专题06 二次函数（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 二次函数专题汇编，整合吉林2022-2026年中考真题及模拟题，覆盖5大核心考点，注重考情分析与分层设计 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|占比超70%，压轴题8-10分|图象性质、最值、解析式、实际应用、几何综合|以“水门礼”水柱、销售利润为情境；分层设问，如最值问题分基础顶点求法与限定区间易错点；压轴题结合三角形、四边形动点及存在性问题，匹配中考命题趋势|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06二次函数 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 吉林考情(2022-2026) 命题规律 高频考查，选择、填 考点01二次函数 空为主：考查开口方向、 侧重图象识图，由图象判断a、b、c符号；考查 对称轴、顶点、增减性、 对称轴、顶点坐标、增减变化；基础中档题，是二次 的图象与性质 系数符号判断，分值3-4 函数的入门考点。 分。 选择、填空、解答均 考点02二次函数 会出现；分全体实数范围 顶点求最值是基础：限定自变量取值范围求最值 的最值 内最值和自变量限定区间 是易错难点；常结合实际问题、几何动点一起考查。 最值，分值3-6分。 考点03待定系数 必考，多在解答题第 法求二次函数解析 小问：一般式、顶点 给点求解析式，三种解析式灵活选用；为后续大 式、交点式均会涉及，分 题做铺垫，属于大题的基础得分步骤，计算量偏大。 式 值4-6分。 中档解答题，隔年考 考点04实际问题 建立二次函数模型求最大利润、最大面积；注意 查；以销售利润、 建筑拱 自变量的实际取值范围；读懂题意、转化数学关系是 与二次函数 桥、面积为背景，分值 6-8分。 关键。 压轴大题，每年必 考点05二次函数 试卷压轴难点，二次函数与三角形、四边形结 考；和几何图形结合，动 合；常见动点、面积、特殊三角形1四边形存在性： 综合 点、存在性、面积、角度 问题，分值8-10分。 综合性强，区分度高，分层设问。 五年真题分类园 品 考点01二次函数的图象与性质 1. (2026吉林.中考真题)如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数 1/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x+1P-1-3≤X≤0的图象记为G:顶点为点A将G,向右平移3个单位长度，再向下平移3个单 位长度得到图象G2,点A的对应点为点B,图象G1与G2合起来得到的图象记为G 4-3-入 4 -4 3-2入 1234x -5D 图① 图② 1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 A( G1 y=x+12-1-3≤xs B( G2 (2)观察图象G,解答下列问题： ①直接写出当X在什么范围内取值时，y随X的增大而减小： ②当-2≤x≤n时，-1≤y≤0，求n的取值范围. (3)如图②，点P为G1上一点，横坐标为m:点Q为G2上一点，横坐标为m+3:点C为G2上一点，横坐标 为3.过点C作x轴的平行线l1,点Q关于直线l1的对称点为点D,过点D作x轴的平行线l2.图象G上P,Q 两点之间的部分（含P,Q两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1,h2 ①请你判断点P,Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当h1=2h2时，直接写出m的值. 2.(2025吉林长春中考真题)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx经过点3,3. 点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、m+1,已知点M1,1,作点A关于点M的对称点C,作 点B关于点M的对称点D,构造四边形ABCD. 2/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (②)当A,B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C的坐标； (3)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G.当0<m<1时，若图象G的最高点与最低 点的纵坐标之差为5 求m的值： (4)连结OA、OB,当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直接写出m的取值范围（这里∠AOB、∠OAD、 ∠OBC均是大于0°且小于180的角). 3.(2024吉林.中考真题)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图 (1)所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3：输入x的值为3时， 输出y的值为6. 开始 输入 否 x<0? 6 ￥是 5 y=x+3 4 y=ax2+bx+3 输出y 结束 23-2-1 12345x (图1) (图2) I)直接写出k,a,b的值. (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图(2). I,当y随x的增大而增大时，求x的取值范围. Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数)，在0<x<4时无解，求t的取值范围. 3/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Ⅲ.若在函数图像上有点P,Q(P与Q不重合)，P的横坐标为，Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q 之间（含P,Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接 写出的取值范围. 考点02二次函数的最值 4.(2023吉林.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1).点P, Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0),连接AP,AQ. 备用图 (1)求此抛物线的解析式， (2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值， 3)当∠PAQ的边与X轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差 (4)设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1,在点A与 点Q之间部分（包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2.当h2-h1=m时，直接写出m的值. 5.(2022吉林长春：中考真题)已知二次函数y=-X-2x+3,当a≤x≤时，函数值y的最小值为 1,则a的值为 6.(2022吉林.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)经过点 A(1,0),点B(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m. 4/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求此抛物线的解析式： (②)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围： 3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P)的最低点的纵坐标为2-m. ①求m的值： ②以PA为边作等腰直角三角形PAQ,当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标. 考点3待定系数法求二次函数解析式 7.(2025吉林中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x+bx-1经过点 2,-1.点P在此抛物线上，其横坐标为m,连接PO并延长至点Q,使OQ=2PO.当点P不在坐标轴上 时，过点P作x轴的垂线，过点Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M 备用图 (1)求此抛物线对应的函数解析式. (②△PQM被y轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变.如果不变，直接写出这个面积比：如果变化， 说明理由， 3)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标. (4④)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出的取值范围. ∠M=∠ODQ=90°，∠Q=∠Q 根据题意可得， ∴.△QOD~△QPM, 0P1 0Q21 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 器号 .S△Qop 2-4 SAOPM 9 则S四边形ODME=9-4=5或S△00D= 4 S△QoD 44 S四边形ODMP 5 4 这个面积此为2或写 8.(2024吉林长春.中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x+2x+c(c是常 数)经过点-2，-2.点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、-m,点C的横坐标为 -5m,点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC. ◆y (I)求该抛物线对应的函数表达式；· (2)求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2： 3)作AC的垂直平分线交直线AB于点D,以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE,连结DE. ①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积： ②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出的取值范围， 9.(2022吉林长春.中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx(b是常数)经过点2,0.点A 在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0).以点A为中心，构造正方形PQMN,PQ=2m,且 PQ⊥x轴. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C,连接 BC.当BC=4时，求点B的坐标； (3)若>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求 的取值范围； 6/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为4时，直接写出m的值. 考点04实际问题与二次函数 10. (2023·吉林长春.中考真题)2023年5月8日，C919商业首航完成一一中国民商业运营国产大飞机正 式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高 级别的礼仪)·如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近 似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱 在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后 退10米，两条水柱的形状及喷水口A、B到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H距地面 米. 图① 图② 11.(2022·吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.动点P从点 A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动.以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线 AC-CB相交于点Q,以PQ为边作菱形PQMN,点N在线段PB上.设点P的运动时间为x(s),菱形 PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm) Q C M B N B (备用图) (1)当点Q在边AC上时，PQ的长为cm;(用含x的代数式表示) (2)当点M落在边BC上时，求x的值； 3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2025吉林中考真题)如图，在△ABC中，AB=3√2，BC=5,∠BAC=45°.动点P从点A出 发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动.当点P出发后，以AP为边作正方形APDE, 使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为Xs(x>0),正方形APDE与△ABC重叠部分图 形的面积为y(平方单位)· B B 备用图 四AC的长为 (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. B)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出y的值. 上品 考点5二次函数综合 13. (2023·吉林长春·中考真题)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x2+bx+2(b是常 数)经过点(2,2).点A的坐标为m,0),点B在该抛物线上，横坐标为1-m.其中m<0. (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点B在x轴上时，求点A的坐标： (3)该抛物线与X轴的左交点为P,当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点 的纵坐标之差为2-m时，求m的值. 4)当点B在X轴上方时，过点B作BC⊥y轴于点C,连结AC、BO.若四边形AOBC的边和抛物线有两个 交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F,线段BO的中点为D.当以点C、 E、O、D(或以点C、F、O、D)为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有 满足条件的m的值. 8/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 年模拟练测园 一、单选题 1.(2026吉林长春一模)若点A-1,y,和点B2,y,都在抛物线y=X+c上，则y与y,的大小关系是 () A.yi<y2 B.y1=y2 C.yi-y2 D.无法确定 2.(2026吉林长春.一模)下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是() A.y=2x2 B.y=-X+3 C.y=-x2 D.y=x-1 二、解答题 3.(2026吉林一模)在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时 间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步 应用。 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静 止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间tS、 运动快慢vcm/s、运动路程ycm的数据 图1 v(cm/s) 个(cm) 12 160 10 140 120 8 100 6 80 4 60 40 2 20 04812162024 t(s) 24681012141618202224s) 图2 图3 【收集整理数据】 运动时间ts 0 4 8 12 16 20 。。· 运动快慢vcm/s 12 10 8 6 2 运动路程ycm 0 44 80 108 128 140 ，,· 9/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提 示：函数图象要画在答题卡上) ①v与t之间的关系可以近似地用 函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出V与t,y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证. (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4Cms的速度向前匀速直线运动. 当t=10时，弹珠刚好追上小车，则A,B两点间的距离为 cm 4.(2026吉林.一模）如图1，二次函数y二X(x≤2的图象经过点A(2,n如图2，将二次函数y,的 图象记为H1,将图象H1绕点A旋转180°得到的图象记为H2,将图象H1和H2组合成的图象记为H. 图1 图2 (1)求n的值. (2)求图象H2对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围。 3)点P,9是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m,4-m. ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值. ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写 出的取值范围. 5.(2026吉林辽源.一模)如图，在等边三角形ABC中，AB=6,CD⊥AB,点P从点A出发，以每秒 2个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，过点P作PQ⊥AC于点Q,过点P向上作PE‖AC,且 PF=3PQ,以PF、PQ为边作矩形PQEF,设点P的运动时间为X(秒)，矩形PQEF与△ABC的重 叠部分图形的面积为y. 10118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 备用图 )PQ- (用含的代数式表示)： (2)求当点F落在CD上时X的值； (3)求在运动过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 6.(2026吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点.抛物线y=x2+bx经过点A4,0,点 P是直线y=-X+6上一动点，其横坐标设为m.连接PO、PA,当O、P、A三点不共线时，以PO、PA 为邻边构造平行四边形APOB 0 (1)求抛物线的解析式。 (2)当平行四边形APOB恰好为菱形时，m的值为 3)当点B恰好落在y轴上时，求平行四边形APOB的面积. (4)当抛物线在平行四边形APOB的内部（不包括顶点）没有图象时，直接写出m的取值范围. 7.（2026吉林长春·二模)在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2-6ax 经过点2 32, 9 抛物线上点A,B 的坐标分别为m,y,9-m,y2 (1)求抛物线的表达式. (2)当y1y2<0时，求m的取值范围. 3)过点A作x轴的垂线l1,过点B作y轴的垂线2，直线l1,l2交点为C,连接AC,BC,AB 11/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求tan∠ABC: ②线段AB与X轴相交于点E,过点E作直线EF⊥AB交线段AC于点F,当直线EF将△ABC的面积分为 1:3两部分时，直接写出m的值. 8.(2026吉林·二模)如图，抛物线y=-x2+bx经过点5,0，点A,B在抛物线上，作射线OA,过点B 作BCy轴交射线OA于点C.己知点A的横坐标为mlm>0,点B的横坐标为n(n>0,n≠m),线段 BC的长为L 备用图 1)求b的值. (2)当m=4时，求L关于n的函数解析式. 3)当m=4时，若L随n的增大而增大，则n的取值范围为 (4)当m+n=t(t为常数，且t>0)时，若L随n的增大而增大，则n的取值范围为 (用含t的式子 表示)· 9.(2026吉林长春.一模)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c经过原点 O,其对称轴为直线x=2.直线X=m(m>0)与该抛物线交于点A,连结OA. x=2 x=m (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (2)当m=6时，作PA⊥OA交y轴于点P,交该抛物线对称轴于点Q. ①求点A的坐标： ②求PQ的长： 12118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)点C在直线x=m上，CA=AO,以CA、AO为邻边作菱形OACB,连结AB交该抛物线对称轴于点D. 当OA=受BD时，直按写出m的位。 10.(2026·吉林长春·二模)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x+bx-3与X轴 交于点A-3,0,与y轴交于点B.点P、Q是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、1-m. (1)求此抛物线的解析式： (2)当m=1时，求tan∠QPA的值： 3)设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图象G,若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差 为10，求m的值： (4)过点P作PH⊥AB于点H,以PH、PQ为邻边作▣PQMH.当▣PQMH的边PQ与直线AB有交点时， 设交点为K,为路片点接写出m的值 11.(2026·吉林延边·二模)如图①，在平面直角坐标系中，直线y=x-3交x轴于点B,交y轴于点C, 抛物线y=-x+bx+c经过B、C两点且与X轴交于另一点A.点P是抛物线上的动点，其横坐标为m. 图① 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)当CP‖AB时，求线段CP的长度： (3)当点P在x轴下方时，抛物线在点P、点A之间的部分（包括端点）记为图象G,图象G上最高点和最低 点的纵坐标之差为5时，求点P的坐标： (4)以PB为对角线构造矩形PMBN,边PM平行于x轴.当直线BC将矩形PMBN的面积分成两部分的比为 13/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1:3时，直接写出m的值 12.（2026吉林.一模)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,点P从点A出发以每秒V2 个单位长度的速度沿线段AC向终点C运动；过点P作PQ⊥AB于点Q,以PQ为边向右侧作矩形PQMN, 且QM=2PQ,设点P运动的时间为X秒，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是y. C A O M 备用图 I)当点N在BC上时，x= (2)求y关于X的函数解析式，并写出X的取值范围. 13.(2026吉林松原.一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点P从点B出发沿线段 BA以每秒2V2个单位长度的速度向终点A运动.当点P不与A、B重合时，过点P作PD⊥BC于点D, 将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接DE,设点P的运动时间为t(秒)· B 备用图 备用图 (I)求线段PE的长（用含t的代数式表示）： (2)当点E落在线段AC上时，求t的值： 3)设△PDE与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t的函数关系式. 14.(2026吉林.一模)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm,CD是△ABC 的中线.动点P从点C出发以V2cm/s的速度沿折线CD-DA向终点A运动，过点P作PQ⊥BC于点Q, 以PQ为边向右侧作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是ycm,点P的运 动时间为Xs(x>0). 14118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)当点N落在边AB上时，求X的值. (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 15.（2026吉林一模)如图：抛物线y=X+bx+c经过A0,-4,B-40两点。点P室X辅上，其横 1 坐标为m. 备用图 (1)求此抛物线的解析式. (2)将坐标原点O绕点P顺时针旋转90°得到点O,当点O在抛物线上时，求m的值. (3)将△OAB绕点P顺时针旋转90得到△O'AB, ①当线段OA与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围. ②当抛物线在△OAB内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出 m的值， 16。(2026吉林松原一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=号x2+bx+c(、c为常数)与，x轴 交于点-1,0和3,0.点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、m+1、m+3. 15118 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求该抛物线对应的函数关系式： (2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A,在Q、M两点之间的部分任取一点B(点A、B均不与 端点重合)，若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是： (3)过点P作PC垂直于直线x=m+1于点C,过点M作MD垂直于直线x=m+1于点D. ①当△PCQ的面积是△QDM的面积的2倍时，求m的值： ②连接PD、CM,当此抛物线在四边形PDMC内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的 取值范围， 17.(2025吉林四平.三模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c(其中b、 c为常数)的图象经过点3,1，其顶点A的横坐标为1.点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横 坐标为，点Q的坐标为2m-1,1,连接QP并延长交该抛物线的对称轴于点M,连接AQ,以AQ、 QM为边作▣AQMN. (1)求该抛物线对应的函数关系式： (②)当m>0,且QM1y轴时，求点Q的坐标； 3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； 4)当四边形AQMN是轴对称图形时，直接写出m的值， 18.(2026吉林.一模)如图，抛物线y=x-2x+c的顶点A1,-4,抛物线与x轴负半轴交于点B,与 直线x=2交于点C,点P为抛物线上点C左侧一点，其横坐标为m,连结PA,以PA为边作矩形PAQD, 其中点Q在直线x=2上.过点D作X轴的垂线交矩形PAQD的边于点M,过点P作y轴的垂线交矩形PAQD 的边于点N 16118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求C的值和点B的坐标： (2)当点D落在y轴上时： ① m= ②求 DM的值： (3)将DM分矩形PAQD所得到的三角形面积记为S1,将PN分矩形PAQD所得到的三角形面积记为S2.当 S1,S2中一个是另一个9倍时，直接写出m的值 19.(2026吉林长春.一模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.已知抛物线y=-x+4x+3 的对称轴为直线l,点A与点O关于直线l对称.点P在直线y=-x+10上，连接PO、PA分别交抛物线于 点B、C,设点P的横坐标为m. y=x+10 (1)求点A的坐标： (2)当OB=AC时，m的值为 3)当PC≤AC时，求m的取值范围： (4)作点P关于点B的对称点B,点P关于点C的对称点C,连结BC.当线段BC与线段OA有公共点时， 直接写出m的取值范围。 20.(2026吉林延边一模)抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)顶点M的坐标为1，-4)，P、Q为抛物 17/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线上的两点，点P的坐标为m,y点Q的坐标为1-m,y,将此抛物线上PO两点之间的部分（包 括P、Q两点)记为图象G. 00b=’c=- (2)当点P与点Q重合时，求点P的坐标： (3)当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d,求d与m之间的函数关 系式 (4)矩形ABCD的顶点分别为A(2m-1,2),B(2m+1,2),C(2m+1,-3), ①当抛物线在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围： ②当图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围. 18/18函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06二次函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01二次函数的图象与性质 1.(四A-1,-1G2:y=x-2-40≤x≤3B2,-4 20-3≤x≤-1或0≤X≤2：②-1≤ns2-3 ®0是：2me11owme中四me1+ 2 3 2.(1)y=x2-2x ②c3,1 24 61-2或2 2 ④5<m<4 3 3.(1)k=1,a=1,b=-2 (2)I:x≤0或x≥1：Ⅱ：t<2或t≥11；I:-1≤m≤0或1≤m≤2 考点02二次函数的最值 4.(1)y=-x2+2x+1 m-号 3)点P与点Q的纵坐标的差为1或8 5.-1-V3/-3-1 118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(1)y=x2-4x+3 (②)m<1或m>3 603-85成3，@21成2，-1)成2,35 考点3待定系数法求二次函数解析式 7.(1)y=x2-2x-1 ②)面积比保持不变为4或写 5 .4 理由如下： ∠M=∠ODQ=90°，∠Q=∠Q 根据题意可得， ∴.△QOD一△QPM, OP 1 0Q2 0Q=2 P03 .SAQOD 224, SAQPM 则S四边形oDMP=9-4=5或S△0on=4. SAQOD 44S四边形0DMP5 这个面积比为号 8Q23-2,-2或Q-23-2,-2 ④m≤-1或- 2≤m≤1-2或7 我82≤m<1+92 8.(1)y=x2+2x-2 218 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2) 解：过点B作BH⊥AC于点H,则∠AHB=90°， 由题意得：Am,m2+2m-2,B-m,m2-2m-2 BH=ya-yB=4m)AH=XA-XB)=2m)' ∴在Rt△AHB中，an∠CAB=B班-4m=2: AH 2m 6)0S毒0cE=9:②m≤-3或-1≤m<0或0<m≤4-T3 9.(1)y=x2-2x (2)B-1,3 60<m≤2或m≥3 2 ④)m=- 或m=或m-号 考点04实际问题与二次函数 10.19 11.(1)2x (2)1 318 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23x2 0≤x≤1 3)y= -7V3x2+18V3x-9V3 1<xs3 3x2-6V3x+9V3 3≤x≤3 12.(1)7 1x2,0<x≤3 x-72+10.5,3<x≤7 8 3)y= 81 8 考点05二次函数综合 13.1)y=-x2+2x+2:顶点坐标为1,3 ②)A-R3,0 3)m=-1或m=-2 4m=-2+/2或m=2-2/3或m=-1 一年摸拟练测园 1.A 2.D 3.(1) 解：图象如图所示， 418 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 v(cm/s) y(cm) 12 160 10 140 120 100 6 80 4 2 20 04812162024ts) 24681012141618202224 图2 图3 ①由图2可知，V与t近似一次函数： ②y与t近似二次函数. 2v=- +12,当=8时，v=-2×8+12=8:y=-4+12t,当t=12时， y=-×12+12x12=108 (3)55 4.(1)4 (2) "y=-x-42+8x≥2 3)0m=-2或m=6:②m<-y6或_2<m<1或m>3 5.()3x: Qx的值为 6 35x0sxs号 3)y= 194+305x-1859<x 33x2+68 2 3<x<3 6.(1)y=x2-4x (2)2 (3)8 (4)2≤m≤3 y号+x 3 518 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20<m<3或6<m<9 80:®m-21±3西 8.(1)b=5: aL=-n2+4nl0<n≤4： n2-4nn>4 80<n≤2或n>4 ④0<ns或5<n<t 42 9.(1)y=x2-4x 20A6,12:②5 6m=4+3成m=4-3 3 3 10.(1)y=x2+2x-3 (2)3 6)1+/1o或2-V10 唱或月 11.(1)y=-x2+4x-3: (2)4: 6)p点的坐标为2-6，-5或者2+5，-4 1或号 12.(1)1 2x2(0<x≤1) ②y 4x-21<x2 13.1)PE=2t 618 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)t=1 3)S= 2t2(0<t≤1) -6t2+16t-8(1<t<2) 14.@x=号 x2(0<x≤ 4 3 y= 3x+12x-8学x≤2 2(2<x≤4) 2 15.@0y-+x-4 (②)m=±2V2 6)0-22≤m≤0或22≤m≤8②m=-2或m=-1-95或m=6或m=23 160y号×-x-是 (2)m≤-1 6)0-5或-17 6 17.1)y=x2-2x-2: (2)点9的坐标为5,1： 6)m=1-95或m=1+5 4)m的值为1-2V2或1+2PV2或1-6或1+V6. 18.1)c=-3,B(-1,0: e0-1:@ 0-2 19.1)4,0 (2)2 3)-2≤m≤4 718 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④2≤m≤5-RV17或4≤m≤5+9y17 20.1)-2,-3 (2)115 2-4 )d=m2-2m+1m<0l m2m≥1 40-5<m<克：②-1<m0 1 2 818 专题06 二次函数 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的图象与性质 高频考查，选择、填空为主；考查开口方向、对称轴、顶点、增减性、系数符号判断，分值 34 分。 侧重图象识图，由图象判断 a、b、c 符号；考查对称轴、顶点坐标、增减变化；基础中档题，是二次函数的入门考点。 考点02 二次函数的最值 选择、填空、解答均会出现；分全体实数范围内最值和自变量限定区间最值，分值 36 分。 顶点求最值是基础；限定自变量取值范围求最值是易错难点；常结合实际问题、几何动点一起考查。 考点03 待定系数法求二次函数解析式 必考，多在解答题第一小问；一般式、顶点式、交点式均会涉及，分值 46 分。 给点求解析式，三种解析式灵活选用；为后续大题做铺垫，属于大题的基础得分步骤，计算量偏大。 考点04 实际问题与二次函数 中档解答题，隔年考查；以销售利润、建筑拱桥、面积为背景，分值 68 分。 建立二次函数模型求最大利润、最大面积；注意自变量的实际取值范围；读懂题意、转化数学关系是关键。 考点05 二次函数综合 压轴大题，每年必考；和几何图形结合，动点、存在性、面积、角度问题，分值 810 分。 试卷压轴难点，二次函数与三角形、四边形结合；常见动点、面积、特殊三角形 / 四边形存在性；综合性强，区分度高，分层设问。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；② (3)①是；②或或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， （3）①∵ ，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分， 最高点为， （i）如图，当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去）； 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 2．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解． 【详解】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6． (1)直接写出k，a，b的值． (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）． Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围． Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围． Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键． （1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可； （2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大； Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解； Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故①当，由题意得：，则；②当，由题意得：，则，综上：或． 【详解】（1）解：∵， ∴将，代入， 得：， 解得：， ∵， ∴将，代入 得：， 解得：； （2）解：Ⅰ，∵， ∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为： 当时，，对称为直线，开口向上， ∴时，y随着x的增大而增大； 当时，，， ∴时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：或； Ⅱ，∵， ∴，在时无解， ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点， ∵对于，当时， ∴顶点为，如图： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点， ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解； Ⅲ：∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， 当，，当时，， ∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴①当，如图： 由题意得：， ∴； ②当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 考点02 二次函数的最值 4．（2023·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．    (1)求此抛物线的解析式． (2)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (3)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点与点的纵坐标的差为或 (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解； （3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点． ∴ ∴抛物线解析式为； （2）解：∵ ， 顶点坐标为， ∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为 ∴， 解得：； （3）①轴时，点关于对称轴对称， ， ∴，则，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； ②当轴时，则关于直线对称， ∴， 则 ∴，； ∴点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为或； （4）①如图所示，当都在对称轴的左侧时，    则 ∴ ∵，即 ∴ ； ∵ ∴ 解得：或（舍去）； ②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，    则，即， 则， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点在的右侧且在直线上方时，即，   ， ∴ 解得：或（舍去）； ④当在直线上或下方时，即，   ，， ， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 【答案】/ 【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 6．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围； (3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为． ①求的值； ②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①或3；②或或 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与轴的另一个交点坐标为，再画出函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点的坐标，再分和两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点的坐标为，分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则此抛物线的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，，解得或， 则此抛物线与轴的另一个交点坐标为， 画出函数图象如下： 则当点在轴上方时，的取值范围为或． （3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 即， （Ⅰ）如图，当时， 当时，随的增大而减小， 则此时点即为最低点， 所以， 解得或（不符题设，舍去）； （Ⅱ）如图，当时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则此时抛物线的顶点即为最低点， 所以， 解得，符合题设， 综上，的值为或3； ②设点的坐标为， 由题意，分以下两种情况： （Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点， 则在等腰中，只能是， 垂直平分，且， （等腰三角形的三线合一）， ， 解得， 则此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时， 由（3）①可知，此时， 则点， ， ， ， 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 解得， 所以此时点的坐标为； 当时，是等腰直角三角形， 则，即， 方程组无解， 所以此时不存在符合条件的点； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 考点03 待定系数法求二次函数解析式 7．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积比保持不变为或， 理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则或. ∴这个面积比为或； (3)或 (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； （4）解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∵点不在坐标轴上， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 8．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结． ①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积； ②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：过点B作于点H，则， 由题意得：， ∴，， ∴在中，； (3)①；②或或 【分析】（1）将代入，解方程即可； （2）过点B作于点H，由题意得，则，，因此； （3）①记交于点M， ，而对称轴为直线，则，解得：，则，，由，得，则，因此； ②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由，得到，解得：或（舍），故，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，故；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得，，解得：或（舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此，故m的取值范围为：或或． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）略； （3）解：①如图，记交于点M， 由题意得，， 由， 得：对称轴为直线： ∵四边形是菱形， ∴点A、C关于对称，， ∵与此抛物线的对称轴重合， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，则， ∴； ②记抛物线顶点为点F，把代入，得：， ∴， ∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线， 当时，如图，符合题意， 当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图： 过点F作于点Q， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意； 当时，如图，符合题意： 当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图： ∴； 当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图： 过点F作于点Q，同上可得， ， ∴， 解得：或（舍）， 当m继续变小时，仍符合题意，如图： ∴， 综上所述，m的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键． 9．（2022·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴． (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标； (3)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或． 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设，根据对称性可得，根据 ，即可求解； （3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图像即可求解； （4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（b是常数）经过点 ∴ 解得 （2）如图， 由 则对称轴为直线， 设，则 解得 （3）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴 ，且在轴上，如图， ①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合， 的解析式为 ，将代入 即 解得 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； ②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时， 解得， 观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 综上所述，m的取值范围为或 （4）①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则 是正方形的中心， 即 ②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时， 交点的纵坐标之差为， 的纵坐标为 的横坐标为 在抛物线上， 解得 ③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图， 则 即 设直线解析式为 则 解得 直线解析式为 联立 解得（舍去） 即的横坐标为，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 考点04 实际问题与二次函数 10．（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米．    【答案】 【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 11．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)2x (2)1 (3) 【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）； （3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可． 【详解】（1）当Q点在AC上时， ∵∠A=30°，∠APQ=120°， ∴∠AQP=30°， ∴∠A=∠AQP， ∴AP=PQ， ∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒， ∴AP=2x， ∴PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图， 在（1）中已求得AP=PQ=2x， ∵四边形QPMN是菱形， ∴PQ=PN=MN=2x，， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPB=60°， ∵， ∴∠MNB=∠QPB=60°， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴△MNB是等边三角形， ∴BN=MN， ∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm， ∴x=1（s）； （3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s）， 即x的取值范围为：， 当M点刚好在BC上时， 在（2）中已求得此时x=1， 分情况讨论， 即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部， ∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积， 过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°， ∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：； 当x＞1，且Q点在线段AC上时， 过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图， ∵， ∴∠MNB=∠QPN=60， ∵∠B=60°， ∴△ENB是等边三角形， 同理可证明△MEF是等边三角形 ∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF， ∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6， ∴BN=6-AN=6-4x， ∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6， ∵MH⊥EF， ∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=， ∴△MEF的面积为：， QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∵菱形PQMN的面积为， ∴重叠部分的面积为， 当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图， ∵∠CPB=∠CBA=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴PC=PB， ∵AP=PQ=2x， ∴AP=PB=2x， ∴AB=AP+PB=4x=6， 则x=， 即此时重合部分的面积为：，； 当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵AP=2x， ∴PB=AB-AP=6-2x， ∵∠QPB=∠ABC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合， ∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=， ∴， ∴此时重叠部分的面积， 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 12．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 考点05 二次函数综合 13．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵ ， ∴顶点坐标为， （2）解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； （3）①如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； （4）解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【详解】解：点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选：． 2．（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 二、解答题 3．（2026·吉林·一模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 ．．． 运动快慢 12 10 8 6 4 2 ．．． 运动路程 0 44 80 108 128 140 ．．． 【数学建模探究】 (1)【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用_____函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用_____函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） (2)【检验】直接写出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． (3)【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为_____． 【答案】(1) 解：图象如图所示， ①由图2可知，与近似一次函数； ②与近似二次函数． (2)，当时，；，当时， (3)55 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，代入，得， ， 解得，， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． （3）解：由（2）可知，， 当时，，即小球运动了， 同一时间，电动小车运动的路程为， ∴，两点间的距离为． 4．（2026·吉林·一模）如图1，二次函数的图象经过点．如图2，将二次函数的图象记为，将图象绕点A旋转得到的图象记为，将图象和组合成的图象记为H． (1)求n的值． (2)求图象对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，． ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值． ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或或 【分析】（1）把代入进行求解即可； （2）求出的顶点坐标，进而求出函数解析式，写出自变量的取值范围即可； （3）①分和，两种情况，根据对称性进行求解即可；②分和两种情况，每种情况再分两种情况，求出临界点，即可． 【详解】（1）解：把代入，得； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 将图象绕点A旋转得到的图象记为， 由（1）知： 则的顶点坐标为， ∴的解析式为； （3）解：①当时，则点的横坐标为， ∵两点的纵坐标相同， ∴两点关于的对称轴对称，即关于轴对称， ∴， ∴； 当时，则点的横坐标为， ∵，且两点的纵坐标相同， ∴点关于点对称，且的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴和2关于轴对称， ∴， ∴； 综上：或； ②当时，则点的横坐标为， 当时，即，解得或（舍去）， ∴当，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，即，解得或， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则点坐标为， 当时，则，解得或（舍去）； ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当时，则：，解得或（舍去）， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 综上：或或时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6． 5．（2026·吉林辽源·一模）如图，在等边三角形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为． (1)_________（用含的代数式表示）； (2)求当点落在上时的值； (3)求在运动过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)的值为； (3)． 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，，，得，而，，则； （）由矩形的性质得，，，则，，当点落在上，则，此时，而，则，所以； （）当落在上时，则，得；当点与点重合，则，得，当点与点重合，则，得，再分三种情况讨论，当时；当时；当时即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点落在上，则， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴当点落在上时，的值为； （3）解：∵， ∴如图，当落在上时，， ∴， ∴，解得， 如图，当点与点重合， 则，解得； 当点与点重合， 则，解得； 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图，交于点，交于点， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，， ∴， ∴， 综上所述，． 6．（2026·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点．抛物线经过点，点是直线上一动点，其横坐标设为．连接、，当、、三点不共线时，以、为邻边构造平行四边形． (1)求抛物线的解析式． (2)当平行四边形恰好为菱形时，的值为________． (3)当点恰好落在轴上时，求平行四边形的面积． (4)当抛物线在平行四边形的内部（不包括顶点）没有图象时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3)8 (4) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出的值． （2）由菱形的性质可知，，则此时点P在对角线OA的垂直平分线上，由此求m即可． （3）由平行四边形对角线互相平分求出点的坐标，再根据点落在轴上求出的值，进而判断此时平行四边形的状态并求面积； （4）令抛物线恰好经过点，求出临界值和，分别讨论抛物线与平行四边形的位置关系，从而确定取值范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 即， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：点在直线上，横坐标为， ， 平行四边形为菱形， ， ∴点P在对角线OA的垂直平分线上， 解得：． （3）解：四边形是以、为邻边的平行四边形， 对角线与互相平分， ，， 的中点坐标为， 设点的坐标为， ， ，， 解得：，， ， 点恰好落在轴上， ， 解得：， ，， 平行四边形的面积为； （4）解：由(3)知， 抛物线经过点和，开口向上，对称轴为直线， 当抛物线恰好经过点时，有， 整理得， 解得：，， 如图，当时，，恰为抛物线顶点， 除顶点外，抛物线上点在其下方，内部无图象， 如图，当时，，恰在抛物线上， 除点外，抛物线上点在其下方，内部无图象， 当时，点的纵坐标大于抛物线在处的函数值， 即点在抛物线上方，平行四边形的下边界线段、均在抛物线上方，内部无图象， 当或时，抛物线会穿过平行四边形的下边界进入内部， 当时，抛物线在平行四边形的内部没有图象． 7．（2026·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点的坐标分别为． (1)求抛物线的表达式． (2)当时，求的取值范围． (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线交点为，连接． ①求； ②线段与轴相交于点，过点作直线交线段于点，当直线将的面积分为两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可； （3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解； ②根据直线将的面积分为两部分时，分类讨论，当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； （3）解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线将的面积分为两部分时， 当时 ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可得，， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 8．（2026·吉林·二模）如图，抛物线经过点，点，在抛物线上，作射线，过点作轴交射线于点．已知点的横坐标为，点的横坐标为（，），线段的长为． (1)求的值． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)当时，若随的增大而增大，则的取值范围为________． (4)当（为常数，且）时，若随的增大而增大，则的取值范围为________（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得直线的解析式为，根据题意得，，分当和，两种情况讨论； （3）根据（2）的结论，分别利用二次函数的性质求解即可； （4）求得，，同（3）理，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，， 当时， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当时，； 当时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大； （4）解：由（1）知，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当即时，； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当即时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大． 9．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过原点，其对称轴为直线．直线（）与该抛物线交于点，连结． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，作交轴于点，交该抛物线对称轴于点． ①求点的坐标； ②求的长； (3)点在直线上，，以、为邻边作菱形，连结交该抛物线对称轴于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，经过原点，建立方程组即可求出抛物线解析式； （2）①在抛物线，令，即可求出点的坐标；②过点作轴，垂足为，交对称轴于点，利用求出点、点的坐标，即可求出的长； （3）由四边形是菱形，可得点在轴上，且，得出，由平行线分线段成比例定理可得，得出，得出是等边三角形，进而可得，当点在点上方时，可得， 当点在点下方时，可得，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过原点， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为． （2）解：①如图所示： ∵抛物线， ∴令，得：， ∴； ②过点作轴，垂足为，交对称轴于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． （3）解：∵直线（）与该抛物线交于点， ∴， ∵点在直线上， ∴轴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴点在轴上，且， ∵ ∴，即， ∴ ∵ ∴，即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点在点上方，如图所示： ∴， ∴，解得：或（舍去）， 当点在点下方，如图所示： ∴， ∴，解得：或（舍去）， 综上：或． 10．（2026·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，求的值； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10，求的值； (4)过点作于点，以、为邻边作．当的边与直线有交点时，设交点为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式； （2）先求出点、的坐标，进而得到点B与点Q重合，利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）先求出抛物线的顶点坐标，分情况讨论：抛物线的顶点在图象上或抛物线的顶点不在图象上时，结合点P在点Q左侧或点P在点Q右侧，找出最大值与最小值，利用图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10列出方程，求出的值； （4）利用待定系数法求出直线和的解析式，联立两直线的解析式求出点的坐标，进而求出长；过点P作轴交与点，则轴，求出点的坐标，进而求出长，在中，利用求出的长，结合列出方程，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ； （3）解：由（1）知，抛物线， 抛物线的顶点坐标为， ①当点P在点Q左侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点Q， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当点P在点Q右侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点P， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ③当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q左侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， 解得：，与矛盾 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； ④当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q右侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， ，与矛盾， 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； 综上所述，的值为或； （4）解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（3）知，、， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， 将代入得：， ， ， 过点P作轴交与点，则轴，且点M的纵坐标为， ，， ， 的等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 将代入得：， 解得：， ， ， 在中，， ， ， ， 整理得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、解直角三角形、两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 11．（2026·吉林延边·二模）如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)4； (3)点的坐标为或者； (4)或． 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 12．（2026·吉林·一模）如图，在等腰中，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动；过点作于点，以为边向右侧作矩形，且，设点运动的时间为秒，矩形与重叠部分图形的面积是． (1)当点在上时，_____． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了图形运动与二次函数的综合，求二次函数的解析式，解直角三角形的相关运算，等腰直角三角形的相关性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合等腰直角三角形的性质以及矩形的性质进行分析，然后得出，再解得； （2）理解题意，进行分类讨论且逐个情况作图，根据矩形的面积，梯形的面积，等腰直角三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点在上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∵设点运动的时间为秒，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动； ∴， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得， （2）解：∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 则， 即点P到终点C的运动时间是秒； 由（1）得当点在上时，则， ∵矩形与重叠部分图形的面积是． 故当时，则矩形的面积， 当时，则矩形与重叠部分图形是梯形，如图所示： 则 ∵四边形是矩形， ∴ 即是等腰直角三角形， ∴ 则 ∴ 当时，则矩形与重叠部分图形是等腰，如图所示： 此时． 当时，满足， ∴． 13．（2026·吉林松原·一模）如图，在中，，，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为（秒）． (1)求线段的长（用含的代数式表示）； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)设与重叠部分图形的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后根据旋转的性质即可求解； （）先画出图形，然后证明出是等腰直角三角形，得到，，然后代入求解即可； （）由（）可知与重叠部分的图形有两种情况，分别画出相应图形，逐个求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴； （2）解：如图，当点落在边上时， 由（）得，， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：由（）可知，当点落在边上时，， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是的面积， ∵，， ∴； 当点与点重合时，， 解得， ∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，二次函数与几何图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 14．（2026·吉林·一模）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动，过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为（）． (1)当点落在边上时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，根据正方形的性质证得是等腰直角三角形，可得．从而得到，即可求解； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别用表示出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当点落在边上时， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴、都是等腰直角三角形， ∵点从点出发以的速度沿折线向终点运动，运动时间为 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：x， ∴当点落在边上时，x． （2）解：∵，，是的中线， ∴， ∴， ∵动点从点出发以的速度沿折线向终点运动， ∴动点到达点的时间为，到达点的时间为， ①如图，当时，点在上，正方形在内部，正方形与重叠部分图形的面积是正方形， 由（1）得：， ∴； ②如图，当时，点在上，正方形的顶点在外，重叠部分是多边形， 同理（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ③如图，当时，点在上，正方形的顶点在外，同理可得、、是等腰直角三角形， 正方形与重叠部分是等腰直角， ∴，此时，点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，y关于x的函数解析式为． 15．（2026·吉林·一模）如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或，②或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在轴负半轴上和点在轴正半轴两种情况，进行讨论求解即可； （3）①求出旋转后点的坐标，进而求出点在抛物线上时的值，结合点在抛物线上时，点的值，即可得出结果；②分或两种情况，画出图形，确定最高点和最低点的纵坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由题意，， ①当点在轴负半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第三象限， ∴， ∴，解得（舍去）或； ②当点在轴正半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第一象限， ∴， ∴，解得或（舍去）； 综上：； （3）解：①∵， ∴， 由旋转可得，，轴，轴，点在点的左侧，点在点上方， 由（2）可知，点的坐标为，当点在抛物线上时，， ∴，， 当点在抛物线上时，则， 解得或， ∴当线段与抛物线有公共点时，或； ②由①可知：，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立解得或， ∴抛物线与直线的交点为和； 当时，如图，抛物线在内的部分的最高点为点，最低点的部分在边上或边上， ∴最低点的纵坐标为， 当最低点在边上时，； 当最低点在边上，则，解得或（舍去）； ∴； 当时，当抛物线在内的部分的最高点在上，即点，最低点的部分在边上时，如图， ∴此时最高点的纵坐标为8， ∴最低点的纵坐标为，即； 当抛物线在内的部分的最高点在上，最低点的部分在边上时，如图， 则最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去） 综上：或或或． 16．（2026·吉林松原·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点和．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、、． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____； (3)过点P作垂直于直线于点C，过点M作垂直于直线于点D． ①当的面积是的面积的2倍时，求m的值； ②连接，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（）根据待定系数法即可求解； （）由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，设点，，由题意可知：当时，总有，要想保证，则，即点离对称轴更近，所以，然后解不等式即可； （）先求得，，，，根据的面积是的面积的倍，则，求的值即可； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：，当点与点关于对称轴对称时，，解得：，然后分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线， 设点，由题意可知：当时，总有， 如图， 要想保证，则，即点离对称轴更近， ∴， 解得：； （3）解：如图： 由题意可知：，，，， ∴，，，， ∵的面积是的面积的倍， ∴， 解得：，； 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当点与点关于对称轴对称时，，解得：， 当时，则，， ∴重合，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：符合题意； 当时，点在四边形外部，如图所示：不符合题意； 当时，则，，，，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意； 当时，点在四边形内部，如图所示：不符合题意； 综上所述：当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大． 17．（2025·吉林四平·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)点Q的坐标为； (3)或； (4)m的值为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得点M和点P的纵坐标都为1，解方程，即可求解； （3）根据题意求得点N的纵坐标为，再根据平行四边形的性质得到，求得，，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （4）要两种情况讨论，当平行四边形是菱形或矩形时，同（3）求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数关系式为； （2）解：设点P的坐标为， ∵轴，且点Q的坐标为， ∴点M和点P的纵坐标都为1， 解方程， 得或（舍去）， ∴点Q的坐标为； （3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为． ∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1， ∴点N的纵坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或； （4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，对角线与对角线互相垂直平分， ∵点Q的坐标为， ∴点N的纵坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点M与点A关于直线对称， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，， ∴， 设， , , , ∴， ∴， ∴， 同理得的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 综上，m的值为或或或． 18．（2026·吉林·一模）如图，抛物线的顶点，抛物线与轴负半轴交于点，与直线交于点，点为抛物线上点左侧一点，其横坐标为，连结，以为边作矩形，其中点在直线上．过点作轴的垂线交矩形的边于点，过点作轴的垂线交矩形的边于点． (1)求的值和点的坐标； (2)当点落在轴上时； ①_____； ②求的值； (3)将分矩形所得到的三角形面积记为．将分矩形所得到的三角形面积记为．当，中一个是另一个9倍时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；再令抛物线，解方程即可得到点的坐标； （2）①由矩形的性质可得，即，当点落在轴上时，，即可解答；②由①知，即即两点重合，点在线段上，求出直线的解析式，得到，易证，利用正切的定义求出，，进而求出，即可解答； （3）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把顶点代入抛物线得：，解得：， ∴抛物线解析式为， 令，则，解得或， ∵在轴负半轴， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴点到点的水平距离等于点到点的水平距离， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴，即， ∵点落在轴上时， ∴， ∴； ②由①知，即， ∵， ∴两点重合，如图，则， ∴点在线段上， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当时，即点在轴左侧的抛物线上，分矩形所得到的三角形为，分矩形所得到的三角形为，如图，此时，， 同理（2）②得， ∵， ∴， ∴， ∵，中一个是另一个9倍， 当时，则， ∴， 过点作轴的平行线交过点作轴的平行线于点，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即点在轴右侧的抛物线上，分矩形所得到的三角形为，分矩形所得到的三角形为，如图，此时，， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵，中一个是另一个9倍， 当时，则， ∴， 过点作轴的平行线交过点作轴的平行线于点，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， 同理得， ∴， ∴，即， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，的值为或． 19．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，的值为______； (3)当时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质即可得出点的坐标； （2）根据轴对称图形的性质可得在对称轴上，即可求解； （3）先求得的中点的坐标，求得临界值，即重合时的值，根据得出点在点的下方，进而求得的范围； （4）先求得分别与重合时的的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线：，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：∵点和点关于对称轴对称，抛物线关于对称 若点也在对称轴上，则整个图形关于对称，交点和也关于对称，从而 ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴， 当重合时，， 解得： ∵ ∴点在点的下方，靠近的位置，即 ∴ （4）解：∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， 当与点重合时，则是的中点， ∴ 代入 ∴ 解得： 当与点重合时，则是的中点， 由（3）可得 解得： ∵线段与线段有公共点 ∴的取值范围为：或 20．（2026·吉林延边·一模）抛物线（b、c为常数）顶点M的坐标为，P、Q为抛物线上的两点，点P的坐标为，点Q的坐标为，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G． (1) ， ； (2)当点P与点Q重合时，求点P的坐标； (3)当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式； (4)矩形的顶点分别为， ①当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； ②当图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)①；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的解析式为，即可求解； （2）根据点与点重合，可求出，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得图象的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：①当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时；②当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，即可求解； （4）①根据矩形的性质得到，根据抛物线的性质得到抛物线的顶点为，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，求出极值点，根据极值点列不等式组求解即可； ②分两种情况，先求出m的取值范围，进而得到矩形与抛物线的位置关系，结合图象列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点与点重合， ∴， 解得：， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∵顶点在图象上， ∴图象的最低点的纵坐标为， 当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即， ∵， ∴， ∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ∴； 当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即， ∵， ∴， ∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为 ； （4）解：①∵，四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的解析式为， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方， 当时，解得， 当时，解得， ∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴ 解得：； ②当点P在点Q的左侧时，即，解得：， 此时，， ∴在y轴右侧， 设抛物线与y轴交于点E，E关于对称轴的对称点为F， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 根据对称性可得， 可知矩形不经过抛物线对称轴右侧的部分， ∵图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ∴， 解得：． 当点P在点Q的右侧时，即，解得：， 此时，， ∵， ∴矩形不经过抛物线对称轴左侧的部分，且F在上， ∵在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴不存在m，使图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， 综上所述，的取值范围为． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $