北京市第一五六中学2026-2027学年高三开学摸底测试数学试卷

**基本信息** 高三开学摸底数学卷，以基础巩固为核心，融合科技前沿（如Peukert常数测算）、生活实践（肺活量与长跑成绩统计）及创新题型（数列新定义），全面考查数学眼光、思维与语言，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、复数、函数性质等|第9题结合“双碳”背景考查指数运算，体现数学应用| |填空题|5/25|直线与圆、抛物线、立体几何体积等|第14题分层设问函数零点，培养逻辑推理| |解答题|6/85|立体几何、统计概率、导数、椭圆等|18题统计案例分析强化数据意识，21题新定义数列考查创新思维|

156中学高三开学考摸底测试试卷 数学 2026.8 第一部分（选择题 共40分） 一、单选题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数的几何意义得出，再运算化简即可. 【详解】复数对应的点的坐标是，所以，， 所以. 故选：D． 3．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】AD选项不符合单调性，B不符合奇偶性，C选项正确. 【详解】在单调递增，A错误；为奇函数，B错误；为偶函数，且在上单调递减，，故符合题意，C正确；为偶函数，当时，为对勾函数，在单调递减，在上单调递增，故不合题意，D错误. 故选：C 5．在的展开式中，的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，解之即可. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，所以的系数为，解得. 故选：A. 6．已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由等比和等差数列的性质结合充分必要条件推导可得. 【详解】正项等比数列，，则公比, 充分性：若公差，等差数列递减，显然存在正整数，当时，； 若公差，等差数列递增，等比呈指数增长，等差呈线性增长， 则时，，所以存在正整数，当时，， 若，则为常数列，显然成立. 所以充分性成立； 必要性：取，，显然存在正整数，当时，， 但，必要性不成立. 故选：A 7．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 8．已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 9．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得，， 两式相比得，即， 所以. 故选：B. 10．一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解. 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若直线是圆的一条对称轴，则_________. 【答案】 【解析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 12．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 【答案】 3 【解析】利用抛物线的标准方程即可求解焦点坐标，利用求点坐标和两点间距离公式可求焦半径长. 【详解】由为抛物线的焦点，则的坐标为，    由可得：的横坐标为， 代入抛物线可得：， 即可得的纵坐标为， 所以， 故答案为：； 3. 13．某建筑零件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该零件的体积为______.    【答案】 【解析】作辅助线，将五面体分割为三棱柱与四棱锥，再利用锥体与柱体的体积关系计算该几何体的体积． 【详解】由五面体ABCDEF可知，四边形与四边形都为平面四边形. 如图所示，分别取，的中点，，连接，，，    因为面为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以， 因为，分别为，的中点，，， 所以， 则四边形为平行四边形，同理四边形也为平行四边形. 则，平面，平面， 所以平面，同理平面，又， 且平面，平面， 所以平面平面，又四边形也是平行四边形， 所以几何体为三棱柱， 已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点到平面的距离. 由题意，； 又； 所以该五面体的体积 ． 故答案为：. 14．已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为_______； ②若函数有4个零点，则_______． 【答案】 【解析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值. 【详解】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 15．已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】分析出曲线关于原点对称，可知、也关于原点对称，可判断①；当时，求出关于的表达式，结合基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，可判断②；分析可知曲线关于直线、对称，求出曲线与这两条直线的四个交点围成的菱形的面积，可判断③；利用配方法得出，求出的取值范围，可判断④. 【详解】对于①，在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为， 所以，即点在曲线上， 故曲线关于原点对称， 又因为函数为奇函数，点、是直线与曲线的交点， 故点、关于原点对称， 所以，，总有，①对； 对于②，当时，曲线的方程为， 联立可得， 可得，即， 所以， 若取最大值，必有， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即， 故，②错； 对于③，在曲线上取点，该点关于直线的对称点为， 因为，即点在曲线上，故曲线关于直线对称， 点关于直线的对称点为， 因为，故曲线关于直线对称， 由基本不等式可得， 即，当且仅当或时，等号成立， 所以， 取点、， 所以 ， 同理可得，所以， 故曲线是以点、为焦点的椭圆， 设曲线交直线于、两点， 联立可得，此时，    设曲线交直线于、两点，联立可得， 故， 易知四边形为菱形，该菱形的面积为， 故曲线所围成区域的面积大于菱形的面积， 即曲线所围成区域的面积不为，③错； 对于④，当时，曲线的方程为， 则，可得，解得， 当时，，总有，④对. 故答案为：①④. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。 16．（本小题满分13分）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． (1)求证：∥平面； (2)若平面，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点D到平面的距离． 【答案】(1) 如图,在射线上取点,使,连接. 由题设,得,所以四边形为平行四边形. 所以且. 又四边形为平行四边形, 所以且. 所以且.. 所以四边形为平行四边形, 所以. 因为平面平面 所以平面. (2)（i）；（ii）. 【解析】（1）在射线上取点,使，证明四边形为平行四边形，则，则根据线面平行的判定即可得到； （2）以为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面的法向量为，则可计算出线面角的正弦值； （3）因为,根据（2）的结论则得到距离. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面,平面， 所以.又, 所以,,两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系, 则.所以. 设平面的法向量为,则 即 令,则.于是. 设直线与平面所成角为,则 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）因为, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 所以点到平面的距离为 17．（本小题14分）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【解析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 18．（本小题13分）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由条件求出未达标组中，肺活量等级为的人数和成绩达标组中，肺活量等级为的人数，根据古典概型概率公式求结论； （2）确定随机变量的可能取值，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法求取各值的概率，再由期望定义求结论； （3）分别求和时判断 错误的人数，由此可得结论. 【详解】（1）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数是，成绩未达标组共人； 故成绩达标组有人， 达标组中，肺活量等级为的频率为， 因此成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以人中，肺活量等级为的总人数为， 因此从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率； （2）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 设事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 所以可估计，， 根据题意随机变量的可能取值有，且 ， ， ， ， 所以可估计 （3）取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为或时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑达标，否则判定其长跑未达标，则判断错误的总人数为， 取时，则会判断所有学生未达标，判断错误的总人数为， 因此取时判断错误的概率最小， 故. 19．（本小题15分）已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为. (1)求椭圆M的方程： (2)过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，试比较与面积的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为.用“设而不求法”表示出，. 进而得到，.由，得到三点共线. 所以，即可得到. 【详解】（1）由题设，，所以. 又因为，，所以. 解得，. 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知，直线斜率存在，设直线的方程为. 由得. 设，，则，. 因为轴，所以. 直线方程为，所以. 因为轴，所以. 因为，. 所以 . 所以三点共线. 因为，所以， 所以， 所以. 20．（本小题15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数g(x)= ,若曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. (3). 【解析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）略 （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 21．（本小题15分）已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列． (1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列； (3)若，，，的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，Q是连续可归零数列． 【答案】(1) 数列是连续可归零数列，理由如下： 取，则， 所以数列是连续可归零数列． 数列不是连续可归零数列，理由如下： 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 当时，， 因为是奇数，故是奇数，所以． 所以数列不是连续可归零数列． (2) 因为1，3，5，7是奇数，故， 所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以数列． 因为， 所以与奇偶性相同． 当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数， 所以为奇数． 所以． 当取时， 由（1）可知， 综上，数列不是连续可归零数列． (3) 设， 则是整数数列． 下面证明对任意，均有． 显然满足． 假设结论不成立，则存在，使得或， 且当时都有． （i）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为，所以，矛盾． （ii）若，当时，， 因为，所以，矛盾； 当时，， 因为， 又是整数，所以，矛盾． 综上，对任意，均有． 若存在，使得， 则存在且，使得， 此时数列是连续可归零数列． 若任意， 因为中共个非零整数， 当时，数列中存在且，使得， 从而存在，使得， 此时数列是连续可归零数列． 综上，当时，数列是连续可归零数列． 【解析】（1）判断数列是否为连续可归零数列，关键看能否找到，使连续项.对于，找到一组使等式成立，所以是连续可归零数列；对于，分的三种情况讨论，根据取值及式子奇偶性判断都不为，所以不是. （2）先根据的值求出数列各项.再依据与奇偶性相同，分或时，因为奇数其余为偶数，和为奇数；再结合取特定值时由第一题结论也不为，得出数列不是连续可归零数列. （3）先定义数列，目标是证对任意，.用反证法，假设存在使超出范围，分和两种情况，推出矛盾，证明该结论成立. 分情况讨论：若有，能找到一组数使式子为，此时数列是连续可归零数列. 若都不为，因为到间非零整数有限，当时，中存在两项相等，进而能找到一组数使式子为，此时数列也是连续可归零数列. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 试卷第20页（共23页） 试卷第1页（共23页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 156中学高三开学考摸底测试试卷 数学 2026.8 第一部分（选择题 共40分） 一、单选题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 3．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，的系数为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 9．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D．2 10．一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若直线是圆的一条对称轴，则_________. 12．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 13．某建筑零件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该零件的体积为______.    14．已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为_______； ②若函数有4个零点，则_______． 15．已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论： ①，，总有； ②当时，； ③曲线所围成区域的面积为； ④当时，，总有. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。 16．（本小题满分13分）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． (1)求证：∥平面； (2)若平面，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点D到平面的距离． 17．（本小题14分）已知函数（其中，，）．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分． 18．（本小题13分）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 19．（本小题15分）已知椭圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为. (1)求椭圆M的方程： (2)过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点，轴于点C，轴于点D，直线BD交直线于点E，试比较与面积的大小，并说明理由. 20．（本小题15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设函数g(x)= ,若曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 21．（本小题15分）已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列． (1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由； (2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列； (3)若，，，的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，Q是连续可归零数列． 试卷第6页（共6页） 试卷第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $