专题02 直线方程中的对称问题六类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以“垂直和中点”为核心，系统构建六类对称问题解题体系，通过题型模版实现方法迁移与知识逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|依托垂直和中点关系，分场景选用对称模型|从基础几何关系到综合应用| |题型归纳|6题型（1典例+3变式）|点线对称用方程组，光线反射转化对称点，将军饮马用对称求最值|从单一对象到复合场景| |压轴挑战|15题|融合参数与存在性，分类讨论验证结果|从基础应用到高阶综合|

专题02 直线方程中的对称问题六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线的对称问题 题型二、直线关于点的对称问题 题型三、直线关于直线的对称问题 题型四、光线反射中的对称问题 题型五、将军饮马中的最值问题 题型六、利用代数式的几何意义解决最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程中的对称问题包含五类综合题型，整体依托垂直和中点两大基础几何关系，涵盖点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、光线反射对称、对称转化求解距离最值这几类核心考法，解题时要先分清对称对象，选择对应模型处理，相交和平行场景分开讨论，光线反射可转化对称点连线简化路径，距离最值借助两点之间线段最短分析，压轴题型常融合参数、存在性、面积设问，需要分类讨论，算出结果后结合题干条件完成核验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线的对称问题 典例1 已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（    ） A．2， B．－2， C．－2， D．2， 【答案】A 【分析】点与关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线上，列式求解即可. 【详解】易知，则直线的斜率为-2， 所以，即．又AB的中点坐标为， 代入，得. 故选：A.． 题型模版 1.特征：已知定点与一条对称轴直线，求该定点关于这条直线的对称点坐标，是直线对称类题型的基础模型，常作为复杂综合题的解题步骤，容易出现斜率计算失误、中点坐标代入出错等问题. 2.方法：利用垂直和中点两大条件列方程组，两点连线斜率与对称轴斜率乘积为负一保证垂直，两点中点坐标满足对称轴直线方程，联立求解得到对称点，坐标轴等特殊对称轴可使用简便结论快速写出结果，求出坐标后回代验证. 变式1-1若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为______． 【答案】 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为， 因为，由题意知． 所以，即． 故答案为：.． 变式1-2不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 变式1-3在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 【答案】(1) (2) 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2）略． 类型二、直线关于点的对称问题 典例2 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 【答案】A 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 题型模版 1.特征：已知一条直线和一个定点，求这条直线关于定点对称后的新直线，对称前后两条直线互相平行，定点是对应两点连线的中点，常作为综合题中间步骤，容易忽略两直线平行这个隐含条件. 2.方法：方法一，在原直线上任选两个点，求出两点关于定点的对称点，由两个对称点联立得到对称直线；方法二，设所求直线上任意一点，利用中点关系代换得到原直线上点，代入原直线方程求得解析式，完成后可用点到直线距离相等进行检验. 变式2-1直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设上任一点的坐标为，它关于点的对称点的坐标为，将点代入直线方程计算即可. 【详解】设上任一点的坐标为，它关于点的对称点的坐标为， 故有，即. 故选：A． 变式2-2已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C． 变式2-3已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C． 题型三、直线关于直线的对称问题 典例3 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线过定点求出定点关于直线对称点的坐标即可得出结果. 【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C． 题型模版 1.特征：已知原直线与作为对称轴的直线，求原直线的对称直线，分为原直线和对称轴相交、平行两类情况，计算量偏大，容易混淆夹角公式或者对称点计算出错，是本专题难度较高的题型. 2.方法：若两直线相交，先算出交点，再在原直线上任选一点求其关于对称轴的对称点，由交点与对称点确定所求直线；若两直线互相平行，则利用直线之间距离相等列式求解，算出方程后代入条件验证 变式3-1已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或.． 变式3-2已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A． 变式3-3已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 【答案】 【分析】解法一：在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上，则在直线l上，且直线与直线l斜率的乘积等于，建立方程组解出，再由经过与的交点，由两点式可得直线的方程，即可得解； 解法二：利用二级结论，直线关于直线对称的直线方程，由式子决定，即可得到直线的方程. 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 题型四、光线反射中的对称问题 典例4 如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 【答案】 【分析】建立如图平面直角坐标系，满足，，设，求出P关于直线BC的对称点的坐标，P关于y轴的对称点的坐标，由轴对称的性质可知、Q、R、四点共线，然后求得直线QR方程，结合点G在直线QR上可算出a值，进而求得，即可得到本题的答案． 【详解】以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，且直线BC方程为， 的重心为，即， 设， 点P关于直线BC的对称点为，由， 解得，可得， 点关于y轴的对称点为， 根据光线反射的原理，可知，Q，R，四点共线，且，， 直线QR就是，其方程为，即， 根据直线QR经过点， 可得，解得不符合题意，舍去， 所以，，， 可得， 所以的周长 故答案为：． 题型模版 1.特征：以光线入射、反射为实际背景，结合镜面作为对称轴，求解光线方程、反射点、光线路径总长，本质是点关于直线对称模型的实际应用，容易分不清应该作哪个点的对称点. 2.方法：利用反射定律，将入射点或者接收点关于镜面直线求对称点，对称点与另一个端点连线就是反射光线所在直线，联立镜面方程求出反射点，再写出对应光线解析式，也可借此计算光线走过的总路程 变式4-1一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D． 变式4-2设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. ． 变式4-3如图，已知，直线. (1)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；求出定点在直线上，且，由得到，设出,，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （2）作出辅助线，确定关于和的对称点，，得到，由对称性得，写成直线方程． 【详解】（1）因为，所以，由题意得直线方程为， 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为， 易知直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得，所以直线的方程为； （2）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为，即. 题型五、将军饮马中的最值问题 典例5 已知点P，Q在直线上. (1)若点P到点A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大，求点P的坐标； (2)若点Q到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小，求点Q的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点关于的对称点的坐标为，根据直线的对称，求得，对称直线的方程，联立方程组求得与直线的交点坐标，即可求解. （2）设点关于的对称点为，求得的坐标得出所在直线的方程，联立方程组，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，设点关于的对称点的坐标为， 因为，即，所以， 又由线段的中点坐标为，且中点在直线上， 所以，即， 联立方程组，解得，所以， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，解得， 所以与直线的交点坐标为， 所以当点到点的距离之差最大时，点的坐标为.    （2）    解：如图所示，设点关于的对称点为， 可得，解得，即， 所以所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 所以直线和的交点坐标为， 所以当点到点的距离之和最小时，点坐标为.   ． 题型模版 1.特征：动点在定直线上，求解两条线段长度之和或者长度之差的最值，属于将军饮马类几何代数综合题型，需要区分求和最小值、求差最大值两种模型，容易混淆对称点选取以及最值适用条件. 2.方法：求线段和最小值，作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线长度即为最小值；求线段差最大值，同样构造对称点，结合三点共线取得最值，最后利用两点间距离公式完成计算，注意验证动点位置. 变式5-1古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C． 变式5-2（多选）已知点和，是直线上的动点，则（   ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 【答案】ACD 【分析】A：先求点关于直线的对称点为，根据直线与直线的交点坐标即可判断；B：为线段的垂直平分线与直线的交点；C：根据绝对值的特点得出为直线与直线的交点；D： 设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标. 【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线， 由图可知，点和在直线同侧， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，得， ，当且仅当为直线与直线的交点时有最小值， 直线的斜率为，方程为， 由，解得，存在，使最小，A选项正确； 最小值为0，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点， 的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， ，解得，存在，使最小，B选项错误；   ，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值， 直线的方程为，即， ，解得，存在，使最大，C选项正确； 设， ， 当时有最小值，此时， 所以存在，使最小，D选项正确. 故选：ACD. 变式5-3已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 【答案】(1)P点坐标为 (2)P点坐标为 (3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. （2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案. （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. 【详解】（1）设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点 （2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为 （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点． 题型六、利用代数式的几何意义解决最值问题 典例6 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________． 【答案】 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点A作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以，    过点A作，垂足为， 因为直线的方程为，，则， 又直线与直线平行，，则， 可得， 则四边形为平行四边形，所以， 可得， 且，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得，即点的坐标为， 可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：动点题目给出带根号的代数式，根号里面是 x、y 的二次式，可以配方转化成距离； 基础题型：动点被限制在某条定直线上，求两条线段和或者差的最值，属于将军饮马题型； 进阶题型： ①双动点：两个动点，动点之间有垂直、定长这类位置约束； ②多根号题型：动点限定在某个平面区域，不止两段距离，部分式子还带有倍数系数。 易错：分不清求和最小值、求差最大值的做法，混淆对称点的使用条件；带系数、动点不在直线上，不能直接套用将军饮马 .2.方法： 1.先对根号内的式子配方，把代数式子翻译成点和点之间的线段长度； 2. 基础将军饮马： 求线段和最小：取其中一个定点，作关于定直线的对称点，连接对称点和另一个定点，连线的长度就是最小值。 求线段差最大：利用三点共线得到最大值，算出结果后要确认动点确实可以落在定直线上。 3. 双动点问题：利用题目给的位置约束，把两个动点转化成一个动点，变回普通将军饮马模型。 4. 动点在平面区域、根号带有倍数系数，不能用对称点，要用加权距离的相关方法求解. 变式6-1已知点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】将所求目标转化为直线上的点到定点和的距离和，求出点关于直线的对称点为，可得，当三点共线时，最小，从而得出结论. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和， 假设点关于直线的对称点为，且交直线于点， 则有，解得， 因此得到， ， 当三点共线时，最小，最小值为. 故答案为：.   ． 变式6-2设，的最小值为___________； 【答案】 【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可. 【详解】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：.    ． 变式6-3著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 4．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D； 5．（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 【答案】AC 【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D； 【详解】由关于，的对称点分别为，而，    从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对； 从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错； 由关于，的对称点分别为，    从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对； 从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错. 故选：AC 6．若点和点关于直线对称，则______． 【答案】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：． 7．已知实数满足，则最小值为_______. 【答案】 【分析】利用两点距离公式，转化问题式为动点到两定点距离之和的最小值，根据将军饮马模型计算即可. 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为：． 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故答案为：． 9．已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为___________. 【答案】或 【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果. 【详解】    直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或． 10．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由中点在直线上且所成直线斜率为，并应用和角正余弦公式展开化简得且，进而求θ值. 【详解】由题设，中点在直线上，且， 所以，且， 即，且， 所以，且， 故，且， 所以，且， 综上，，可得，显然满足. 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.    【答案】 【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点，则就是所求的路程长. 【详解】解：直线的方程为，即，    设点关于直线AB的对称点为， 则，解得，即， 又点关于y轴的对称点为， 由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长． 故答案为： 12.已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 13．在平面直角坐标系中，点，，直线. (1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标； (2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标. 【答案】(1)最小值为， (2)最大值为， 【分析】（1）首先求出点关于的对称点为的坐标，从而得到直线的方程，再求出两直线的交点坐标，即可所求点的坐标，则的最小值为； （2）首先求出直线的方程，求出直线与直线的交点坐标，即为，而的最大值为，即可得解. 【详解】（1）解：设点关于的对称点为，则， 解得，即，所以直线的方程为，即. 当为直线与直线的交点时，最小. 由，解得，所以， 从而的最小值为. （2）解：由题意知直线的方程为，即. 当为直线与直线的交点时，最大. 由，解得，所以， 从而的最大值为． 14．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 15．如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3)①7；② 【分析】（1）根据折射率定义以及二倍角公式直接计算可得结果； （2）利用倾斜角与斜率的关系以及折射率为2化简表达式可求得是定值为； （3）①求出关于和的对称点，结合角度关系以及点共线可得路程长度为； ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为，再由角度关系和两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意得该介质的折射率为． 由，得， 得， 所以该介质的折射率的取值范围为． （2）是定值，且定值为． 理由如下： 由题意得的倾斜角为，则的倾斜角为， 得． 设折射角为，则的倾斜角为，则． 因为甲介质的折射率为2，所以，得． 故 （3）①如图，设该光线与的交点为，与的交点为． 设关于的对称点为． 由得，即． 设关于的对称点为． 由得，即． 易得的倾斜角为，则，得， 由光的反射性质得． 因为，所以三点共线． 同理可得三点共线，得四点共线． 易得，所以该光线经过的路程长度为 ． ②由题意得折射光线所在直线的倾斜角为． 由①得直线平行于轴，则． 由，得，得， 所以乙介质的折射率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线方程中的对称问题六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线的对称问题 题型二、直线关于点的对称问题 题型三、直线关于直线的对称问题 题型四、光线反射中的对称问题 题型五、将军饮马中的最值问题 题型六、利用代数式的几何意义解决最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线方程中的对称问题包含五类综合题型，整体依托垂直和中点两大基础几何关系，涵盖点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、光线反射对称、对称转化求解距离最值这几类核心考法，解题时要先分清对称对象，选择对应模型处理，相交和平行场景分开讨论，光线反射可转化对称点连线简化路径，距离最值借助两点之间线段最短分析，压轴题型常融合参数、存在性、面积设问，需要分类讨论，算出结果后结合题干条件完成核验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点关于直线的对称问题 典例1 已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（    ） A．2， B．－2， C．－2， D．2， 题型模版 1.特征：已知定点与一条对称轴直线，求该定点关于这条直线的对称点坐标，是直线对称类题型的基础模型，常作为复杂综合题的解题步骤，容易出现斜率计算失误、中点坐标代入出错等问题. 2.方法：利用垂直和中点两大条件列方程组，两点连线斜率与对称轴斜率乘积为负一保证垂直，两点中点坐标满足对称轴直线方程，联立求解得到对称点，坐标轴等特殊对称轴可使用简便结论快速写出结果，求出坐标后回代验证. 变式1-1若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为______． 变式1-2不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 类型二、直线关于点的对称问题 典例2 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 题型模版 1.特征：已知一条直线和一个定点，求这条直线关于定点对称后的新直线，对称前后两条直线互相平行，定点是对应两点连线的中点，常作为综合题中间步骤，容易忽略两直线平行这个隐含条件. 2.方法：方法一，在原直线上任选两个点，求出两点关于定点的对称点，由两个对称点联立得到对称直线；方法二，设所求直线上任意一点，利用中点关系代换得到原直线上点，代入原直线方程求得解析式，完成后可用点到直线距离相等进行检验. 变式2-1直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是(　　) A． B． C． D． 变式2-2已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 变式2-3已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 题型三、直线关于直线的对称问题 典例3 若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知原直线与作为对称轴的直线，求原直线的对称直线，分为原直线和对称轴相交、平行两类情况，计算量偏大，容易混淆夹角公式或者对称点计算出错，是本专题难度较高的题型. 2.方法：若两直线相交，先算出交点，再在原直线上任选一点求其关于对称轴的对称点，由交点与对称点确定所求直线；若两直线互相平行，则利用直线之间距离相等列式求解，算出方程后代入条件验证 变式3-1已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 变式3-2已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-3已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为______． 题型四、光线反射中的对称问题 典例4 如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 题型模版 1.特征：以光线入射、反射为实际背景，结合镜面作为对称轴，求解光线方程、反射点、光线路径总长，本质是点关于直线对称模型的实际应用，容易分不清应该作哪个点的对称点. 2.方法：利用反射定律，将入射点或者接收点关于镜面直线求对称点，对称点与另一个端点连线就是反射光线所在直线，联立镜面方程求出反射点，再写出对应光线解析式，也可借此计算光线走过的总路程 变式4-1一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-2设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3如图，已知，直线. (1)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 题型五、将军饮马中的最值问题 典例5 已知点P，Q在直线上. (1)若点P到点A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大，求点P的坐标； (2)若点Q到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小，求点Q的坐标. 题型模版 1.特征：动点在定直线上，求解两条线段长度之和或者长度之差的最值，属于将军饮马类几何代数综合题型，需要区分求和最小值、求差最大值两种模型，容易混淆对称点选取以及最值适用条件. 2.方法：求线段和最小值，作其中一个定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线长度即为最小值；求线段差最大值，同样构造对称点，结合三点共线取得最值，最后利用两点间距离公式完成计算，注意验证动点位置. 变式5-1古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 变式5-2（多选）已知点和，是直线上的动点，则（   ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 变式5-3已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 题型六、利用代数式的几何意义解决最值问题 典例6 我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多的代数问题都可以通过转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线：上，点在直线：上，且，结合上述观点，的最小值为________． 题型模版 1.特征：动点题目给出带根号的代数式，根号里面是 x、y 的二次式，可以配方转化成距离； 基础题型：动点被限制在某条定直线上，求两条线段和或者差的最值，属于将军饮马题型； 进阶题型： ①双动点：两个动点，动点之间有垂直、定长这类位置约束； ②多根号题型：动点限定在某个平面区域，不止两段距离，部分式子还带有倍数系数。 易错：分不清求和最小值、求差最大值的做法，混淆对称点的使用条件；带系数、动点不在直线上，不能直接套用将军饮马 .2.方法： 1.先对根号内的式子配方，把代数式子翻译成点和点之间的线段长度； 2. 基础将军饮马： 求线段和最小：取其中一个定点，作关于定直线的对称点，连接对称点和另一个定点，连线的长度就是最小值。 求线段差最大：利用三点共线得到最大值，算出结果后要确认动点确实可以落在定直线上。 3. 双动点问题：利用题目给的位置约束，把两个动点转化成一个动点，变回普通将军饮马模型。 4. 动点在平面区域、根号带有倍数系数，不能用对称点，要用加权距离的相关方法求解. 变式6-1已知点在直线上，则的最小值为__________. 变式6-2设，的最小值为___________； 变式6-3著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 A．4 B． C．2 D． 4．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 5．（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 6．若点和点关于直线对称，则______． 7．已知实数满足，则最小值为_______. 8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为____________. 9．已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为___________. 10．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为______． 11．如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是__________.    12.已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 13．在平面直角坐标系中，点，，直线. (1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标； (2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标. 14．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 15．如图1，当光从真空射入某介质时，在两种介质的分界面，不仅会发生反射，还会发生折射．我们把入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫作该介质的绝对折射率，简称折射率． (1)当光从真空射入某介质时，发生折射，且入射角是折射角的两倍，求该介质的折射率的取值范围． (2)如图2，甲介质的折射率为2，一条光线从真空射入甲介质发生反射和折射，以入射光线在真空与甲介质的分界面上的投影所在的直线为轴，法线为轴建立直角坐标系，若入射光线所在直线的倾斜角为钝角，反射光线所在直线的斜率为，折射光线所在直线的斜率为，判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线，一条光线从点射出，经反射后，反射光线经再反射，再次反射的光线回到点． ①求该光线经过的路程长度； ②当该光线从点射出，从真空射入乙介质时，经该光线在分界面上的投影所在的直线折射后，折射光线所在直线的斜率为，求乙介质的折射率．． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $