第九章 静电场章末小结（举一反三·讲义）物理沪科版必修第三册

该高中物理静电场单元复习讲义通过表格对比、图像分析系统构建知识体系，梳理库仑定律、电场强度、电势等核心概念，用“填补法”“对称法”等技巧整合电场叠加、电容器动态分析等重难点，体现运动和相互作用及能量观念。 讲义亮点在于“实际情境问题”设计，如喷墨打印机原理分析、示波管带电粒子运动计算，结合牛顿定律与功能关系培养科学推理能力。例题含单选、多选、计算等题型，变式题分层进阶，助力不同学生掌握模型建构方法，教师可据此实施精准复习教学。

第九章 静电场章末小结 【新教材沪科版】 本章内容在高考中单独命题较多，有选择题也有计算题．选择题主要考查对基本概念和物理模型的理解，如电场的分布特点、电势、电势能的理解；计算题主要考查带电粒子在电场中的运动，常与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒综合考查．常与实际生活、科学研究联系密切出题，通过新的情景或新的素材如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等进行命题考查. 模块二 知识精讲 情景导入 知识归纳 【知识点1 库仑定律】 1．库仑定律 (1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 (2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫作静电力常量。 (3)适用条件：①真空中；②点电荷。 2．库仑定律的理解 (1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。 (2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。 ①同种电荷：F＜k。 ②异种电荷：F＞k。 (4)不能根据公式错误地认为r →0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。 3．库仑力作用下的平衡问题 点电荷平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多分析一个电场力。具体步骤如下： 【例1】（多选）用等长的绝缘丝线分别悬挂两个质量、电荷量都相同的带电小球A、B(均可视为质点且不计两球之间的万有引力)，两线上端固定在同一点O，把B球固定在O点的正下方，当A球静止时，两悬线夹角为θ，如图所示，若其他条件不变，只改变下列某些情况，能够保持两悬线夹角θ不变的方法是(　　) A．同时使两悬线的长度都减半 B．同时使A球的质量、电荷量都减半 C．同时使A、B两球的质量、电荷量都减半 D．同时使两悬线的长度和两球的电荷量都减半 答案　BD 解析　如图所示，以小球A为研究对象，受重力mg、静电斥力F和拉力FT的作用，三力平衡．设线长为l，由力学三角形和几何三角形关系可得＝，其中F＝k，d＝2lsin .同时使A球的质量、电荷量都减半，则两悬线夹角θ不变，选项B正确；同时使两悬线的长度和两球的电荷量都减半，两悬线夹角θ不变，选项D正确． 【变式1-1】如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为m、带电荷量为q的圆环a套在竖直杆上，质量为M、带电荷量为＋Q的滑块b静置于水平地面上，滑块b与地面间的动摩擦因数为μ，a、b均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为θ，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．圆环a带负电 B．滑块b受到的库仑力大小为 C．滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g D．滑块b受到地面的摩擦力大小为μ(M＋m)g 答案　C 解析　根据题意，圆环a能保持静止，故受到库仑斥力，圆环a也带正电，A错误；根据牛顿第三定律，滑块b受到的库仑力大小等于圆环a受到的库仑力大小，对圆环a进行受力分析后，得库仑力的大小为，B错误；对a、b组成的系统整体进行受力分析，竖直方向上受力平衡，故滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g，C正确；滑块b静止，根据受力分析可知，滑块b受到地面的静摩擦力大小为Ff＝·cos θ＝，D错误． 【变式1-2】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？ 答案　6mg 解析　设小球在最高点时的速度为v1，根据牛顿第二定律 mg－＝m① 设小球在最低点时的速度为v2，管壁对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律有F－mg－＝m② 小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，则mv＋mg·2R＝mv③ 由①②③式得F＝6mg 由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力F′＝6mg. 【变式1-3】如图所示，倾斜角度为θ的粗糙程度均匀的绝缘斜面，下方O点处有一电荷量为＋Q的点电荷，一质量为m、电荷量为－q的小物体(可看成质点)与斜面间的动摩擦因数为μ.现使小物体以初速度v0从斜面上的A点沿斜面上滑，到达B点时速度为零，然后又下滑回到A点．小物体所带电荷量保持不变，静电力常量为k，重力加速度为g，OA＝OB＝l.求： (1)小物体沿斜面上滑经过AB中点时的加速度大小； (2)小物体返回到斜面上的A点时的速度大小． 解析　(1)根据题意得FN＝mgcos θ＋k， mgsin θ＋μFN＝ma，解得 a＝. (2) 根据动能定理得0－mv＝－mglsin 2θ＋Wf，mv2＝mglsin 2θ＋Wf，得v＝. 【知识点2 电场强度和电场线】 1．电场强度的性质 矢量性 电场强度E是表示电场力性质的一个物理量。规定正电荷受力方向为该点电场强度的方向 唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置 叠加性 如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和 2.电场强度的计算公式 项目 公式 适用条件 特点 定义式 E＝ 任何电场 某点的电场强度为确定值，大小及方向与F及q无关 决定式 E＝k 真空中的 点电荷 的电场 某点的电场强度E由场源电荷Q和该点到场源电荷的距离r决定 关系式 E＝ 匀强电场 d是沿电场方向的距离 3．电场线 (1)为了形象地描述电场中各点电场强度的大小及方向，在电场中画出一些有方向的曲线，曲线上每点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场强度的大小。 (2)电场线的特点 (3)六种典型电场的电场线 4．等量点电荷的电场强度及电场线 比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线 分布图 电荷连线上 的电场强度 沿连线先变小后变大 O点最小，但不为零 O点为零 中垂线上的 电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点 对称位置的 电场强度 A与A′、B与B′、C与C′ 等大同向 等大反向 5．特殊方法1：填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 6．特殊方法2：对称法和微元法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。 【例2】（2026·河北省盐山中学·一模）如图所示，将一特殊物体置于匀强电场后电场线按图示的情况弯曲；实线为电场线，关于轴对称分布。一发射源向同一方向射出两个相同的电荷、，运动轨迹如图中虚线所示，为电荷的运动轨迹、为电荷的运动轨迹，点与点关于轴对称。不计电荷重力及电荷间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A. 电荷、均带正电 B. 电荷经过点时与电荷经过点时的加速度相同 C. 电荷经过点时与电荷经过点时的动能相等 D. 电荷经过点时与电荷经过点时的电势能相等 【答案】D 【解析】A．根据轨迹向受力方向偏转及电场强度方向，可知两电荷的受力方向与电场线方向相反，均带负电，故A错误； BD．因为电场关于轴对称，、两点电场强度大小相等、方向不同，则两电荷分别在、两点时的加速度大小相等、方向不同，、两点的电势相同，则两电荷分别在、两点时的电势能相同，故B错误，D正确； C．两电荷从射出至分别运动到、两点的电势能变化量一样，但是初动能不相等，故两电荷分别在、两点时的动能不相等，故C错误。 故选D。 【变式2-1】（2026·福建泉州市·一模）如图，在等边三角形顶点、、上各放置一个相同的点电荷，、、是该三角形的角平分线，图示点在上，已知点场强为零，则在、、上与点场强大小相等的位置除点外共有（ ） A. 2处 B. 3处 C. 4处 D. 5处 【答案】B 【解析】电场叠加与对称性分析：三个相同点电荷放置在等边三角形顶点，根据电场叠加原理： 三角形角平分线的交点（中心）处，三个电荷产生的场强大小相等、互成，矢量合场强为零，满足场强大小与P点（P点合场强为零）相等的要求，且中心在三条角平分线上。 对称位置分析： 题目中P点位于的中心与对边之间，因三角形结构对称，同理可得：在、的中心与对边之间，各存在一个合场强为零的点，和P点位置对称。 计数：除已知的P点外，符合要求的位置共3处（中心、上的点、上的点）。 故选B。 【变式2-2】（2026·河北省石家庄市第一中学·一模）如图所示，为半径为的绝缘球壳的中心，球壳上均匀分布着正电荷。已知均匀带电球壳在内部产生电场的场强处处为零。现在球壳上点处取下一面积足够小、带电荷量为的曲面，将其沿连线的延长线移到点，。若球壳的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，静电力常量为，则球心点处场强为（　　） A. ，方向由指向 B. ，方向由指向 C. ，方向由指向 D. ，方向由指向 【答案】B 【解析】在球壳表面点处放入等电荷密度、等面积的带正电荷的曲面，和相同的带负电的曲面，则A处总电量为零，根据均匀带电球壳在内部产生电场的场强处处为零可知，球壳内的电场相当于两个等量异种电荷产生的电场，B处带正电，A处带负电，因为A处负电荷在O点产生场强更大，所以场强方向由指向，大小 故选B。 【变式2-3】（2026·河南焦作市·一模）如图所示，M、N、P、Q分别是一边长为2a的正方形四条边的中点，O是MN的中点，A、B分别是MO和NO的中点。在MN两点放置电量均为+q的点电荷，整个空间存在与纸面平行的匀强电场。已知P点的合电场强度为0，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场的方向由P指向Q，大小为 B. Q点的合场强方向由P指向Q，大小为 C. 直线上从O到Q的电势先增大后减小 D. 将一正的试探电荷从A点沿直线移到B点的过程中，电荷的电势能先减小后增大 【答案】D 【解析】AB．根据电场的叠加原理可得，MN两点放置的点电荷在P点的合场强为 方向沿OP向上，由于P点的合电场强度为0，所以匀强电场强度应由P指向Q，大小为，故A错误，B正确； C．根据等量正点电荷的电场分布特点可知，MN两点放置的点电荷在直线OQ上产生的电场强度方向由O指向Q，而匀强电场方向也由O指向Q，根据沿电场方向电势降低可知，从O到Q的电势一直减小，故C错误； D．根据等量正点电荷的电场分布特点可知，两电荷连线上场强先向右后向左，匀强电场与连线垂直，所以由A到B电势先降低后升高，正电荷的电势能先减小后增大，故D正确。 故选D。 【知识点3 电势与等势面、电势差】 1．电势 (1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。 (2)定义式：φ＝。 (3)矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)。 (4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。 2．等势面 (1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。 (2)四个特点 ①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。 ②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面。 ③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。 ④任意两个等势面都不相交。 三、电势差 1．定义：在电场中，两点之间电势的差值。 2．定义式：UAB＝φA－φB。 3．与电场力做功的关系 (1)电场力做的功WAB等于电荷在A、B两点的电势能之差。 (2)电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。 四．处于静电平衡状态的导体的特点 (1)导体内部的场强处处为零； (2)导体是一个等势体，导体表面是等势面； (3)导体表面处的场强方向与导体表面垂直； (4)导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。 五．比较电势高低的方法 (1)依据电场线方向：沿电场线方向电势降低。 (2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。 (3)场源电荷的正负：取无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。 (4)依据电势能的大小：正试探电荷，电势能大处电势较高；负试探电荷，电势能大处电势较低。 六．比较电势能大小的方法 (1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 (2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。 (3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断。 (4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。 七．电场中功能关系的分析 (1)若只有电场力做功，则电势能与动能之和保持不变。 (2)若只有电场力和重力做功，则电势能、重力势能、动能之和保持不变。 (3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。 (4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。 【例3】（2026·安徽省合肥市·一模）某电场的等势面分布如图所示，相邻等势面之间的电势差均为1V，部分等势面的电势已标明，下列说法正确的是（　　） A. B点的电场强度小于C点的电场强度 B. 将电子放在A点，其受到的电场力方向向左 C. 电子在A点的电势能大于在D点的电势能 D. 将电子沿直线从B点移至C点，电场力一直做负功 【答案】C 【解析】A．图中的等势面为等差等势面，B点处的等势面比C点处的等势面密集，所以B点的电场强度大于C点的电场强度，A错误； B．电场方向由高等势面指向低等势面，由图可知，A点的电场方向向左，电子带负电，负电荷受到的电场力方向与电场方向相反，所以电子受到的电场力方向向右，B错误； C．根据，电子在A点的电势能 电子在D点的电势能 可得电子在A点的电势能大于在D点的电势能，C正确； D．将电子沿直线从B点移至C点，电场力做功 电场力做正功，D错误。 故选C。 【变式3-1】（2026·河北省保定市涿州市第二中学·一模）如图所示，光滑绝缘水平面上三个点电荷A、B、C分别固定在边长为l的等边三角形的三个顶点上，其中A、B均带正电，电荷量均为Q，C带负电，电荷量大小为q，M、N、P分别为三条边的中点。静电力常量为k。下列说法正确的是（ ） A. N、P两点的电场强度相同 B. N点的电势比P点的电势高 C. 若由静止释放C，则C经过M点时的电势能最大 D. M点的电场强度大小为 【答案】D 【解析】AB．根据对称性可知，N、P两点的电场强度大小相等，方向不同，而它们的电势相等，故AB错误； C．若由静止释放C，到达M点的过程中，静电力对C做正功，电势能减小，经过M点后，静电力做负功，电势能最大，在M点电势能最小，故C错误； D．点电荷A、B产生的电场在M点的电场强度大小相等、方向相反，根据几何关系可知 M点的电场强度大小，故D正确。 故选D。 【变式3-2】（2026·四川省眉山中学校·一模）如图所示，在平行纸面的匀强电场中存在圆心为、半径为的圆，、是圆内夹角为的两条直径。一带正电的粒子自A点沿平行圆面先后以不同的速度射入电场，其中从点射出的粒子动能增加了，从点射出的粒子动能增加了。已知粒子仅受电场力的作用，则（　　） A. A点电势低于点电势 B. 匀强电场的场强方向与平行 C. 若粒子从C点射出，其动能增加 D. 若粒子从的中点射出，电场力做的功为 【答案】C 【解析】B．沿方向建立轴，过O点向下的方向建立轴，设该匀强电场的场强为，将其正交分解为、 则对粒子由A到，根据动能定理可得 同理对粒子由A到，根据动能定理可得， 联立可得，，， 可知该匀强电场的方向沿着方向，故B错误； A．过C点和A点做AB的垂线，均为对应的等势线，根据沿着电场线方向电势降低知，A点电势高于点电势，故A错误； C．根据B项分析知， 若粒子从点射出，则根据动能定理可得 解得其动能增加，故C正确； D．根据B项分析知， 若粒子从的中点射出，则电场力做功为 故D错误。 故选C。 【变式3-3】如图所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的三点，不计空气阻力，一电荷量为－Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点．已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，AB间距离为L，静电力常量为k，则(　　) A．在点电荷－Q形成的电场中，A、B两点间的电势差为 B．在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小 C．OB间的距离为 D．从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能 答案　C 解析　小金属块从A到B过程，由动能定理得：－qUAB－μmgL＝mv－0，得A、B两点间的电势差UAB＝－，故A错误；小金属块由A点向C点运动的过程中，电场力一直做正功，电势能一直减小，故B错误；由题意知，A到B过程，金属块做加速运动，B到C过程做减速运动，在B点金属块所受的滑动摩擦力与库仑力平衡，则有μmg＝k，得r＝ ，故C正确；从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能和内能，故D错误． 【知识点4 电场强度与电势差的关系】 1．匀强电场中电势差与电场强度大小的关系式：UAB＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。 2．电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向。 3．匀强电场中的两个推论 (1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。 (2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。 4．“等分法”的应用 (1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。 (2)若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。 5．解题思路 6．解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。 7．定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如判断距离相等的两点间的电势差，电场强度E越大，电势差U越大；E越小，U越小。 【例4】（2026·河北沧州市沧县中学·一模）（多选）如图所示，正四面体的边长为点为底面的中心，整个空间存在匀强电场。已知顶点的电势为0，顶点和顶点的电势均为顶点的电势为，则下列说法正确的是（　　） A. 电场方向由A指向 B. 电场强度大小为 C. 点的电势为 D. 若将电子由A点移动到点，电势能将增大 【答案】BC 【解析】A．取的中点为点，如图所示 分析可知点的电势为，故平面为等势面，与等势面垂直，故电场方向由指向，故A错误； B．电场强度大小，故B正确； C．过点在底面内做的垂线，垂足为，由几何关系可知 则有 解得，故C正确； D．电子从点移动到点，电势升高，电势能减小，故D错误。 故选BC。 【变式4-1】（2026·湖南省长沙市集团联考·一模）如图所示，P和Q为两平行金属板，板间有恒定电压，在P板附近有一电子（不计重力）由静止开始向Q板运动，下列说法正确的是（　　） A. 电子到达Q板时速率，与板间电压无关，仅与两板间距离有关 B. 电子到达Q板时的速率，与两板间距离无关，仅与板间电压有关 C. 两板间距离越小，电子的加速度就越小 D. 两板间距离越大，加速时间越短 【答案】B 【解析】AB．根据动能定理 可得电子到达Q板时的速率v＝ 则电子到达Q板时的速率与极板间距离无关，与加速电压有关，故A错误，B正确； CD．极板与电源相连，电压U不变，根据E＝ 可知两极板距离d越小，场强E越大，根据 可知电场力越大，加速度越大，根据 可得距离越大加速时间越长 故CD错误。 故选B。 【变式4-2】（2026·湖南省长沙市南雅中学·一模）（多选）如图甲所示，圆形区域内存在与圆平面平行的匀强电场（图中未画出），圆的两条直径与间的夹角为，从点向圆内不同方向发射速率相同的不计重力的带正电粒子，发现从圆边界射出的粒子中点射出的粒子速度最大。以为坐标原点，沿方向建立坐标轴，点的坐标为，轴上从到的电势变化如图乙所示，则（　　） A. 圆边界上点电势最高 B. 电场强度 C. 点的电势为 D. 把一电子从点移到点电场力做功 【答案】BD 【解析】AB．从D点射出的粒子速度最大，说明电场力做功最多，粒子沿电场线方向的位移最大，可知电场强度沿着CD方向；沿着电场线方向电势逐渐降低，所以圆边界上D点电势最低。 已知圆半径 则有 解得，故A错误，B正确； C．因B点电势为零， 解得，故C错误； D．C、D间的电势差为 把一电子从D点移到C点电场力做功为，故D正确。 故选BD。 【变式4-3】（2026·江西省景德镇市·上学期第一次质量检测）（多选）在以竖直方向建立y轴的xoy平面内存在方向未知且范围足够大的匀强电场，已知x轴和y轴上的各点电势如图甲和图乙所示，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场大小为240V/m B. x方向分电场与y方向分电场大小之比为4∶3 C. 一个电子处于坐标（3cm，3cm）时电势能为0J D. 在坐标原点以8m/s的初速度竖直抛出质量为0.1kg带电荷量C的小球，运动到最高点时电势能增加了2J 【答案】BC 【解析】A．x轴和y轴上的各点电势如图甲和图乙所示，图像的斜率表示电场强度，可知x轴和y轴的电场分量大小分别为， 可知匀强电场大小为，故A错误； B．根据，，x方向分电场与y方向分电场大小之比为4∶3，故B正确； C．如图所示，根据匀强电场特点可知 可得 根据图甲和图乙可知 可知坐标（3cm，3cm）的电势为 可得电子在坐标（3cm，3cm）时电势能，故C正确； D．对小球，水平方向有 可得 竖直方向有 可得 可得到达最高点的时间为 竖直位移为 水平位移为 根据甲图可得，根据乙图可得，可得， 根据，可得 可知电势增加了 根据可知电势能增加，故D错误。 故选BC。 【知识点5 电容器与带电粒子的运动】 一．平行板电容器的动态分析 1．两类典型问题 (1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变。 (2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。 2．动态分析思路 (1)U不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化。 ②根据E＝分析电场强度的变化。 ③根据UAB＝EdAB分析某点电势变化。 (2)Q不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化。 ②根据E＝＝分析电场强度的变化。 二．重力的处理 1．基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)。 2．带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。 三．带电粒子在静电场中的直线运动 1．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。 2．用动力学观点分析 a＝，E＝，v2－v＝2ad。 2．用功能观点分析 匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv。 非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。 四、带电粒子在电场中的匀变速曲线运动 1．运动情况：如果带电粒子以初速度v0垂直于场强方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法：将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。 3．运动规律 (1)带电粒子沿初速度方向做匀速直线运动 ①能飞出电容器：t＝。 ②不能飞出电容器：y＝at2＝ t2，t＝ 。 (2)带电粒子沿电场力方向做匀加速直线运动 加速度：a＝＝＝。 离开电场时的偏移量：y＝at2＝。 离开电场时的偏转角：tan θ＝＝。 4．两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv，y＝at2＝×·，tan θ＝，得y＝，tan θ＝，可见y、tan θ与粒子的q、m无关。 (2)带电粒子经电场偏转后射出，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O点到偏转电场边缘的距离为。 5．功能关系：当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。 五 ．带电粒子在交变电场中的运动 1．交变电场：常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2．题目类型 (1)粒子做单向直线运动。 (2)粒子做往返运动。 3．解题技巧 (1)按周期性分段研究。 (2)将 a－t图像 v－t图像。 六．运动轨迹问题的分析 1．从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。 2．结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。 3．根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 【例5】（2026·贵州省贵阳市·一模）（多选）空间中存在水平向左、范围足够大的匀强电场，将一电荷量为q、质量为m的小球以初速度从电场中的M点水平向右抛出，一段时间后小球运动到P点（图中未画出），此时速度方向竖直向下，然后从P点运动到M点正下方的N点，如图所示。已知MP的水平距离等于MN的高度差，重力加速度大小为g。设小球在N点的电势能为零，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 电场强度大小为 B. MP与PN的竖直高度之比为 C. 小球从M运动到N的过程中，电势能的最大值为 D. 小球从M运动到N的过程中，速率的最小值为 【答案】ACD 【解析】A．水平方向，小球先从M点到P点做匀减速运动，再从P点到N点做匀加速运动，根据对称性可知，两个过程所用时间相等；从M点到P点，水平方向有， 从M点到N点，竖直方向有 由题意可知，联立可得，，故A正确； B．由， 可知MP与PN的竖直高度之比为，故B错误； C．根据题意可知小球再P点的电势能最大，从M点到P点，水平方向有 电场力做功为 可知从M点到P点电势能增加，设小球在N点的电势能为零，即小球在M点的电势能为零，则小球从M运动到N的过程中，电势能的最大值为，故C正确； D．如图所示 电场力与重力的合力与水平方向的夹角满足 将小球的初速度分解为平行方向和垂直方向两个分速度，当平行方向分速度减为0时，小球的速度最小，则小球在运动过程中的最小速度为，故D正确。 故选ACD。 【变式5-1】（2026·安徽省合肥市·一模）超级电容公交车通过车载电容驱动，不用油、无噪音、低污染，是一款清洁能源汽车，我国是唯一将超级电容公交车投入量产的国家。某同学按照图甲电路，用智能电源对一个车用电容器进行充、放电实验，检测出某段时间内通过电阻R的电流I随时间t变化的图像如图乙所示，已知t＝0时电容器不带电，下列说法正确的是（　　） A. 0~1s内电容器的电荷量随时间均匀增加 B. 1s~2s内电容器的电压随时间均匀增大 C. 2s~3s内电容器在放电 D. 4s时电容器的电荷量为2.5C 【答案】B 【解析】A．0~1s内电流为正逐渐减小，属于减小的电流给电容器充电，由可知电容器的电荷量随时间不均匀增加，故A错误； B．1s~2s内充电电流恒为1A，由可知随线性增加，即电容器的电压随时间均匀增大，故B正确； C．2s~3s内电流从1A降到0A，但仍为正方向，说明电流方向未变，仍为充电，只是充电电流的打下减小，故C错误； D．因图像与时间轴围成面积为电荷量，而2s~4s图像围成的面积正负抵消为零，则4s时电容器的电荷量等于的电荷量，因0~1s电流不均匀减小，则有，故D错误。 故选B。 【变式5-2】（2026·广东省清远市·一模）如图所示为密立根油滴实验原理示意图。水平放置的两足够大金属板相距为d，两板间加有电压U，上极板中央有一小孔。油滴从喷雾器喷嘴喷出时因摩擦带负电，少数油滴通过上极板小孔进入平行板间。通过显微镜观察到一质量为m的油滴在板间匀速下降。忽略空气作用力，下列说法正确的是（　　） A. 上极板带负电 B. 增大电压可使该油滴加速下降 C. 该油滴的带电量为 D. 该油滴由上极板运动到下极板，电势能增加了 mgd 【答案】D 【解析】A．因为油滴匀速下降，说明电场力与重力等大反向，即方向向上，又带负电，其受电场力方向与电场方向相反，可得场强方向向下，上极板带正电，故A错误； B．增大电压，根据可知电场强度增大，油滴原来匀速下降，现在电场力大于重力，可知合力向上，油滴减速下降，故B错误； C．油滴匀速下降，根据平衡条件可得 解得油滴的带电量为，故C错误； D．油滴由上极板运动到下极板，电场力做功 又，可得 电场力做负功，根据，可知电势能增加了，故D正确。 故选D。 【变式5-3】（2026·广东汕头市·一模）（多选）如图所示，某静电分析器的两电极之间存在指向圆心O的辐向电场。三个带电粒子以相同的动能从A点垂直端面射入，仅在电场力作用下，甲粒子从B射出，乙粒子做圆周运动从C射出，丙粒子从D射出。已知甲、乙、丙的电荷量大小分别为、、，，，下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙粒子带正电，丙粒子带负电 B. 乙粒子经过的位置电场强度大小均为 C. 甲粒子动能的增加量大于丙粒子动能的减少量 D. 若B点电势为，C点电势为，则甲粒子离开电场时的动能为 【答案】BC 【解析】A B．三个带电粒子都做近似圆周运动,所受电场力(向心力)与场强方向相同,故三个粒子都带正电,因,故易知乙粒子做匀速圆周运动从C射出, 乙粒子经过的位置电场强度大小均为 甲粒子做向心运动 丙粒子离心运动 则,故A错误，B正确； C．因为间平均场强比平均场强大，又 故 ，故甲粒子动能的增加量大于丙粒子动能的减少量，故C正确； D．若B点电势为，C点电势为，则据动能定理，甲粒子离开电场时的动能为，故D错误。 故选BC。 【知识点6 静电场中的图像】 一．v－t图像 根据v－t图像中速度的变化情况和斜率的变化确定电荷所受合力的方向与合力大小变化情况，确定电场的方向、电势高低及电势能的变化。 二．φ－x图像 1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值。如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图1)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。 2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图2)。 三．E－x图像 1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。 2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。 四．Ep－x图像 1．Ep－x图像反映了电势能随位移变化的规律。 2．由电场力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图线上某点切线的斜率k＝，其大小等于电场力，斜率的正负代表电场力的方向。 【例6】（2026·河南省郑州市宇华实验学校·一模）空间中存在一电场，电势沿x轴的分布情况如图所示，下列说法正确的是（　　） A. 处电场强度为零 B. 到区间内的电场为沿x轴方向的匀强电场 C. 用外力将负试探电荷从处沿x轴缓慢移动到处，外力做正功 D. x轴上到区间内，电场强度的大小随x增加而减小 【答案】C 【解析】AD．由图像的斜率表示场强，可知在处图像斜率不为零，故电场强度不为0；从到，图像斜率的绝对值逐渐变大，则电场强度大小逐渐增大，故AD错误； B．到 区域内电势基本保持不变（斜率为零），电场强度为零而非“沿 x 轴方向的匀强电场”（匀强电场一般指大小不为零且方向不变），故B错误； C．用外力将负试探电荷从处沿轴缓慢移动到处，动能不变，则外力与电场力做功的代数和为0，电场力做功，可知外力做正功，故C正确； 故选C。 【变式6-1】(多选)如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，其电势能Ep沿x轴的变化如图所示，下列说法正确的是(　　) A．粒子在x2点的速度为v0 B．从O点到x3点的过程中，电场的电势先升高再降低再升高 C．若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为 D．若v0＝2，则粒子在运动过程中的最大动能为2Ep0 答案　AC 解析　粒子从O运动到x2的过程中，电势能变化量为零，静电力做功为零，根据动能定理知，粒子在x2点的速度为v0，故A正确；从O点到x3点的过程中，电场的电势先降低再升高，故B错误；粒子能运动到x1处，就能运动到x4处，若粒子恰好能运动到x1处，此时初速度v0最小，根据动能定理得－qφ0＝0－mv02，解得v0＝＝，所以若粒子能运动到x4处，则初速度v0至少为，故C正确；粒子运动过程中，静电力所做正功的最大值为qφ0，若v0＝2，由动能定理得W＝qφ0＝Ekm－mv02，解得Ekm＝3Ep0，故D错误． 【变式6-2】(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是(　　) A．点电荷M、N一定为同种电荷 B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1 C．把一个检验电荷由x1位置静止释放，其加速度一直减小 D．把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，其电势能一直减小 答案　AB 解析　x＝2a处场强为零且左侧场强向右(正值)、右侧场强向左(负值)，结合点电荷的场强特征可知，点电荷M、N一定为同种电荷，两点电荷在x＝2a处的场强大小满足k＝k，解得＝，A、B正确；由题图可知，O点右侧场强先减小再增大，故把一个检验电荷(假设带正电)由x1位置静止释放，据牛顿第二定律可得qE＝ma，其加速度先减小再增大，C错误；把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，向右运动过程静电力先做正功再做负功，其电势能先减小后增大，D错误． 【变式6-3】(多选)两个等量同种电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2×10－5 C、质量为1 g的小物块从C点静止释放，其运动的v-t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是(　 ) A．小物块带正电 B．A、B两点间的电势差UAB＝－500 V C．小物体由C点到A点电势能先减小再增大 D．B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m [解析]　根据物块的运动的v-t图像可知，小物块带正电，A正确；从速度－时间图像可知，A、B两点的速度分别为 vA＝6 m/s，vB＝4 m/s，再根据动能定理得qUAB＝mvB2－mvA2＝×1×10－3×(42－62)J，解得UAB＝－500 V，B正确；从速度－时间图像可知，由C到A的过程中，物块的速度一直增大，电场力对物块做正功，电势能一直减小，C错误；带电粒子在B点的加速度最大，为 am＝ m/s2＝2 m/s2，所受的电场力最大为 Fm＝mam＝0.001×2 N＝0.002 N，则场强最大值为Em＝＝ N/C＝1 N/C，D错误。 [答案]　AB 模块三 课后作业 一、选择题 1．（2026·广东梅州市·一模）（多选）手机的计步功能通过“震动探测器”实现。其主要原理可简化为如图所示，M、N两极板组成电容式加速度传感器，其中极板固定，极板连接微弹簧。当手机的加速度变化时，极板可以按图中标识的“前后”方向微幅运动。其中为电源，为电流表，为定值电阻。下列描述正确的是（　　） A. 静止时，极板带负电，电流表示数为零 B. 由静止突然向前加速时，电容器的电容减小 C. 由静止突然向前加速时，电流由向流过电流表 D. 保持向前匀减速运动时，M、N极板间电场强度均匀减小 【答案】BC 【解析】A．M极板与电源正极连接，静止时，电容器极板所带电荷量不变，可知，极板带正电，电流表示数为零，故A错误； B．由静止突然向前加速时，N极板将向后运动，两极板之间间距增大，根据 可知，电容器的电容减小，故B正确； C．N极板与电源负极连接，N极板带负电，根据 极板之间电压近似一定，由静止突然向前加速时，电容器的电容减小，则极板所带电荷量减小，N极板失电子，电子从a运动到b，电子带负电，则电流由向流过电流表，故C正确； D．若保持向前匀减速运动，加速度向后，稳定时，极板之间间距不变，根据 可知，保持向前匀减速运动时，M、N极板间的电场强度不变，故D错误。 故选BC。 2．（2026·贵州遵义市仁怀市·一模）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，下列判断不正确的是（　　） A. 如果A球带电，则A球一定带负电 B. 如果A球带电，则A球的电势能一定增加 C. 如果B球带电，则B球一定带正电 D. 如果B球带电，则B球的电势能一定增加 【答案】B 【解析】两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，水平方向做匀速直线运动，则有 可知两球下落时间相同；两小球下落高度不同，根据公式 可知A球的加速度大于B球加速度，故若A球带电，必定带负电，受到向下的电场力作用，电场力做正功，电势能减小；若B球带电，必定带正电，受到向上的电场力作用，电场力做负功，电势能增加。 本题选择错误的，故选B。 3．（2026·河北省五个一联盟·一模）（多选）取无穷远处或大地电势为零，点电荷在空间中形成电场，在某点的电势为 q是点电荷的电荷量，r是该点到点电荷的距离，k为静电力常量。当空间中有多个点电荷时，同一点的电势等于每个电荷在该点电势的代数和。如图所示，一绝缘杆支撑的半径为R的金属球用导线接地，球心为O点，一带电荷量为+Q的点电荷固定在离球心距离2R处，下列说法正确的是（　　） A. 金属球表面的电荷在O点处的电场强度为 B. 金属球表面的电荷在O点处的电场强度为 C. 金属球表面的电荷量为-Q D. 金属球表面的电荷量为 【答案】AD 【解析】AB、处于静电平衡状态的导体内部电场强度处处为零，则金属球表面的感应电荷在O点处产生的电场与点电荷在O处产生的电场等大反向，为，A正确，B错误。 CD、金属球接地，则金属球表面电势为零，又内部电场强度处处为零，则球心处电势为零，球心处的电势等于点电荷+Q在O处的电势与球面上感应电荷在O处电势的代数和，有 感应电荷在O点处产生的电势 球面上感应电荷与O点距离相等，取很小电荷，有 解得，C错误，D正确。 故选AD。 4．（2026·河北省唐山市·一模）匀强电场中，用长为的绝缘细线系住一质量为、电荷量为的带电小球，小球在竖直平面内绕点做圆周运动，运动过程中速度最小值为，此时绳子拉力为0。已知小球在速度最小时和速度最大时机械能相等，电场强度方向与圆周平面平行，重力加速度为，不计空气阻力，则匀强电场的电场强度大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当小球速度最小时，绳子拉力恰好为零，此时小球做圆周运动的向心力由电场力和重力的合力提供，有 解得 机械能的变化仅由电场力做功引起（重力做功不改变机械能），速度最小点和速度最大点机械能相等，说明电场力对小球从速度最小点到速度最大点做功为0，因此两点电势相等，两点连线为等势线，可得电场方向垂直于两点连线。 而速度最小点（等效最高点）和速度最大点（等效最低点）关于圆心对称，重力与电场力的合力沿两点连线方向，因此合力与电场力垂直。有 解得 故选 C。 5．（2026·黑龙江哈尔滨市第九中学校·一模）为避免雷击现象发生，人们在高大的建筑物上安装避雷针，云层和避雷针之间电场分布如图所示，、在同一电场线上，以点为原点沿到的方向建立轴，一个正电粒子从点无初速度释放，运动到。若取避雷针针尖的电势为零，不计粒子重力，则电场线上各点电势、粒子的电势能随位置的变化图像，以及粒子运动速度、加速度随时间变化图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A. 正电荷从B运动到A，电场线的方向沿x轴正方向，电势沿电场线降低，越靠近尖端B电场强度越大。根据电场强度与电势的关系，所以图像斜率绝对值代表场强，因为从B到A场强减小，所以图像斜率的绝对值逐渐减小，故A错误； B. 正电荷电势能，则图像斜率为 因此图像的斜率绝对值代表电场力，因为从B到A正电荷受到的电场力逐渐减小，所以图像斜率绝对值逐渐减小，故B正确； C．因为正电荷从B到A场强减小，所以电荷的加速度逐渐减小，即图像斜率逐渐减小，故C错误； D．根据可知，因为电场强度E随位置x增大而减小，而粒子做加速运动，即x随时间t单调递增，所以加速度a随时间t逐渐减小，故D错误。 故选B。 6．（2026·河北省·一模）如图所示，水平固定的绝缘木板处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E。电荷量为的物块在木板上刚好能保持静止。在木板上的处钉一钉子，在处固定一光滑圆环，沿电场线方向。将一根轻质绝缘橡皮筋的一端系在钉子上，另一端穿过圆环与物块相连，橡皮筋遵循胡克定律，其原长等于间的距离。当物块处于延长线上的A点时，物块恰好要沿向右运动，此时A点与点间的距离为L。当物块位于B点，与的夹角为60°，也能恰好保持静止，则B、两点间的距离x和此时橡皮筋弹力F分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】AB．设橡皮筋的劲度系数为，带正电的物块在木板上刚好能保持静止，说明物块所受摩擦力与电场力平衡，可知 当物块位于点时，物块恰好要沿向右运动，则 物块位于点时，设橡皮筋伸长量为，橡皮筋拉伸方向与夹角为，根据受力平衡，由余弦定理有 解得，故A正确，B错误； CD．由上述分析可知橡皮筋弹力，故CD错误。 故选A。 7．（2026·河北省·一模）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，质量相同的带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A. 电荷量之比为 B. 到达K点所用时间之比为 C. 加速度大小之比为 D. 到达K点时沿电场方向的位移大小之比为 【答案】B 【解析】AC．两个带电粒子在沿着OQ的方向均做初速度为0的匀变速运动，相同时间内运动的位移大小相等，所以加速度大小也相等，有 所以两个电荷的电荷量之比为1:1，故AC错误； B．两电荷在相同时间内沿QP方向做匀速直线运动的位移之比为2:1，根据公式 可知a、b电荷的初速度之比为2:1 二者到达K点时的水平位移大小相等，所以时间之比应为1:2，故B正确； D．沿电场方向有公式 由于时间之比为，所以沿电场方向的位移大小之比应为，故D错误。 故选B。 8．（2026·河北省·一模）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知A点电势为0，OM与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。则（ ） A. 电场强度E的大小为 B. 小球电势能最大值为 C. 小球在M点初速度为 D. 小球运动到B点时突然剪断细线后，小球运动过程中速度的最小值为 【答案】D 【解析】A．小球静止在点，受力分析如图，可知小球带正电。由平衡条件有 解得，故A错误 B．带电小球运动到最右侧的时候电势能最大，此时带电小球距离点沿电场方向的距离为，所以带电小球的电势能为，即，故B错误。 C．带电小球恰能完成完整的圆周运动，则在等效最高点有 从点到等效最高点过程，根据动能定理有 代入解得，故C错误。 D．剪断细线后，小球相对于合力方向做类斜抛运动，当小球在合力方向上的分速度为0时，合速度最小。从到，由动能定理有 解得 剪断细线后，当速度与合外力垂直时速度最小，则最小速度，故D正确。 故选D。 9．（2026·湖北省孝感市教科研楚天协作体·一模）如图所示，边长为L的正三角形框OAB由三根绝缘轻杆连接而成，A、B两点分别固定两个带电小球，质量均为m，电荷量分别为+q和-q，初始OB杆水平，整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度，重力加速度为g，静止释放后框可绕O点在竖直平面内转动，关于框架在运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. A位置的小球不能运动到与O点等高的位置 B. AB的中点运动到O点正下方时，两球与框组成的系统的机械能最大 C. 转动过程中小球最大的速度为 D. 转动过程中小球最大的速度为 【答案】BD 【解析】A．从初位置到A位置的小球与O点等高的位置，电场力做功为，即，对两球和杆组成的系统有，则A位置的小球可以运动到与O点等高的位置，A错误； B．从初位置到AB的中点运动到O点正下方时，电场力做功为，为线框运动过程中的最大值 由功能关系知此时两球与框组成的系统的机械能最大，B正确； CD．根据前面分析可知，从初位置到AB的中点运动到O点正下方时，小球的速度最大，由有 解得，C错误，D正确。 故选BD。 10．（2026·湖南怀化市·一模）如图甲，长4L、宽2L的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，左边框上a点开有一小孔。时，质量m、电荷量Q的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a点水平射入，然后与上边框碰撞于b点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b均为中点，m、Q、T、L均为已知量，则（　　） A. 粒子带正电 B. 若粒子时刻到达b点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞 C. 若粒子时刻到达b点，那么粒子无法从a点射出 D. 粒子时刻到达b点时的电场强度为粒子时刻到达b点时电场强度的4倍 【答案】D 【解析】A．根据题意可知，t=0时刻粒子往上做类平抛运动，所受电场力向上；此时上边框为高电势，电场竖直向下，粒子的受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，故A错误； B．时刻到达b点的粒子，因电场力此时向下，故做斜下抛运动，其速度水平分量不可能为0，故不会与下边框垂直碰撞，故B错误； C．根据题意可知，时刻粒子在b点的碰后速度与碰前速度关于上边框对称，结合受力可知其运动轨迹具有对称性。故粒子最终将从a点水平向左飞出，故C错误； D．根据类平抛运动的规律有 解得 因为时间之比为1∶2，故电场强度之比为4∶1，故D正确。 故选D。 11．（2026·湖南省T8联盟·一模）（多选）如图所示，在竖直面内有一半径为R的光滑圆轨道，空间中存在平行于圆轨道所在平面的匀强电场。小球质量为m，电荷量为，将小球从A点以大小为的速度沿任意方向抛出，小球落至B、C两点时速度大小相等，其中A点和C点与圆心等高，B点在圆心正下方，已知小球与轨道碰撞后沿半径方向速度变为0，沿切线方向速度不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场的电场强度大小可能为 B. 小球在圆弧上运动至圆弧BC中点时，势能最小 C. 若电场方向水平向右，在A点给小球竖直向下速度，要使小球能在竖直平面做完整的圆周运动，则其在A点的速度应不小于 D. 若电场方向水平向右，将小球从A点由静止释放，小球与轨道碰撞后不会再次脱离圆轨道 【答案】BD 【解析】A．由动能定理知，小球由A点运动到B点过程和由A点运动到C点过程电场力和重力的合力做功相等，且做正功，则电场力和重力的合力方向垂直BC连线向下，与水平方向和竖直方向的夹角均为45。作出重力、电场力及其合力关系图如图所示 可见当电场力与合力垂直时，电场力最小，场强最小，为 匀强电场的电场强度大小不可能为，故A错误； B．电场力和重力的合力即为等效重力，可见圆弧BC中点N点为等效重力最低点，如图所示 则小球在N点势能最小，故B正确； C．电场方向水平向右时，电场力和重力的合力 要使小球能在竖直平面做完整的圆周运动，小球应过等效重力最高点D点，小球恰好经过D点时，由牛顿第二定律 解得小球经过D点的最小速度 小球由A点运动到D点过程，由动能定理 解得，即小球在A点时的速度应不小于，故C错误； D．电场方向水平向右，小球从A点静止释放时，小球将沿AB连线做直线运动，由动能定理 解得小球与轨道碰撞前的速度大小 则碰后小球的速度大小 小球由B点恰好运动到等效水平线OM过程，由动能定理 解得小球经过B点时速度大小 可见小球经过B点后恰好运动到M点，此后小球不会再次脱离圆轨道，故D正确。 故选BD。 12．（2026·江苏省南京市鼓楼区协作体·一模）如图，在电荷量为Q的负点电荷的电场中，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，，A、B、C、D四点的电势满足 ， ，点电荷Q在A、B、C三点所在平面内，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. Q在AC连线中点 D. Q在BD连线中点 【答案】B 【解析】负点电荷Q的等势线是以该点电荷为圆心的圆，A、B、C、D四点的电势满足 ， ，可知负点电荷Q在AC的中垂线上，也在DB的中垂线上，如图所示： 由图可知，Q既不在AC连线中点、也不在BD连线中点。 由几何关系可得：Q到A的距离大于到B的距离，由于越靠近负点电荷电势越低，则有 所以有 故选B。 13．（2026·江苏省徐州市第三中学·一模）一带电粒子在只受电场力的作用下，在点电荷A和B的电场中从a运动到b，电场线和运动轨迹如图所示，则可推断（ ） A. A、B带同种电荷 B. a点电势比b点高 C. 粒子在a处的加速度比b处小 D. 粒子在a处的电势能比b处小 【答案】C 【解析】A．根据电场线始于正电荷（无穷远处）止于无穷远处（负电荷）可知A、B带异种电荷，故A错误； BD．从到过程，电场力做正功，电势能减小，则粒子在a处的电势能比b处大，由于不清楚带电粒子的电性，所以无法判断、两点电势的高低，故BD错误； C．根据题图可知，点电场线密集，则点电场强度大，带电粒子在点所受电场力大，根据牛顿第二定律可知粒子在a处的加速度比b处小，故C正确。 故选C。 14．（2026·辽宁省沈阳市·一模）如图，在竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有、、三点，其中为中点。粒子从点以某一初速度沿轴向运动，到点时速度为零，则（　　） A. 粒子从到的过程中加速度一定一直增大 B. 粒子从到的过程中电势能一定一直增大 C. 点电场强度一定等于点的电场强度 D. 两点间的电势差一定等于两点间的电势差 【答案】B 【解析】A．圆心处电场强度为零，轴线上距离圆心无限远处电场强度为零，轴线上从圆心到无限远任意一点电场强度不为零，故轴线上存在电场强度最大的点，因其位置与、、三点位置关系不确定，故粒子从到的过程中加速度可能一直增大，可能一直减小，也可能先增大后减小，故A错误； B．粒子带正电，从到的过程中克服静电力做功，故电势能一定一直增大，故B正确； C．由A项分析可知轴线上存在电场强度最大的点，若该点在、两点之间，点的电场强度可能等于点的电场强度；其他情况点的电场强度一定不等于点的电场强度，故C错误； D．因两点电场线分布和两点间电场强度分布情况不一定对称，故两点间的电势差不一定等于两点间的电势差，故D错误。 故选B。 15．（2026·山东德州市·一模）（多选）如图所示，在空间直角坐标系中，有、、、、、六个点。、、、四个点在轴上，点在轴上，点在轴上。、、、四个点到原点的距离相等，、两个点到原点的距离相等。在、两点分别放置一个带电量为、的点电荷，下列说法正确的是（　　） A. 点和点的电场强度相同、电势相等 B. 点和点的电场强度相同、电势相等 C. 将带正电的试探电荷沿直线从点移动到点，电场力先变小后变大，电势能也是先变小后变大 D. 将带正电的试探电荷沿直线从点移动到点，电场力先变大后变小，电势能一直不变 【答案】AD 【解析】A．根据对称性，c、d两点的电场强度大小相等，方向均平行于x轴指向右，所以 c、d两点电场强度相同 c和d都在ab的中垂面上，ab的中垂面是零势面，所以电势相等，A正确； B．e 和 f 关于原点 O 对称，根据电场叠加原理，两点的电场强度大小相等、方向相同 沿电场线方向电势降低，所以，B错误； C．将带正电的试探电荷沿直线从e点移动到f点，电场力先变小后变大，在此过程中静电力一直做正功，电势能一直减小，C错误； D．将带正电的试探电荷沿直线从c点移动到d点的过程中，试探电荷与O点的距离先减小后增大，所以电场力先变大后变小 在运动过程中，电荷始终在同一等势面上运动，所以电势能一直不变，D正确； 故选AD。 16．（2026·山东烟台市·一模）如图所示，在真空中A、B两点处固定两个电荷量均为Q的正点电荷，C点为A、B连线的垂直平分线上的一点，O点为A、B连线的中点，将一电荷量为q、质量为m的负点电荷从C点由静止释放，A、B两点间的距离为L，O、C两点间的距离为d，且。已知质量为m的物体做简谐运动所受回复力与位移的关系为，振动的周期为，不计负点电荷的重力，静电力常量为k，则该负点电荷的振动周期为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】设正电荷Q与负电荷q的连线与y轴的夹角为，则负电荷q受到的电场力大小为 由几何关系得 联立得 又L>>d，则 又提供负电荷q做简谐振动的回复力，根据 则 因为 所以 故选A。 17．（2026·天津市宁河区芦台第一中学·一模）（多选）如图所示，一带电粒子q以一定的初速度进入某点电荷Q产生的电场中，粒子只受静电力，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成30°角；b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成60°角。下列说法中正确的是（　　） A. 点电荷Q带正电 B. 粒子q在a点的静电力小于在b点的静电力 C. 粒子q在a点的电势能大于在b点的电势能 D. a点的电势低于b点电势 【答案】BC 【解析】A．由图可知，点电荷Q产生的电场中，和指向点电荷，故点电荷Q带负电，故A错误； B．由图中可知，a点到点电荷距离大于b点到点电荷的距离，根据库仑定律 可知粒子q在a点的静电力小于在b点的静电力，故B正确； CD．根据上述分析可知，a点到点电荷的距离大于b点到点电荷的距离，沿着电场线方向电势降低，根据负点电荷周围等势面的分布情况，可知a点的电势高于b点电势，结合粒子轨迹的弯曲方向，可知粒子与点电荷的电性相反，因此粒子带正电，电势能的定义式 可知粒子q在a点的电势能大于在b点的电势能，故C正确，D错误。 故选BC。 18．如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为＋q的点电荷；在0≤x＜a区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为－Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是(　 ) A．Q＝q，释放后P将向右运动 B．Q＝q，释放后P将向左运动 C．Q＝q，释放后P将向右运动 D．Q＝q，释放后P将向左运动 [解析]　以最左端的电荷量为＋q的点电荷为研究对象，其余三个电荷量为＋q的点电荷对研究对象库仑力的合力与电荷量为－Q的点电荷对研究对象库仑力等大反向，则由物体的平衡和库仑定律得：k＋2kcos 45°＝k，解得Q＝q，故A、B错误；在x轴上0≤x＜a区间内，根据题图乙可知电场方向水平向左，－Q所受电场力的方向水平向右，则释放P后将向右运动，故C正确，D错误。 [答案]　C 19．(多选)如图甲所示，A、B为电场中一直线上的两个点，带正电的点电荷只受电场力的作用，从A点以某一初速度做直线运动到B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图乙所示。则从A到B过程中，下列说法正确的是(　 ) A．点电荷的速度先增大后减小 B．空间电场是某负点电荷形成的 C．点电荷所受电场力先减小后增大 D．空间各点的电势先升高后降低 [解析]　根据电势能Ep随位移x的变化图像可知点电荷运动过程中电势能先增大后减小，所以电场力先做负功再做正功，点电荷的动能先减小再增大，速度先减小后增大，故A错误；点电荷带正电，且电场力先做负功再做正功，所以电场强度的方向先向左再向右，空间电场可能是由某正点电荷形成的，故B错误；电势能Ep-x曲线的斜率表示电场力，可知电场力先减小后增大，故C正确；根据Ep＝qφ，点电荷的电势能先增大后减小，所以从A到B，空间各点的电势先升高后降低，故D正确。 [答案]　CD 20．一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法中正确的是(　 ) A．在x1处粒子速度最大 B．在x2处粒子加速度最大 C．在x3处电势最高 D．在x2处电势为零 解析：选C　带负电粒子只在电场力作用下运动，所以动能与势能之和是恒定的。则粒子在从x1向x3运动的过程中，在x3处的电势能最小，速度最大，A错误；根据电场力做功与电势能的关系W＝－ΔEp＝Ep0－Ep，从而解得Ep＝－W＋Ep0＝－Fx＋Ep0，即图像中的斜率表示电场力大小，在x2处图像的斜率为零，粒子加速度为零，B错误；负电荷在电势低的地方电势能高，在x3处的电势能最小，所以电势最高，C正确；根据公式φ＝，可知在x2处电势不为零，D错误。 21．(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N分别固定在x轴上x1＝0和x2＝3a的两点，在两者连线上各点的电场强度E随x变化的关系如图所示，设电场方向沿x轴正方向时E取正值，则以下判断正确的是(　 ) A．点电荷M、N均为正电荷 B．M、N所带电荷量的绝对值之比为2∶1 C．x＝2a处的电势一定为零 D．沿x轴从0到3a电势先降低再升高 [解析]　若两电荷为异种电荷，在x＝2a处，电场强度不可能为0，故两电荷为同种电荷，在0～2a范围内电场为正，方向沿x轴正方向，所以点电荷M、N为正电荷，故A正确；2a处合场强为0，由E＝知，＝，所以M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1，故B错误；由于零电势点的选取是任意的，故x＝2a处的电势不一定为零，沿电场线方向电势降低，故x＝0点的电势高于x＝2a点的电势，2a～3a范围内电场为负，方向沿x轴负方向，故x＝2a点的电势低于x＝3a点的电势，沿x轴从0移动到3a，电势先降低后升高，故C错误，D正确。 [答案]　AD 22．（2026·重庆市九龙坡区·一模）图所示，是平行板电容器的两水平金属极板，通过一定值电阻与一电池相连。在、间的距离增大的过程中，关于有无电流流过及电流的方向，下列说法正确的是（　　） A. 有电流，由流向 B. 有电流，由流向 C. 无电流 D. 不能确定 【答案】B 【解析】根据可知，在、间的距离增大的过程中，电容器的电容减小；根据可知，此过程中电容器放电，即有电流流过，电流方向为由流向。 故选B。 23．(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中O～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是(　　) A．O～x1段电势逐渐升高 B．O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动 C．x1～x2段电场强度为零 D．x2～x3段的电势沿x轴均匀减小 答案　ACD 解析　电势能Ep＝φq，由于粒子带正电，O～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据静电力做功与电势能关系ΔEp＝EqΔx，图像斜率反映场强大小，O～x1段图像斜率变小，场强变小，受力减小，加速度逐渐变小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x2～x3段斜率为0，场强为零，C正确；x2到x3，电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀减小，D正确． 24．（多选）在x轴上电场强度E与x的关系如图所示，O为坐标原点，a、b、c为x轴上的点，a、c之间的距离为d，a、c两点的电场强度大小均为E0，则下列说法中正确的是(　　) A．φb＞φa＝φc＞φO B．φO＞φa＞φb＞φc C．将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d| D．将质子从a点移到c点，质子的电势能增加 答案　BC 解析　在E－x图象中，图象与x轴所围面积表示电势差，由图可以看出x轴上Oc段与图线所围面积大于ac段与图线所围面积，ac段与图线所围面积大于bc段与图线所围面积，即UOc＞Uac＞Ubc＞0，所以φO＞φa＞φb＞φc，故B正确，A错误；ac段与图线所围面积大于E0d，即Uac＞E0d，所以将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d|，故C正确；将质子从a点移到c点，电场力做正功，质子的电势能减少，D错误． 25．一电荷量为q(q＞0)、质量为m的带电粒子在匀强电场的作用下，在t＝0时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图所示．不计重力．求在t＝0到t＝T的时间间隔内： (1)粒子位移的大小和方向；(2)粒子沿初始电场反方向运动的时间． 【答案】（1）       （2） 【解析】 粒子在0～T/4、T/4～T/2、T/2～3T/4、3T/4～T时间间隔内做匀变速运动，设加速度分别为a1、a2、a3、a4，由牛顿第二定律得 、、、 由此得带电粒子在0～T时间间隔内运动的a—t图像如图（a）所示，对应的v—t图像如图（b）所示，其中 由图（b）可知，带电粒子在t＝0到t＝T时的位移为 联立解得：，它的方向沿初始电场正方向． （2）由图（b）可知，粒子在t＝3T/8到t＝5T/8内沿初始电场反方向运动，总的运动时间为 26．如图甲所示，两水平平行金属板A、B间距为d，在两板右侧装有荧光屏MN(绝缘)，O为其中点．在两板A、B上加上如图乙所示的电压，电压最大值为U0.现有一束带正电的离子(比荷为k)，从两板左侧中点以水平初速度v0连续不断地射入两板间的电场中，所有离子均能打到荧光屏MN上，已知金属板长L＝2v0t0，忽略离子间相互作用和荧光屏MN的影响，则在荧光屏上出现亮线的长度为(　　) A．kdU0t02 B. C. D. 答案　C 解析　离子在两板间运动，沿水平方向做匀速运动，运动时间t＝＝2t0，所有离子运动时间都等于电场变化的周期，作出各个时刻射入电场的离子在板间沿静电力方向上运动的vy－t图像，如图所示，由图像可知，离子离开两板间时沿电场方向的速度vy均相同，vy－t图像中图线与t轴围成的面积表示沿电场方向的位移，由图像可知0时刻进入电场的离子沿电场方向的位移最大，t0时刻进入电场的离子沿电场方向的位移最小．电压为U0时，离子在电场中运动的加速度a＝＝，离子离开两板间时沿电场方向的速度为vy＝at0＝，由图像面积可得，离子沿电场方向运动的最大位移ymax＝(t0＋2t0)at0＝，离子沿电场方向运动的最小位移为ymin＝t0·at0＝，屏上亮线的长度为Δy＝ymax－ymin＝，C正确． 27．(多选)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　) A．从O点到C点，电势先升高后降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子运动到C点时动能大于3Ek D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量 答案　CD 解析　由O点到C点，沿电场方向，电势一直降低，A错误；电场强度大小一直在变化，静电力也就在不断变化，带正电的粒子的加速度在不断变化，做变加速运动，B错误；根据E随x的变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D正确． 28．如图甲所示，一带正电的小球用绝缘细线悬挂在竖直向上的、范围足够大的匀强电场中，某时刻剪断细线，小球开始向下运动，通过传感器得到小球的加速度随下行速度变化的图像如图乙所示．已知小球质量为m，重力加速度为g，空气阻力不能忽略．下列说法正确的是(　　) A．小球运动的速度一直增大 B．小球先做匀加速运动后做匀速运动 C．小球刚开始运动时的加速度大小a0＝g D．小球运动过程中受到的空气阻力与速度大小成正比 答案　D 解析　 小球速度增大到v0后，加速度变为0，速度不再增大，故A错误；小球在加速过程中，加速度随速度变化，即不是匀变速运动，故B错误；剪断细线，小球开始向下运动，由于小球不只受重力，还受向上的静电力，故此时加速度a0＜g，故C错误；由a－v图像，可得a＝kv＋a0，由牛顿第二定律，可得mg－qE－Ff＝ma，可解出加速度为a＝－＋g－，联立可知a0＝g－，还可知－＝kv，即Ff＝－kmv，故D正确． 29．真空中固定一电荷量为Q的负点电荷，一电荷量为q、质量为m的试探电荷仅在电场力作用下由静止开始运动，先后经过A、B、C三点，其a－图象如图所示，图中a为试探电荷的加速度，r代表试探电荷与负点电荷间的距离，已知aC＝3aA＝1.5aB，则下列说法正确的是(　　) A．试探电荷带负电 B．A、B、C三点的电势关系：φA<φB<φC C．A、B、C三点的电场强度关系：EC＝3EA＝1.5EB D．该图线的斜率代表负点电荷的电荷量与试探电荷质量的比值 答案　C 解析　因为试探电荷仅在电场力作用下由静止开始运动，先后经过A、B、C三点，结合题中图象可知，试探电荷离负点电荷越来越近，而固定点电荷带负电，说明试探电荷带正电，A错误；沿着电场线方向电势降低，所以φA>φB>φC，B错误；根据F＝＝ma，并进行定性分析(F＝qE)，由aC＝3aA＝1.5aB，可知A、B、C三点电场强度关系：EC＝3EA＝1.5EB，题图斜率k′＝，故C正确，D错误． 30．（2026·浙江省浙东北县域名校发展联盟（ZDB）·一模）如图所示，一块很大的接地金属平板水平放置，其上方附近固定一负点电荷Q，a、b、c、d为同一平面上的四个点，位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. c点的电场强度大小比d点小 B. c点的电势比d点电势低 C. 将正试探电荷从a点移到b点电场力做正功 D. 同一负试探电荷在a点的电势能比在b点小 【答案】B 【解析】AB．由镜像对称知，c点的电场强度大小比d点大，c点的电势比d点电势低，A错误，B正确； CD．将正试探电荷从a点移到b点克服电场力做功，负试探电荷从a点移到b点电场力做正功电势能减小，CD错误。 故选B。 二、填空题 31．如图，在真空中有两个点电荷A和B，电量分别为－Q和＋2Q，它们相距L，如果在两点电荷连线的中点O有一个半径为r（2r＜L）的空心金属球，且球心位于O点，则球壳上的感应电荷在O点处的场强大小________ 方向_________． 答案：12kQ/l2　向右 32．(2026·河北石家庄市模拟)某探究小组利用如图甲所示电路观察电容器的充、放电现象，其中E为电源(内阻不计)，R为定值电阻，C为电容器，A为毫安表，V为数字电压表(内阻近似无穷大)。操作时，先把开关S接1，待稳定后，再把开关S接2。 (1)开关接1后，R电流方向________(选填“自左向右”或“自右向左”)。 (2)关于充电过程，下列说法正确的是________(多选)。 A．电流表的示数逐渐增大，后保持不变 B．电压表的示数逐渐增大，后保持不变 C．充电完毕，电流表的示数为零 D．充电完毕，电压表的示数为零 (3)图甲中直流电源电动势E＝8 V，实验前电容器不带电。现将图甲电路中的电流表换为电流传感器，并与计算机相连，测得当电容器充电、放电时，电流随时间变化的i－t曲线如图乙所示。计算机测得图像中的阴影面积S1＝1 300 mA·s，则该电容器的电容为________F(保留2位有效数字)。 [解析]　(1)开关接1时，电容器处于充电状态，电容器的下极板带正电，上极板带负电，则R中电流方向为自左向右。 (2)充电过程中，电流逐渐减小，充电完毕，电流为零，故A错误，C正确；充电过程中，电容器两端的电压逐渐增大，充电完毕后，电压保持不变，故B正确，D错误。 (3)图像中的阴影面积表示电容器的充电电荷量，即Q＝S1＝1 300 mA·s＝1.3 C，根据电容的定义式C＝，且充电后U＝E＝8 V，代入数据解得C≈0.16 F。 [答案]　(1)自左向右　(2)BC　(3)0.16 三、计算、问答题 33．如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球在B点时对轨道的压力． 答案　(1)　(2)3mg＋k，方向竖直向下 解析　(1)带电小球q2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR＝mv 解得vB＝. (2)小球到达B点时，受到重力mg、库仑力F和支持力FN，由圆周运动和牛顿第二定律得FN－mg－k＝m 解得FN＝3mg＋k 根据牛顿第三定律，小球在B点时对轨道的压力为 FN′＝FN＝3mg＋k 方向竖直向下． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 静电场章末小结 【新教材沪科版】 本章内容在高考中单独命题较多，有选择题也有计算题．选择题主要考查对基本概念和物理模型的理解，如电场的分布特点、电势、电势能的理解；计算题主要考查带电粒子在电场中的运动，常与牛顿运动定律、功能关系、能量守恒综合考查．常与实际生活、科学研究联系密切出题，通过新的情景或新的素材如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等进行命题考查. 模块二 知识精讲 情景导入 知识归纳 【知识点1 库仑定律】 1．库仑定律 (1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的 成正比，与它们的距离 的 成反比，作用力的方向在它们的连线上。 (2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫作静电力常量。 (3)适用条件：①真空中；② 。 2．库仑定律的理解 (1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。 (2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。 ①同种电荷：F＜k。 ②异种电荷：F＞k。 (4)不能根据公式错误地认为r →0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看作点电荷了。 3．库仑力作用下的平衡问题 点电荷平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多分析一个电场力。具体步骤如下： 【例1】（多选）用等长的绝缘丝线分别悬挂两个质量、电荷量都相同的带电小球A、B(均可视为质点且不计两球之间的万有引力)，两线上端固定在同一点O，把B球固定在O点的正下方，当A球静止时，两悬线夹角为θ，如图所示，若其他条件不变，只改变下列某些情况，能够保持两悬线夹角θ不变的方法是(　　) A．同时使两悬线的长度都减半 B．同时使A球的质量、电荷量都减半 C．同时使A、B两球的质量、电荷量都减半 D．同时使两悬线的长度和两球的电荷量都减半 【变式1-1】如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为m、带电荷量为q的圆环a套在竖直杆上，质量为M、带电荷量为＋Q的滑块b静置于水平地面上，滑块b与地面间的动摩擦因数为μ，a、b均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为θ，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．圆环a带负电 B．滑块b受到的库仑力大小为 C．滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g D．滑块b受到地面的摩擦力大小为μ(M＋m)g 【变式1-2】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？ 【变式1-3】如图所示，倾斜角度为θ的粗糙程度均匀的绝缘斜面，下方O点处有一电荷量为＋Q的点电荷，一质量为m、电荷量为－q的小物体(可看成质点)与斜面间的动摩擦因数为μ.现使小物体以初速度v0从斜面上的A点沿斜面上滑，到达B点时速度为零，然后又下滑回到A点．小物体所带电荷量保持不变，静电力常量为k，重力加速度为g，OA＝OB＝l.求： (1)小物体沿斜面上滑经过AB中点时的加速度大小； (2)小物体返回到斜面上的A点时的速度大小． 【知识点2 电场强度和电场线】 1．电场强度的性质 矢量性 电场强度E是表示电场力性质的一个物理量。规定正电荷受力方向为该点电场强度的方向 唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置 叠加性 如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的 和 2.电场强度的计算公式 项目 公式 适用条件 特点 定义式 E＝ 任何电场 某点的电场强度为确定值，大小及方向与F及q 决定式 E＝k 真空中的 点电荷 的电场 某点的电场强度E由场源电荷Q和该点到场源电荷的距离r决定 关系式 E＝ 匀强电场 d是沿电场方向的距离 3．电场线 (1)为了形象地描述电场中各点电场强度的 及 ，在电场中画出一些有方向的曲线，曲线上每点的 方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的 表示电场强度的大小。 (2)电场线的特点 (3)六种典型电场的电场线 4．等量点电荷的电场强度及电场线 比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷 电场线 分布图 电荷连线上 的电场强度 沿连线先变小后变大 O点最小，但不为零 O点为零 中垂线上的 电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点 对称位置的 电场强度 A与A′、B与B′、C与C′ 等大同向 等大反向 5．特殊方法1：填补法 将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。 6．特殊方法2：对称法和微元法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。 【例2】（2026·河北省盐山中学·一模）如图所示，将一特殊物体置于匀强电场后电场线按图示的情况弯曲；实线为电场线，关于轴对称分布。一发射源向同一方向射出两个相同的电荷、，运动轨迹如图中虚线所示，为电荷的运动轨迹、为电荷的运动轨迹，点与点关于轴对称。不计电荷重力及电荷间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A. 电荷、均带正电 B. 电荷经过点时与电荷经过点时的加速度相同 C. 电荷经过点时与电荷经过点时的动能相等 D. 电荷经过点时与电荷经过点时的电势能相等 【变式2-1】（2026·福建泉州市·一模）如图，在等边三角形顶点、、上各放置一个相同的点电荷，、、是该三角形的角平分线，图示点在上，已知点场强为零，则在、、上与点场强大小相等的位置除点外共有（ ） A. 2处 B. 3处 C. 4处 D. 5处 【变式2-2】（2026·河北省石家庄市第一中学·一模）如图所示，为半径为的绝缘球壳的中心，球壳上均匀分布着正电荷。已知均匀带电球壳在内部产生电场的场强处处为零。现在球壳上点处取下一面积足够小、带电荷量为的曲面，将其沿连线的延长线移到点，。若球壳的其他部分的带电荷量与电荷分布保持不变，静电力常量为，则球心点处场强为（　　） A. ，方向由指向 B. ，方向由指向 C. ，方向由指向 D. ，方向由指向 【变式2-3】（2026·河南焦作市·一模）如图所示，M、N、P、Q分别是一边长为2a的正方形四条边的中点，O是MN的中点，A、B分别是MO和NO的中点。在MN两点放置电量均为+q的点电荷，整个空间存在与纸面平行的匀强电场。已知P点的合电场强度为0，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场的方向由P指向Q，大小为 B. Q点的合场强方向由P指向Q，大小为 C. 直线上从O到Q的电势先增大后减小 D. 将一正的试探电荷从A点沿直线移到B点的过程中，电荷的电势能先减小后增大 【知识点3 电势与等势面、电势差】 1．电势 (1)定义：电荷在电场中某一点的 与它的电荷量之比。 (2)定义式：φ＝。 (3)矢标性：电势是 量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)。 (4)相对性：电势具有 ，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。 2．等势面 (1)定义：电场中 相同的各点构成的面。 (2)四个特点 ①在同一等势面上移动电荷时电场力 。 ②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势 的等势面。 ③等差等势面越密的地方电场强度 ，反之 。 ④任意两个等势面都不相交。 三、电势差 1．定义：在电场中，两点之间 的差值。 2．定义式：UAB＝φA－φB。 3．与电场力做功的关系 (1)电场力做的功WAB等于电荷在A、B两点的 之差。 (2)电势差UAB由 的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB ，与零电势点的 选取 。 四．处于静电平衡状态的导体的特点 (1)导体内部的场强处处 ； (2)导体是一个等势体，导体表面是等势面； (3)导体表面处的场强方向与导体表面 ； (4)导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上。 五．比较电势高低的方法 (1)依据电场线方向：沿电场线方向电势降低。 (2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低。 (3)场源电荷的正负：取无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。 (4)依据电势能的大小：正试探电荷，电势能大处电势较高；负试探电荷，电势能大处电势较低。 六．比较电势能大小的方法 (1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 (2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。 (3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断。 (4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。 七．电场中功能关系的分析 (1)若只有电场力做功，则电势能与动能之和保持不变。 (2)若只有电场力和重力做功，则电势能、重力势能、动能之和保持不变。 (3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。 (4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化。 【例3】（2026·安徽省合肥市·一模）某电场的等势面分布如图所示，相邻等势面之间的电势差均为1V，部分等势面的电势已标明，下列说法正确的是（　　） A. B点的电场强度小于C点的电场强度 B. 将电子放在A点，其受到的电场力方向向左 C. 电子在A点的电势能大于在D点的电势能 D. 将电子沿直线从B点移至C点，电场力一直做负功 【变式3-1】（2026·河北省保定市涿州市第二中学·一模）如图所示，光滑绝缘水平面上三个点电荷A、B、C分别固定在边长为l的等边三角形的三个顶点上，其中A、B均带正电，电荷量均为Q，C带负电，电荷量大小为q，M、N、P分别为三条边的中点。静电力常量为k。下列说法正确的是（ ） A. N、P两点的电场强度相同 B. N点的电势比P点的电势高 C. 若由静止释放C，则C经过M点时的电势能最大 D. M点的电场强度大小为 【变式3-2】（2026·四川省眉山中学校·一模）如图所示，在平行纸面的匀强电场中存在圆心为、半径为的圆，、是圆内夹角为的两条直径。一带正电的粒子自A点沿平行圆面先后以不同的速度射入电场，其中从点射出的粒子动能增加了，从点射出的粒子动能增加了。已知粒子仅受电场力的作用，则（　　） A. A点电势低于点电势 B. 匀强电场的场强方向与平行 C. 若粒子从C点射出，其动能增加 D. 若粒子从的中点射出，电场力做的功为 【变式3-3】如图所示，O、A、B、C为一粗糙绝缘水平面上的三点，不计空气阻力，一电荷量为－Q的点电荷固定在O点，现有一质量为m、电荷量为－q的小金属块(可视为质点)，从A点由静止沿它们的连线向右运动，到B点时速度最大，其大小为vm，小金属块最后停止在C点．已知小金属块与水平面间的动摩擦因数为μ，AB间距离为L，静电力常量为k，则(　　) A．在点电荷－Q形成的电场中，A、B两点间的电势差为 B．在小金属块由A向C运动的过程中，电势能先增大后减小 C．OB间的距离为 D．从B到C的过程中，小金属块的动能全部转化为电势能 【知识点4 电场强度与电势差的关系】 1．匀强电场中电势差与电场强度大小的关系式：UAB＝Ed，其中d为电场中两点间 的距离。 2．电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向 最快的方向。 3．匀强电场中的两个推论 (1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。 (2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。 4．“等分法”的应用 (1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差大小相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差大小等于原电势差的，这种通过等分间距求解电势问题的方法，叫等分法。 (2)若已知匀强电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”，在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。 5．解题思路 6．解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。 7．定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如判断距离相等的两点间的电势差，电场强度E越大，电势差U越大；E越小，U越小。 【例4】（2026·河北沧州市沧县中学·一模）（多选）如图所示，正四面体的边长为点为底面的中心，整个空间存在匀强电场。已知顶点的电势为0，顶点和顶点的电势均为顶点的电势为，则下列说法正确的是（　　） A. 电场方向由A指向 B. 电场强度大小为 C. 点的电势为 D. 若将电子由A点移动到点，电势能将增大 【变式4-1】（2026·湖南省长沙市集团联考·一模）如图所示，P和Q为两平行金属板，板间有恒定电压，在P板附近有一电子（不计重力）由静止开始向Q板运动，下列说法正确的是（　　） A. 电子到达Q板时速率，与板间电压无关，仅与两板间距离有关 B. 电子到达Q板时的速率，与两板间距离无关，仅与板间电压有关 C. 两板间距离越小，电子的加速度就越小 D. 两板间距离越大，加速时间越短 【变式4-2】（2026·湖南省长沙市南雅中学·一模）（多选）如图甲所示，圆形区域内存在与圆平面平行的匀强电场（图中未画出），圆的两条直径与间的夹角为，从点向圆内不同方向发射速率相同的不计重力的带正电粒子，发现从圆边界射出的粒子中点射出的粒子速度最大。以为坐标原点，沿方向建立坐标轴，点的坐标为，轴上从到的电势变化如图乙所示，则（　　） A. 圆边界上点电势最高 B. 电场强度 C. 点的电势为 D. 把一电子从点移到点电场力做功 【变式4-3】（2026·江西省景德镇市·上学期第一次质量检测）（多选）在以竖直方向建立y轴的xoy平面内存在方向未知且范围足够大的匀强电场，已知x轴和y轴上的各点电势如图甲和图乙所示，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场大小为240V/m B. x方向分电场与y方向分电场大小之比为4∶3 C. 一个电子处于坐标（3cm，3cm）时电势能为0J D. 在坐标原点以8m/s的初速度竖直抛出质量为0.1kg带电荷量C的小球，运动到最高点时电势能增加了2J 【知识点5 电容器与带电粒子的运动】 一．平行板电容器的动态分析 1．两类典型问题 (1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的 保持不变。 (2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的 保持不变。 2．动态分析思路 (1)U不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化。 ②根据E＝分析电场强度的变化。 ③根据UAB＝EdAB分析某点电势变化。 (2)Q不变 ①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化。 ②根据E＝＝分析电场强度的变化。 二．重力的处理 1．基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都 重力(但并不忽略质量)。 2．带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。 三．带电粒子在静电场中的直线运动 1．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度 ，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。 2．用动力学观点分析 a＝，E＝，v2－v＝2ad。 2．用功能观点分析 匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv。 非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。 四、带电粒子在电场中的匀变速曲线运动 1．运动情况：如果带电粒子以初速度v0垂直于场强方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法：将粒子的运动分解为沿初速度方向的 运动和沿电场力方向的 运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。 3．运动规律 (1)带电粒子沿初速度方向做匀速直线运动 ①能飞出电容器：t＝。 ②不能飞出电容器：y＝at2＝ t2，t＝ 。 (2)带电粒子沿电场力方向做匀加速直线运动 加速度：a＝＝＝。 离开电场时的偏移量：y＝at2＝。 离开电场时的偏转角：tan θ＝＝。 4．两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是 的。 证明：由qU0＝mv，y＝at2＝×·，tan θ＝，得y＝，tan θ＝，可见y、tan θ与粒子的q、m无关。 (2)带电粒子经电场偏转后射出，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的 ，即O点到偏转电场边缘的距离为。 5．功能关系：当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。 五 ．带电粒子在交变电场中的运动 1．交变电场：常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2．题目类型 (1)粒子做单向直线运动。 (2)粒子做往返运动。 3．解题技巧 (1)按周期性分段研究。 (2)将 a－t图像 v－t图像。 六．运动轨迹问题的分析 1．从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。 2．结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。 3．根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。 【例5】（2026·贵州省贵阳市·一模）（多选）空间中存在水平向左、范围足够大的匀强电场，将一电荷量为q、质量为m的小球以初速度从电场中的M点水平向右抛出，一段时间后小球运动到P点（图中未画出），此时速度方向竖直向下，然后从P点运动到M点正下方的N点，如图所示。已知MP的水平距离等于MN的高度差，重力加速度大小为g。设小球在N点的电势能为零，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 电场强度大小为 B. MP与PN的竖直高度之比为 C. 小球从M运动到N的过程中，电势能的最大值为 D. 小球从M运动到N的过程中，速率的最小值为 【变式5-1】（2026·安徽省合肥市·一模）超级电容公交车通过车载电容驱动，不用油、无噪音、低污染，是一款清洁能源汽车，我国是唯一将超级电容公交车投入量产的国家。某同学按照图甲电路，用智能电源对一个车用电容器进行充、放电实验，检测出某段时间内通过电阻R的电流I随时间t变化的图像如图乙所示，已知t＝0时电容器不带电，下列说法正确的是（　　） A. 0~1s内电容器的电荷量随时间均匀增加 B. 1s~2s内电容器的电压随时间均匀增大 C. 2s~3s内电容器在放电 D. 4s时电容器的电荷量为2.5C 【变式5-2】（2026·广东省清远市·一模）如图所示为密立根油滴实验原理示意图。水平放置的两足够大金属板相距为d，两板间加有电压U，上极板中央有一小孔。油滴从喷雾器喷嘴喷出时因摩擦带负电，少数油滴通过上极板小孔进入平行板间。通过显微镜观察到一质量为m的油滴在板间匀速下降。忽略空气作用力，下列说法正确的是（　　） A. 上极板带负电 B. 增大电压可使该油滴加速下降 C. 该油滴的带电量为 D. 该油滴由上极板运动到下极板，电势能增加了 mgd 【变式5-3】（2026·广东汕头市·一模）（多选）如图所示，某静电分析器的两电极之间存在指向圆心O的辐向电场。三个带电粒子以相同的动能从A点垂直端面射入，仅在电场力作用下，甲粒子从B射出，乙粒子做圆周运动从C射出，丙粒子从D射出。已知甲、乙、丙的电荷量大小分别为、、，，，下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙粒子带正电，丙粒子带负电 B. 乙粒子经过的位置电场强度大小均为 C. 甲粒子动能的增加量大于丙粒子动能的减少量 D. 若B点电势为，C点电势为，则甲粒子离开电场时的动能为 【知识点6 静电场中的图像】 一．v－t图像 根据v－t图像中速度的变化情况和斜率的变化确定电荷所受合力的方向与合力大小变化情况，确定电场的方向、电势高低及电势能的变化。 二．φ－x图像 1． 的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值。如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图1)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。 2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据 高低关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向(如图2)。 三．E－x图像 1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴 方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。 2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示 (如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。 四．Ep－x图像 1．Ep－x图像反映了电势能随位移变化的规律。 2．由电场力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图线上某点切线的斜率k＝，其大小等于 ，斜率的正负代表电场力的方向。 【例6】（2026·河南省郑州市宇华实验学校·一模）空间中存在一电场，电势沿x轴的分布情况如图所示，下列说法正确的是（　　） A. 处电场强度为零 B. 到区间内的电场为沿x轴方向的匀强电场 C. 用外力将负试探电荷从处沿x轴缓慢移动到处，外力做正功 D. x轴上到区间内，电场强度的大小随x增加而减小 【变式6-1】(多选)如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，其电势能Ep沿x轴的变化如图所示，下列说法正确的是(　　) A．粒子在x2点的速度为v0 B．从O点到x3点的过程中，电场的电势先升高再降低再升高 C．若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为 D．若v0＝2，则粒子在运动过程中的最大动能为2Ep0 【变式6-2】(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是(　　) A．点电荷M、N一定为同种电荷 B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1 C．把一个检验电荷由x1位置静止释放，其加速度一直减小 D．把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，其电势能一直减小 【变式6-3】(多选)两个等量同种电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2×10－5 C、质量为1 g的小物块从C点静止释放，其运动的v-t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是(　 ) A．小物块带正电 B．A、B两点间的电势差UAB＝－500 V C．小物体由C点到A点电势能先减小再增大 D．B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m 模块三 课后作业 一、选择题 1．（2026·广东梅州市·一模）（多选）手机的计步功能通过“震动探测器”实现。其主要原理可简化为如图所示，M、N两极板组成电容式加速度传感器，其中极板固定，极板连接微弹簧。当手机的加速度变化时，极板可以按图中标识的“前后”方向微幅运动。其中为电源，为电流表，为定值电阻。下列描述正确的是（　　） A. 静止时，极板带负电，电流表示数为零 B. 由静止突然向前加速时，电容器的电容减小 C. 由静止突然向前加速时，电流由向流过电流表 D. 保持向前匀减速运动时，M、N极板间电场强度均匀减小 2．（2026·贵州遵义市仁怀市·一模）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，下列判断不正确的是（　　） A. 如果A球带电，则A球一定带负电 B. 如果A球带电，则A球的电势能一定增加 C. 如果B球带电，则B球一定带正电 D. 如果B球带电，则B球的电势能一定增加 3．（2026·河北省五个一联盟·一模）（多选）取无穷远处或大地电势为零，点电荷在空间中形成电场，在某点的电势为 q是点电荷的电荷量，r是该点到点电荷的距离，k为静电力常量。当空间中有多个点电荷时，同一点的电势等于每个电荷在该点电势的代数和。如图所示，一绝缘杆支撑的半径为R的金属球用导线接地，球心为O点，一带电荷量为+Q的点电荷固定在离球心距离2R处，下列说法正确的是（　　） A. 金属球表面的电荷在O点处的电场强度为 B. 金属球表面的电荷在O点处的电场强度为 C. 金属球表面的电荷量为-Q D. 金属球表面的电荷量为 4．（2026·河北省唐山市·一模）匀强电场中，用长为的绝缘细线系住一质量为、电荷量为的带电小球，小球在竖直平面内绕点做圆周运动，运动过程中速度最小值为，此时绳子拉力为0。已知小球在速度最小时和速度最大时机械能相等，电场强度方向与圆周平面平行，重力加速度为，不计空气阻力，则匀强电场的电场强度大小为（ ） A. B. C. D. 5．（2026·黑龙江哈尔滨市第九中学校·一模）为避免雷击现象发生，人们在高大的建筑物上安装避雷针，云层和避雷针之间电场分布如图所示，、在同一电场线上，以点为原点沿到的方向建立轴，一个正电粒子从点无初速度释放，运动到。若取避雷针针尖的电势为零，不计粒子重力，则电场线上各点电势、粒子的电势能随位置的变化图像，以及粒子运动速度、加速度随时间变化图像可能正确的是（ ） A. B. C. D. 6．（2026·河北省·一模）如图所示，水平固定的绝缘木板处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E。电荷量为的物块在木板上刚好能保持静止。在木板上的处钉一钉子，在处固定一光滑圆环，沿电场线方向。将一根轻质绝缘橡皮筋的一端系在钉子上，另一端穿过圆环与物块相连，橡皮筋遵循胡克定律，其原长等于间的距离。当物块处于延长线上的A点时，物块恰好要沿向右运动，此时A点与点间的距离为L。当物块位于B点，与的夹角为60°，也能恰好保持静止，则B、两点间的距离x和此时橡皮筋弹力F分别为（ ） A. B. C. D. 7．（2026·河北省·一模）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，质量相同的带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A. 电荷量之比为 B. 到达K点所用时间之比为 C. 加速度大小之比为 D. 到达K点时沿电场方向的位移大小之比为 8．（2026·河北省·一模）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知A点电势为0，OM与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。则（ ） A. 电场强度E的大小为 B. 小球电势能最大值为 C. 小球在M点初速度为 D. 小球运动到B点时突然剪断细线后，小球运动过程中速度的最小值为 9．（2026·湖北省孝感市教科研楚天协作体·一模）如图所示，边长为L的正三角形框OAB由三根绝缘轻杆连接而成，A、B两点分别固定两个带电小球，质量均为m，电荷量分别为+q和-q，初始OB杆水平，整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度，重力加速度为g，静止释放后框可绕O点在竖直平面内转动，关于框架在运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. A位置的小球不能运动到与O点等高的位置 B. AB的中点运动到O点正下方时，两球与框组成的系统的机械能最大 C. 转动过程中小球最大的速度为 D. 转动过程中小球最大的速度为 10．（2026·湖南怀化市·一模）如图甲，长4L、宽2L的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，左边框上a点开有一小孔。时，质量m、电荷量Q的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a点水平射入，然后与上边框碰撞于b点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b均为中点，m、Q、T、L均为已知量，则（　　） A. 粒子带正电 B. 若粒子时刻到达b点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞 C. 若粒子时刻到达b点，那么粒子无法从a点射出 D. 粒子时刻到达b点时的电场强度为粒子时刻到达b点时电场强度的4倍 11．（2026·湖南省T8联盟·一模）（多选）如图所示，在竖直面内有一半径为R的光滑圆轨道，空间中存在平行于圆轨道所在平面的匀强电场。小球质量为m，电荷量为，将小球从A点以大小为的速度沿任意方向抛出，小球落至B、C两点时速度大小相等，其中A点和C点与圆心等高，B点在圆心正下方，已知小球与轨道碰撞后沿半径方向速度变为0，沿切线方向速度不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场的电场强度大小可能为 B. 小球在圆弧上运动至圆弧BC中点时，势能最小 C. 若电场方向水平向右，在A点给小球竖直向下速度，要使小球能在竖直平面做完整的圆周运动，则其在A点的速度应不小于 D. 若电场方向水平向右，将小球从A点由静止释放，小球与轨道碰撞后不会再次脱离圆轨道 12．（2026·江苏省南京市鼓楼区协作体·一模）如图，在电荷量为Q的负点电荷的电场中，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，，A、B、C、D四点的电势满足 ， ，点电荷Q在A、B、C三点所在平面内，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. Q在AC连线中点 D. Q在BD连线中点 13．（2026·江苏省徐州市第三中学·一模）一带电粒子在只受电场力的作用下，在点电荷A和B的电场中从a运动到b，电场线和运动轨迹如图所示，则可推断（ ） A. A、B带同种电荷 B. a点电势比b点高 C. 粒子在a处的加速度比b处小 D. 粒子在a处的电势能比b处小 14．（2026·辽宁省沈阳市·一模）如图，在竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷。在垂直于圆环面且过圆心的轴线上有、、三点，其中为中点。粒子从点以某一初速度沿轴向运动，到点时速度为零，则（　　） A. 粒子从到的过程中加速度一定一直增大 B. 粒子从到的过程中电势能一定一直增大 C. 点电场强度一定等于点的电场强度 D. 两点间的电势差一定等于两点间的电势差 15．（2026·山东德州市·一模）（多选）如图所示，在空间直角坐标系中，有、、、、、六个点。、、、四个点在轴上，点在轴上，点在轴上。、、、四个点到原点的距离相等，、两个点到原点的距离相等。在、两点分别放置一个带电量为、的点电荷，下列说法正确的是（　　） A. 点和点的电场强度相同、电势相等 B. 点和点的电场强度相同、电势相等 C. 将带正电的试探电荷沿直线从点移动到点，电场力先变小后变大，电势能也是先变小后变大 D. 将带正电的试探电荷沿直线从点移动到点，电场力先变大后变小，电势能一直不变 16．（2026·山东烟台市·一模）如图所示，在真空中A、B两点处固定两个电荷量均为Q的正点电荷，C点为A、B连线的垂直平分线上的一点，O点为A、B连线的中点，将一电荷量为q、质量为m的负点电荷从C点由静止释放，A、B两点间的距离为L，O、C两点间的距离为d，且。已知质量为m的物体做简谐运动所受回复力与位移的关系为，振动的周期为，不计负点电荷的重力，静电力常量为k，则该负点电荷的振动周期为（ ） A. B. C. 2 D. 17．（2026·天津市宁河区芦台第一中学·一模）（多选）如图所示，一带电粒子q以一定的初速度进入某点电荷Q产生的电场中，粒子只受静电力，沿图中弯曲的虚线轨迹先后经过电场中的a、b两点，其中a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成30°角；b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成60°角。下列说法中正确的是（　　） A. 点电荷Q带正电 B. 粒子q在a点的静电力小于在b点的静电力 C. 粒子q在a点的电势能大于在b点的电势能 D. a点的电势低于b点电势 18．如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为＋q的点电荷；在0≤x＜a区间，x轴上电势φ的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为－Q的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是(　 ) A．Q＝q，释放后P将向右运动 B．Q＝q，释放后P将向左运动 C．Q＝q，释放后P将向右运动 D．Q＝q，释放后P将向左运动 19．(多选)如图甲所示，A、B为电场中一直线上的两个点，带正电的点电荷只受电场力的作用，从A点以某一初速度做直线运动到B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图乙所示。则从A到B过程中，下列说法正确的是(　 ) A．点电荷的速度先增大后减小 B．空间电场是某负点电荷形成的 C．点电荷所受电场力先减小后增大 D．空间各点的电势先升高后降低 20．一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法中正确的是(　 ) A．在x1处粒子速度最大 B．在x2处粒子加速度最大 C．在x3处电势最高 D．在x2处电势为零 21．(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N分别固定在x轴上x1＝0和x2＝3a的两点，在两者连线上各点的电场强度E随x变化的关系如图所示，设电场方向沿x轴正方向时E取正值，则以下判断正确的是(　 ) A．点电荷M、N均为正电荷 B．M、N所带电荷量的绝对值之比为2∶1 C．x＝2a处的电势一定为零 D．沿x轴从0到3a电势先降低再升高 22．（2026·重庆市九龙坡区·一模）图所示，是平行板电容器的两水平金属极板，通过一定值电阻与一电池相连。在、间的距离增大的过程中，关于有无电流流过及电流的方向，下列说法正确的是（　　） A. 有电流，由流向 B. 有电流，由流向 C. 无电流 D. 不能确定 23．(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中O～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是(　　) A．O～x1段电势逐渐升高 B．O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动 C．x1～x2段电场强度为零 D．x2～x3段的电势沿x轴均匀减小 24．（多选）在x轴上电场强度E与x的关系如图所示，O为坐标原点，a、b、c为x轴上的点，a、c之间的距离为d，a、c两点的电场强度大小均为E0，则下列说法中正确的是(　　) A．φb＞φa＝φc＞φO B．φO＞φa＞φb＞φc C．将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d| D．将质子从a点移到c点，质子的电势能增加 25．一电荷量为q(q＞0)、质量为m的带电粒子在匀强电场的作用下，在t＝0时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图所示．不计重力．求在t＝0到t＝T的时间间隔内： (1)粒子位移的大小和方向；(2)粒子沿初始电场反方向运动的时间． 26．如图甲所示，两水平平行金属板A、B间距为d，在两板右侧装有荧光屏MN(绝缘)，O为其中点．在两板A、B上加上如图乙所示的电压，电压最大值为U0.现有一束带正电的离子(比荷为k)，从两板左侧中点以水平初速度v0连续不断地射入两板间的电场中，所有离子均能打到荧光屏MN上，已知金属板长L＝2v0t0，忽略离子间相互作用和荧光屏MN的影响，则在荧光屏上出现亮线的长度为(　　) A．kdU0t02 B. C. D. 27．(多选)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等．一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是(　　) A．从O点到C点，电势先升高后降低 B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动 C．粒子运动到C点时动能大于3Ek D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量 28．如图甲所示，一带正电的小球用绝缘细线悬挂在竖直向上的、范围足够大的匀强电场中，某时刻剪断细线，小球开始向下运动，通过传感器得到小球的加速度随下行速度变化的图像如图乙所示．已知小球质量为m，重力加速度为g，空气阻力不能忽略．下列说法正确的是(　　) A．小球运动的速度一直增大 B．小球先做匀加速运动后做匀速运动 C．小球刚开始运动时的加速度大小a0＝g D．小球运动过程中受到的空气阻力与速度大小成正比 29．真空中固定一电荷量为Q的负点电荷，一电荷量为q、质量为m的试探电荷仅在电场力作用下由静止开始运动，先后经过A、B、C三点，其a－图象如图所示，图中a为试探电荷的加速度，r代表试探电荷与负点电荷间的距离，已知aC＝3aA＝1.5aB，则下列说法正确的是(　　) A．试探电荷带负电 B．A、B、C三点的电势关系：φA<φB<φC C．A、B、C三点的电场强度关系：EC＝3EA＝1.5EB D．该图线的斜率代表负点电荷的电荷量与试探电荷质量的比值 30．（2026·浙江省浙东北县域名校发展联盟（ZDB）·一模）如图所示，一块很大的接地金属平板水平放置，其上方附近固定一负点电荷Q，a、b、c、d为同一平面上的四个点，位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. c点的电场强度大小比d点小 B. c点的电势比d点电势低 C. 将正试探电荷从a点移到b点电场力做正功 D. 同一负试探电荷在a点的电势能比在b点小 二、填空题 31．如图，在真空中有两个点电荷A和B，电量分别为－Q和＋2Q，它们相距L，如果在两点电荷连线的中点O有一个半径为r（2r＜L）的空心金属球，且球心位于O点，则球壳上的感应电荷在O点处的场强大小________ 方向_________． 32．(2026·河北石家庄市模拟)某探究小组利用如图甲所示电路观察电容器的充、放电现象，其中E为电源(内阻不计)，R为定值电阻，C为电容器，A为毫安表，V为数字电压表(内阻近似无穷大)。操作时，先把开关S接1，待稳定后，再把开关S接2。 (1)开关接1后，R电流方向________(选填“自左向右”或“自右向左”)。 (2)关于充电过程，下列说法正确的是________(多选)。 A．电流表的示数逐渐增大，后保持不变 B．电压表的示数逐渐增大，后保持不变 C．充电完毕，电流表的示数为零 D．充电完毕，电压表的示数为零 (3)图甲中直流电源电动势E＝8 V，实验前电容器不带电。现将图甲电路中的电流表换为电流传感器，并与计算机相连，测得当电容器充电、放电时，电流随时间变化的i－t曲线如图乙所示。计算机测得图像中的阴影面积S1＝1 300 mA·s，则该电容器的电容为________F(保留2位有效数字)。 三、计算、问答题 33．如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球在B点时对轨道的压力． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $