第2章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心知识，融合科技前沿情境与分层问题设计，适配单元复习的高效培优需求，覆盖定义、解法、应用等关键能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|一元二次方程定义、配方、根与系数关系|第8题“倍方程”创新概念辨析，考查推理意识| |填空题|8/16|根与系数关系、实际应用（篮球赛场次）|第16题结合直角三角形，体现几何直观| |解答题|11/68|解方程、根的判别式、应用题（存储芯片利润）、动点探究|26题以合肥长鑫存储为情境，培养模型意识；27题动点问题综合空间观念与创新意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.下列方程是一元二次方程的是() A.x2-2x+1=0 B.xy+1=0 1-2x=0 C y D.2x3-1=3 2.一元二次方程3x2-2x=5的常数项是() A.3 B.-2 c.5 D.-5 3.若一元二次方程-6x+n= 配方得到x-m)2=2 则m,”的值分别为() A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 4.已知一元二次方程-5r+6= 的两个根为，。.则+5-5的值为（) A.-1 B.1 C.5 D.-5 5.若关于x的一元二次方程 m-3)x2+3x+m2-9=0 的一个根是x=0,则m的值是() A.±3 B.3 C.-3 D.0 6.关于x的一元二次方程x2+x+k-2=0的实数根的情况，下列说法正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.实数根的个数与k的取值有关 D.没有实数根 x2+bx+c=0(a≠0 7.若关于x的一元二次方程 各项系数满足a+b+C=0,则关于此方程的根的情况， 下列说法错误的是() A.必有两个不相等的实数根 B.当a=C时，有两个相等的实数根 C.当a,c同号时，方程有两个正的实数根D.当a,b同号时，方程有两个异号实数根 x2+bx+c=0(a≠0) 8.如果关于“的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的”倍，则 116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的是() 1 ①方程x2-3x+2=0是2倍方程：②若(x-3)(mx+1)=0为3倍方程，则m=-9:③若p,9满足p9=8, 则关于的方程x-6r+9= 为2倍方程；④若关于'的方程r+r+C=0为”倍方程，则 nb2=(n+1)ac A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程 10.已知，是一元二次方程+3x-1=0的两个根，则+4红+ 11.某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可 列方程为： 12.关于x的方程(m+2)x8+mr+1=0 一元二次方程，则的值为一· 13.若关于x的一元二次方程-x+2m=0有两个实数根，且方程的两根满足低-1)：-)=m-8 则 L的值为. 14.关于x的方程 (x+m)2+b=0, 0的根是5=3与=-6a,6 均为常数，a≠0) 0,则关于x的方程 a(x-m+2)2+b=0 的根是 15.若关于x的方程mx2+1=2x(m为常数)有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 16.在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程 2x(x-3)=(x+2)(x+4)-28」 其中一个解，那么这个直角三角形的面积是 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.解方程：2x2-5x+3=0 18.解方程：解一元二次方程x2-2x=3时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： x(x-2)=3 解： 所以x=1或x-2=3, 所以=16=5 (1)你认为 s 是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程。 19,己知关于的一元二次方程m+1r+5x+m2-4m-5=0。 .0 的常数项为 (1)求m的值： (2)求此时一元二次方程的根。 20.关于x的一元二次方程x2+2+6k-9=0. (1)判断方程根的情况，并说明理由： (2)若方程有一个根不小于5，求k的取值范围. 21.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为18m,停车场内车道的宽都相等，若停 车位的占地面积为320m2,求停车场内车道的宽度？ 40米 18米 车道 ↓宽度 停车位 出口 22.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围 (②记该方程的两个实数根为和。，若 Gx++名=6，求m的值。 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希 腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《原本》中，形如关于 x2+ax=b(a>0,b>0)的方程图解法是：如图，以2和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取 BD= 2,则4D的长就是所求方程的一个解。 a (1)若a=6,b=4,求图中线段AD的长，并验证AD的长是方程x2+6x=4的一个根 (②)小利同学在探究中发现：当，b存在某种数量关系时，用该图解法解得方程 2+ax=b2(a>0,b>0) 的 解是2的√2-1倍，请你求出a,b间的这个数量关系。 2-(2m+1）x+2m=0 24.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根： (2)若△ABC的两边AB、AC的长分别是此方程的两个实数根，第三边BC长为2，当△ABC是等腰三角形 时，求m的值 25. 育高农场准备利用长为6m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个长方形菜地. 墙 墙 B E D 图1 图2 (I)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆ECDF围成，当菜地面积为60m时，求CD的 长 (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙AB和一段篱 BF(BF>0)构成，另三边由篱笆4CDF围成，当菜 416 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 地面积为60m时，求CD的长. 26.综合与实践 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储 背景 的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不 断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮， 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万 素材1 元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元. 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥 造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为 素材2 200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套.调研发 现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下 调售价，使平均每天的销售利润达到12000元. 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模 组的售价： (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元：若不 能，请说明理由。 27.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，现有一动点P,从点A出发，以2cm/秒的速度，沿正方形 的边经A→B→C→D到达点D.设运动时间为t秒. C D 图1 图2 (1)当点P运动3.5秒时，点P到达什么位置？ (②)连结始点A,动点卫，终点D形成△APD,当t为多少时，△APD的面积为6cm? (3)当点P运动多少秒时，点P到点A的距离为5cm？ 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)如图，另有一动点Q,以1Cm/秒的速度从点B出发，沿射线BC运动，点P,Q分别从点A,B同时出 △PDQ 发，当点P停止运动时，点Q也随之停止.当t为多少时， 为等腰三角形？（请直接写出t的值） 616 第2章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A A C A A C 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．（答案不唯一） 10． 11． 12．5 13． 14．， 15．且 16．或 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，．...........3分 18． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解；...........2分 （2）解：， ， 或， ∴，．...........5分 19． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ；...........3分 （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，．...........5分 20． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根；...........2分 （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴．...........5分 21． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：，...........2分 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为．...........5分 22． 【详解】（1）解：由题意得， 解得．...........2分 （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴．...........6分 23． 【详解】（1）解：若，，则，， ， ； 证明：当时，， 的长是方程的一个根．...........3分 （2）解：由题意得，， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 整理得， ， ，， ．...........6分 24． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根；...........2分 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，．...........6分 25． 【详解】（1）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为；...........3分 （2）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为．...........6分 26． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为；...........3分 （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元；...........7分 （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元．...........10分 27． 【详解】（1）解：已知正方形边长为， ∴全长，全长，全长， 点P运动路程：， 全长，剩余路程：， 全长，，因此点P位于边上，距离B点处；...........3分 （2）解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， 可知，，为直角三角形， ∴， 解得； 如图，当P在上时， 以为底，高恒等于正方形边长， 面积：； 如图，当P在上时， 可知，以为底，高为， ∴， 解得， 综上，秒或秒；...........7分 （3）解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， ，无解； 如图，当P在上时，连接， 可知，为直角三角形， 由勾股定理：，即， 解得（负值舍去）； 如图，当P在上时，连接， 可知，， 由勾股定理： 解得（负值舍去）； 综上，秒或秒； （4）解：∵Q速度， ∴， 分P的位置讨论： 如图，当P在上时， 根据勾股定理可知，， 若即，则，解得， 若即，则，解得或（舍去）， 若即，则，解得（舍去）或（舍去）； 如图，当P在上时， 由图可知，当时P、Q重合，，，不存在t使为等腰三角形； 如图，当P在上时， 由勾股定理得，，， 由图可知，， 若即，则， 解得或（舍去）； 综上，秒或秒或秒．...........11分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 3．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 4．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 6．关于x的一元二次方程的实数根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，计算判别式并判断其符号即可得到结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，，， 计算判别式得： ， ∵， ∴恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．请写出一个两实数根之积为6的一元二次方程__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，构造符合要求的方程即可． 【详解】解：对于一元二次方程，设两实数根为， 由根与系数的关系得， 由题意得，因此 ，且方程要有两个实数根，需满足， 令，，取，计算得 ，符合要求， 因此符合题意的方程可以为（答案不唯一）． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系得到，，再将所求式子变形，并代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 11．某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，设该校八年级有x个班级，依题意可列方程为：__________________________________． 【答案】 【分析】根据每两班之间赛一场，共进行了28场，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 12．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 14．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．由原方程根与系数的关系求出的值，再代入新方程求解即可． 【详解】解：原方程的根为，， 展开得， 由根与系数的关系，根之和为， 又根之和为，所以，解得． 新方程为， 代入得． 令，则方程化为， 由原方程知且， 所以或， 即或， 解得或． 故答案为：， 15．若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 【答案】或 【分析】先整理方程得，解得，，分两种情况讨论：当为这个直角三角形的最短边时，求得直角三角形的面积是；当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是． 【详解】解：由方程，可整理得， 解得，， ∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是； 当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是； ∴这个直角三角形的面积是或． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．解方程：． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 18．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 19．已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 20．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 21．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设停车场内车道的宽度为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 23．古希腊数学家丢番图（公元年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《原本》中，形如关于的方程图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证的长是方程的一个根． (2)小利同学在探究中发现：当，存在某种数量关系时，用该图解法解得方程的解是的倍，请你求出，间的这个数量关系． 【答案】(1)； 证明：当时，， 的长是方程的一个根． (2) 【分析】（1）根据已知可得、、的长，由勾股定理可得的长，根据线段和差关系可得的长，将的长代入方程验证即可； （2）根据已知可表示出、、的长，由勾股定理列等式整理即可得到，间的数量关系． 【详解】（1）解：若，，则，， ， ； 证明略； （2）解：由题意得，， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 整理得， ， ，， ． 24．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 25．育高农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地． (1)如图1，如果长方形菜地的一边借助围墙，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一段篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜地面积为时，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】（1）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设，则，根据菜地面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵墙的长为， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为； （2）解：设，则， ∵菜地面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∵由墙和一段篱笆构成， ∴， ∴不符合题意， ∴的长为． 26．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 (2)为售空库存，下调后每套售价为元 (3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 27．如图，在边长为的正方形中，现有一动点P，从点A出发，以秒的速度，沿正方形的边经到达点D．设运动时间为t秒． (1)当点P运动3.5秒时，点P到达什么位置？ (2)连结始点A，动点P，终点D形成，当t为多少时，的面积为6？ (3)当点P运动多少秒时，点P到点A的距离为？ (4)如图，另有一动点Q，以秒的速度从点B出发，沿射线运动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止．当t为多少时，为等腰三角形？（请直接写出t的值） 【答案】(1)点P位于边上，距离B点处； (2)秒或秒； (3)秒或秒； (4)秒或秒或秒． 【分析】（1）求出点P运动路程，根据正方形的性质作答即可； （2）分三种情况根据三角形面积公式求解即可； （3）分三种情况根据勾股定理求解即可； （4）分三种情况根据勾股定理及等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：已知正方形边长为， ∴全长，全长，全长， 点P运动路程：， 全长，剩余路程：， 全长，，因此点P位于边上，距离B点处； （2）解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， 可知，，为直角三角形， ∴， 解得； 如图，当P在上时， 以为底，高恒等于正方形边长， 面积：； 如图，当P在上时， 可知，以为底，高为， ∴， 解得， 综上，秒或秒； （3）解：分三种位置讨论： 如图，当P在上时， ，无解； 如图，当P在上时，连接， 可知，为直角三角形， 由勾股定理：，即， 解得（负值舍去）； 如图，当P在上时，连接， 可知，， 由勾股定理： 解得（负值舍去）； 综上，秒或秒； （4）解：∵Q速度， ∴， 分P的位置讨论： 如图，当P在上时， 根据勾股定理可知，， 若即，则，解得， 若即，则，解得或（舍去）， 若即，则，解得（舍去）或（舍去）； 如图，当P在上时， 由图可知，当时P、Q重合，，，不存在t使为等腰三角形； 如图，当P在上时， 由勾股定理得，，， 由图可知，， 若即，则， 解得或（舍去）； 综上，秒或秒或秒． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $