九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第1章 反比例函数 ～第2章 一元二次方程）

**基本信息** 聚焦反比例函数与一元二次方程，融合天舟九号、杨辉数学文化等真实情境，梯度设计适配九年级培优检测，可量化知识掌握与核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程解、函数图像、根的判别式|第3题结合根的判别式考查推理意识，第7题以杨辉几何解法体现文化传承| |填空题|6/18|方程一般形式、函数性质、面积问题|第13题通过方程根迁移考查抽象能力，第16题结合角平分线与最值体现几何直观| |解答题|9/72|函数综合、实际应用、创新定义|第22题以食物加热温度变化考查模型意识，第25题一次函数与反比例函数综合，结合矩形存在性问题发展推理能力与创新意识|

九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点，满足横纵坐标的乘积等于，计算各选项点的横纵坐标乘积，即可判断正确选项． 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 3．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·河南·期末）若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 根据题意得，当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 当时，函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限，无此选项； 当时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8．（25-26八年级下·四川乐山·期中）如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G，若，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，则，，，待定系数法求直线的解析式为，进而可求，，则，由勾股定理得，，如图，作于，则，，由勾股定理得，，则，可求，进而可求的值． 【详解】解：设，则，，， 设直线的解析式为，则， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，即， ∴， 由勾股定理得，， 如图，作于，则， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据题目条件，逐个分类验证三个说法，结合单项式概念、一元二次方程根的性质、分类计数原理判断正确个数。 【详解】解：逐个验证三个说法： ①当时，，由题知是从中任意选取的一个数，即，若是单项式，则必须，可取，共个满足条件的单项式，故①错误，不符合题意； ②当，，时，， ∵是从中任意选取的一个数，为自然数， ∴， （），，则， ∵， ∴， 情况一：，则，，不符合条件， 情况二：，则，，， 情况三：，则，，， 情况四：，则，，不符合条件， （），，矛盾，不符合题意； （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， （），，则 ∵， ∴， 情况一：，则，， 情况二：，则，， 情况三：，则，， 情况四：，则， 综上，使得方程的所有实数根的和为，故②错误，不符合题意； ③当，，， 时，， 情况一： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况二： 则有：，共有个满足条件的整式， 情况三： 则有：，共有个满足条件的整式， 综上，一共有个满足条件的整式， 故③正确，符合题意； 综上，正确的个数只有个． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知是反比例函数图象上一点，点的坐标为是轴正半轴上一点，且，那么四边形的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【分析】作轴于点M，轴于点N，则，证明四边形是矩形，可得出，在上取点C，使得，过点C作于点D，则，连接，，从而得到，得到，根据得到，从而，根据得到，因此，从而，根据点P在反比例函数图象上一点求得，从而得到，，从而根据求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点N，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在上取点C，使得，过点C作于点D，则，连接，， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴（负根不合题意，舍去）， ∴，，， ∵点B的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的性质是解题关键．由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：点和点均在反比例函数的图象上 由反比例函数图象的对称性可知，点在图象上， ， 反比例函数图象在二、四象限，且随的增大而增大， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 15．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 16．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 【答案】8 【分析】如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E，首先求出，证明，得到，然后证明，得到，求出点C的纵坐标是4，点C在第一象限内的直线上运动，然后求出，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D，延长交x轴于点E， ∵点的坐标为， ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵轴 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵轴 ∴点C的纵坐标是4， ∴点C在第一象限内的直线上运动， 当轴时，最小，如图， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， 解得． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即，， ， ； （2）解：原方程整理，得，， ， ， ， ． 18．（6分）（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌反比例函数的性质是解题的关键． （1）求出点的坐标，进而解题； （2）根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 即， 代入得：， 解得：； （2）由题意知，， 解得． 19．（6分）（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 20．（8分）（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 21．（8分）（26-27九年级上·全国·期中）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 22．（9分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． （2）令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 23．（9分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24．（10分）（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)设点M在反比例函数的图像上，连接，若的面积是菱形面积的，求M点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长交轴于点，首先根据菱形的性质可得，，再证明轴，结合点D的坐标为可得，再在中，由勾股定理解得的长度，进而确定点A坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）设，首先求得菱形的面积，进而可得，由三角形面积公式可得，求解并结合题意即可确定的值，进一步即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，延长交轴于点， ∵四边形为菱形，且顶点C与原点O重合， ∴，， ∵， ∴，即轴， ∵点D的坐标为， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该反比例函数的关系式为； （2）∵点M在反比例函数的图像上， 可设， ∵，的面积是菱形面积的， ∴， ∵轴，且， ∴，即， ∴， 解得或， ∵， ∴，此时， ∴． 25．（10分）（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 反比例函数 ~第2章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2025·四川眉山·模拟预测）若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南·期末）若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川乐山·期中）如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点F在边上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G，若，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级下·重庆·期末）已知整式，其中n为正整数，为自然数，是从中任意选取的一个数，且．下列说法： ①若，则满足条件的单项式N共有个； ②若且，则使得方程的所有实数根的和为； ③若且，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知是反比例函数图象上一点，点的坐标为是轴正半轴上一点，且，那么四边形的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．28 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 12．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则_____0．（填“”“”或“”） 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 15．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 16．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，点在轴正半轴上，点的坐标为，点在第一象限，若反比例函数的图像经过点，，平分．当最小时，的值为_____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 18．（6分）（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）已知反比例函数（为常数，）． (1)若该反比例函数图象与正比例函数的图象的一个交点为P，且点P的纵坐标是2，求k的值． (2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 19．（6分）（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 20．（8分）（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 21．（8分）（26-27九年级上·全国·期中）“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 22．（9分）（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 23．（9分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24．（10分）（2026年河北省初中学业水平考试数学模拟试卷（二））如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)设点M在反比例函数的图像上，连接，若的面积是菱形面积的，求M点的坐标． 25．（10分）（2025·山东泰安·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $