河南焦作市武陟县第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试卷

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何、直线与圆等核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、几何直观与运算推理能力，适配高一年级开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量共线、法向量、直线倾斜角|第8题结合四棱锥动态轨迹，考查空间观念；第9题多选项直线截距问题，体现分类讨论| |填空题|3题/15分|直线斜率、空间坐标系交点、数形结合|第14题引用华罗庚名言，将代数最值转化为几何距离，渗透数学文化| |解答题|5题/77分|正三棱柱垂直证明、圆的方程、正方体面面垂直|第17题正方体中面面垂直证明与点的存在性探究，综合考查逻辑推理；第19题圆与弦长、中点轨迹问题，体现数学建模|

高一年级暑假作业完成情况答案 1.答案：D 2.解析：选B　因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以||＝，||＝，所以cos∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝60°，平行四边形面积为2S△ABC，在△ABC中由正弦定理得S△ABC＝||×||×sin∠BAC，设平行四边形的面积为S，所以S＝××sin 60°＝7. 3.解析：选A　＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝4＋(＋)＋(＋)．又四边形ABCD是正方形，G是它的中心，所以＋＝＋＝0，故＋＋＋＝4. 4.答案：D 5.选B解析：因为a＝(0，－2 024)，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 答案： 6.选A解：连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．设底面边长为a，则OD＝OC＝OB＝a，SO＝a，于是S， B，D，C， 则＝， ＝， ＝. 假设在侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC. 由题意知是平面PAC的一个法向量， 设＝t，0≤t≤1，则＝＋＝＋t ＝. 由·＝0，得－＋a2t＝0，解得t＝. 即当SE∶EC＝2∶1时，⊥，又BE⊄平面PAC，所以BE∥平面PAC. 故侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，且SE∶EC＝2∶1. 7.[解]　 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心坐标、 为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，解得k＝±，如图，所以的最大值为，最小值为－. 8.解析：选A　以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD的边长为a，M(x，y,0)，则0≤x≤a,0≤y≤a，P，C(0，a,0)，则||＝， ||＝.由||＝||，得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y＝x(0≤x≤a)，故选A. 9.解析：选CD　当直线过原点时，斜率k＝＝2，所以直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入点(1,2)得－＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 10.解析：选AD　向量与是相反向量，长度相等，A正确；在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；由空间向量的有关概念与性质知D正确． 11解]选ABC 　A设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得 所以点P′的坐标为(－2,7)． B解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线的方程． C在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为 E′(6,1)，F′(7，4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝， 即3x－y－17＝0. D：正确的直线方程：x+3y－19＝0 12解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k1＝tan α＝＝－，由于α∈[0，π)，所以s in α＝，cos α＝－，所以直线l2的斜率k2＝tan＝＝＝5. 答案：5 13.[解]　设直线AB与xOy平面的交点为P(x，y,0)，则＝λ，即(－2，－1,4)－(3,1,5)＝λ(x＋2，y＋1,0－4)， 即(－5，－2，－1)＝λ(x＋2，y＋1，－4)， ∴－5＝λ(x＋2)，－2＝λ(y＋1)，－1＝λ(－4)， ∴x＝－2，y＝－1，λ＝， ∴x＝－22，y＝－9， ∴直线AB与xOy平面的交点P的坐标为(－22，－9，0)． 14. 解析：5.　f(x)＝＋＝＋，表示点P(x,0)到点A(－2,4)和B(－1,3)的距离之和，如图所示，点C(－2，－4)是A(－2,4)关于x轴的对称点，故最小值为|BC|＝＝5，此时BC的方程为y＝7x＋10，取y＝7x＋10＝0，∴x＝－ 15.解：(1)证明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. (2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝ ＝ ＝||， ∴cos〈，〉＝＝， ∴||＝2，即侧棱长为2. 16.(1)[解]　①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1.所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. (2)[解]　l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又∵l′过点(－1,3)， 由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. 17解：(1)证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)， ∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)． 设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)． 由得 令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)． 同理平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)． ∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1. (2)由于点M在直线AE上， 因此可设＝λ＝λ(0,2,1) ＝(0,2λ，λ)，0≤λ≤1，则M(2,2λ，λ)， ∴＝(0,2λ，λ－2)．要使A1M⊥平面AED， 只需∥n1，即＝，解得λ＝. 故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED. 18.解：(1)由题意，圆心在直线y＝－3上， 联立解得则圆心坐标为(2，－3)，则圆C的半径 r＝＝. 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. (2)圆心C(2，－3)到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝，圆的半径为，所以圆C上的点到直线2x－y－1＝0的距离的最大值为＋＝，最小值为－＝. 19.解：(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则由题意可知，解得 所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10. (2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10， 所以d＝3. 若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3，满足题意； 若直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2， 圆心到直线l的距离为d＝＝3， 解得k＝， 所以直线l的方程为4x－3y－6＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0. (3)由题意得0＜|CP|－r≤2r， 即r＜|CP|≤3r恒成立， 所以 解得≤r＜. 于是圆C的半径r的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级暑假作业完成情况 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．与向量＝(0,1，-2)共线的向量是(　　) A．(2,0，-4)　　　　　 B．(3,6，-12) C．(1,1，-2) D. 2．已知空间三点A(0,2,3)，B(-2,1,6)，C(1，-1,5)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(　　) A．7 B．7 C. D. 3．已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于(　　) A．4　　　　　　　 B．3 C．2 D. 4.若平面α，β的一个法向量分别为＝，＝，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 5.若直线的方向向量＝(0，－2 024)，则直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D.0 6.四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．若SD⊥平面PAC，侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，SE∶EC的值(　　) A．2:1 B．2:3 C .3:1 D.3:4 7.已知实数x, y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值(　　) A．2,0 B．,0 C .,－ D.2,－ 8.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　) 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.(多选)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直线方程的一般式为(　　) A．x+y+1＝0 B．x+y-3＝0 C．2x-y＝0 D．x-y+1＝0 10.(多选)下列说法正确的是(　　) A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 11.已知直线l：y＝3x+3，下列说法正确的是：(　　) A点P(4,5)关于l的对称点的坐标(-2,7)； B直线y＝x-2关于l的对称直线的方程7x+y+22＝0； C直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程3x-y-17＝0； D过点点P(4,5)垂直于直线l的方程x+3y-17＝0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线l1经过点M(-4,3)，N(8，-2)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半，则直线l2的斜率为____________. 13.在空间直角坐标系中，已知点A(3,1,5)，B(-2，-1,4)，求直线AB与xOy平面的交点P的坐标 . 14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得f(x)＝＋最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长． 16. (1)求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． (2)过点(－1,3)，且与l:3x+4y-12＝0平行的直线l′的方程. 17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点． (1)求证：平面AED⊥平面A1FD1； (2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED. 18.已知圆心在直线2x-y-7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)． (1)求圆C的标准方程； (2)求圆C上的点到直线2x-y-1＝0的距离的最大值和最小值． 19.已知△ABC的三个顶点A(-1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为圆H. (1)求圆H的标准方程； (2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程； (3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上始终存在不同的两点M，N，使得M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $