第03讲 函数与方程（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程专题，围绕零点存在性定理、零点个数判断、嵌套函数零点等天津卷核心考点，通过知识解构（3大知识点）与题型破译（7类题型）构建系统框架，结合考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破分段函数、复合函数零点难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层突破策略，基础演练夯实零点定义与定理应用，重难创新演练聚焦嵌套函数换元法（如设t=f(x)拆解复合函数零点），培养学生数学思维与数形结合能力。通过真题溯源与课本典例衔接，确保考点覆盖全面，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第03讲 函数与方程 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 知识点2 函数的零点个数和求参问题 知识点3 嵌套函数的零点问题 题型破译 题型1 求函数的零点或零点所在区间 【方法技巧】求函数的零点或零点所在区间 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 【方法技巧】利用函数的零点确定参数的取值范围 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 【方法技巧】方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型4 嵌套函数的零点问题 题型5 分段函数的零点问题 【方法技巧】分段函数的零点问题 题型6 求零点的和 题型7 用二分法求方程的近似解 【方法技巧】用二分法求方程的近似解 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的零点与零点存在性定理 天津卷 T10（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T4（5 分） 函数零点个数的判断 天津卷 T8（5 分 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T9（5 分） 嵌套 / 复合函数的零点问题 天津卷 T14（5 分） 天津卷 T14（5 分） 天津卷 T14（5 分） 考情分析 高考中函数与方程专题为天津卷必考重点内容，核心考查函数的零点问题，题型覆盖单选、填空，常固定 1-2 道题，单题分值 5 分，总分值 5-10 分，整体难度梯度分明。近三年考情显示：基础题多考查零点存在性定理、简单函数零点个数判断，常结合分段函数、基本初等函数命题；压轴题以嵌套 / 复合函数零点问题为主，侧重数形结合与分类讨论，区分度较高，是考生拉开分差的关键考点。 复习目标 1.理解函数零点的概念，掌握零点存在性定理的条件与应用，能判断简单函数的零点所在区间； 2.掌握函数零点个数的判断方法，会结合函数的单调性、奇偶性、图像变换分析零点个数，能解决分段函数、绝对值函数的零点问题； 3.熟练处理嵌套 / 复合函数的零点问题，掌握换元法、数形结合法，能将复合函数零点问题转化为内层函数与外层函数的交点问题，求解参数范围； 4.能结合函数与方程的思想，将方程解的问题转化为函数图像交点问题，解决含参函数的零点综合问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数__________：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)__________：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 必记结论 ①如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 自主检测（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)__________：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)__________：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)__________：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)__________：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①__________：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②__________：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③__________：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 必记结论 1.零点个数判断：将方程转化为f(x)=g(x)，画出两函数图像，结合单调性、极值、奇偶性分析交点数；对分段函数，分区间讨论各段零点情况，再汇总。 2.含参零点求参：优先用分离参数法，转化为a=h(x)，求h(x)值域 / 最值；无法分离时，分类讨论参数对函数单调性、极值的影响，结合零点存在性定理列不等式求解。 3.复合 / 嵌套函数零点：用换元法，设t=f(x)，先解外层t的解，再转化为内层f(x)=t的解的个数问题，分步处理。 自主检测设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 知识点3 嵌套函数的零点问题 嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“__________”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 自主检测已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 求函数的零点或零点所在区间 例1-1（2026·天津·阶段检测）对于函数、，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则、称为亲密函数.现在，互为亲密函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 例1-2已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 方法技巧 求函数的零点或零点所在区间 判断求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练1-1】已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 例2-1已知函数． (1)若，，求的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围． 例2-2设函数，若是函数的一个零点，则实数______． 方法技巧 利用函数的零点确定参数的取值范围 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【变式训练2-1】若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则__________﹔函数的零点个数__________． 【变式训练2-2】已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（），都有，若函数有且仅有五个零点，则的取值范围__________. 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 例3-1（2025·天津·模拟预测）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 例3-2已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 例3-3（2026·天津河西·开学考试）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是__________. 方法技巧 方程根的个数与函数零点的存在性问题 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 【变式训练3-1】已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【变式训练3-2】已知函数，. (1)当时，求在区间内的零点个数； (2)若在区间内恰有5个零点，求实数a的取值范围. 题型4 嵌套函数的零点问题 例4-1已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 例4-2已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（    ） A． B．0 C．7 D．6 方法技巧 嵌套函数的零点问题 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题． 【变式训练4-1】已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练4-2】函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练4-3】已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 题型5 分段函数的零点问题 例5-1（2026·天津·模拟预测）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为______． 例5-2（2026·天津·阶段检测）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 方法技巧 分段函数的零点问题 分段函数零点核心思路是分段讨论、分段求解，先按定义域划分各段解析式，分别令每一段函数等于零，结合本段自变量取值范围筛选有效解，合并后得到全部零点。基础题型多为两段一次、二次函数组合，只需解方程再验证区间；中档题融入绝对值、指数对数分段，求解时要兼顾函数定义域与单调性，利用零点存在定理辅助判断零点是否存在。含参分段零点是天津高频题型，参数会改变函数单调性、极值，需分类讨论参数范围，结合图像交点、端点函数值符号列不等式，确定参数取值。复合嵌套类分段零点需先换元分层拆解，逐层分析内层、外层零点数量。解题易错点集中在忽略分段区间限制、漏检验解、端点临界值判断失误，做题需严格分段、逐段验算，结合数形结合直观判断零点个数，规避区间陷阱。 【变式训练5-1】已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【变式训练5-3】已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6 求零点的和 例6-1已知分别是函数，的零点，则的值为________. 例6-2已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________． 方法技巧 求零点的和 分段函数零点求和核心依靠函数对称性简化计算，先分段求出各段零点，再利用奇偶、轴对称、中心对称快速求和。若分段函数关于直线(x=a)对称，成对零点之和为2a；若为奇函数，对称零点互为相反数，相加抵消。解题先拆分每一段定义域，分别解方程得到零点，剔除超出区间的无效根，再分组配对。遇到含参分段零点，先借助图像确定零点分布规律，避免逐个解方程。易错点是忽略分段区间，误纳入不在定义域内的根，或是漏看单个对称中心零点。优先用对称性质代替硬算，大幅减少计算量，是天津选择填空快速解题的核心方法。 【变式训练6-1】已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是_____________. 【变式训练6-2】已知定义在R上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式训练6-3】（2026·天津和平·阶段检测）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 用二分法求方程的近似解 例7-1设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 例7-2下列函数中，不能用二分法求零点的是（     ） A． B． C． D． 方法技巧 用二分法求方程的近似解 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【变式训练7-1】已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为__________． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 5．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．若，则函数的两个零点分别位于区间 A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 3．函数的零点个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 5．设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________. 6．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是___________. 7．函数的零点是___________. 8．若方程的解在区间（）内，则k的值是___________. 9．设函数，其中，，.若无零点，则的取值范围是___________. 10．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号） 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考模拟基础演练，侧重考查零点基础概念与常规题型。重点考查零点定义、零点存在性定理的直接应用，以单一函数、简单分段函数为主，判断零点所在区间、基础零点个数。含参问题以简单参数求解为主，题型常规、思路直白，多运用数形结合、基础分离参数法。题目难度偏低，不涉及复杂嵌套函数与多段分类讨论，注重公式、定理的理解与基本作图、运算能力。命题贴合教材基础考法，题型稳定，以选择、填空基础题为主，是必须稳拿的基础分值，重在夯实解题基本思路。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 3．给出下列命题，其中正确命题的个数是（   ） ①函数的零点是和； ②若正数，满足，则的最小值为； ③不等式的解集是； ④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 4．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 6．已知函数，若，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 8．下列选项中错误的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若是奇函数，当时，，则时， D．若函数在上只有一个零点，则实数的范围为 9．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 重难·创新演练 设题创新:命题创新集中三方面。一是函数载体创新，大量嵌套复合函数、多分段绝对值函数、指对混合函数，结构复杂无法直接画图；二是设问形式创新，结合零点个数、恒成立、存在性综合设问，多参数同步约束，不再是单一求参；三是解题逻辑创新，单纯分离参数难以求解，需多层换元、多次分类讨论，搭配极值零点临界数形分析。题目暗藏定义域、边界值陷阱，侧重综合逻辑推导，区分度强，重点考查知识迁移与分步拆解复杂问题的能力。 1．设函数，则（    ） A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间上有零点，在内无零点 D．在区间上无零点，在内有零点 2．已知函数，若函数的图像与的图像有3个不同的交点，则实数的取值范围为__________. 3．已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________． 4．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数的图象上存在两点A，B关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”若恰好有两个“基点对”，则实数a的取值范围是_____. 8．设函数，函数，若存在唯一的，使得的最小值为，则实数a的取值范围为_________． 9．设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 10．已知，若方程有四个不同的解，且， 则的最大值是__________． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 函数与方程 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 知识点2 函数的零点个数和求参问题 知识点3 嵌套函数的零点问题 题型破译 题型1 求函数的零点或零点所在区间 【方法技巧】求函数的零点或零点所在区间 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 【方法技巧】利用函数的零点确定参数的取值范围 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 【方法技巧】方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型4 嵌套函数的零点问题 题型5 分段函数的零点问题 【方法技巧】分段函数的零点问题 题型6 求零点的和 题型7 用二分法求方程的近似解 【方法技巧】用二分法求方程的近似解 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数的零点与零点存在性定理 天津卷 T10（5 分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T4（5 分） 函数零点个数的判断 天津卷 T8（5 分 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T9（5 分） 嵌套 / 复合函数的零点问题 天津卷 T14（5 分） 天津卷 T14（5 分） 天津卷 T14（5 分） 考情分析 高考中函数与方程专题为天津卷必考重点内容，核心考查函数的零点问题，题型覆盖单选、填空，常固定 1-2 道题，单题分值 5 分，总分值 5-10 分，整体难度梯度分明。近三年考情显示：基础题多考查零点存在性定理、简单函数零点个数判断，常结合分段函数、基本初等函数命题；压轴题以嵌套 / 复合函数零点问题为主，侧重数形结合与分类讨论，区分度较高，是考生拉开分差的关键考点。 复习目标 1.理解函数零点的概念，掌握零点存在性定理的条件与应用，能判断简单函数的零点所在区间； 2.掌握函数零点个数的判断方法，会结合函数的单调性、奇偶性、图像变换分析零点个数，能解决分段函数、绝对值函数的零点问题； 3.熟练处理嵌套 / 复合函数的零点问题，掌握换元法、数形结合法，能将复合函数零点问题转化为内层函数与外层函数的交点问题，求解参数范围； 4.能结合函数与方程的思想，将方程解的问题转化为函数图像交点问题，解决含参函数的零点综合问题。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 确定函数零点所在区间的方法 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 必记结论 ①如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 自主检测（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 知识点2 函数的零点个数和求参问题 1．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 2．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 必记结论 1.零点个数判断：将方程转化为f(x)=g(x)，画出两函数图像，结合单调性、极值、奇偶性分析交点数；对分段函数，分区间讨论各段零点情况，再汇总。 2.含参零点求参：优先用分离参数法，转化为a=h(x)，求h(x)值域 / 最值；无法分离时，分类讨论参数对函数单调性、极值的影响，结合零点存在性定理列不等式求解。 3.复合 / 嵌套函数零点：用换元法，设t=f(x)，先解外层t的解，再转化为内层f(x)=t的解的个数问题，分步处理。 自主检测设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 1 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，的范围是. 知识点3 嵌套函数的零点问题 嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 自主检测已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 题●型●破●译 题型1 求函数的零点或零点所在区间 例1-1（2026·天津·阶段检测）对于函数、，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则、称为亲密函数.现在，互为亲密函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导可得， 因为，所以是增函数，在上至多只有一个零点， ，即的唯一零点为， 由题意，即，化简得， 即函数在区间上存在零点. 函数， 令，由可得， 由，可得，即在上有解， 设函数，则， 令，可得，当时，，当时，， 即在上是增函数，在上是减函数， 则，又因，， 所以在的值域为， 故的取值范围为. 例1-2已知函数，有下列说法 ①的递增区间是和； ②有三个零点； ③不等式的解集为； ④关于的不等式恒成立，则的最大值为1. 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】对于①，当时，，可得， 令，即，可得，所以在上单调递增； 令，即，可得，所以在上单调递减， 当时，，可得， 令，即，可得，所以在上单调递增； 令，即，可得，所以在上单调递减， 所以的递增区间是和，所以①正确； 对于②，当时，令，即，解得； 当时，令，即，解得， 所以函数仅有两个零点和，所以②不正确； 对于③，由①知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上可得，在上恒成立，所以的解集为，所以③正确； 对于④，当时，由，可得，即， 令，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，所以； 当时，，由①知在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 且，当趋向负无穷时，趋近于0，且，画出函数的图象，如图所示， 又由直线恒过定点，要使得不等式恒成立，则， 综上可得，不等式恒成立，则满足， 所以的最大值为，所以④正确， 方法技巧 求函数的零点或零点所在区间 判断求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练1-1】已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图：    由图可知，； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 【变式训练1-2】设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，设的图象与的图象的交点为， 由，得，设的图象与的图象的交点为， 而的图象与的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称， 因此点与点关于直线对称，则， 而当时，；当时，，函数在上单调递减， 所以.    故选：C 【变式训练1-3】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 题型2 利用函数的零点确定参数的取值范围 例2-1已知函数． (1)若，，求的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解， 令，则， 因为函数在上单调递增，且， 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又， 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. 例2-2设函数，若是函数的一个零点，则实数______． 【答案】 【详解】由函数， 可得， 因为是函数的一个零点，所以，解得． 故答案为：. 方法技巧 利用函数的零点确定参数的取值范围 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【变式训练2-1】若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则__________﹔函数的零点个数__________． 【答案】 3 9 【详解】函数在上具有单调性， 设T为函数的最小正周期，故， 即； 又为的一个零点，则， 故，即， 只有时，符合题意，故； 可得，而，， 故作出函数的图象如图：    结合函数图象可知的图象有9个交点， 故函数的零点个数为9， 故答案为：3；9 【变式训练2-2】已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数 ， 因为，令，即， 由函数有2个零点，即和有两个交点， 在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示， 结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式训练2-3】已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（），都有，若函数有且仅有五个零点，则的取值范围__________. 【答案】 【详解】当，， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， …… 因为有且仅有5个零点， 所以图象与图象在上有且仅有5个交点， 如图所示，    由图可知，当经过点时，两函数图象有4个交点，经过点时，两函数图象有6个交点， 所以当图象与图象在上有且仅有5个交点时，则 ，解得. 故答案为：. 题型3 方程根的个数与函数零点的存在性问题 例3-1（2025·天津·模拟预测）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) (3)当时，解的个数为；当或时，解的个数为；当时，解的个数为. 【详解】（1）对求导可得：， 因为恒成立，因此： 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因此在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时， ，， 当时，，，所以， （3）方程的解的个数等价于与的交点个数，结合图象可得： 当时，解的个数为； 当或时，解的个数为； 当时，解的个数为. 例3-2已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】令， 由有且仅有一个实数解，得有且仅有一个实数解， 当时，令，解得， 所以有且仅有一个实数解， 当时，令，解得，为一个确定的解，符合题意， 所以当时，没有实数解， 当时，，符合题意； 当时，，在上恒成立， 所以在上有无数个解，不符合题意； 当时，单调递增，只需即可， 综上，实数的取值范围是. 例3-3（2026·天津河西·开学考试）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】函数恰有个零点，等价于方程恰有个不同实根，分和讨论： 时，； 设为时方程的解的个数； 当时，，且，可得； 当时，，且，可得； 令，当，恒成立， 故在区间上单调递增，值域为，但当时，的值域为； 令，当，恒成立， 故在区间上单调递减，值域为，但当时，的值域为； 因此：当时，方程有唯一解，满足条件，而的解不满足条件； 当时，两分支重合于，得一个解； 当时，方程有唯一解，满足条件，而的解不满足条件； 故对任意实数，部分恒有； 当时，方程等价于两个二次方程： ①，判别式恒正，两根之积； 若，两根均为正，在上无根； 若，一根为，另一根为，在上有1个根； 若，两根异号，恰有一个负根； ②，判别式恒正，两根之积； 若，两根异号，恰有一个负根； 若，一根为，另一根为，在上有2个根； 若，两根均为负，有个根； 两方程无公共根；设为时方程的解的个数，则： ：， ： ： 总交点个数，要求等于，故，解得； 综上的取值范围是. 方法技巧 方程根的个数与函数零点的存在性问题 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 【变式训练3-1】已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【答案】 4 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点. 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 故实数m的取值范围为； 对于方程，设，则有， 依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题. 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 【变式训练3-2】已知函数，. (1)当时，求在区间内的零点个数； (2)若在区间内恰有5个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2(2) 【详解】（1）当时， 则当时令，即，解得； 当时，令，即，又， 所以，解得； 综上可得在区间有个零点，分别为和； （2）因为， 当时，，对称轴为，又， 若，解得，此时在上有个零点； 要使在区间内恰有5个零点， 则在有3个零点， 由，所以，所以，解得， 又，所以； 若，解得，此时在上有个零点， 要使在区间内恰有5个零点， 则在有个零点， 由，所以，所以，解得， 又，所以； 若，即，由（1）可知在区间有个零点，不符合题意； 若，即，则，此时在上有个零点， 当，则，，此时在最多1个零点， 当，则，所以在上有个零点， 所以当时在区间内不可能有5个零点，不符合题意； 综上可得，在区间内恰有5个零点时实数的取值范围是. 题型4 嵌套函数的零点问题 例4-1已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 例4-2已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（    ） A． B．0 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：设，则关于的方程， 等价， 解得或， 当时，，此时不满足方程． 若，则，即， 若，则，即， 作出当时，的图象如图：    当时，对应3个交点．即， ∵函数是奇函数， ∴当时，由， 可得当时，，此时函数图象对应4个交点， 即 方程的7个实根和为． 故选：A． 方法技巧 嵌套函数的零点问题 已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题． 【变式训练4-1】已知函数则方程的解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 【变式训练4-2】函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 【变式训练4-3】已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8. 【答案】B 【详解】设，由，得， 作出，的图象，如图所示： 由图可知，与有3个交点， 设这3个交点的横坐标从小到大依次为，且， 结合图象可知，有1个解，有3个解，有2个解， 因此有6个解，即函数的零点个数为6. 故选：B. 题型5 分段函数的零点问题 例5-1（2026·天津·模拟预测）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，， 当时， 所以当，即，作出函数的图象，如图， 当，都有，且，所以满足题意； 当，即时，作出函数的图象，如图， 当或，都有，且对任意， 都有，所以满足题意； 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，且对任意都有， 则需满足，即，解得，所以. 综上，的取值范围为. 例5-2（2026·天津·阶段检测）设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为， 当时，，则且不恒为零， 所以函数在上单调递增，所以， 又因为，所以函数在上有且只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以只需，解得； 所以的取值范围是. 方法技巧 分段函数的零点问题 分段函数零点核心思路是分段讨论、分段求解，先按定义域划分各段解析式，分别令每一段函数等于零，结合本段自变量取值范围筛选有效解，合并后得到全部零点。基础题型多为两段一次、二次函数组合，只需解方程再验证区间；中档题融入绝对值、指数对数分段，求解时要兼顾函数定义域与单调性，利用零点存在定理辅助判断零点是否存在。含参分段零点是天津高频题型，参数会改变函数单调性、极值，需分类讨论参数范围，结合图像交点、端点函数值符号列不等式，确定参数取值。复合嵌套类分段零点需先换元分层拆解，逐层分析内层、外层零点数量。解题易错点集中在忽略分段区间限制、漏检验解、端点临界值判断失误，做题需严格分段、逐段验算，结合数形结合直观判断零点个数，规避区间陷阱。 【变式训练5-1】已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 且时，，当时，的最大值为， 如图，画出函数的图象， 如图，当与相切时，与有3个交点， 设切点， 则切线方程为，因为切线过原点， 所以，则，， 所以， 所以直线与相切时，直线的斜率， 如图，若直线与有4个交点，即函数有4个不同的零点， 则，解得：， 所以的取值范围是. 【变式训练5-2】已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【详解】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解，所以. 故答案为：. 【变式训练5-3】已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与相切于点， 则，解得，此时. 由得， 由，可得，此时切点为， 作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 题型6 求零点的和 例6-1已知分别是函数，的零点，则的值为________. 【答案】 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 例6-2已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】画出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的解，，，，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，由于在上是减函数，在上是增函数， 又因为，，则，有， ，又，， 在上递增，故取值范围是． 故答案为：. 方法技巧 求零点的和 分段函数零点求和核心依靠函数对称性简化计算，先分段求出各段零点，再利用奇偶、轴对称、中心对称快速求和。若分段函数关于直线(x=a)对称，成对零点之和为2a；若为奇函数，对称零点互为相反数，相加抵消。解题先拆分每一段定义域，分别解方程得到零点，剔除超出区间的无效根，再分组配对。遇到含参分段零点，先借助图像确定零点分布规律，避免逐个解方程。易错点是忽略分段区间，误纳入不在定义域内的根，或是漏看单个对称中心零点。优先用对称性质代替硬算，大幅减少计算量，是天津选择填空快速解题的核心方法。 【变式训练6-1】已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点的和为16，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标， 因为， 先利用指数函数与对数函数的性质作出函数在区间上的图象， 又当时，， 即每过两个单位，将的图象向右平移个单位，同时将对应的坐标变为原来的两倍， 再作出函数的图象，如图所示：    由图象可得：，，，，， 则， 因为在区间内的所有零点的和为16， 所以，得，结合图象，可得实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练6-2】已知定义在R上的奇函数，对于都有，当时，，则函数在内所有的零点之和为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】由题意定义在R上的奇函数，对于，都有， 图象关于直线对称； 且，即， 故， 即函数是以4为周期的周期函数， 当，则，则， 故， 当，则，因为， 则； 当时，则， 由此可作出函数在内的图象，如图示：    由可得， 由图象可知的图象与在内仅有4个交点， 不妨设这4个交点的横坐标从左向右依次为， 由于为图象对称轴，且函数周期为4，故也为函数图象的对称轴， 故由图象可知关于对称，关于对称， 故，则， 即函数在内所有的零点之和为12， 故选：B 【变式训练6-3】（2026·天津和平·阶段检测）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则， 不妨设，由图知：，且，即， 令，可得或，令，可得或， 所以，而在上递减，故， 综上，. 故选：A 题型7 用二分法求方程的近似解 例7-1设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 例7-2下列函数中，不能用二分法求零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，，可得：，但恒成立，即在每个零点左右两侧函数值同号,故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 方法技巧 用二分法求方程的近似解 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【变式训练7-1】已知函数的部分函数值如表所示: 那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数， 由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内， 区间长度为，结合选项可知，其近似值为. 故选：B. 【变式训练7-2】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 【变式训练7-3】若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为__________． 【答案】/ 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故下一次应取区间的中点，即. 故答案为：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最多有2个根，所以至少有4个根， 由可得， 由可得， （1）时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； （2）当时，， ， 当时，，无零点； 当时，，有1个零点； 当时，令，则，此时有2个零点； 所以若时，有1个零点. 综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 由方程在区间上有两个不相等的实数解可得 ，即或， 解得， 故选：C 2．若，则函数的两个零点分别位于区间 A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 【答案】A 【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点. 考点：零点与二分法. 3．函数的零点个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意，函数， 当时，令，解得或（舍去）； 当时，令，即，解得， 所以函数有2个零点. 故选：B. 4．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 所以， 故选：C. 5．设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【详解】解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上， 因为函数在区间上仅有一个零点， 所以当时，，解得. 故答案为：. 6．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为，所以，令（），则（），要想方程有实数解只需与有交点即可；设，当时，单调递增，所以，即时，解得时，有实数解 故答案为：. 7．函数的零点是___________. 【答案】1，2 【详解】由函数和的图象有两个交点可知函数的零点有2个， 因为，， 所 函数的零点是1，2， 故答案为：1，2    8．若方程的解在区间（）内，则k的值是___________. 【答案】 【详解】方程的解，等价于函数的零点， 因为在上为增函数，且，， 所以由零点存在性定理可知函数的零点在上， 所以方程的解在区间上， 所以k的值为， 故答案为： 9．设函数，其中，，.若无零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为指数函数的值域为，故函数的值域为， 因为函数无零点，则，所以，. 故答案为：. 10．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是______.（填写上所有符合条件的图号） 【答案】①③ 【详解】用二分法只能求“变号零点”，①③中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求 故答案为：①③ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考模拟基础演练，侧重考查零点基础概念与常规题型。重点考查零点定义、零点存在性定理的直接应用，以单一函数、简单分段函数为主，判断零点所在区间、基础零点个数。含参问题以简单参数求解为主，题型常规、思路直白，多运用数形结合、基础分离参数法。题目难度偏低，不涉及复杂嵌套函数与多段分类讨论，注重公式、定理的理解与基本作图、运算能力。命题贴合教材基础考法，题型稳定，以选择、填空基础题为主，是必须稳拿的基础分值，重在夯实解题基本思路。 1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为指数函数在上单调递增，一次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. ；；； ；； 因为函数在上单调递增，且， 所以函数的零点所在区间为. 故选：D. 2．函数的零点所在的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 3．给出下列命题，其中正确命题的个数是（   ） ①函数的零点是和； ②若正数，满足，则的最小值为； ③不等式的解集是； ④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①.函数的零点是使函数值为0的自变量值，函数的零点为和， 并非坐标点，故①错误. ②.正数满足，则.由基本不等式， ，故，当且仅当， 即、时等号成立，故②正确. ③.不等式的定义域为即， 结合得解集，并非，故③错误. ④.由得，又在上单调递增，故，④正确. 正确命题为②④，共2个. 故选：B 4．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 5．函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 6．已知函数，若，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，据此可画出大致图象如下： 令，则方程有三个不等根，等价于图象与直线 有三个不同零点，则. 由，又可得. 注意到. 令，则. 令，在上单调递增， ，在上单调递减. 则. 故选：C 7．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 8．下列选项中错误的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的值域为 C．若是奇函数，当时，，则时， D．若函数在上只有一个零点，则实数的范围为 【答案】D 【详解】对于A：因为函数的定义域为， 所以，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：令，所以， 所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C：令时，则，所以， 因为是奇函数，所以，故C正确； 对于D：因为函数在上只有一个零点， 所以或， 而无解，解得， 当时，，令，则， 函数在上无零点，不满足题意， 当时，， 令，则或， 函数在上无零点，不满足题意， 所以实数的范围为，故D错误； 故选：D 9．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 10．已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 令，关于的方程至少有两个不同的实数解， 等价于至少有两个不同的实数解， 即函数的图象与直线至少有两个交点， 作出函数的图象如图所示，直线过定点， 故可以寻找出临界状态，如图虚线所示.        联立，故， 即，令，解得， 当时，与有唯一交点，与没有交点. 当时，与轴交于点在定点右边， 所以与有两个交点，符合题意， 当时，与轴交于点在定点左边， 且，故与没有交点， 由图象可知，与至多一个交点，故不符合题意， 当时，与有两个交点，符合题意， 当时，的最高点为，此时，    若，与有唯一交点，与没有交点，不符合题意； 若，与有唯一交点，与至少有一个交点，符合题意； 综上所述，实数的取值范围为， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 重难·创新演练 设题创新:命题创新集中三方面。一是函数载体创新，大量嵌套复合函数、多分段绝对值函数、指对混合函数，结构复杂无法直接画图；二是设问形式创新，结合零点个数、恒成立、存在性综合设问，多参数同步约束，不再是单一求参；三是解题逻辑创新，单纯分离参数难以求解，需多层换元、多次分类讨论，搭配极值零点临界数形分析。题目暗藏定义域、边界值陷阱，侧重综合逻辑推导，区分度强，重点考查知识迁移与分步拆解复杂问题的能力。 1．设函数，则（    ） A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间上有零点，在内无零点 D．在区间上无零点，在内有零点 【答案】D 【详解】由题得，令解得； 令解得； 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在点处有极小值； 又，，， 即，， 所以在区间上无零点，在内有零点. 2．已知函数，若函数的图像与的图像有3个不同的交点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】    在坐标系中画出，由图可知，要使与有三个交点，应使. 故答案为：. 3．已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________． 【答案】 【详解】根据题意作图如下： 方程有4个不同解，，，， 所以，且，， ， ， 即的取值范围为． 故答案为：；． 4．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 6．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 7．若函数的图象上存在两点A，B关于原点对称，则称点对为的“基点对”，点对与可看作同一个“基点对”若恰好有两个“基点对”，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为与的图象关于原点对称， 所以问题等价于与的图象恰有两个交点， 等价于，即在上恰有两个实根， 结合二次函数的图象可知， 且且，即， 解得. 故答案为： 8．设函数，函数，若存在唯一的，使得的最小值为，则实数a的取值范围为_________． 【答案】 【详解】 依题意可作出函数图象如上所示， 因为存在唯一的，使得的最小值为， 则有当时，， 由图可知， 当时，， 当且仅当时取得等号， 所以，所以解得. 故答案为： 9．设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 【答案】C 【详解】的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得极大值为， 又，，， 即在区间上恒有， 又由零点存在定理，使得， 即函数在区间内无零点，在区间内有零点. 故选：C. 10．已知，若方程有四个不同的解，且， 则的最大值是__________． 【答案】 【详解】方程有四个不同的解等价于与有四个不同的交点，如下图所示： 则与关于对称，， ，，， 令，解得：；令，解得：；， 在上单调递减， 当时，取最大值为. 故答案为： . 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $