专题16 二次函数压轴题（5年汇编）（安徽专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦安徽中考二次函数压轴题，汇编2022-2026年5年真题及模拟题，精准覆盖考点与命题规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|真题5道（12-14分/道）、模拟18道|含函数解析式、顶点坐标、面积最值、等腰三角形存在性等，如2023年真题考查四边形面积探究|三问梯度设计，基础送分（求解析式）、中等综合（最值）、拔高探究（几何存在性），如2026年真题结合整数点个数考查分类讨论，2025年涉及参数定值创新设问|

专题16 二次函数压轴题 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数压轴题 2026 2025 2024 2023 2022连续五年作为试卷最后一道压轴大题，固定题号压轴位，分值稳定在 12～14 分 1. 题型结构：常规设置三小问梯度命题，第一问基础送分，考查求函数解析式、顶点坐标、与坐标轴交点；第二问中等难度，搭配最值求解、线段长度、面积最值、定点定值；第三问拔高压轴，结合几何图形（等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形、角度相等、存在性探究）综合求解 2. 命题特色：二次函数图像与平面几何深度融合，数形结合为核心解题思想；常考分类讨论思想，动点、动线、动图形存在性问题为高频压轴设问；极少单独纯代数运算，必须依托图像几何关系建立方程 / 不等式求解 3. 选材特点：以基础二次函数(y=ax²+bx+c)、顶点式、交点式切入，贴合安徽本地命题风格，计算量适中，侧重逻辑分析与几何建模，不刻意堆砌繁杂计算；近几年逐步侧重含参数二次函数定点、定直线类创新设问 4. 能力考查：重点检验分类讨论、数形结合、转化化归、方程思想四大数学核心思想，是整张试卷区分尖子生与中等生的关键题型 考点01二次函数压轴题 1．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 2．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 3．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 4．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 5．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点，，其中．下列结论中错误的是（     ） A． B．若关于的方程有实数根，则 C． D．不等式的解集是 2．（2026·安徽阜阳·三模）抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3．（2026·安徽滁州·三模）如图1，菱形中，，点为边上一动点，，与相交于点，连接．设，的面积为，且与的函数图象是如图2所示的抛物线的一部分．则下列结论中不正确的是（     ） A． B．当时， C．的最大值 D．当时，的面积为 二、填空题 4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线上两点 （1）若，则___________（填“”或“”） （2）若对于任意都有，则的取值范围是___________． 5．（2026·安徽阜阳·三模）已知抛物线，（a，b，c是实数，）． （1）若两个抛物线有交点，则该点的横坐标为______； （2）设函数的最大值为m，函数的最小值为n，若a与c互为相反数，则的值为______． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． 7．（2026·安徽合肥·三模）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“2倍点函数”，点为该函数图象上的一个“2倍点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“2倍点函数”，点为该函数图象上的一个“2倍点”． （1）因为点___________（填坐标）在一次函数的图像上，所以一次函数是“2倍点函数”； （2）在的范围内，若二次函数的图像上有2个“2倍点”，则c的取值范围是___________． 三、解答题 8．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值； ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，求． 9．（2026·安徽滁州·二模）二次函数的图象与轴交于点，，且． (1)当，且时． ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的值； (2)若，求，之间的数量关系． 10．（2026·安徽马鞍山·三模）已知二次函数（为常数）的图象分别记为，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3． (1)求的值． (2)若点在上，点在上． ①当时，求的最大值； ②当时，无论取任何实数，始终都有成立，求的值． 11．（2026·安徽滁州·三模）已知抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，点在抛物线上，且，，连接，轴． （ⅰ）是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若，求出关于的函数关系式，并求当时，点的坐标． 12．（2026·安徽六安·二模）已知抛物线的图象经过点， (1)求的值； (2)已知的最大值为．. ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 13．（2026·安徽阜阳·三模）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过坐标原点和点．点为该二次函数图象上的一点． (1)平面直角坐标系中有一点． （i）若，，求点B的坐标； （ii）若，，当的值随的增大而增大时，求的取值范围； (2)已知二次函数的最大值为．若为该二次函数图象上的另一点，且，，求证：． 14．（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 15．（2026·安徽芜湖·三模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（两点均不与原点重合）． ①若，且，比较、的大小； ②若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 16．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第二象限并且在点的上方，记，求的最大值． 17．（2026·安徽·二模）已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 18．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 19．（2026·安徽黄山·二模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式 (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，请判断新抛物线是否经过点，并说明理由． 20．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 21．（2026·安徽合肥·三模）综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，当高度的长为，求此时宽度的长． (3)若要求电子显示屏的宽度不小于，问：它的高度的最大高度是多少？ 22．（2026·安徽合肥·三模）二次函数，其中．该函数图象与轴交于点． (1)若，，求该函数图象的顶点坐标； (2)当，点在该函数图象，且，求整数的值； (3)已知，对于该函数图象的顶点满足，求的取值范围． 23．（2026·安徽安庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在此抛物线上，且横坐标为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)若点在轴下方，求的取值范围； (3)当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； (4)连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围是______． 24．（2026·安徽六安·二模）在2026年澳门国际乒联世界杯中的比赛中，中国运动员王楚钦通过顽强拼搏，最终获得男子单打冠军．王楚钦在一次击球过程中，将球从球台左上方的点A处将球击打出去，过A作，垂足为O，，，以O为原点，以直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．把乒乓球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知乒乓球台的长，球台正中间位置安装的球网的高度为0.15m． (1)求y关于x的函数表达式（不要求写自变量x的取值范围）； (2)球能否过球网？如果过球网的话，能否落在对方的乒乓球台上？如果能，求出落点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若乒乓球在对方台上的落点为D，落在点D后随即弹起，沿抛物线：的路线运动，对方球员拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），求的取值范围． 25．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值. 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二次函数压轴题 5年真题1年模拟 考点分类 安徽考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数压轴题 2026 2025 2024 2023 2022连续五年作为试卷最后一道压轴大题，固定题号压轴位，分值稳定在 12～14 分 1. 题型结构：常规设置三小问梯度命题，第一问基础送分，考查求函数解析式、顶点坐标、与坐标轴交点；第二问中等难度，搭配最值求解、线段长度、面积最值、定点定值；第三问拔高压轴，结合几何图形（等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形、角度相等、存在性探究）综合求解 2. 命题特色：二次函数图像与平面几何深度融合，数形结合为核心解题思想；常考分类讨论思想，动点、动线、动图形存在性问题为高频压轴设问；极少单独纯代数运算，必须依托图像几何关系建立方程 / 不等式求解 3. 选材特点：以基础二次函数(y=ax²+bx+c)、顶点式、交点式切入，贴合安徽本地命题风格，计算量适中，侧重逻辑分析与几何建模，不刻意堆砌繁杂计算；近几年逐步侧重含参数二次函数定点、定直线类创新设问 4. 能力考查：重点检验分类讨论、数形结合、转化化归、方程思想四大数学核心思想，是整张试卷区分尖子生与中等生的关键题型 考点01二次函数压轴题 1．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线． (1)求抛物线顶点的纵坐标； (2)点，，（）都在抛物线上． （i）求的值； （ⅱ）设为正整数，线段上横坐标为整数的点的个数为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）当时，；当时，． 理由如下：由（i）得，已知，显然成立， 令，解得， 也就是说，当时，恒成立， 故只用讨论的情形： 时，，故整数点只有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 时，，故整数点有， ，； 综上所述，当时，；当时，． 【知识点】求一元一次不等式的整数解、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）（i）根据点的纵坐标，令求出，即可求出 （ⅱ）根据（i）求出，那么不可能超过，令，可知时，恒成立，故只用对依次分类讨论即可． 【详解】（1）解：令，求得抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：（i）令，可得， 即， ， 故解得， ； （ⅱ）略 2．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【知识点】整式加减中的无关型问题、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 3．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 4．（2023·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（2） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， ∴； （2）（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 如图所示，依题意，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为， （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：，    当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）    综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 【答案】(1)y＝x2＋8 (2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积＋≤P1横坐标≤ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值； （ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围． 【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入， （－6）2a＋8＝2， 解得：a＝， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2＋8）， ∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26， ∵＜0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27， ∵－3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2＋8＝3， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤， 方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋， ∵－1＜0， ∴当n＝时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1＝，P2P3＝， 令x2＋8＝， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤． 【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键． 一、单选题 1．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点，，其中．下列结论中错误的是（     ） A． B．若关于的方程有实数根，则 C． D．不等式的解集是 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴性质、交点式、不等式变形逐一判断选项即可； 【详解】解：对于A选项，∵ 抛物线对称轴为，与轴交于， ∴ ，即 ，得； ∵ ， ∴ ，即，A正确； 对于B选项，原抛物线可写为，方程 即抛物线与直线 有交点； ∵ 抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴ ， ∵ ，不等式变形得 ，即 ，B正确； 对于C选项，由对称轴 得； ∵ 抛物线与轴有两个交点，顶点在轴下方， ∴时，；代入得 ，即 ； ∴ ，C错误； 对于D选项，整理不等式 ：移项得 ，即 ； ∵ 在抛物线上， ∴ ，两边除以得 ，即 ；代入得 ， ∵， ∴ 解集为，D正确； 2．（2026·安徽阜阳·三模）抛物线 与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线 的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据已知函数图象得到方程的两根为，，即可得到抛物线 的图象与轴交点横坐标为，，据此判断即可． 【详解】解：由图象可得抛物线 与直线交点的横坐标为，， 即方程的两根为，， 当时，整理得，此时方程的两根为，， ∴抛物线 的图象与轴交点横坐标为，， 各个选项中只有B选项符合题意． 3．（2026·安徽滁州·三模）如图1，菱形中，，点为边上一动点，，与相交于点，连接．设，的面积为，且与的函数图象是如图2所示的抛物线的一部分．则下列结论中不正确的是（     ） A． B．当时， C．的最大值 D．当时，的面积为 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、动点问题的函数图象、y=ax²+bx+c的最值、解直角三角形的相关计算 【分析】求出菱形的边长和与的函数函数关系，再逐项判定即可． 【详解】解：连接，作交的延长线于点， ∵菱形中，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 解得， 根据题意可得，， 当时，， 故选项B正确； 当时，，解得或， 由图象可知，， 故选项A正确； ∵，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值； 故C选项正确； 当时，, 作于点,则， ∴的面积为 故选项D错误，符合题意． 二、填空题 4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线上两点 （1）若，则___________（填“”或“”） （2）若对于任意都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据题意可得抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．要使恒成立，则的上界须小于等于的最小值，根据，可得的最小值是，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）在抛物线中，，， ∴对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵抛物线上两点，且， ∴； （2）由（1）得：对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的最大值须小于等于的最小值， ∵， ∴的最小值是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立， 解得，． 综上，t的取值范围是． 5．（2026·安徽阜阳·三模）已知抛物线，（a，b，c是实数，）． （1）若两个抛物线有交点，则该点的横坐标为______； （2）设函数的最大值为m，函数的最小值为n，若a与c互为相反数，则的值为______． 【答案】 0 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由两个抛物线有交点，得到，整理得，结合，得到； （2）根据最值得到，，即可得到，再由 a与c互为相反数，得到，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵两个抛物线有交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）∵函数的最大值为m， ∴，， ∵函数的最小值为n， ∴，， ∴． ∵a与c互为相反数， ∴， ∴． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图像开口向上，当时，的最大值是，则的值为________； （2）若对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，则的取值范围是________． 【答案】 3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，根据开口向上，确定给定区间内最大值的位置，代入列方程求解的值； （2）根据条件判断抛物线开口向下，找到关于对称轴的对称点，结合二次函数的性质列出不等式，求解的取值范围． 【详解】解：（1）对于二次函数，其图像的对称轴为直线， ∵图像开口向上， ∴， 又∵在中，距离对称轴更远， ∴函数在处取得最大值，将代入函数得， 由题意，解得； （2）∵二次函数的对称轴为直线， 又∵当，时，均满足， ∴抛物线开口向下，且与关于直线对称， 要满足条件，则有， 即，解得． 7．（2026·安徽合肥·三模）对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“2倍点函数”，点为该函数图象上的一个“2倍点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“2倍点函数”，点为该函数图象上的一个“2倍点”． （1）因为点___________（填坐标）在一次函数的图像上，所以一次函数是“2倍点函数”； （2）在的范围内，若二次函数的图像上有2个“2倍点”，则c的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据“2倍点”定义，设点坐标为，代入一次函数解析式求解即可得到坐标； （2）根据定义得到一元二次方程，转化为该方程在上有两个不同实根，结合根的范围求解的取值范围． 【详解】（1）设的“2倍点”为， 代入解析式得：， 解得， 则， ∴“2倍点”坐标为． （2）根据定义，二次函数上的“2倍点”满足函数， 联立 整理得， ∵在有两个“2倍点”， 即有两个不同实根， ∴， 解得， 设两根为，，， ∴，， ∴，， 即， ∴， 解得且， 即且 ∴， ∴的取值范围为． 三、解答题 8．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值； ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，求． 【答案】(1) 该抛物线的对称轴为 (2)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）根据抛物线对称轴直线的计算公式（a是抛物线一般式中二次项的系数，b是抛物线一般式中一次项的系数）求解即可； （2）①根据直线与抛物线交点，联立方程组求解即可；②根据题意由抛物线对称性得到，两点关于对称轴直线对称，得到，根据交点联立方程组得到，是方程的两个根，结合根与系数的关系列式求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的对称轴为直线． （2）①若，则， 为直线与抛物线的交点， ∴若，则的值为． ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， ∵直线与该抛物线相交于，两点， ，是方程的两个根， ， ， ， ． 9．（2026·安徽滁州·二模）二次函数的图象与轴交于点，，且． (1)当，且时． ①求，的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为8，求的值； (2)若，求，之间的数量关系． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）通过将已知交点坐标代入函数式，结合给定的系数关系式，联立方程组求解出二次函数的系数，是二次函数交点式与方程思想的直接应用； 利用二次函数的对称轴与单调性，对区间的位置进行分类讨论，分别求出不同情况下的最大值与最小值，再根据差为8列方程求解，体现了分类讨论与数形结合的思想； （2）利用根与系数的关系，将代入方程，通过消元法消去根，整理得到系数之间的数量关系，体现了方程消元与根的定义的综合应用． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， 故， 又， 可得，； ，抛物线开口向上，对称轴为． 情况1：若，当时，随的增大而减小． 故时，；时，． 则 ，，故无解，舍去．   情况2：若，当， 当时， ；时，， ，故舍去．   情况3：若时，当， 当时， ；时，． 则 ，解得（舍去），． 综上所述，的值为． （2）由题意， 是方程 的两根，且 ， 故：，即： ，得：， 故， ，得：， 故， 将 代入 ，得：， 因为 ，方程有两个不相等的实根， 故 ，两边同时除以 ：， 整理得：． 10．（2026·安徽马鞍山·三模）已知二次函数（为常数）的图象分别记为，的对称轴在的对称轴的右侧，且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3． (1)求的值． (2)若点在上，点在上． ①当时，求的最大值； ②当时，无论取任何实数，始终都有成立，求的值． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由两个二次函数图象的对称轴位置关系得，再利用它们顶点纵坐标差列方程求解即可； （2）①由（1）得，，当时，将两点代入函数解析式求出，则，即可求得最大值为； ②先由函数解析式求出，代入化简得，根据题意令含项系数为零，解得． 【详解】（1）解：二次函数（为常数）的图象分别记为， 的对称轴为直线，的对称轴为直线， 的对称轴在的对称轴的右侧， ，解得， 的顶点纵坐标为，的顶点纵坐标为， 且的顶点纵坐标比的顶点纵坐标小3， ，化简得 ， ． （2）解：①由（1）得，， 点在上， ． 点在上，且， ， 当时，取得最大值． ②由①得， 当时，， 由题意，对任意成立， 即，化简得， 上式对任意恒成立， 且，解得， 综上，． 11．（2026·安徽滁州·三模）已知抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线． (1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，点在抛物线上，且，，连接，轴． （ⅰ）是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若，求出关于的函数关系式，并求当时，点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，抛物线的表达式为 (2)（ⅰ）是定值；（ⅱ），点的坐标是或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后利用平移规律求出抛物线的表达式； （2）（ⅰ）方法一：将，分别代入抛物线和的表达式表示出，，然后根据轴得到，然后列式求解即可； 方法二：首先求出点关于直线的对称点为，然后根据平移的性质得到，然后求解即可； （ⅱ）将代入得到；然后令求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为； （2）解：（ⅰ）是定值． 如图， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵轴， ∴， ， 整理得， ，， ， ， ； （ⅱ）由得， ，即； 当时，， 解得，， ∴点的坐标是或． 12．（2026·安徽六安·二模）已知抛物线的图象经过点， (1)求的值； (2)已知的最大值为．. ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①； ②∵，为该二次函数图象上的不同两点，且， ∴，关于对称轴对称， ∴， 整理得， ∵， ∴． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由点，关于对称轴对称，得到，则． （2）①由可得，根据的最大值为，得到且，解得即可求出解析式； ②∵，为该二次函数图象上的不同两点，得到， ，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，， ∴点，关于对称轴对称， ∴对称轴：， ∴． （2）解：①由可得． ∴， ∵的最大值为， ∴且 解得或2（不合题意舍去）， ∴． ②略 13．（2026·安徽阜阳·三模）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过坐标原点和点．点为该二次函数图象上的一点． (1)平面直角坐标系中有一点． （i）若，，求点B的坐标； （ii）若，，当的值随的增大而增大时，求的取值范围； (2)已知二次函数的最大值为．若为该二次函数图象上的另一点，且，，求证：． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)证明：二次函数有最大值， ． 对于，顶点纵坐标为， 最大值为， ， 解得（舍去），， 此时二次函数解析式为， 二次函数图象的对称轴为直线， 点，均在抛物线上， ，点P和点Q关于对称轴对称， ，即， 将，代入等式右边， 得右边左边， ． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）（i）先代入写出抛物线解析式，再把代入求出，最后将、代入得到坐标； （ii）先把代入代数式，化简得到关于的二次函数；结合二次函数增减性（开口、对称轴），令在对称轴左侧，列不等式求解； （2）用二次函数顶点最大值条件验证解析式的顶点纵坐标，匹配题目最大值；由、纵坐标相等，利用抛物线对称性求出的关系；结合抛物线上点满足，先求出参数，整理等式完成证明． 【详解】（1）解：（i）二次函数的图象过原点， 代入得． 图象过点， 代入解析式得，化简得． 二次函数的解析式为． 点在抛物线上， ． 当时，二次函数解析式为，此时． ， 代入得，解得， ， ； （ii）， ， 令， ， ， 该二次函数图象开口向下，对称轴为直线， 在对称轴左侧（）时，函数值随的增大而增大． 在范围内h的值随的增大而增大， ，即， ， ； （2）略 14．（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 15．（2026·安徽芜湖·三模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点在抛物线上，点在抛物线上（两点均不与原点重合）． ①若，且，比较、的大小； ②若，且是一个与无关的定值，求a、b的值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①②， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用对称轴为直线，其中是抛物线与x轴的交点坐标； （2）①当时，确定抛物线的解析式为，利用作差的方法，求解即可； ②根据题意，得．抛物线解析式为，根据题意，得点在抛物线上，点在抛物线上，得，，化简得，继而得到，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线过原点和， 故对称轴为直线； （2）①解：当时，抛物线解析式为， 又都不经过原点，， ， ②解：抛物线经过点， 故， 解得． ， 根据题意，得点在抛物线上，点在抛物线上 ， 又， ， ， ， ， ， ， 是一个与无关的定值， ， 解得， 故． 16．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第二象限并且在点的上方，记，求的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由题意得，则，，令，解方程即可； （2）①根据直线经过点，得，进而求得点，点，根据点D向上平移2个单位就与点E重合，得，解方程即可； ②用关于k的代数式表示出l，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴， 当时，得：，即， 解得，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）， ∴，； （2）解：①∵直线经过点，将点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点， 把代入得：， ∴点， ∵点D向上平移2个单位就与点E重合， ∴， 解得或（，不合题意，舍去）， ∴； ②∵，，点E在点D的上方， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 解得， ∵与y轴交于点，即， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，l的最大值是． 17．（2026·安徽·二模）已知抛物线的对称轴在轴右侧，当时，的最小值为，最大值为． (1)求整数，的值； (2)在（1）的条件下，直线与抛物线在范围内有两个交点，点，均在抛物线上，在的左侧． ①求的取值范围； ②若，过点作轴，垂足为，交直线于点．设的面积为，的面积为，若，且，求的近似值． 【答案】(1)， (2)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据题意求得抛物线对称轴为，根据对称轴在轴右侧得出，分情况讨论，当对称轴在时，求得最小值和最大值，进而求得的值，当对称轴时，同理求得最值，根据是整数进行取舍，即可求解； （2）①联立直线与抛物线得出，根据题意得出且，，解不等式组，求得的范围，即可求解； ②分别表示出，，，将代入，进而根据建立方程， 解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， 对称轴为， 由对称轴在轴右侧得 ∴ ∵当时，的最小值为，最大值为 情形一：当对称轴在时，即， 又 ∴ ∴最小值为，即最小值在顶点处，得：，即① 最大值在或， 当时，， 代入①解得：，或，（舍去） 当时，， 代入①解得：（舍去）或（舍去） 情形二：当对称轴时，即 ∴， ∴最大值为时， 最小值为时， 解得：，不是整数， 综上所述，，； （2）解：①联立直线与抛物线 得 ∵直线与抛物线在范围内有两个交点， 设， ∴且， 解 ∴或 解得： 解得 综上所述： ②设的面积为，的面积为，， ∵在上， ∴，，， ∴，， 又∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴① ∵在的左侧 ∴，则 ∴ （i）当时， ∴ 当时， 解得：（舍去） （ii）当或时， ∴ 当时， 解得： 18．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； （2）①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 19．（2026·安徽黄山·二模）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式 (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，请判断新抛物线是否经过点，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)新抛物线不经过点； 理由：由（2）可知，当时，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴在上截取，过点作轴于点，则， 由（2）可知，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴平移后抛物线解析式为， 将代入得，， ∴新抛物线不经过点． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）把、代入抛物线得到方程组即可求解； （2）设，抛物线的表达式为，可得，则可得直线表达式为，由轴，交于点，可得，则，即可求解； （3）由（2）可知，，由题意可得平移后抛物线解析式为，代入进行计算，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设， ∵点是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∵抛物线的表达式为， 当时，， ∴， 设直线表达式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线表达式为， ∵轴，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． （3）略 20．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 21．（2026·安徽合肥·三模）综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 实验数据：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合实验数据，完成以下任务： (1)分别求出抛物线和的函数表达式； (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，当高度的长为，求此时宽度的长． (3)若要求电子显示屏的宽度不小于，问：它的高度的最大高度是多少？ 【答案】(1)的表达式为；的表达式为 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意可设，则，根据对称轴为直线，则的横坐标为，得出，，根据列出方程，解方程，即可求解； （3）由（2）可得，根据题意得出，，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 由对称性可得，抛物线的顶点为，即， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； 由对称性可得，抛物线的顶点为， 设表达式为：， 代入得，， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线：；抛物线： 由题意可设，则， ∵对称轴为直线，则的横坐标为 ∴， ∴ 当时 解得或（舍去） ∴， （3）解：由（2）可得 ∵，即 解得： ∵，，当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为： 22．（2026·安徽合肥·三模）二次函数，其中．该函数图象与轴交于点． (1)若，，求该函数图象的顶点坐标； (2)当，点在该函数图象，且，求整数的值； (3)已知，对于该函数图象的顶点满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）将，代入二次函数解析式，得，配方为顶点式，则可得到函数图象的顶点坐标； （2）由函数与y轴交点得，结合得；将代入函数得，由解得，结合得，故可求得整数s； （3）由得，写出顶点横坐标、纵坐标；由得，结合得，代入的表达式，得． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 其顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴， ∵， ∴， 把点代入， 得， ， 解得， ， ，故整数； （3）解：当时，， ，， ∵， ∴，即， ∵，且， ∴ ， ∴或 ∵， ∴， 当时，， ∴当时，． 23．（2026·安徽安庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在此抛物线上，且横坐标为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)若点在轴下方，求的取值范围； (3)当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； (4)连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)的值为或． (4)且 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、公式法解一元二次方程、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）把抛物线解析式配方，即可求出顶点坐标； （2）令，求出的值，得出，，根据点在轴下方即可求出的取值范围； （3）分和两种情况，根据最高点与最低点的纵坐标之差是，列方程求出的值即可得出答案； （4）分、、三种情况，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为． （2）解：∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵点在轴下方的抛物线上，横坐标为， ∴的取值范围为． （3）解：当时，最大值为，最小值为， ∵在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是， ∴， 解得：， 当时，最大值为，最小值为， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述：的值为或． （4）解：①如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意， ②如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意， ③如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而增大，不符合题意， ∵时，点与点、重合，不能构成矩形， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 24．（2026·安徽六安·二模）在2026年澳门国际乒联世界杯中的比赛中，中国运动员王楚钦通过顽强拼搏，最终获得男子单打冠军．王楚钦在一次击球过程中，将球从球台左上方的点A处将球击打出去，过A作，垂足为O，，，以O为原点，以直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．把乒乓球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式．已知乒乓球台的长，球台正中间位置安装的球网的高度为0.15m． (1)求y关于x的函数表达式（不要求写自变量x的取值范围）； (2)球能否过球网？如果过球网的话，能否落在对方的乒乓球台上？如果能，求出落点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若乒乓球在对方台上的落点为D，落在点D后随即弹起，沿抛物线：的路线运动，对方球员拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），求的取值范围． 【答案】(1) (2)能，能落在对方的乒乓球台上，落地点的坐标为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）把代入，然后即可求解与之间的函数关系式； （2）先求得，然后当时，，再根据与的函数关系式可求出落地点的坐标即可； （3）根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入得到，， 解得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， 当时，． ∵球台正中间位置安装的球网的高度为0.15m．， ∴球能过球网； 当时，即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∵， ∴能落在对方的乒乓球台上 ∴落地点的坐标为； （3）解：由（2）可得， ∵落在点D后随即弹起，沿抛物线：的路线运动， ， 解得． ∴乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：， 当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与x轴的右交点为点E）， 当时，即， ，． ． ， 如图，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，      在中，，， ，， 当时，即， 解得在上舍去），， 即， ． ． 25．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值． 【答案】(1) (2)24 (3) 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）将点代入求出a的值即可； （2）由旋转得点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，推出四边形为平行四边形，且．根据M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，推出m的值，进而得出四边形各顶点坐标，进而即可求解； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，根据y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，可得图象G一定包含抛物线的顶点部分，再根据最高点与最低点的纵坐标之差为8，求出最高点的纵坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q， ∴，． ∵将线段绕点O旋转得到线段， ∴点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，且． 又∵M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，且点N在y轴上， ∴点M在对称轴的右侧， ∴， 解得， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大， ∴图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，如图． 又∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8， ∴图象G的最高点的纵坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， 解得， ∵， ∴. 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $