精品解析：北京市八一学校2027届高三上学期开学摸底考试数学试题

北京市八一学校2027届高三开学摸底考试 数学 本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 12. 设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为______. 13. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 14. 已知抛物线． ①则的准线方程为______； ②设的顶点为，焦点为．点在上，点与点关于轴对称．若平分，则点的横坐标为______． 15. 中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△中，，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的余弦值． 18. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程. 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由． 21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列A中． （1）当时，写出所有满足的数对序列A； （2）当时，证明：； （3）当为奇数时，记的最大值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校2027届高三开学摸底考试 数学 本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式划化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】由或，又 ， 故选：C 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，从而求得对应点所在象限. 【详解】，对应点，在第一象限. 故选：A 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性比较大小判断A，利用幂函数单调性比较大小判断B，利用对数函数单调性比较大小判断C，举特例判断D. 【详解】对于A，因为，所以指数函数单调递减，所以，错误； 对于B，因为，所以幂函数在上单调递增，所以，正确； 对于C，因为，所以对数函数单调递减，所以，错误； 对于D，当时，满足，有， 此时不满足，错误. 故选：B 4. 已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意设双曲线方程为，即可得到，从而求出、，即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点是，设双曲线方程为， 则双曲线的渐近线为， 所以，解得，所以的方程是. 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果. 【详解】设，易知， 由可得，整理得， 即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径， 即. 故选：D 6. 如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点是平面内一点，且平面，先考虑平面平面，从而得在直线上，取最大值时取最小值，此时，求解即可. 【详解】 正方体中， 连接，交于点，再连接和 由于，且，∴四边形是平行四边形， 所以， 又平面，且平面，， 所以平面，同理证明平面， 因为平面，平面，平面，平面，且， 所以平面平面，且平面平面， 从而得，若平面，点是平面内一点，且平面， 则，即在直线上时，都满足平面， 因为平面，所以， 显然，当最大时，即取最小值时， 此时点满足，连接， 可设正方体的棱长为， 所以． 故选：C． 7. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性及奇偶性的判断求解即可. 【详解】因为，， 所以为奇函数， 又奇函数的图象关于原点对称，所以曲线存在对称中心； 令，， 因为在定义域内为增函数，在定义域内为增函数， 所以在定义域内为增函数， 综上，在上是增函数，且曲线存在对称中心. 故选：. 8. 设，是非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合数量积的定义推理判断. 【详解】由，得， 反之，当时，，而不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 9. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 10. 在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 取，得的系数为. 故答案为： 12. 设，函数.若曲线关于直线对称，则的一个取值为______. 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案. 【详解】由于曲线关于直线对称， 所以，解得，由于，则. 故答案为：，（答案不唯一） 13. 已知函数，则的定义域是________；的最小值是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 14. 已知抛物线． ①则的准线方程为______； ②设的顶点为，焦点为．点在上，点与点关于轴对称．若平分，则点的横坐标为______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据抛物线方程，即可根据准线方程求解，利用平分可得，即可结合焦半径公式求解. 【详解】抛物线，，，所以准线方程为， 焦点，设，则, 由于轴，平分， 所以，所以，即， ．所以的横坐标为． 故答案为：，2， 15. 中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①②直接迭代计算判断即可；对于③④，先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，进一步根据不等式或者基本不等式的性质进行判断. 【详解】对于①，，，故①正确； 对于②，，故②错误； 为了说明选项③④，引理：我们先来讨论与的关系； 由于是偶数，所以，对于而言，由于为奇数，所以， 所以有， 由于数列每一项均为正，所以利用均值不等式，有，取不到等号，即， 同时有，因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于； 对于③，当时，由于是偶数，所以 ， 由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正， 所以， 于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于， 所以，即， 从而时，恒有，故③错误； 对于④，当时，根据上述引理可知， 所以有， 从而有， 利用均值不等式有代入上式得， 即，故④正确. 故答案为：①④. 【点睛】关键点睛：对于③④的判断，关键是先证明引理 “数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，由此即可顺利得解. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在△中，，． （1）求的大小； （2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件②或③， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【小问1详解】 在中，因为，又，所以． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 选择条件②：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为，所以． 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 因为的面积为，即， 所以． 设点为线段的中点，在中，． 因为中， ， 所以，即边上的中线的长度为． 由题可知，故①不合题意. 17. 如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推证线面平行；（2）借助面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出各点坐标，分别求出两个半平面的法向量，计算法向量夹角余弦，结合图形判断二面角实际为钝角，得到最终余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接．因为，所以． 又因为侧面底面，且平面平面，平面， 所以平面． 如图，在平面中，作，则，，，建立空间直角坐标系． 连接，在中，因为，，所以． 在中，因为，，所以． 所以，，，，，． 所以，． 设平面的法向量是，则，即， 令，则，．于是． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 所以． 由题意和图形可知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 18. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案. （2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望. （3）通过计算，，来确定正确答案. 【小问1详解】 从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人， 这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为. 【小问2详解】 因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为， 所以的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 所以. 【小问3详解】 ，证明如下： ， ， 所以. ， ， 所以. 数据：，，，，，，，， 对应的平均数为 所以 所以. 19. 已知椭圆：的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，进而求得的方程. （2）根据直线与轴是否重合进行分类讨论，当直线与轴不重合时，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用根与系数关系来确定直线的方程. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则与原点重合，符合题意，此时直线的方程为. 若直线与轴不重合，设其方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， 则. 因为是的中点， 所以. 因为，所以， 整理得，解得， 此时直线经过点，不符合题意，舍去. 综上所述，直线的方程为. 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当且时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）单调递增区间为；单调递减区间为和 （3） 当且时，，理由如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性即可； （3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论. 【小问1详解】 当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． 【小问3详解】 略 21. 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质： ①，且； ②； ③与不同时在数对序列A中． （1）当时，写出所有满足的数对序列A； （2）当时，证明：； （3）当为奇数时，记的最大值为，求． 【答案】（1）或 （2）证明：当时，因与不同时在数对序列中，故， 即每个数至多出现5次. 又因，所以只有对应的数可以出现5次， 故.得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用列举法即可求得正确答案； （2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得；（3）先证明，然后利用累加法求得. 【小问1详解】 依题意，当时，有或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当是奇数时，先证明. 因与不同时在数对序列中，所以, 当时，构造恰有项，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1. 对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1， 那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合： 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以， 其次，对每个不大于的偶数, 将如下4个数对并成一组：， 共得到组，将这组对数以及按如下方式补充到的后面， 即： , 此时恰有项，所以. 综上，当是奇数时， . 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论; （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况; （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $