重难点专训01 函数性质的巧妙运用（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦函数性质综合应用，构建“方法提炼-题型通法-分层过关”三阶体系，强化抽象能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|3类核心方法|奇偶性判断与应用、对称性周期性联动推导、抽象函数赋值代换|从基础性质到综合应用，形成递进式知识链| |题型通法及变式提升|3题型（各2典例+2变式）|题型1：奇偶性化简求值；题型2：对称周期迭代推导；题型3：抽象函数性质迁移|题型与方法一一对应，覆盖高考核心考法| |重难专题分层过关练|20题（巩固10+创新10）|分层突破求值、零点、不等式等高频题型|从基础巩固到创新提升，适配一轮复习需求|

重难点专训01 函数性质的巧妙运用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 函数的奇偶性的综合应用 3 题型2 对称性与周期性的综合应用 6 题型3 抽象函数的性质及其应用 9 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 17 解题方法及技巧提炼 函数奇偶性、对称性与周期性是天津高考函数核心高频考点，常结合抽象函数综合考查，是选择填空压轴、导数大题铺垫的关键内容。奇偶性为基础性质，奇函数关于原点对称、偶函数关于 y 轴对称，可简化求值、化简不等式问题。 高考重难点为性质联动推导，函数轴对称、中心对称条件可迭代推出周期，是解题核心技巧。掌握常见推论：双轴对称、双中心对称、一轴一对称均可得出函数周期，实现快速解题。 抽象函数无具体解析式，依托赋值法、性质代换解题，侧重考查逻辑推理。天津高考常巧妙结合三类性质综合命题，利用奇偶性简化式子，借助对称性找等量关系，通过周期性转化自变量区间，将复杂陌生函数问题转化为熟悉区间问题，高效破解求值、比较大小、零点个数等高频题型。 Ⅰ：函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． (5)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. Ⅱ：函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. Ⅲ：抽象函数的解题策略 1.抽象函数无具体解析式，是天津高考高频难点，核心解题策略为 “赋值探性、代换转化、利用性质迁移”。解题首要方法是赋值法，通过代入 0、1、-x、x+y、x-y 等特殊值，快速推导函数的奇偶性、单调性、特殊函数值，破解基础求值、判断正误类题型。 2.其次运用结构代换法，对题干恒等式进行变量替换，结合奇偶性、对称性推导周期与单调规律，这是解决周期迭代、区间转化题型的关键技巧。解题需遵循 “先定性、后定量” 原则，优先判断函数核心性质，再转化自变量范围。 3.同时可依托模型猜想法，匹配一次、指数、对数等常见具体函数模型辅助解题，降低抽象难度。整体解题逻辑为：以赋值破题、以代换寻规律、以性质解题，规避盲目运算，高效解决抽象函数求值、比大小、解不等式、判断周期零点等高考核心题型。 题型通法及变式提升 题型1 函数的奇偶性的综合应用 【典例1-1】（2026·天津河西·一模）若函数有6个零点，则a的取值范围为_____． 【答案】 【详解】若，则，与已知矛盾， 若，则，此时函数的定义域为，且， 与条件函数有6个零点矛盾， 若，有意义可得，化简可得， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数是偶函数，故函数的零点关于原点对称， 因为函数有6个零点，故不能为函数的零点， 令，由函数有6个零点可得方程在上有个根， 令，则，， 所以在上有个根， 即在上有个根， 所以方程在上有个根， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不等的实根，设其根为，， 则，故， 故方程在至多有个根， 结合条件在上有个根可得， 方程在有个不相等的实根， 方程在有个根， 由方程在有个不相等的实根 可得，解得， 由方程在有个根可得，解得， 所以的取值范围为. 奇偶性是天津高考函数基础核心考点，常融合单调性、对称性、周期性综合出题。奇函数满足(f(-x)=-f(x))且(f(0)=0\)，偶函数满足(f(-x)=f(x))，可快速化简自变量符号、简化求值。考题多结合分段函数、抽象函数、导数出现，利用奇偶性统一自变量正负区间，搭配单调性比较函数值大小、求解不等式。奇偶性还可配合对称推导周期，解决零点计数问题。解题先判断定义域对称性，再套用奇偶关系式转化式子，大幅减少计算量，是选择填空提速关键技巧。 【典例1-2】（2026·天津河东·一模）已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【详解】①设二次函数，则 又为偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即 化简得，即， 又，所以，所以 又，所以，解得 所以，， ②令，， 则可化为： ， ， 两边除以得 令，则，设， 对称轴为，，故最大值为 若， 恒成立，则，故的取值范围是 【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可． 【详解】由，， 可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D， 当时，可得，可排除选项B， 所以该函数的图象大致为选项A． 【变式1-2】（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 对B：的定义域为，不符，故B错误； 对C：时，，不符，故C错误； 对D：时，，不符，故D错误； 对A：时，，定义域为， 且， 故该函数为奇函数，符合题意，故A正确. 题型2 对称性与周期性的综合应用 【典例2-1】（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解：，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 函数轴对称、中心对称可互相推导周期，是天津高考选填压轴高频考点。核心技巧：两条对称轴、两个对称中心、一轴一中心共存时，均可算出周期。解题先从题干提取对称等式，通过变量代换迭代推导周期；再结合奇偶性转换自变量，把远距离自变量平移至已知区间。常考零点、求值、比大小题型，无需图像，仅靠代数代换转化范围。 【典例2-2】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】， 则，定义域为， 所以的图像关于直线对称，所以， 显然为函数的一个零点， 故有2个不相等的根，且都不等于， 所以，解得， 所以，所以的取值范围是. 【变式2-1】（2026·广东茂名·一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】易知，因此1是函数的一个零点， 当时，令，可得； 令， 显然此时； 所以函数关于对称， 若要函数有3个零点， 则须满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于对称， 又，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为. 故答案为：. 【变式2-2】（2026·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则______. 【答案】 【详解】由得， 由得， 令得， 因为的图象关于直线对称，所以， 由得， 由得， 则，， 所以，为周期为4 的周期函数，， 在中，令得，则， 在中，令得，则， 令得，则，， . 故答案为：. 题型3 抽象函数的性质及其应用 【典例3-1】（2026·天津·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 抽象函数无具体解析式，核心解题手段为赋值法，代入 0、-x、x+y 等特殊值快速推出奇偶性、特殊函数值。借助变量代换，结合对称、奇偶推导周期；匹配一次、对数、指数等模型辅助预判函数特征。解题遵循先定性质再处理区间，利用单调性脱去函数符号解不等式。考题常融合对称周期综合设问，切忌直接臆造函数，推导步步严谨，合理转化自变量范围，高效处理求值、零点、大小比较类题型。 【典例3-2】（2026·天津·二模）已知定义域为的函数，满足，且，若当时，，则当函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_____. 【答案】 【详解】由题意得函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 则该函数关于原点对称，且， 又因为，所以函数的对称轴为， ， 所以该函数的周期为，画出函数图象如下图所示： 令，则问题转化为在区间直线与的交点个数最多， 由数形结合思想可知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 所以当时，在区间直线与函数图象的交点个数最多，共个， 它们分别是， 它们的和为. 所有零点之和为. 故答案为： 【变式3-1】（2026·天津和平·二模）函数满足，且当时，，则函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【详解】由于，所以函数为周期函数，且周期为2. 令，则， 对任意的，， 所以函数关于点中心对称. 设，则， 所以，函数关于点中心对称. 画出函数与函数的图象如下图所示，    由图可知，函数与函数的图象有四个交点， 不妨设这四个交点分别为， 设，由图可知，点与点关于点对称， 点与点关于点对称， 所以. 同理可知，函数与函数的图象也有四个交点， 设这四个交点分别为，由两函数周期都为2，两函数关于点对称，故这四个点关于点对称， 可得， 所以函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和为：. 故选：D. 【变式3-2】（2026·天津·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．函数有11个零点 【答案】C 【详解】因为为奇函数， 所以关于点对称，即， 因为为偶函数， 所以关于直线对称，即， 所以， 所以， 所以， 可得到周期为8， 对于A选项：因为，所以， 所以，故选项A正确； 对于B选项：因为关于直线对称，周期为8， 所以关于直线对称， 所以为偶函数，故B正确； 对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误； 对于D选项：画出函数与图象， 可知这两个图象只有11个交点， 所以函数有11个零点，故D选项正确． 故选：C． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 2．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法可得正确选项. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 因为定义域为，不符合题意，故排除B选项； 因为， 所以是偶函数，不符合题意，故排除C选项； 因为，故不符合题意，故排除D选项； 因为，， 所以定义域为，为奇函数，且， 故的解析式可能为，A符合题意. 3．（2026·天津·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 4．（2026·天津·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 5．（2026·天津·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 7．（2026·天津·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 9．（2026·天津·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 10．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 创新提升 1．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 2．（2026·天津·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 3．（2026·天津·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知定义在R上的奇函数满足，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由定义在R上的奇函数满足，设, 所以，， 则， 所以,故关于对称, 由于为奇函数，也是定义在R上的奇函数， 所以为定义在R上的奇函数，所以, 所以的周期为， 由于，解得：, 且， 所以,故A正确，B错误； ，故C，D错误. 5．（2026·天津·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由得. 又因，则有， 即，故函数的图象关于直线对称. 又是偶函数，其图象关于直线对称. 故的一个周期为. 由得. 在中令，得. 由得. 因此. 6．（2026·天津·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 7．（2026·天津·模拟预测）已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 【答案】A 【详解】由函数是奇函数，得， 即① 由是偶函数，得② 由，得③ ∴，. 代入②，得④ 由①得⑤ 由④⑤得⑥ 即⑦ 由⑦得， 所以以4为周期. 因为，所以， 由⑤得， 又，∴. 由⑦得， ,， 所以， . 8．（2026·天津·三模）已知函数， 点为直线与图象的两个不同交点，且 为坐标原点，则面积的最大值为______． 【答案】 【详解】由题意得：，令，解得或， 由，得或，由，得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以， 又 ， 所以关于点中心对称，又直线也关于对称， 所以交点关于点中心对称， 所以，且， 所以. 9．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【详解】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 10．（2026·天津·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 【答案】/ 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，， 替换得①， 由已知，整理得：②， 联立①②得，替换得， 进一步推导得： ， 即是周期为的周期函数. 故. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 函数性质的巧妙运用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 函数的奇偶性的综合应用 3 题型2 对称性与周期性的综合应用 4 题型3 抽象函数的性质及其应用 4 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 7 解题方法及技巧提炼 函数奇偶性、对称性与周期性是天津高考函数核心高频考点，常结合抽象函数综合考查，是选择填空压轴、导数大题铺垫的关键内容。奇偶性为基础性质，奇函数关于原点对称、偶函数关于 y 轴对称，可简化求值、化简不等式问题。 高考重难点为性质联动推导，函数轴对称、中心对称条件可迭代推出周期，是解题核心技巧。掌握常见推论：双轴对称、双中心对称、一轴一对称均可得出函数周期，实现快速解题。 抽象函数无具体解析式，依托赋值法、性质代换解题，侧重考查逻辑推理。天津高考常巧妙结合三类性质综合命题，利用奇偶性简化式子，借助对称性找等量关系，通过周期性转化自变量区间，将复杂陌生函数问题转化为熟悉区间问题，高效破解求值、比较大小、零点个数等高频题型。 Ⅰ：函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． (5)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. Ⅱ：函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. Ⅲ：抽象函数的解题策略 1.抽象函数无具体解析式，是天津高考高频难点，核心解题策略为 “赋值探性、代换转化、利用性质迁移”。解题首要方法是赋值法，通过代入 0、1、-x、x+y、x-y 等特殊值，快速推导函数的奇偶性、单调性、特殊函数值，破解基础求值、判断正误类题型。 2.其次运用结构代换法，对题干恒等式进行变量替换，结合奇偶性、对称性推导周期与单调规律，这是解决周期迭代、区间转化题型的关键技巧。解题需遵循 “先定性、后定量” 原则，优先判断函数核心性质，再转化自变量范围。 3.同时可依托模型猜想法，匹配一次、指数、对数等常见具体函数模型辅助解题，降低抽象难度。整体解题逻辑为：以赋值破题、以代换寻规律、以性质解题，规避盲目运算，高效解决抽象函数求值、比大小、解不等式、判断周期零点等高考核心题型。 题型通法及变式提升 题型1 函数的奇偶性的综合应用 【典例1-1】（2026·天津河西·一模）若函数有6个零点，则a的取值范围为_____． 奇偶性是天津高考函数基础核心考点，常融合单调性、对称性、周期性综合出题。奇函数满足(f(-x)=-f(x))且(f(0)=0\)，偶函数满足(f(-x)=f(x))，可快速化简自变量符号、简化求值。考题多结合分段函数、抽象函数、导数出现，利用奇偶性统一自变量正负区间，搭配单调性比较函数值大小、求解不等式。奇偶性还可配合对称推导周期，解决零点计数问题。解题先判断定义域对称性，再套用奇偶关系式转化式子，大幅减少计算量，是选择填空提速关键技巧。 【典例1-2】（2026·天津河东·一模）已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）函数，的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型2 对称性与周期性的综合应用 【典例2-1】（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 函数轴对称、中心对称可互相推导周期，是天津高考选填压轴高频考点。核心技巧：两条对称轴、两个对称中心、一轴一中心共存时，均可算出周期。解题先从题干提取对称等式，通过变量代换迭代推导周期；再结合奇偶性转换自变量，把远距离自变量平移至已知区间。常考零点、求值、比大小题型，无需图像，仅靠代数代换转化范围。 【典例2-2】（2026·天津武清·模拟预测）已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 【变式2-1】（2026·广东茂名·一模）已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 【变式2-2】（2026·天津河西·模拟预测）已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则______. 题型3 抽象函数的性质及其应用 【典例3-1】（2026·天津·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 抽象函数无具体解析式，核心解题手段为赋值法，代入 0、-x、x+y 等特殊值快速推出奇偶性、特殊函数值。借助变量代换，结合对称、奇偶推导周期；匹配一次、对数、指数等模型辅助预判函数特征。解题遵循先定性质再处理区间，利用单调性脱去函数符号解不等式。考题常融合对称周期综合设问，切忌直接臆造函数，推导步步严谨，合理转化自变量范围，高效处理求值、零点、大小比较类题型。 【典例3-2】（2026·天津·二模）已知定义域为的函数，满足，且，若当时，，则当函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_____. 【变式3-1】（2026·天津和平·二模）函数满足，且当时，，则函数与函数的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式3-2】（2026·天津·一模）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．函数有11个零点 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·二模）函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 4．（2026·天津·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 6．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 8．（2026·天津·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·天津·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 创新提升 1．（2026·北京·三模）已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知定义在R上的奇函数满足，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·三模）已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2026·天津·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津·模拟预测）已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 8．（2026·天津·三模）已知函数， 点为直线与图象的两个不同交点，且 为坐标原点，则面积的最大值为______． 9．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 10．（2026·天津·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $