专题03 直线与圆中必考八类最值与范围问题（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆八类最值问题，以“知识点-题型-方法”三维架构系统整合代数几何转化、数形结合等解题策略，强化数学眼光与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜率型、直线型|6题|代数式几何意义转化（斜率、截距）|基于知识点1，衔接函数与几何直观| |定点到圆上点|6题|圆心距加减半径|知识点2距离最值核心应用| |圆上点到定直线|6题|圆心到直线距离加减半径|深化知识点2几何性质| |过圆内定点弦长|6题|直径与垂直弦关系|知识点3弦长规律直接应用| |切线长度|6题|勾股定理与距离转化（代数/几何法）|知识点4双解法整合| |周长、面积型|6题|切线长与图形面积公式|综合切线长与面积模型| |角度型|6题|切线夹角与三角函数|几何关系转化为三角问题| |长度、距离型|6题|两点距离与圆的参数方程|知识点5参数法与数形结合|

专题03 直线与圆中必考八类最值与范围问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】 2 【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】 8 【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 11 【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 16 【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】 20 【类型6 周长、面积型最值（范围）问题】 24 【类型7 角度型最值（范围）问题】 30 【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】 35 知识点1 利用代数法的几何意义求最值 1．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 知识点2 与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 知识点3 弦长最值问题 1．过圆内定点的弦长最值问题 已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点4 切线长度最值问题 1．圆的切线长度最值问题 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法 (1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. (3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. (4)多与圆心联系，转化为圆心问题. (5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】 1．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【解答过程】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高三·全国·暑假作业）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】表示点与点连线的斜率， 由题图可知，过点且与以为圆心，为半径的半圆（轴右侧）相切的一条切线的斜率最小， 设切线方程为，即， 由，解得（舍去）或， 所以的最小值是. 故选：B. 3．（多选）（25-26高二上·广东·期中）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 【答案】ACD 【解题思路】根据给定条件，利用方程的几何意义，结合圆的性质逐项判断即得. 【解答过程】实数，满足，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 对于A，，解得，因此的最大值为，A正确； 对于B，令，则直线与圆有公共点，， 解得，因此的最小值为，B错误； 对于C，令，则直线与圆有公共点，，解得， 因此的最小值为，C正确； 对于D，表示圆上的点到定点距离的平方， 而圆心与点距离为，则， 即，因此的最大值为9，D正确. 故选：ACD. 4．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】将表示为圆上的点与点的连线的斜率，然后设出切线方程为，结合图形求出结果即可. 【解答过程】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程，      显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 5．（25-26高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【解答过程】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 6．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）最大值为，最小值为；（iii）最大值为9，最小值为1． 【解题思路】（1）由题意确定半径，由中点坐标公式求出圆心，进而可得圆的标准方程； （2）（i）把所求转化为圆上的点M与已知的点之间的距离，再数形结合求最大距离和最小距离即可； （ii）把所求转化为，再数形结合和利用点到直线的距离公式求出切线斜率的最值即可； （iii）将所求转化为过点M的直线的截距，再结合点到直线间距离求出截距即可； 【解答过程】（1）设圆心到直线的距离，半径，， 则圆的几何性质可得，， 当且仅当，即圆心是线段的中点时，半径的取得最小值， 此时圆C的面积最小. 所以，， 即圆C的标准方程为． （2）（i）因为表示圆上的点M与已知的点之间的距离． 圆C：， 如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值， 即，    与B重合时取得最大值即， 故最大值为，最小值为； （ii）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值， 如图所示．    可设，则C到其距离为，解得， 故最大值为，最小值为 （iii）设，如图所示，即过点M的直线的截距， 如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值． 圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1．    【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】 7．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解题思路】根据点与圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 8．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【解答过程】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C. 9．（多选）（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 【答案】AC 【解题思路】A，设圆 ，令举例说明；B，令，利用关系式求出的范围，再根据直线与圆的位置关系判断方法计算即可；C，先根据圆与轴相交求出的范围，再根据弦长公式即可判断；D，将问题转化为求的最值，再利用几何意义即可求出. 【解答过程】设圆 ， 因点在圆上，则， 若，则，则圆 ，此时轴与圆相切，故A正确； 令，则， 因直线与圆有交点，则， 得， 则圆心到直线的距离， 则，故直线与圆不可能相交，故B错误； 因，得， 令，则化为， 故当时圆与轴相交， 弦长为，等号成立时，故C正确； 因， 则可以理解为以为圆心，以为半径的圆上的点到的距离， 则的最大值为， 故， 故原点与圆上的点的距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】问题转化为圆上的点到定点的距离最大值，应用两点距离公式及圆的性质求最大值即可. 【解答过程】由题设表示圆上的点到定点的距离， 而圆的圆心为，半径为2， 所以的最大值为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设直线联立得出点的坐标，再结合面积公式计算求解； （2）应用点到直线距离公式计算得出点到圆上的点距离的最值. 【解答过程】（1）因为，，所以：， 设， 联立，得，由得， 而， 故的面积； （2），于是， 其到的距离， 而， 于是由几何关系知， 故的最小值为. 12．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）由圆的标准方程得圆心坐标，再结合条件，即可求解； （2）（i）先求出，进而可得直线的斜率，再利用点斜式得直线方程，再化成一般式，即可求解；（ii）利用圆的性质即可求解. 【解答过程】（1）因为圆的圆心为，半径为， 由题有，解得，所以的值为. （2）（i）由（1）知，所以，又在直线上， 所以，得到，则直线的斜率为，所以的方程为， 其一般式方程为. （ii）由（1）知圆，圆心为，半径为， 所以的最大值为， 即的最大值为. 【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 13．（25-26高二上·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解题思路】先求出点的轨迹方程，然后判断直线过定点，把点到直线的距离转化为圆心到直线的距离与半径之和，进而求出最大值即可． 【解答过程】设，又点，且，所以， 则，即点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 又直线恒过定点， 则，所以点在圆外， 所以点到直线的距离等于圆心到直线的距离与半径之和， 即点到直线的距离， 当时，，即点到直线的距离的最大值为6. 故选：D.    14．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的倍即可求解. 【解答过程】 由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，其方程为. 因为可分别看作点到直线的距离， 所以当点在直线同侧时，是点到直线的距离的2倍， 又点到直线的距离，所以的最大值为， 所以的最大值为； 当点在直线异侧时，， 所以的最大值为. 因为，所以的最大值为. 故选：B. 15．（多选）（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【解题思路】先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值即可判断AB；设，即与圆有公共点，利用几何法即可判断C；设，即直线与圆有交点，利用几何法即可判断D. 【解答过程】由题意有：圆心为，由圆心到直线的距离： ，所以P点到直线的距离的最大值为，故A错误； 所以P点到直线的距离的最小值为，故B正确； 设，即，则与圆有公共点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故C正确； 表示圆上点与点连线的斜率， 设，即，直线与圆有交点， 所以，所以的最大值为，最小值为，故D正确. 故选：BCD. 16．（2026高二上·江苏南京·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 【答案】 【解题思路】根据圆C的方程，可得其圆心和半径，分析可得点P在圆内，且直线l的斜率存在，设，可得，坐标，根据题意可得，整理可得Q点轨迹，根据点到直线距离公式，分析计算，即可得答案. 【解答过程】    易知圆的圆心为，半径， 又，所以在圆内， 因为，垂足为Q，由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以，即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 又圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故答案为：. 17．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据几何法求出圆心坐标及半径，进而可得圆的方程； （2）先判断直线与圆的位置关系，用几何法可得圆上的点到直线的距离的范围. 【解答过程】（1）由，，得中点坐标为. 由直线斜率，得中垂线斜率. 所以中垂线方程为，即. 由得，. 所以圆圆心为，半径. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可得直线方程为，即. 圆心到直线距离，显然直线与圆相交. 所以点到直线的最小距离为0，最大距离为. 故到直线距离的取值范围为. 18．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【解题思路】（1）先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【解答过程】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为 ． 点到直线的距离的最大值为 ，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆 有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则 ， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 19．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出直线过的定点，当时，最小，再利用勾股定理计算. 【解答过程】直线可化为， 当时，，所以直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大，此时最小， 又圆，则，， 则， 故的最小值为. 故选：A. 20．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）直线与圆交于两点，则的最小值为 （    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解题思路】求出直线的定点，利用圆的性质即可求出的最小值. 【解答过程】直线，则, 令，解得：, 所以直线的定点为， 由于圆，则圆心，半径, 则 当时，取最小值，此时, 故选：C. 21．（多选）（25-26高二上·广东江门·期末）已知圆，直线，则（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线的距离的最大值为2 C．直线被圆截得的弦长的取值范围是. D．当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是 【答案】BCD 【解题思路】化简直线方程为，可判定A错误；当时，圆心到直线的距离取得最大值，求得，可判定B正确；根据，结合圆的弦长公式，可判定C正确；由直线被圆截得的弦长最短时，即时，求得，得出直线的方程，可判定D正确. 【解答过程】对于A，将直线化为， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A错误； 对于B，由圆，可得圆心为，半径， 因为直线过定点，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 又因为，所以圆心到直线的距离的最大值为，所以B正确； 对于C，由B项知，圆心到直线的距离的取值范围为， 由圆的弦长公式，当，可得； 当，可得， 所以直线被圆截得的弦长的取值范围是，所以C正确； 对于D，当直线被圆截得的弦长最短时，即时， 因为，所以， 则直线的方程为，即，所以D正确. 故选：BCD. 22．（25-26高二上·湖南·期末）已知圆，过点的直线被该圆截得的最短弦长为___________. 【答案】 【解题思路】当圆心与定点的连线与弦所在直线垂直时弦长最短，利用勾股定理求弦长即可. 【解答过程】圆可化为， 所以圆心为，半径， 当圆心与定点的连线与弦所在直线垂直时弦长最短， 则， 此时弦长为. 故答案为：.    23．（2026高二上·湖南·专题练习）已知圆，直线. (1)当时，求被圆截得的弦长； (2)求被圆截得的弦长的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算； （2）定点与圆心连线垂直直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【解答过程】（1）圆的圆心为，半径为，             当时，的方程为，圆心到的距离，             此时被圆截得的弦长为. （2）的方程可化为， 令可得 所以恒过点.             记点，当时，圆心到的距离最大，被圆截得的弦长最小.             因为， 所以弦长的最小值为. 24．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知圆及直线. (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程. 【答案】(1)和 (2)直线l恒经过点，证明见解析 (3)最短弦长为，此时直线方程为， 【解题思路】（1）判断点与圆的位置关系，根据切线是否有斜率，再根据点到直线的距离即可求解直线方程； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得定点坐标；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【解答过程】（1）由题意可得圆心，则点在圆外， 当切线无斜率时，此时，满足题意， 当切线有斜率时，设切线斜率为，且切线方程为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线方程为，即. 综上可得：切线方程为和 （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】 25．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 26．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由得到当最小时，最小，此时与直线垂直，求出圆心到直线的距离，从而得到的最小值. 【解答过程】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 故选：D.    27．（多选）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解题思路】把一般式化成标准式可得圆的圆心及半径，可判断A；求出圆心到直线的距离判断B；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【解答过程】圆的标准方程为， 圆心为，半径，A错误； 对于B，过作直线的垂线，交圆于点，交直线于， 圆心到直线的距离： ，而， 所以圆上只有点满足到直线的距离为2，B正确； 对于，C正确； 对于D，由切线的性质， 得切线长为，D错误. 故选：BC. 28．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】连接切点与圆心，则该连线垂直于切线，利用勾股定理，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【解答过程】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 29．（25-26高二上·四川巴中·期末）已知直线，圆． (1)直线，且，求两平行线间的距离； (2)已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据线线平行的直线方程的关系列式求解可得，再根据两平行直线距离公式计算即可； （2）由勾股定理可得当最小时，取得最小值，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． 当时，的方程为，，不重合，符合题意， 故两平行线间的距离为； （2）圆的圆心为，半径为3， 因为，所以当最小时，取得最小值． 设圆的圆心到直线的距离为， 则，所以． 30．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. 【解答过程】（1）由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； （2）由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 【类型6 周长、面积型最值（范围）问题】 31．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【解答过程】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 32．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【解题思路】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【解答过程】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离，    因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 故选：C. 33．（多选）（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（  ） A．最短时，弦直线方程为 B．最短时，弦长为 C．M为圆C上一动点，则最小值为 D．四边形的面积最小值为 【答案】ABD 【解题思路】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【解答过程】对于A，由题意可知点与点，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，， 则，解得， 故直线的方程为，故A正确， 对于B，当最短时，圆心到直线的距离， 所以弦长为，故B正确.， 对于C，因为，所以最小值为，故C错误， 对于D，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积为， 因为，当时，取最小值， 且， 所以四边形的面积的最小值为， 故D正确， 故选：ABD.      34．（25-26高二上·陕西安康·阶段检测）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为___________. 【答案】 【解题思路】由圆的切线长的计算得出当最短时，四边形的面积最小，此时的长度是圆心到直线的距离，进而求解. 【解答过程】由题意有：圆，半径为， 所以四边形的面积为：， 当最小时，四边形的面积最小， 又点到直线的距离为：， 所以， 所以四边形的面积最小值为， 故答案为：. 35．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 36．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    【类型7 角度型最值（范围）问题】 37．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线过定点，结合圆的性质，利用最短弦来求角的余弦值即可. 【解答过程】 由直线， 所以当时，可得，所以动直线经过定点， 要使得取最大值，即满足最小， 根据是等腰三角形，则只需要满足弦长最短， 故由圆的几何性质可知：，由于， 从而有：，解得：， 此时，， 即 故选：A. 38．（25-26高二上·江苏徐州·期中）设为椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆及圆的方程可确定椭圆的焦点及圆的圆心，即可得，根据切线可知，结合二倍角公式及直角三角形中的三角函数值可得解. 【解答过程】    如图所示， 由椭圆方程，得，，， 即椭圆的左焦点坐标为， 又圆，即圆心与椭圆的左焦点重合， 所以椭圆上的点到圆心的距离， 又，且，则， 则， 所以当时，取得最大值为， 故选：A. 39．（多选）（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 【答案】ABD 【解题思路】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程. 【解答过程】选项A：，故A正确； 选项B：当与圆相切且直线时，最大， 此时，，，，故B正确； 选项C：由， 当与直线垂直，最小，最小， ， ，故C错误； 选项D：由题意知，则， ，即， ， ， 当最小，取得最小值，此时垂直于直线， 所以直线方程为.，联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即为四边形的外接圆，方程为， 由四边形的外接圆与圆相交于， 两圆方程相减即为的方程，故D正确.    故选：ABD. 40．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【解答过程】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 41．（25-26高一上·河南·期末）已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的方程为：，将、，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心代入，得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的一般方程. （2）设，，计算出点的轨迹方程，得到其轨迹方程为，分析出OM与圆相切时最大，计算即可得到答案. 【解答过程】（1）设圆的方程为：， 则有，解得． ∴圆的方程为：． （2）由（1）知圆， 设，， 则，所以 又P在圆上，    所以， 所以， 即M的轨迹方程为. 数形结合易知，当OM与圆相切时，取最大值， 此时， . 所以的最大值为. 42．（25-26高二上·上海·期末）树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 【答案】(1)平方米； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立直角坐标系，由时间关系求得的坐标满足的关系即可求出. （2）求出直线的方程，利用直线与圆的位置关系列出不等式求得的范围. 【解答过程】（1）以点为原点，射线分别为轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 则，设， 由狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，得，即， 则4，整理得， 因此M在以为圆心，为半径的圆及内部， 所以兔子被狼吃掉的点的区域面积平方米. （2）依题意，直线的斜率满足，直线的方程为， 由兔子要想不被狼吃掉，得直线与圆相离， 则，解得，因此，而，解得， 所以锐角的取值范围是. 【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】 43．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】设关于直线的对称点为，利用对称性可求得，进而数形结合可求得的最小值. 【解答过程】由圆，可知圆心，半径， 因为M是圆C上的动点，所以， 设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 所以， 当且仅当在同一直线上且在点之间时取得等号成立， 故的最小值. 故选：C. 44．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】D 【解题思路】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的5倍，结合圆的性质即可求解. 【解答过程】由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，则， 可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 令， 可分别看作点到直线的距离， 则是点到直线的距离的2倍， 且点到直线的距离，则的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 45．（多选）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【解题思路】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【解答过程】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 46．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是____________. 【答案】 【解题思路】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求最值即可. 【解答过程】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 即点的轨迹是以为圆心半径为的圆. 设点到直线的距离分别为， 所以，，， 所以． 因为点到直线的距离为，所以， 即，所以． 所以的最大值为18． 故答案为：18. 47．（25-26高二上·湖北宜昌·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求过且与圆相切的直线方程； (2)已知点在直线，，点在圆上，求最小值. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）假设圆心，利用可构造方程求得圆心坐标和半径，由圆心和半径可得圆的方程；当直线斜率不存在时，易知其与圆相切；当直线斜率存在时，设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，进而得到切线方程； （2）求出点关于直线对称的点坐标为，则，根据两点间的距离公式即可求解. 【解答过程】（1）设圆心， 由得：，解得：， 圆心，半径， 圆的方程为：. 当过的直线斜率不存在时，即直线为时，与圆为相切关系，符合题意； 当过的直线斜率存在时， 设与圆相切的直线为，即， 圆心到直线的距离，解得：， 该切线为，即； 综上所述：过且与圆相切的直线方程为：或. （2）设点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，即， 则， 当且仅当，，，四点共线，且在线段上时，等号成立， 所以的最小值为.    48．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程； (3)为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）求出的垂直平分线方程，利用圆的性质可得圆心在的垂直平分线上，求得圆心坐标和半径，得解； （2）分直线斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式求解； （3）由题表示圆上的点到的距离的平方，根据圆的几何性质可以转化为求出圆心到点的距离减去半径即可，平方后得最小值. 【解答过程】（1）由题，的中点为，的斜率， 所以的垂直平分线方程为，又圆心在直线上， 联立，解得，所以圆心坐标为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）①当直线斜率不存在时，，即 经检验当的方程为时，验证可知与圆相切； ②当直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为 即时，圆心到直线的距离为，解得， 所以的方程为，即. 所以直线的一般式方程为或. （3）由（1）知圆心为，半径为2， 表示圆上的点到的距离的平方. 圆心到的距离，圆的半径，因为，所以在圆内部， 圆上点到的最小距离为，因此最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线与圆中必考八类最值与范围问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】 2 【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】 3 【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 4 【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 5 【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】 6 【类型6 周长、面积型最值（范围）问题】 7 【类型7 角度型最值（范围）问题】 9 【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】 10 知识点1 利用代数法的几何意义求最值 1．利用代数法的几何意义求最值 (1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题. 知识点2 与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大、范围等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想进行求解得到相关结论. 1．圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆C和圆外的一条直线l，则圆上点到直线距离的最小值为：，距离的最大值为：. 知识点3 弦长最值问题 1．过圆内定点的弦长最值问题 已知圆C及圆内一定点P，则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点4 切线长度最值问题 1．圆的切线长度最值问题 (1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； (2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 知识点5 解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．与圆有关的最值与范围问题的解题方法 (1)数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. (3)利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. (4)多与圆心联系，转化为圆心问题. (5)参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 【类型1 斜率型、直线型最值（范围）问题】 1．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高三·全国·暑假作业）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·广东·期中）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 4．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是___________. 5．（25-26高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 6．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点圆C是过点的面积最小的圆． (1)求圆C的标准方程； (2)若为圆C上任意一点， （i）求的最大值和最小值; （ii）求的最大值和最小值; （iii）求的最大值和最小值． 【类型2 定点到圆上点的最值（范围）】 7．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 8．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，点在圆上，则（    ） A．轴与圆可能相切 B．直线与圆可能相交 C．轴被圆所截得的弦长的最大值是2 D．原点与圆上的点的距离的最大值为 10．（25-26高二上·广西钦州·期中）已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆：，，，与圆另交于点，以为圆心，为半径作圆. (1)求的面积； (2)为圆上一点，为直线上一点，求的最小值. 12．（25-26高二上·陕西安康·期中）已知圆的圆心在直线上. (1)求； (2)过的直线与相交于. （i）求的一般式方程； （ii）记为圆上一点，求的最大值. 【类型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）】 13．（25-26高二上·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 14．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知点是圆上任意一点．则下列结论正确的是（      ） A．P点到直线的距离的最大值为2 B．P点到直线的距离的最小值为 C．的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 16．（2026高二上·江苏南京·专题练习）过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为____________. 17．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的标准方程； (2)若点是圆上的任意一点，求点到直线距离的取值范围. 18．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【类型4 过圆内定点的弦长最值（范围）问题】 19．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）直线与圆交于两点，则的最小值为 （    ） A． B．2 C． D．4 21．（多选）（25-26高二上·广东江门·期末）已知圆，直线，则（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线的距离的最大值为2 C．直线被圆截得的弦长的取值范围是. D．当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程是 22．（25-26高二上·湖南·期末）已知圆，过点的直线被该圆截得的最短弦长为___________. 23．（2026高二上·湖南·专题练习）已知圆，直线. (1)当时，求被圆截得的弦长； (2)求被圆截得的弦长的最小值. 24．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知圆及直线. (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程. 【类型5 圆的切线长度最值（范围）问题】 25．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 27．（多选）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（    ） A．的坐标为 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C． D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 28．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为___________. 29．（25-26高二上·四川巴中·期末）已知直线，圆． (1)直线，且，求两平行线间的距离； (2)已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 30．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【类型6 周长、面积型最值（范围）问题】 31．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为（   ） A． B． C． D．16 33．（多选）（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（  ） A．最短时，弦直线方程为 B．最短时，弦长为 C．M为圆C上一动点，则最小值为 D．四边形的面积最小值为 34．（25-26高二上·陕西安康·阶段检测）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则四边形的面积最小值为___________. 35．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 36．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【类型7 角度型最值（范围）问题】 37．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·江苏徐州·期中）设为椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 39．（多选）（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 40．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________. 41．（25-26高一上·河南·期末）已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值. 42．（25-26高二上·上海·期末）树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 【类型8 长度、距离型最值（范围）问题】 43．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 44．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 45．（多选）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 46．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是____________. 47．（25-26高二上·湖北宜昌·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求过且与圆相切的直线方程； (2)已知点在直线，，点在圆上，求最小值. 48．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设直线经过点，且与圆相切，求直线的一般式方程； (3)为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $