河南郑州女子高级中学2026-2027学年高二上学期入学测试数学试卷

**基本信息** 2026-2027学年高二入学数学试卷，通过120分钟150分的分层设计，覆盖复数、统计、概率、立体几何等高一核心知识，以单选、解答题等题型考查空间观念、数据意识与运算能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、统计量计算、概率事件|基础概念辨析，如第3题概率事件等价性判断| |多选题|3/18|独立事件、解三角形、向量共面|多维度知识整合，如第10题结合正弦定理与三角形解的个数| |填空题|3/15|圆锥侧面积、分层抽样方差、异面直线夹角|空间几何与统计结合，如第13题分层抽样方差计算| |解答题|5/77|向量运算、频率分布直方图、立体几何体积与距离|梯度设计，从向量计算（15题）到三棱柱二面角证明（19题），体现逻辑推理与空间想象|

《2026~2027学年度第一学期高二年级入学考试》答案 一、 单选题 1 2 3 5 6 > 8 B A B D A C B 二、多选题 9 10 11 ABC AC ACD 三、填空题 12、4V2元 13、220 14、-5 6 四、解答题 15.解：(1)因为@=4，刷=2，且向量与向量的夹角为号 所以a:方=同1cos号=-4. d+2而·a-而=+a.6-2=16-4-2×4=4。 (2)a-2=d-万2=2-2a.6+=16-2×(-4)+4=28, 所以a-=2W7, a+2=(d+2而2=2+4a.五+462=16，所以a+2=4. 向量石-与向量a+2的夹角9的余弦值c0s0=@-@+20 a-动a+2 2分4 4 14 16.解：(1)由频率分布直方图得，10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1, 解得a=0.020. 估计初赛成绩的平均数为：元=55×0.05+65×0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5. 设中位数为x0,因为[50,60)组的频率为0.05，[60,70)组的频率为0.2，[70.80)组的频率为0.3， 因此xo∈[70,80)， 故0=0+照 :×10=235 31 (2)由(1)知，成绩在60,70)70,80)的领率之此为0.2：0.3=2：3 则在[60,70中随机抽取了5x2=2人，记为a.b, 在70,80)中随机抽取了5x2=3人，记为c,de, 从5人中随机抽取2人的样本空间为：n={ab,ac,adae,bc,bd,be,cd,ce,de} 共10个样本点， 设事件D=“有1名或2名学生的成绩在[60,70)内”， 则D={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,有7个样本点， 因此PD)=己所以有1名或2名学生的成锁在6@刊内的概率为品。 17.解：(1)如图所示，以A为原点，AB,AC,A4分别为x,2轴建系. 则40,0,0)，B(3,0,0),G(0,4,2)4(0,0,4), 4C=(0,4,-2),AB=(3,0,0,4C=(0,4,2), 设平面ABC的一个法向量为i=(x,y,z), 元AB=03x=0 a4C=0'4y+2z=0,取z=2,解得x=0,y=-1,即元=0-1,2， 则 设直线AC与平面ABC所成角为a, 器周 则mao(cGd l0×0+4×(-)+(-2)×2 即直线4G与平面ABC所成角的正弦值为 ..6分 (2)设点4到平面ABC的距离d,4=(0,0,4), 4网瓜明器-5 .12分别 18.解：(1)由(3sinB-V5cosA)c=V5 acosC以及正弦定理得，(3si血B-V5cos4sinC=5 sin AcosC, 3sin BsinC=5(sin AcosC+cos Asin C)=5sin(A+C)=5sin(-B)=5sin B 因为0<B<,所以s血B>0,所以血C=5 5分 (2②)因为ac=5,且c是锐角，所以C=C-号 由余弦定理可得c2=d2+-2 bcC=a2+6-4b, 则e-(e+6jf-2-号ab=o+-9a的， 因为=5a+b=5,所以5=5-9b,得b=6, 故48c的面积为兮0咖C-6x号-5. 3 10分 19、证明：：三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC, ÷BB1⊥平面ABC ÷BB1⊥AB,BB1⊥BC,又∠ABC=90 即AB⊥BC,÷AB,BC,BB1两两垂直， :以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间 直角坐标系yz, 设1AB=1BC1=21BB1l=2,则A1(2,0,1)，B(0,0,0)，A(2,0,0),D(0,1,0)，C1(0,2,1), 则A1B=(-2,0,-1).,AD=（-2,1,0)，AC=（-2,2,1), 设平面ADC1的法向量为m=(x1,y1,2), mAD=-2x1+y1=0, 由{ 取x1=1,得m=(1,2,-2), (m·AC1=-2x1+2y1+21=0, .2 :A1B·m=-2+0+2=0,A1B⊥m,又A1B丈平面ADC1, 所以A1B/平面ADC1· [解析]由C1C⊥平面ADC,可知平面ADC的一个法向量为CC1=(O,0,1), 由(1)可得平面ADC1的一个法向量为m=(1,2,-2), c0sm,=离=一号.由图知二面角C-A0-G为锐二面角，故二面角C-A0-G1的余弦 值为， 《2026～2027学年度第一学期高二年级入学考试》 考试时间：120分钟 考试分数：150分 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（   ） A．全是红球 B．至多有1个红球 C．全是白球 D．1个红球，1个白球 4. 如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有( ) ① ； ② ； ③ . A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A．1 B． C． D． 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7. 在正四棱台中，，若二面角的大小为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 分别为 ， 上的点，且 ， ，若 ，则 的值为( ) A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则与相互独立 B．若与互斥，则 C．方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D．数据的第百分位数为 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 11. 如图，在平行六面体 中， , ，点 , 分别是棱 , 的中点，则下列说法中正确的有( ) A. B. 向量 , , 共面 C. D. 若 ，则该平行六面体的高为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 13．学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14. 在棱长为2的正四面体 中， 是 的中点，则 和 所成角的余弦值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知 ，，且向量 与向量 的夹角为 ． （1）求 与 的值； （2）求向量 与向量 的夹角的余弦值． 16.（15分）郑州市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． 17.（15分）．如图，在多面体中，，，，侧面为矩形，平面，平面． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 18．（17分）在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 19.（17分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， 为 的中点. （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值； 学科网（北京）股份有限公司 $