重难点专训01 数列的单调性·周期性·最值性质及其应用（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦数列单调性、周期性、最值三大核心性质，构建“定义-方法-应用”三阶体系，通过分层训练培养数学思维与推理能力，实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|1模块|单调性（作差/商比较法、图象法）、周期性（递推观察法）、最值（函数法、不等式组法）|从性质定义出发，推导判断方法，形成“概念-方法-应用”逻辑链| |单调性问题|2典例+1变式|差比法为主，强调数列离散性，规避函数思维误区|结合等差/等比数列特性，训练参数分离与恒成立转化| |周期性问题|2典例+1变式|递推求项观察周期，利用周期余数定位|通过分式递推等模型，培养模式识别与验证能力| |最值问题|2典例+1变式|项最值（不等式组）、和最值（正负项分界）|关联函数性质与数列离散特征，强化临界值检验|

重难点专训01 数列的单调性·周期性·最值性质及其应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 单调性问题 2 题型2 周期性问题 3 题型3 最值问题 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有 (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列的单调性的判断方法 (1)作差比较法： 数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列. (2)作商比较法： ①当an>0时，数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列； ②当an<0时，数列{an}是递减数列；数列{an}是递增数列；数列{an}是常数列； (3)图象法： 结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，进而得出数列的单调性，即可得解. 3．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 4．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 结论：1．在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则. 题型通法及变式提升 题型1 单调性问题 【典例1-1】（2026·安徽合肥·三模）等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 数列单调性优先采用作差法，计算an+1−an，通过结果正负判断增减。正项数列可以选用作商法，对比比值和 1 的大小。切记数列是离散型，不能够直接照搬对应连续函数单调性。求数列最大、最小项，列相邻项的不等式组求解。等差、等比数列借助公差、公比直接判定。含参数数列，分离参数转化恒成立，留意自变量 n 取正整数。易错点：直接求导、忽略 n 只能取自然数。做完检验前几项，验证单调性是否成立，确认最值项数，规避函数思维带来的失误。 【典例1-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 题型2 周期性问题 【典例2-1】（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 求解周期数列，核心为递推式依次写出前若干项，观察重复项得到周期。求出周期之后，利用余数确定项的位置。看见an+m=an即可直接得到周期为m。含有分式递推的数列周期经常为 3、4。求和题型利用周期分组累加。数列属于离散模型，不可套用函数周期性质。易错点：仅凭借少数几项贸然判定周期，没有完整验证。含参数周期数列，依据周期建立等式求解参数。算出周期务必回代递推关系式核验，余数为零时对应周期末项，避免下标出错，从而拿到满分。 【典例2-2】（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【变式2-1】（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 题型3 最值问题 【典例3-1】（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 数列最值分为求数列项的最值以及前 n 项和最值。求项的最值，作差比较相邻两项，建立不等式组{an​≥an+1​an≥an−1求解。等差前 n 项和最值，观察公差正负，寻找正负项交界。不能直接对通项求导，数列是离散变量。含参最值转化成恒成立，分离参数。求出 n 之后必须取邻近正整数验算。易错点是直接借用连续函数极值，忽略 n 取正整数。算出候选值代入原式对比大小，选出最值，检验边界，防止因为取整失误丢分。 【典例3-2】（2025·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【变式3-1】（2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津武清·模拟预测）已知数列满足． (1)数列的前n项和为，且 （i）判断与的大小关系，并求的最大值和最小值； （ii）数列满足，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式； (2)已知数列是个连续正整数1，2，…，m的一个排列，且满足 ，若，求m的所有可能取值． 2．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 3．（2025·天津和平·一模）已知，记无穷数列的前项中的最大值为，最小值为，令. (1)若，求数列的通项公式与其前项和； (2)若数列为递增的等差数列，判断数列是否也一定为递增的等差数列，并说明理由； (3)若，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得为等差数列？如果存在，求出所有的值，如果不存在，请说明理由. 4．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 5．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 6．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 创新提升 1．（2026·河南·三模）已知等比数列的前n项和为，且，，若对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 2．（2026·辽宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，，，则使不等式成立的正整数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 数列的单调性·周期性·最值性质及其应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 单调性问题 2 题型2 周期性问题 4 题型3 最值问题 5 重难专题分层过关练 7 巩固过关 8 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有 (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列的单调性的判断方法 (1)作差比较法： 数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列. (2)作商比较法： ①当an>0时，数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列； ②当an<0时，数列{an}是递减数列；数列{an}是递增数列；数列{an}是常数列； (3)图象法： 结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，进而得出数列的单调性，即可得解. 3．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 4．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 结论：1．在数列{an}中，若an最大，则；若an最小，则. 题型通法及变式提升 题型1 单调性问题 【典例1-1】（2026·安徽合肥·三模）等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 数列单调性优先采用作差法，计算an+1−an，通过结果正负判断增减。正项数列可以选用作商法，对比比值和 1 的大小。切记数列是离散型，不能够直接照搬对应连续函数单调性。求数列最大、最小项，列相邻项的不等式组求解。等差、等比数列借助公差、公比直接判定。含参数数列，分离参数转化恒成立，留意自变量 n 取正整数。易错点：直接求导、忽略 n 只能取自然数。做完检验前几项，验证单调性是否成立，确认最值项数，规避函数思维带来的失误。 【典例1-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 【变式1-1】（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. 题型2 周期性问题 【典例2-1】（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 求解周期数列，核心为递推式依次写出前若干项，观察重复项得到周期。求出周期之后，利用余数确定项的位置。看见an+m=an即可直接得到周期为m。含有分式递推的数列周期经常为 3、4。求和题型利用周期分组累加。数列属于离散模型，不可套用函数周期性质。易错点：仅凭借少数几项贸然判定周期，没有完整验证。含参数周期数列，依据周期建立等式求解参数。算出周期务必回代递推关系式核验，余数为零时对应周期末项，避免下标出错，从而拿到满分。 【典例2-2】（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】，故， ，故，，，， ，……， 故当，为奇数时，，当，为偶数时，， 且当时，随着的增大，不减， 其中，， ， 所以使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为2026. 【变式2-1】（2025·天津南开·二模）若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 题型3 最值问题 【典例3-1】（2026·天津河西·一模）已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 数列最值分为求数列项的最值以及前 n 项和最值。求项的最值，作差比较相邻两项，建立不等式组{an​≥an+1​an≥an−1求解。等差前 n 项和最值，观察公差正负，寻找正负项交界。不能直接对通项求导，数列是离散变量。含参最值转化成恒成立，分离参数。求出 n 之后必须取邻近正整数验算。易错点是直接借用连续函数极值，忽略 n 取正整数。算出候选值代入原式对比大小，选出最值，检验边界，防止因为取整失误丢分。 【典例3-2】（2025·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【详解】令数列公差为，则，即，作差可得， 所以，则，故， 当得，当得，当得， 显然，当时，时，所以有最小值， 且，当或4时，有最大值. 故选：D 【变式3-1】（2026·天津和平·三模）已知个正数，，⋯，依次围成一个圆圈，其中，，，⋯，是公差为的等差数列，而，，，⋯，，是公比为的等比数列． (1)若，，，求数列，，⋯，的所有项的和； (2)若，，求的最大值； (3)当时，是否存在正整数，满足下式成立？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)的最大值为(3)存在时，等式成立 【详解】（1）由题意可得，，所以，又因为， 所以，，构成等比数列，所以， 所以数列，，⋯，为，，，，，，，，，共个数， 此时，. （2）由，，，⋯，是首项为，公差为的等差数列，故， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，故，因此， 所以，因此，要使最大，则最大，又，故的最大值为， 由，即，故的最大值为. （3）由，，，⋯，是公差为的等差数列，可得：， 而，，，⋯，，是公比为的等比数列，所以，故， 即，又，， 所以，即， 即，即，因此， 所以，所以； 代入验证可得：当时，上式等式成立，此时， 所以当且仅当时，存在满足等式. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津武清·模拟预测）已知数列满足． (1)数列的前n项和为，且 （i）判断与的大小关系，并求的最大值和最小值； （ii）数列满足，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式； (2)已知数列是个连续正整数1，2，…，m的一个排列，且满足 ，若，求m的所有可能取值． 【答案】(1)（i），的最大值为，最小值为； （ii）若， ，若，. (2)4 【详解】（1）当时，，即，解得， 当时，，与相减得， 即，又因为，所以， ，所以， 因为， 故的最大值为， 因为，所以，所以 ， 故的最小值为. （ii）是递增数列，， ， 又因为，所以， 所以； 是递减数列，， ， 又因为， 所以， 所以， 由得或， 当时，若， 由累加法得 ， 符合上式，所以， 当时，若， 由累加法得 时，所以. （2）当时，.所以，不符合题意. 当时，数列为，此时，符合题意. 当时，， 因为 在上单调递增，所以 ， 所以当时，, 故不存在满足题意. 综上所述，. 2．（2026·天津河西·一模）已知数列是等差数列，前n项和为，数列是递增等比数列，且，，． (1)求、的通项公式； (2)求； (3)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，求证：． 【答案】(1) ，(2) (3)由已知得， ，2，3，…， ，，不妨设， 首先证明取最大值时，，，，…，中不存在连续3项递增或递减： 假设，，，…，中存在连续3项递增或递减，即存在 使得或者，所以 此时 则将调换到之前 因此时，取最大值必有，，…， 此时 所以取最大值时， 并且， 此时 当时， 当时， 因为 所以． 综上． 【详解】（1）因为数列是等差数列，前n项和为，数列是等比数列 所以设公差为d，公比为q，因为，，． 所以，得或， 又因为数列是递增等比数列且 ，所以， 所以 ，． （2）因为 所以 设 所以 所以 （3）略 3．（2025·天津和平·一模）已知，记无穷数列的前项中的最大值为，最小值为，令. (1)若，求数列的通项公式与其前项和； (2)若数列为递增的等差数列，判断数列是否也一定为递增的等差数列，并说明理由； (3)若，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得为等差数列？如果存在，求出所有的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)数列为递增的等差数列，理由： 若为递增的等差数列，设其公差为，则， 所以，， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾，所以， 所以，是递增的数列.由， 所以，是公差为的等差数列，因此数列为递增的等差数列. (3)存在， 【详解】（1）由，即，当时，，当时， 为偶数，， 为奇数，且， 故 当时，， 当时，， 所以， （2）略 （3）若，由（2）可知也为等差数列，且公差为， ，， ， ， ，所以. 若存在正整数，使得成等差数列，即， ，即①， 令，，所以单调递减，， 所以若①式成立，则，所以， 类似的单调性，可得是单调减函数， 由于， 所以上面关于的方程存在唯一解. 因此存在唯一一组正整数，使得为等差数列. 4．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 【答案】(1)； (2)（i）5； （ii）证明：由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为5． （ii）略 5．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，(2)(3)最大值为1，最小值为 【详解】（1）当数列为等差数列时，设其公差为， 由题意得，所以， 所以， . （2）若数列为等差数列，由（1）知，显然在不单调； 故数列为等比数列，设公比为，则，解得或， 当 ， 时，，，易知在单调递增； 当 ， 时，，，易知在不单调， 所以， 由， 可得. （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，故当时取得最大值1，且， 当为偶数时，单调递增，当时取得最小值，且， 所以的最大值为1，最小值为. 6．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，；(2)8；(3) 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 创新提升 1．（2026·河南·三模）已知等比数列的前n项和为，且，，若对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由题意，解得. . 当为偶数时，，，此时随着的增大而增大，且，，此时. 当为奇数时，，则，此时随着的增大而减小，且，，. 综上，的取值范围是. 对任意的恒成立，即恒成立. 令，，，在和分别单调递增. ，即. 2．（2026·辽宁·三模）已知数列的前项和为，且满足，，，则使不等式成立的正整数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意，， 在数列中，，，， ∴数列为等比数列，公比， ∴， ，， ∴， ∵， ∴，即为奇数，即为偶数， 此时， ∴， ∵，， ∴，即. 3．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 又，所以的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $