北京师范大学附属实验中学2026-2027学年第一学期高三年级摸底测试数学试卷

北师大附属实验中学2026―2027学年度第一学期开学检测 高三年级数学参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D D A D C C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．； 12． 13．答案不唯一，如（满足，即可） 14．， 15．①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（1）依题意可得， 1分 又函数的图象关于直线对称，所以， 2分 解得，，，， 3分 令，即，即， 4分 解得， 5分 所以不等式的解集为． …6分 （2）将的图象先向左平移个单位得到， 7分 将所有点的横坐标变为原来的2倍得到， 即， 8分 又，所以 ， 11分 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为 13分 17．（1）因为四边形为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 3分 又平面平面，平面， 所以． 5分 （2）若选条件①：第二问0分 若选择条件②：平面平面 取的中点，的中点，连接，， 则，由，得，且， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，由平面，得， 7分 建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， 则，，， 8分 设为平面的一个法向量， 则，令，得，，所以， 11分 ， 12分 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 13分 若选择条件③： 由于，，，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 以下如选择条件②相同． 18．（1）随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数不超过5次的有：个， 设事件：“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超过5次”， 则． 4分 （2）设事件：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10元”， 依题意可得，，， 随机变量的所有可能取值有、、， 5分 ，，， 8分 所以随机变量的分布列如下表所示： （分布列正确9分） 故． 11分 （3）快充充电桩共个，公用和专用充电桩数量之比为，故公用充电桩的个数为， 日均使用超过次的快充充电桩的个数为个，其中公用占比为， 故公用充电桩的个数为， 日均使用不超过次的快充充电桩的个数为个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为， 由题意可得，解得，故． 14分 19．（1）由椭圆方程知，，， 所以， 所以离心率． 3分 （2）设，，，， 直线：， 4分 联立，得． 5分 则，． 6分 直线的方程：，令得纵坐标； 8分 直线的方程：，令得的纵坐标． 9分 则，． 11分 若，即， ， ，， 13分 代入根与系数的关系，得，解得． 14分 存在直线或满足题意． 15分 20．（1）由，得， 1分 由于在上单调递增，故在时恒成立， 2分 即在上恒成立， 设，则， 3分 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 5分 故， 6分 故，，即得最大值为； 7分 （2）时，，则， 8分 令，则． 9分 若存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直， 则存在，，使得， 10分 令，， 11分 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 13分 ，，． 14分 即时，，故存在，，使得， 例如，，符合题意． 15分 21．（1）当，此时，，必有一项为1，另两项为3、4， 对于为1的项，显然、，不符； 同理，有，，必有一项为1，另两项为2、4， 对于为4的项，显然、，不符； 当时，，则，或，， 显然不符，所以， ，此时，均满足要求； ，此时，均满足要求； 当时，，则，或，， 显然不符，所以， ，此时，均满足要求； ，此时，均满足要求；， 综上：，，，，，，， 4分 （2）证明：假设，，， ①当时，因为，所以存在，其中， 由题意得存在，使得， 因为，所以，继续存在，使得， 因为，，所以，…可得，， 因为，所以， 此时不存在，使得，矛盾． 7分 ②当时，因为，所以存在，其中， 由题意得存在，使得， 因为，所以，继续存在，使得， 因为，，所以，…可得，， 因为，所以， 此时不存在，使得，矛盾． 所以有或成立． 9分 （3）设元凝聚排列的个数为，则，下面考虑元凝聚排列的个数为， 由（2）得或， ①当时，为，，…，的一个凝聚排列，所以此时有种不同排列， 11分 ②当时，， 记，，则排列为，，…，的一个凝聚排列， 所以此时，，…，有种不同排列， 13分 所以，所以，且，得． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026―2027学年度第一学期高三年级摸底测试 数学试卷 班级________姓名________学号________成绩__________ 考 生 须 知 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．若全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数是纯虚数，则的值是 A． B． C． D．， 3．已知，，若和方向相同，则 A． B． C．或 D．或 4．现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650元．小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近 A．642元 B．650元 C．659元 D．667元 5．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 6．函数的图象的一个对称中心为 A． B． C． D． 7．已知，，都是正数，则三数，， A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 8．已知，向量满足，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的最小值为 A． B． C． D． 9．三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 A． B． C． D． 10．已知函数，，若对，都有是的必要条件，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数的定义域为________． 12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，则的取值范围是________． 13．已知等比数列满足：（，，，…），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式：________． 14．的内角，，的对边分别为，，，，则角的大小为________．若角为钝角，则的取值范围为________． 15．已知函数，则下列命题正确的是________． ①在上单调递减； ②若是小于1的最大零点，是大于1的最小零点，则； ③若，为的两个相邻零点，则； ④，，使得在上有两个零点． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（本小题13分）已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式，并求使成立的的取值范围； （2）若将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，设函数，求在上的值域． 17．（本小题13分）如图，在五面体中，四边形是矩形，，． （1）求证：： （2）从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面 条件②：平面平面 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题14分）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）．该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 日均使用情况 不超过5次 超过5次 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超过5次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10元、30元．从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取2个，设为抽取的2个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种．已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为．在日均使用不超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题15分）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 20．（本小题15分）已知函数． （1）若在上单调递增，求的最大值； （2）若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，） 21．（本小题15分）已知其中且，一个元排列记为．如果排列满足任意，存在，且使得，称其为凝聚排列． （1）写出时的所有凝聚排列； （2）求证：凝聚排列必有或； （3）求元凝聚排列的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $