九年级数学上学期9月学情自测（新教材苏科版第1章～第2章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 聚焦苏科版九年级上册第1-2章，以一元二次方程和反比例函数为核心，通过惠农政策降价、商场盈利等真实情境设计，融基础运算与创新探究于一体，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|方程定义、函数性质|以插秧机降价问题（题3）考方程应用，体现模型意识| |填空题|10/20|配方、根的判别式|景区扩建（题14）结合几何与方程，培养空间观念| |解答题|11/88|方程应用、函数综合|赵爽配方探究（题25）渗透文化传承，矩形展板问题（题27）用函数交点解决实际问题，发展推理能力与创新意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第2章 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=4-x B.x2-3x+1=0 C.x2-2y+4=0 D.x2+3=5 2.已知关于x的方程x2+mx-2=0的一个根是1，则m的值是（) A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品 牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为() A.10% B.20% C.24% D.25% 4.如图，P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点，PA1x轴于点4，PB上y轴于点8，若矩形O4PB 的面积为2，则k的值为() B A.2 B.3 C.4 D.5 5.2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两 年内每年投资的增长率相同.设每年市政府投资的增长率为x,根据题意，列出方程为() 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(1+x)2=10 B 2(1+x)+2(1+x)2=10 C.2+2(1+x)+21+x)2=10 D.2(1+x)=10 。在平面直角坐标系中，直线=a+b与双曲线y=-交于m,,Bm,川)两点(m<0,下列 中正确的是() A.mn>0 B.若m+n>0,则b>0 C.an+bm< D.若ar+b≥ x,则x≤m 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.一元二次方程x2=16的解是 8。用配方法将方程2+6x=5化成x+3=m的形式，则”的值为 k 9.已知反比例函数y=(k≠0)，点(-2,3)在这个函数的图象上，那么当x>0时，y随x的增大而 (增大或减小) 10.若关于x的一元二次方程x2+2x+3m=0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 1。如图，直线y=m心+n与双曲线y=0)交丁点4-2,4)和点B(a,-2),则不等式m+n<交的解失 B 12.设，是方程”-5x+3=0的两个根，则-6x-名= 13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场 决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件.若商场平 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价x元，则可列方程为 14.温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建.原平台长 为30米，宽为20米.计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示)，玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的 矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为米。 宽 30 宽 20 5如图，反比例函数y=(>0的图象经过AC斜边上的中点4，与边C交于点D,分别连接 AD,OD,则△ADB的面积为 16.小明将三角尺ABC(∠ACB=90°，AC=BC=5)摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点C位于 (3,0)处，BC边与'轴重合，点B在点C左侧.将△1BC绕点C顺时针旋转一定角度后，使点B的对应点 D落在y轴上，点4的对应点E恰好落在第一象限的双曲线y=:上，则k的值为 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共 88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.解下列一元二次方程. 03x+2x-5=0 (②)2x+6=(x+3)2 18.已知关于x的一元二次方程x2+mx-3x-9=0. (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解： (2)当m=-3时，求方程的解。 19.随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发 现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施. (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由. 20.阅读下列解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问题. 解：x2-2x-9=0 ① x2-2x+1-9=0 .② (x-1-9=0.③ x-1=3或x-1=-3.… ④ .X=4x23=-2 ⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号)； (2)请你写出正确的解答过程. :y=2x+4 21.如图，在平面直角坐标系中，直线 ,与y轴交于点A,与x轴交于点B,反比例函数 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x与直线I交于点C,且AB=2AC· (1)求反比例函数的解析式： (2)根据函数图象，直接写出 <y<”的x的取值范国。 22.我们知道： x2-6x=(x2-6x+9)）-9=(x-3)2-9 -+10x=-(2-10x+25)+25=-(-5+25,这一种方法称为配方法. P=x2-6x=(x-3)2-9,Q=-x2+10x=-(x-5)2+25 由此可得： (x-3)2≥0 ,当x=3时，P有最小值为-9；· -(x-5)2≤0 .当x=5时，有最大值为25 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：-a2+12a= (2)应用：如图，己知线段AB=6,M是AB上的一个动点，设AM=x,以AM为一边作正方形AMND,再 以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN.问：当点M在AB上运动时，长方形MBCV的面积是否存在最 大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由， 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D N 6 B 23.如图，直线y=mm+0)与双曲线-k≠0)交于4：B两点，其中点4的坐标为(2,6).C为双 曲线上的一点，横坐标为3，CDy轴，交直线AB于点D,连接OC,BC. B (1)求直线和双曲线的表达式： (2)求△BCD与△OBC的面积比： k (3)根据图象， 直接写出关于x的不等式x<m的解集。 24.“道路千万条，安全第一条”，为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在 一定条件下进行了一系列的测试 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度v 40 45 55 70 80 100 (km/h) 视野角度f 100 89 73 57 50 40 (度) ()根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点. 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 110 100 90 70 0 50 40 30 10 0 102030405060708090100110) 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度子（度）与行车速度v(km/h)之间关系的函数表 达式. 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控在什么范围？ 25.操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为x+2 宽为x,面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空 的小正方形面积得： (x+x+2)=4×24+22 x+2 24 24 x+2 22 x+2 24 【模仿实践】 24 x+2 图1 图2 (1)仿例题配方解x2+5x-14=0,先变形为 如图2，每个小长方形的长为. 一，宽为 利用图形的面积关系得配方后的方程为 解为 【深入探究】 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)配方解2x2+5x=3,自己画图分析，写出解题过程. 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：r+5x+3=0,变形为(x+5)=-3 没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是a+b)=4b+(a-b模型，于是有了另一种方法，设=口，x+5=b ab=-3 则有a-b=-5,(a+b)}=4×(3)+(-5),(x+x+5)=13,配方成功，从数到形，又从形回归到数. (3)请你用小聪的方法配方解x2-7x+2=0,写出解题过程. 26.阅读材料，并解决问题。 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 ×+2x-35=0为例：将原方程整理可得：(x+2)=35 可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的 图形，此时大正方形的面积是红+x+2,同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和，所 以任+x+2=46+2)+22=4×35+4=144 由此得原方程的一个正根为X=5 x+2 x+2 x+2 x+2 图1 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程2x+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 3 第一步：将原方程变形为+2x-1=0,即x()=1 2 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_，解得原方程的一个正根为_： 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如x2+ax=b(a>0,b>0)的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面 积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根. 图2 【思维提升】 侣)小明用此方法解关于‘的方程3x-川)=24，其中3x-1>无，他以3x-”和‘作为矩形的两邻边构造出 如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为. 27.为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为8m的矩形宣传展板ABCD(如图1).展板一边固 定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为！米 8(x>0) 图1 图2 【问题提出】 同学们提出：若！=10米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设AB=x米，BC=y米. 8 由展板面积知y=8,则(3，)可视为反比例函数y=的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x+y=10 （x,y 则 可视为一次函数y=-2x+10 的图象在第一象限内点的坐标 xy) 同时满足这两个条件的 就是两个函数的交点坐标， 8 如图2，双曲线y=与直线y=-2x+10的交点坐标为(18)和，因此，木条总长10m时，能制作出两种不 同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：AB=lm,BC=8m或AB=m,BC=m. (1)根据小明的分析思路，完成上面的填空 【类比探究】 (2)若I=6米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图 象，并说明理由. 【问题延伸】 8 (3)小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宜传展板问题”可以转化为“双曲线y=x与直线y=-2x+1 在第一象限内交点的存在问题”，若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值 10110 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第2章 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 3．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 4．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 5．2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每年市政府投资的增长率为x， 列方程得． 6．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．一元二次方程的解是______． 【答案】4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 8．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 9．已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势． 【详解】解：将点代入， 得， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，函数图象位于第四象限，因此随的增大而增大， 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 11．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 12．设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 14．温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 15．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 16．小明将三角尺（，）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点位于处，边与轴重合，点在点左侧．将绕点顺时针旋转一定角度后，使点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在第一象限的双曲线上，则的值为_____ 【答案】 【分析】过点作轴于点，则，根据题意可得，根据旋转可得，，由勾股定理求出，证明，得到，，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， 点位于处， ， 由旋转可得，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 将代入，得， 解得． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 18．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 19．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 20．阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A，点B的坐标，取中点D，易得点D的坐标，分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为，求出，证明，可得，进而得到点C的坐标，即可解答； （2）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 22．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2） 略 23．如图，直线与双曲线交于，两点，其中点的坐标为．为双曲线上的一点，横坐标为，轴，交直线于点，连接，． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)求与的面积比； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）直线的解析式是，利用待定系数法求出直线的解析式；利用待定系数法求出双曲线的解析式； （2）求出点、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、的长度，根据与的面积比等于线段、的长度比即可求出结果； （3）由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立，根据点、的坐标即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为； （2）解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ； （3）解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或． 24．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 25．操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 26．阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 27．为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）的值为8． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，一次函数和二次函数图象的交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）联立得，整理得，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B A A C 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．4或/或4 8． 9．增大 10． 11．或 12． 13． 14．5 15．9 16． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1) (2) 【详解】（1）解：这里． ， ， ，；--------------3分 （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，．--------------7分 18．(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，；--------------3分 （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，．--------------7分 19．(1)每台电暖器应降价15元或20元 解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元．--------------4分 （2）不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．--------------8分 20．(1)②--------------3分 (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，．--------------8分 21．(1) (2) 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为；--------------4分 （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为．--------------8分 22．(1)， 解：， 故答案为：，；--------------4分 （2） 长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9．--------------8分 23．(1)； (2) (3)或 【详解】（1）解：直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 把点的坐标为代入， 可得：， 双曲线的表达式为；--------------3分 （2）解：由函数图象可知点、关于原点对称， 点的坐标是， 点横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ，， ；--------------6分 （3）解：由图象可知，在点右侧轴左侧和点右侧时不等式成立， 不等式的解集是或．--------------8分 24．(1)--------------3分 (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：；--------------5分 （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即．--------------8分 25．(1)，，，，， (3)， 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，；--------------2分 （2）由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，；--------------5分 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，．--------------8分 26．(1)；； (2)1或3 (3)6 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为；--------------3分 （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3；--------------6分 （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得．--------------9分 27． （1）；4；2；--------------3分 将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形．--------------6分 （3）的值为8． 令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8．--------------9分 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $