．一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 15．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 【答案】 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 16．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-21每题8分，22-23题每题10分，24题12分，。 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 18．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 19．数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用概率公式，符合条件数量除以总数量； （2）画树状图列举全部等可能结果，统计含华罗庚图案的结果数，求出概率． 【详解】（1）解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． （2）解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下：           共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 20．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 (1)填空：表中（精确到0.01），； (2)根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率表计算和的值； （2）大数次重复试验中，频率的稳定值即为概率的估计值． 【详解】（1）解：当，时，； 当，频率为时，； （2）解：观察表格可知，随着摸棋子次数增大，摸到白棋的频率逐渐稳定在附近，因此估计随机摸出一枚棋子摸到白棋的概率为． 21．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 22．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 23．已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【分析】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 24．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  / 学科网（北京）股份有限公司 $