2.5有理数的乘法与除法精讲精练（第一课时）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘法这一核心知识点，系统梳理两数相乘法则（同号得正、异号得负并把绝对值相乘，任何数与0相乘得0）、倒数定义、多个有理数相乘符号法则（负因数个数定符号）及乘法运算律（交换律、结合律、分配律），承接有理数加减法，为后续除法学习搭建运算体系支架。 该资料以例题（如潜水艇下潜位置计算）结合实际情境，练习题涵盖中考及期中期末题，培养应用意识。强调先定符号再算绝对值的运算步骤与简便方法（如结合律凑整），提升运算能力。结构清晰含要点、例题、总结及答案，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

2.5　有理数的乘法与除法（第一课时） 精讲精练含答案 要点　有理数的乘法 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．如 (−3) × (−5) = +(3 × 5) = +15． （2）任何数与 0 相乘，仍得 0．如 (−7) × 0 = 0． 倒数的定义： 乘积是 1 的两个数互为倒数．如 (−) × (−2) = 1，即 − 与 −2 互为倒数．0 没有倒数． 多个有理数相乘的符号法则： 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0． 有理数乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即 ab = ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即 (ab)c = a(bc)． （3）乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．即 a(b + c) = ab + ac． 注意： （1）进行有理数乘法运算时，先确定积的符号，再计算积的绝对值； （2）当因数中含有分数时，能约分的要先约分，再相乘； （3）运用乘法运算律时，常把互为倒数的因数或凑整的因数结合在一起，也可以逆用乘法分配律，使计算简便． 【例1】 按要求完成下列各小题． （1）计算：(−3) × (−5)；(−8) × (+3)；0 × (−7)；(−) × (+)． （2）用简便方法计算：(−) × (−) × (−2) × (−3)． （3）某潜水艇以每分钟 20 米的速度匀速下潜，规定上升为正，下潜为负，求 8 分钟后潜水艇的位置变化． 解：（1）(−3) × (−5) = +(3 × 5) = +15；(−8) × (+3) = −(8 × 3) = −24；0 × (−7) = 0； (−) × (+) = −( × ) = −． （2）(−) × (−) × (−2) × (−3) = [(−) × (−2)] × [(−) × (−3)] = 1 × 1 = 1． （3）(−20) × 8 = −(20 × 8) = −160（米）．答：8 分钟后潜水艇在水面下 160 米处． 【总结】有理数乘法运算的关键是先确定积的符号再算绝对值；多个数相乘时，先根据负因数的个数确定积的符号，再把绝对值相乘；运用乘法运算律时，注意将互为倒数的因数、凑整的因数先结合，或逆用分配律，简化计算；实际问题中，上升记为正，下降记为负，用乘法求解． 知识点　有理数的乘法 1.（2025•江苏南通中考）计算 (−2) × (−3) 的结果为（　　） A. −5　　B. 5　　C. −6　　D. 6 2.（2025•江苏镇江期中改编）下列计算中，正确的是（　　） A. (−3) × (−5) = −15　　B. (−3) × (+5) = +15　　C. (+3) × (−5) = +15　　D. (−3) × 0 = 0 3.（2025•江苏扬州江都期中改编）−2025 的倒数是 ______． 4.（2025•江苏盐城射阳期中改编）若 a 的倒数是 −，|b| = 3，且 ab < 0，则 ab 的值为（　　） A. −9　　B. 9　　C. −9 或 9　　D. −1 5.（2025•江苏苏州期末改编）已知 a，b 互为倒数，则 ab 的值为 ______． 6.（2025•江苏扬州树人学校期中改编）某冷库的温度为 −5°C，制冷机组每小时可使温度下降 3°C（上升记为正，下降记为负），工作 4 小时后，冷库的温度是（　　） A. −2°C　　B. −12°C　　C. −17°C　　D. 7°C 7.（2025•江苏淮安期中改编）某文具店销售甲、乙两种笔记本，进价与售价如下表所示（单位：元/本），某周售出甲种笔记本 5 本、乙种笔记本 3 本，则该周销售这两种笔记本共获利（　　） 品种 甲 乙 进价（元/本） 4 6 售价（元/本） 5 8 A. 9 元　　B. 10 元　　C. 11 元　　D. 12 元 8.（2025•江苏淮安期中改编）计算：(−) × (−) = ______． 9.（2025•江苏南京秦淮期中改编）绝对值不大于 3 的所有整数的积为 ______． 10.（2025•江苏常州武进期中改编）在数轴上，点 A 表示的数是 −2，一只蚂蚁从点 A 出发，沿数轴负方向以每分钟 3 个单位长度的速度爬行，4 分钟后蚂蚁所在的点表示的数是 ______． 11.（2025•江苏无锡惠山期末改编）已知 |a| = 2，|b| = 3，且 a > 0，b < 0，则 ab 的值为 ______． 12.（2025•江苏南通期中改编）用简便方法计算：(−) × (+) + (−) × (+) = ______． 13.（2025•江苏徐州期中改编）计算：(+) × (−) = ______． 14.（2026•江苏盐城期末改编）某仓库连续四天进出货物情况如下表所示（运进为正，运出为负，单位：箱），每箱货物重 50 千克，则四天后仓库的货物比原来（　　） 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 进出/箱 +8 −5 +3 −7 A. 多了 50 千克　　B. 少了 50 千克　　C. 多了 9 千克　　D. 少了 9 千克 15.（2025•江苏南通崇川期中改编）快递员小张某天上午的行程记录如下（向北为正，向南为负，单位：千米）：+7, −4, +5, −8, +3, −2． 根据以上信息解决下列问题： (1) 小张收工时距离出发地多远？在出发地哪一侧？ (2) 若电动车每行驶 1 千米耗电 0.1 度，这一上午共耗电多少度？ 16.（2026•江苏南京鼓楼期中改编）阅读材料，回答问题： 【材料】 有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(2)任何数与 0 相乘，仍得 0．乘积是 1 的两个数互为倒数． 【探究一】 直接写出结果： (1) (−7) × (−9) = ______；(+8) × (−3) = ______；(−) × 0 = ______． 【探究二】 用简便方法计算： (2) (−12) × ( − + )． 【探究三】 实际应用： (3) 某班抽查了 5 名同学参加植树活动的情况，以每人植树 5 棵为基准，超出部分记为正数，不足部分记为负数，记录如下：+2, −1, 0, +3, −2．求这 5 名同学植树的总棵数． 2.5　有理数的乘法与除法（第一课时） 答案： 1. D　解析：两数相乘，同号得正，(−2) × (−3) = +(2 × 3) = 6，故选 D． 2. D　解析：(−3) × (−5) = +(3 × 5) = +15，故 A 错误；(−3) × (+5) = −(3 × 5) = −15，故 B 错误；(+3) × (−5) = −(3 × 5) = −15，故 C 错误；(−3) × 0 = 0，故 D 正确． 3. −　解析：因为 (−2025) × (−) = 1，所以 −2025 的倒数是 −． 4. A　解析：由 a 的倒数是 −，得 a = −3；由 |b| = 3，得 b = ±3．当 b = 3 时，ab = (−3) × 3 = −9 < 0，符合题意；当 b = −3 时，ab = (−3) × (−3) = 9 > 0，不合题意．故 ab = −9，选 A． 5. 1　解析：互为倒数的两个数的乘积为 1，所以 ab = 1． 6. C　解析：(−3) × 4 = −12（°C），(−5) + (−12) = −17（°C），所以工作 4 小时后冷库的温度是 −17°C，故选 C． 7. C　解析：甲种笔记本每本的利润为 5 − 4 = 1（元），售出 5 本，获利 1 × 5 = 5（元）；乙种笔记本每本的利润为 8 − 6 = 2（元），售出 3 本，获利 2 × 3 = 6（元）．5 + 6 = 11（元），所以该周共获利 11 元，故选 C． 8. 　解析：同号两数相乘得正，(−) × (−) = +( × ) = ． 9. 0　解析：绝对值不大于 3 的整数有 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3，因为其中有一个因数 0，所以它们的积为 0． 10. −14　解析：(−3) × 4 = −12，−2 + (−12) = −14，所以 4 分钟后蚂蚁所在的点表示的数是 −14． 11. −6　解析：由 |a| = 2 且 a > 0，得 a = 2；由 |b| = 3 且 b < 0，得 b = −3．所以 ab = 2 × (−3) = −6． 12. −　解析：(−) × (+) + (−) × (+) = [(−) + (−)] × = (−1) × = −． 13. −　解析：异号两数相乘得负，(+) × (−) = −( × ) = −． 14. B　解析：(+8) + (−5) + (+3) + (−7) = −1（箱），(−1) × 50 = −50（千克），所以四天后仓库的货物比原来少了 50 千克，故选 B． 15. 解：(1) (+7) + (−4) + (+5) + (−8) + (+3) + (−2) = +1（千米），所以小张收工时在出发地北侧 1 千米处； (2) |+7| + |−4| + |+5| + |−8| + |+3| + |−2| = 7 + 4 + 5 + 8 + 3 + 2 = 29（千米），29 × 0.1 = 2.9（度）．答：这一上午共耗电 2.9 度． 16. 解：(1) (−7) × (−9) = +63；(+8) × (−3) = −24；(−) × 0 = 0； (2) (−12) × ( − + ) = (−12) × + (−12) × (−) + (−12) × = −3 + 2 − 6 = −7； (3) (+2) + (−1) + 0 + (+3) + (−2) = +2，5 × 5 + 2 = 27（棵）．答：这 5 名同学共植树 27 棵． 学科网（北京）股份有限公司 $