9.5 带电粒子在电场中的运动（举一反三·讲义）物理沪科版必修第三册

本高中物理讲义聚焦“带电粒子在电场中的运动”核心知识点，从受力分析与运动状态判断切入，系统梳理电势差、E=U/d在匀强与非匀强电场中的应用，延伸至等差等势面、运动轨迹、直线及曲线运动等内容，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 该资料以“北京正负电子对撞机”情景导入激发兴趣，通过例题与变式题强化模型建构和科学推理，结合v-t、φ-x等图像培养科学思维，课后分层作业助力学生查漏补缺。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固物理观念，提升解决实际问题的能力。

9.5 带电粒子在电场中的运动 【新教材沪科版】 1．带电粒子在电场中的运动 (1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律解题。 (2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。 2．处理带电粒子(带电体)运动的方法 (1)结合牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。 (2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理思路 ①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程。 ②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。 (3)常用的两个结论 ①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。 ②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。 3．相关的图像 v－t图像 a－x图像 φ－x图像 E－x图像 Ep－x图像 Ek－x图像 4．处理电场中能量问题的基本方法 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 (1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。 (2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。 (3)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。 (4)有电场力做功的过程机械能一般不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。 模块二 知识精讲 情景导入 在现代科学实验和技术设备中，常常根据带电粒子在电场中会受到电场力作用而产生加速度，使其速度发生变化这一规律，利用电场来改变或控制带电粒子的运动。北京正负电子对撞机是我国第一台高能加速器，也是世界八大高能加速器之一，下图是该装置中的双储存环。该对撞机是高能物理研究的重大科技基础设施。它为我国粒子物理和同步辐射应用提供了基本研究实验手段和条件，使我国高能物理研究进入了世界前沿。 知识归纳 【知识点1 电势差】 一、电势差 1．定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差． 2．定义式：UAB＝. 3．电势差与电势的关系 UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA. 4．静电力做功与电势差的关系 WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。 5．影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB ，与零电势点的选取 。 6．对电势差的几点认识 (1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 (2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 (3)电势差为 量，有正、负之分，电势差的正负表示 。 (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取 。 二．电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电荷量比值 电场中两点间电势之差 公式 φ＝ U＝(UAB＝φA－φB) 影响因素 由电场和在电场中位置决定 由电场中两点位置决定 相对性/ 绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关 具有绝对性，与零势能点选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均为V 标矢性 都是标量，但均有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 【例1】静电火箭是利用电场加速工作介质形成高速射流而产生推力的．工作过程简化图如图所示，离子源发射的离子经过加速区加速，进入中和区与该区域里面的电子中和，最后形成中性高速射流喷射而产生推力．根据题目信息可知(　　) A．M板电势低于N板电势 B．进入中和区的离子速度与离子带电荷量无关 C．增大加速区MN极板的距离，可以增大射流速度而获得更大的推力 D．增大MN极板间的电压，可以增大射流速度而获得更大的推力 【变式1-1】（多选） 利用带电粒子探测电场的分布情况是一种重要的技术手段。如图所示，某圆形区域（圆心为）内存在平行于纸面的匀强电场（未画出），圆上点处有一粒子源，可向圆形区域内发射初动能相同的同种带电粒子，其中分别落在圆上A、两点的粒子动能仍然相同，不计粒子重力、粒子间相互作用及带电粒子对原电场分布的影响，则（ ） A. 直线为电场中的一条等势线 B. A、两点的电势大小关系为 C. 、两点间和、两点间的电势差关系为 D. 落在劣弧中点的粒子获得的动能最大 【变式1-2】如图所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上。下列说法正确的是(　 ) A．p点的电势高于n点的电势 B．微粒在p点的电势能小于在m点的电势能 C．微粒从p到n的动能变化量大于从p到m的动能变化量 D．微粒从p到n的电势能变化量等于从p到m的电势能变化量 【变式1-3】如图所示，一个电荷量为－Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点．另一个电荷量为＋q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动，运动到B点时的速度为v，且为运动过程中速度的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小恒为Ff，A、B间距离为L0，静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　) A．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大 B．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小 C．OB间的距离为 D．在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差UAB＝ 【知识点2 E＝在匀强电场中的应用】 一、静电力做功计算方法 1．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿 的距离 2．WAB＝qUAB，适用于 二、匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．UAB＝Ed，d为 ． 2．沿电场方向电势降低得最 ． 3．两个推论 (1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。 (2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。 4．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即 ，符号为V/m。 5．E＝的理解 (1)公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场。 (2)由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离。 (3)电场中电场强度的方向就是电势降落最快的方向。 (4)电场强度与电势都是用比值定义的物理量，它们都仅由电场本身性质决定，根据公式E＝不能得出电场强度和电势有直接关系，即电场强度大的点电势不一定高，电势高的点电场强度不一定大。 三、解题思路 【例2】(多选)如图，平面直角坐标系内有a、b、c三点，位置如图所示，匀强电场平行于坐标平面。将电子从a点分别移到坐标原点和b点的过程中，电场力做功均为2 eV，知a点电势为2 V，以下说法正确的是(　 ) A．b点电势为零 B．电场强度大小为200 V/m C．电子在c点电势能为－8 eV D．将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功相同 【变式2-1】(多选)如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2 m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20 V。则(　 ) A．电场强度的大小E＝200 V/m B．b点的电势比d点的低5 V C．将电子从c点移到d点，电场力做正功 D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能 【变式2-2】(多选)匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角θ＝120°，半径R＝1 m，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知φA＝9 V，φB＝0，φO＝3 V，以下说法正确的是(　 ) A．φD＝6 V B．φF＝3 V C．电场方向沿AO连线方向 D．场强大小为3 V/m 【变式2-3】(多选)如图所示，在匀强电场中有一直角三角形ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC边长为2 cm。电场强度的方向与三角形ABC平面平行。一电子从A点移到C点电场力做功为15 eV，从B点移到C点电场力做功为5 eV。则(　 ) A．A、B两点间的电势差UAB为10 V B．电场强度的方向由A点指向C点 C．电场强度的大小为500 V/m D．一电子从B点移到AC的中点，电势能增加2.5 eV 【知识点3 E＝在非匀强电场中的应用】 1．判断电场强度的大小：等差等势面越密，电场强度 。 2．判断电势差的大小：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越 ；E越小，U越 。 【例3】如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势(　 ) A．φC＝10 V B．φC>10 V C．φC<10 V D．上述选项都不正确 【变式3-1】静电喷涂是利用高压静电电场使带负电的涂料微粒沿着电场相反的方向定向运动，并将涂料微粒吸附在工件表面上的一种喷涂方法，其工作原理如图所示。忽略运动中涂料微粒间的相互作用和涂料微粒的重力。下列说法中正确的是(　 ) A．当静电喷涂机与被喷涂工件之间的距离增大时，在运动中的涂料微粒所受电场力增大 B．涂料微粒的运动轨迹仅由被喷涂工件与静电喷涂机之间所接的高压电源决定 C．在静电喷涂机水平向左移动的过程中，有两个带有相同电荷量的微粒先后经过被喷涂工件右侧P点(相对工件的距离不变)处，先经过的微粒电势能较大 D．涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，在直线轨迹上电势升高最快 【变式3-2】电子束焊机是一种高精密的焊接设备，它利用高速运动的电子束流轰击工件使动能转化为热能进行焊接加工。在曲面K与A之间加上高压U后，K与A之间的电场线如图所示，A到曲面各点的距离均为d，电子由静止被加速后轰击工件，电子的电量大小为e，不考虑电子重力，则下列说法正确的是(　 ) A．待焊接的工件应放置在K极 B．A、K之间的电场强度大小为 C．电子在加速运动过程中加速度逐渐增大 D．电子经高压U加速后电势能增大了eU 【变式3-3】如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　) A．a是直流高压电源的正极 B．电场中P点的场强小于M点的场强 C．电场中M点的电势低于N点的电势 D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN 【知识点4 等差等势面问题】 等差等势面越密，电场线也越密，电场强度就越大。 【例4】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（　　） A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【变式4-1】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是(　 ) A．两点电荷可能是异种点电荷 B．A点的电场强度比B点的大 C．A点的电势高于B点的电势 D．电子运动到P点时动能最小 【变式4-2】(多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　 ) A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 【变式4-3】如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹，a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作用，以下说法正确的是(　　) A．a点的电场强度大于b点的电场强度 B．粒子在a点的动能比在b点的动能小 C．粒子在a点和c点的速度相同 D．粒子在b点的电势能比在c点的电势能大 【知识点5 运动轨迹】 1．曲线运动中瞬时速度的方向，沿着运动轨迹的 方向。 2．做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的 。 【例5】如图所示，虚线a、b、c代表某一电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，其中R在等势面b上．下列判断正确的是(　　) A．三个等势面中，a的电势最低 B．带电粒子在P点的电势能比在Q点的小 C．带电粒子在P点的动能与电势能之和比在Q点的小 D．带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b 【变式5-1】电子显微镜利用电场控制电子的运动，其电场分布简化示意图如图所示，实线为电场线，虚线为一电子的运动轨迹。则（　　） A．A点的电场强度比B点的大 B．A点的电势比B点的高 C．电子从A点运动到B点，电势能不断增大 D．电子从A点运动到B点，速率不断增大 【变式5-2】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　) A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电 B．MN两点电势差大小|UMN|等于NQ两点电势差大小|UNQ| C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小 D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小 【变式5-3】如图所示，椭圆(虚线)的中心和圆(实线)的圆心重合，A、B两点是两几何图形的交点。在圆心处固定一点电荷Q，现用外力使一正的试探电荷q(图中未画出)沿椭圆从A点运动到B点，则电荷q在从A点运动到B点的过程中，下列说法一定正确的是(　　) A．库仑力先变大后变小 B．加速度先变大后变小 C．动能先变小后变大 D．电势能先变小后变大 【知识点6 直线运动】 一、带电粒子在电场中的直线运动 1．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做 直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向 同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动；若电场 为 电场且其它力恒力，则带电粒子做匀变速直线运动。 2．用动力学观点分析 在匀强电场中，a＝，E＝，v2－v＝2ad。 3．用功能观点分析 动能定理qU＝mv2－mv 4．带电粒子在电场中的加速 (1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv。 (2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv。 二、带电粒子在交变电场中的直线运动 1．常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2．常见的题目类型 (1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)。 (2)粒子做往返运动(一般分段研究)。 3．思维方法 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。 【例6】(多选)如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　 ) A．电场强度的最小值等于 B．电场强度的最大值等于 C．带电油滴的机械能可能增加 D．电场力可能对带电油滴不做功 【变式6-1】如图所示，一充电后的平行板电容器的两极板相距l，在正极板附近有一质量为m、电荷量为q1(q1>0)的粒子A；在负极板附近有一质量也为m、电荷量为－q2(q2>0)的粒子B。仅在电场力的作用下两粒子同时从静止开始运动。已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面Q，两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则以下说法正确的是(　 ) A．电荷量q1与q2的比值为3∶7 B．电荷量q1与q2的比值为3∶4 C．粒子A、B通过平面Q时的速度之比为9∶16 D．粒子A、B通过平面Q时的速度之比为3∶7 【变式6-2】如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求： (1)小球滑到C点时的速度大小； (2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势． 【变式6-3】如图甲所示，两极板间加上如图乙所示的交变电压。开始A板的电势比B板高，此时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动。设电子在运动中不与极板发生碰撞，向A板运动时为速度的正方向，则下列图像中能正确反映电子速度随时间变化规律的是(其中C、D两项中的图线按正弦函数规律变化)(　 ) 【知识点7 曲线运动】 一、带电粒子在匀强电场中的偏转 1．运动情况：带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动，如图所示。 2．处理方法：将带电粒子的运动分解为沿初速度方向的 运动和沿电场力方向的 运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。 3．基本关系式：运动时间t＝， 加速度a＝＝＝， 偏转量y＝at2＝ ， 偏转角θ的正切值tan θ＝＝＝ 。 4．两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv y＝at2＝··()2 tan θ＝ 得y＝，tan θ＝ 可见y和tan θ与粒子的q、m 。 (2)粒子经电场偏转后射出，合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子匀速位移的 ，即O到偏转电场边缘的距离为。 5．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。 二、带电粒子在交变电场中的曲线运动 1．常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2．常见的题目类型 粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)。 3．思维方法 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。 三、带电粒子(带电体)在电场和重力场中的曲线运动 1．等效重力场 物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。 2．方法应用 (1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。 (2)将a＝视为等效重力加速度。 (3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”； 注意：这里的最高点不一定是几何最高点。 (4)将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。 【例7】静电喷漆技术具有效率高、质量好等优点,其装置示意图如图所示,A、B为两块水平放置的平行金属板,间距d=1.0 m,两板间有方向竖直向上、电场强度大小E=1.0×103 N/C的匀强电场,在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P,油漆喷枪的半圆形喷嘴可向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v0=1.0 m/s、质量均为m=5.0×10-14 kg、电荷量均为q=2.0×10-15 C的带负电的油漆微粒,不计微粒所受空气阻力及微粒间的相互作用,油漆微粒最后都落在金属板B上,重力加速度g=10 m/s2。下列说法中错误的是(　　)。 A.沿水平方向喷出的微粒运动到B板所需时间为0.2 s B.沿不同方向喷出的微粒,从喷出至到达B板,电场力做功为2.0×10-12 J C.若其他条件均不变,d增大为原来的2倍,喷涂面积增大为原来的2倍 D.若其他条件均不变,E增大为原来的2倍,喷涂面积减小为原来的 【变式7-1】如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　) A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2 C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2 【变式7-2】如图甲所示，A、B是两块水平放置的足够长的平行金属板，B板接地，A、B两极板间电压随时间的变化情况如图乙所示，C、D两平行金属板竖直放置，中间有两正对小孔O1′和O2，两板间电压为U2。现有一带负电粒子在t＝0时刻以一定的初速度沿AB两板间的中轴线O1O1′进入，并能从O1′沿O1′O2进入C、D间。已知粒子的带电荷量为－q，质量为m，(不计粒子重力)求： (1)粒子刚好能到达O2孔时，则该粒子进入A、B间的初速度v0为多大； (2)在(1)的条件下，A、B两板长度的最小值； (3)A、B两板间距的最小值。 【变式7-3】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求： (1)在t＝0.06 s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处； (2)荧光屏上有电子打到的区间有多长。 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示，竖直平面内有水平向左的匀强电场E，M点与P点的连线垂直于电场线，M点与N点在同一电场线上。两个完全相同的带等量正电荷的粒子，以相同大小的初速度v0分别从M点和N点沿竖直平面进入电场，重力不计。N点的粒子垂直电场线进入，M点的粒子与电场线成一定夹角进入，两粒子恰好都能经过P点，在此过程中，下列说法正确的是(　　) A．电场力对两粒子做功相同 B．两粒子到达P点的速度大小可能相等 C．两粒子到达P点时的电势能都减小 D．两粒子到达P点所需时间一定不相等 2．如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行．已知AB＝25 cm，BC＝20 cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1 V、26 V、10 V，则该匀强电场的场强大小为(　　) A．60 V/m B．75 V/m C．80 V/m D．100 V/m 3．如图所示，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2 m。若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10 eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为11 eV和7 eV。不考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为(　 ) A．1 N/C B．2 N/C C．3 N/C D．4 N/C 4．如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　 ) A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpN C．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN 5．如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　) A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ 6．如图1,某棵大树被雷电击中,此时以大树为中心的地面上形成了电场,该电场的等势面分布及电场中M、P两点的位置如图2所示,则(　　)。 A.M点电势较低 B.电场线由P点指向M点 C.越靠近大树的地方电场强度越小 D.M、P两点间的电势差约为200 kV 7．我国的特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电，若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　 ) A．电势的大小为φC＞φB＝φD＞φA B．电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC C．人从B沿着圆弧走到D会发生触电 D．AB间距离等于BC间距离的2倍 8．如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是(　　) A．该匀强电场的电场强度为 B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h) D．弹簧的弹性势能的增加量为 9．(多选)在研究心脏电性质时,兴奋在心肌传播,在人体的体表可以测出与之对应的电势变化,可等效为两等量电荷产生的电场。人体表面的瞬时电势分布图如图所示,图中实线为等差等势面,标在等势面上的数值表示该等势面的电势,a、b、c、d为等势面上的点,a、b为两电荷连线上对称的两点,c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点,则(　　)。 A.a、b两点的电场强度相同 B.c、d两点的电场强度不相同 C.a、b两点的电势差Uab=-3 mV D.从c到d的直线上,电场强度先变大后变小 10．医生用心电图检查仪为一位身高1.8 m的运动员体检，她把电极吸在身体5个不同的位置，如图所示。如果人体从头往脚的方向构成匀强电场，其中有两个点的电势差最大，约为500 μV，则电场强度约为(　 ) A．278 μV/m B．500 μV/m C．1 000 μV/m D．1 250 μV/m 11．（多选）真空中存在正点电荷产生的静电场，如图所示，一个带电粒子仅受电场力作用沿虚线轨迹从移动至，、两点到点电荷的距离相等。下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子带正电 B．带电粒子的电势能先增大后减小 C．带电粒子的加速度先减小后增大 D．、两点间的电势差 12．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，c的电势最高 B．带电质点通过P点的电势能比Q点大 C．带电质点通过P点的动能比Q点大 D．带电质点通过P点时的加速度比Q点小 13．如图所示，绝缘的斜面处在一个竖直向上的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿斜面滑到底端，已知在金属块下滑的过程中动能增加了0.3 J，重力做功1.5 J，电势能增加0.5 J，则以下判断正确的是(　 ) A．金属块带负电荷 B．静电力做功0.5 J C．金属块克服摩擦力做功0.7 J D．金属块的机械能减少1.4 J 14．如图所示，一带正电的小球在匀强电场中，受到的电场力与小球的重力大小相等，以初速度v0沿ON方向做加速度不为零的匀变速直线运动，ON与水平面的夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度为g。则(　 ) A．电场力方向可能水平向左 B．小球可能做匀加速直线运动 C．小球的加速度大小一定小于g D．经过时间，小球的速度方向发生改变 15．如图所示为一个半径为R的均匀带电圆环，取环面中心O为原点，以过O点且垂直于环面的轴线为x轴，P到O点的距离为2R。质量为m、带负电且电荷量为q的小球从轴上P点由静止释放，小球运动到Q点时速度为零，Q点在O点上方R处。下列说法正确的是(　 ) A．P点电势比Q点电势低 B．P点场强比Q点场强大 C．P、Q两点的电势差为 D．Q点的场强大小等于 16．(多选)如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与M、P所在直线重合，以M为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，P点的坐标xP＝5.0 cm，此电场线上各点的电场强度大小E随x变化的规律如图乙所示。若一电子仅在电场力作用下自M点运动至P点，其电势能减小45 eV，对于此电场，以下说法正确的是(　 ) A．该电子做匀变速直线运动 B．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向 C．M点的电势是P点电势的 D．图像中的E0的数值为1.2 17．(多选)如图甲所示，A、B两极板间加上如图乙所示的交变电压，A板的电势为0，一质量为m、电荷量大小为q的电子仅在静电力作用下，在t＝时刻从A板的小孔处由静止释放进入两极板运动，恰好到达B板，则(　　) A．A、B两板间的距离为 B．电子在两板间的最大速度为 C．电子在两板间做匀加速直线运动 D．若电子在t＝时刻进入两极板，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最终到达B板 18．(多选)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是(　 ) A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2 s末带电粒子回到原出发点 C．3 s末带电粒子的速度为零 D．0～3 s内，电场力做的总功为零 19．图甲是一对长度为L的平行金属板，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直．在t＝0时刻，一带电粒子沿板间的中线OO′垂直电场方向射入电场，2t0时刻粒子刚好沿下极板右边缘射出电场．不计粒子重力．则(　　) A．粒子带负电 B．粒子在平行板间一直做曲线运动 C．粒子射入电场时的速度大小为 D．若粒子射入电场时的速度减为一半，射出电场时的速度垂直于电场方向 20．(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q,2m)、(＋3q,3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(　 ) 21．(多选)如图所示，有一匀强电场平行于平面xOy，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点运动到A点，粒子在O点时速度沿y轴正方向，经A点时速度沿x轴正方向，且粒子在A点的动能是它在O点时动能的3倍。关于粒子在OA段的运动情况，下列判断正确的是(　 ) A．该带电粒子带正电荷 B．带电粒子在A点的电势能比在O点的电势能小 C．这段时间中间时刻粒子的动能最小 D．加速度方向与y轴正方向之间的夹角等于120° 22．(多选)在电场方向水平向右的匀强电场中,一带电小球从A点竖直向上抛出,其运动的轨迹如图所示,小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上,M为轨迹的最高点,小球抛出时的动能为8 J,在M点的动能为6 J,不计空气阻力,则下列判断正确的是(　　)。 A.小球水平位移x1与x2的比值为1∶3 B.小球水平位移x1与x2的比值为1∶4 C.小球落到B点时的动能为32 J D.小球落到B点时的动能为14 J 23．如图，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线的中点， 细管与A、B连线及中垂线交点分别为C、E、D、F，一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运动，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　 ) A．小球从C运动到D的过程中，速度先减小后增大 B．在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低 C．小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能 D．小球在D、F两点所受的电场力相同 24．(多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为m小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则(　　) A．小球在最高点的速度大小为 B．当小球运动到最高点时电势能最小 C．小球运动到最低点时，机械能最大 D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L 二、计算、问答题 25．如图所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为d，上下极板开有一小孔，四个质量均为m、带电荷量均为q的带电小球，其间用长均为的绝缘轻杆相连，处于竖直状态，今使下端小球恰好位于上极板小孔中，且由静止释放，让四球竖直下落．当下端第二个小球到达下极板时，速度恰好为零．重力加速度为g，(仅两极板间存在电场)试求： (1)两极板间的电压； (2)小球运动的最大速度． 26．在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现有一电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问： (1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？ (2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？ (3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？ 27．如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)电场强度E的大小； (2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。 28．如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s.已知小球受到的静电力大小等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．(重力加速度为g) (1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小； (2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值． 29．空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q>0)．A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为.重力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能． 30．（2026·河南）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 31．多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管(无场区域)构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。 (1)求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1； (2)反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x； (3)已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m1。 32．图示装置由放射源P、加速电场、偏转电场、铺有感光纸的圆筒组成。放射源P可沿着中心线方向连续发出大量电荷量为+q、质量为m的粒子，其初速度大小范围为，粒子先经A、B间加速，再经C、D间偏转（C、D间视为匀强电场），最后打到绕轴OO′旋转的感光纸上而发出亮点。已知加速电场电压，偏转电场电压、极板长度为L，C、D间距为d，极板右端到圆筒的最近距离为，圆筒半径为R，不考虑粒子相互作用和重力、极板边缘效应、感光纸的厚度，假设所有粒子均能射出偏转电场。求： (1)粒子离开极板B时的速度大小范围； (2)粒子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的最大距离ym； (3)经足够长时间后，感光纸上发光点围成的面积大小S。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.5 带电粒子在电场中的运动 【新教材沪科版】 1．带电粒子在电场中的运动 (1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律解题。 (2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。 2．处理带电粒子(带电体)运动的方法 (1)结合牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。 (2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理思路 ①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程。 ②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。 (3)常用的两个结论 ①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。 ②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。 3．相关的图像 v－t图像 a－x图像 φ－x图像 E－x图像 Ep－x图像 Ek－x图像 4．处理电场中能量问题的基本方法 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。 (1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。 (2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。 (3)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。 (4)有电场力做功的过程机械能一般不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。 模块二 知识精讲 情景导入 在现代科学实验和技术设备中，常常根据带电粒子在电场中会受到电场力作用而产生加速度，使其速度发生变化这一规律，利用电场来改变或控制带电粒子的运动。北京正负电子对撞机是我国第一台高能加速器，也是世界八大高能加速器之一，下图是该装置中的双储存环。该对撞机是高能物理研究的重大科技基础设施。它为我国粒子物理和同步辐射应用提供了基本研究实验手段和条件，使我国高能物理研究进入了世界前沿。 知识归纳 【知识点1 电势差】 一、电势差 1．定义：在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差． 2．定义式：UAB＝. 3．电势差与电势的关系 UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA. 4．静电力做功与电势差的关系 WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。 5．影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。 6．对电势差的几点认识 (1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 (2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 (3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 二．电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电荷量比值 电场中两点间电势之差 公式 φ＝ U＝(UAB＝φA－φB) 影响因素 由电场和在电场中位置决定 由电场中两点位置决定 相对性/ 绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关 具有绝对性，与零势能点选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均为V 标矢性 都是标量，但均有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 【例1】静电火箭是利用电场加速工作介质形成高速射流而产生推力的．工作过程简化图如图所示，离子源发射的离子经过加速区加速，进入中和区与该区域里面的电子中和，最后形成中性高速射流喷射而产生推力．根据题目信息可知(　　) A．M板电势低于N板电势 B．进入中和区的离子速度与离子带电荷量无关 C．增大加速区MN极板的距离，可以增大射流速度而获得更大的推力 D．增大MN极板间的电压，可以增大射流速度而获得更大的推力 答案　D 解析　由于加速后的离子在中和区与电子中和，所以被加速的离子带正电，则加速器极板M电势高，A错误；由动能定理知qU＝mv2，解得v＝，所以进入中和区的离子速度与比荷、加速电压有关，与极板距离无关，故D正确，B、C错误． 【变式1-1】（多选） 利用带电粒子探测电场的分布情况是一种重要的技术手段。如图所示，某圆形区域（圆心为）内存在平行于纸面的匀强电场（未画出），圆上点处有一粒子源，可向圆形区域内发射初动能相同的同种带电粒子，其中分别落在圆上A、两点的粒子动能仍然相同，不计粒子重力、粒子间相互作用及带电粒子对原电场分布的影响，则（ ） A. 直线为电场中的一条等势线 B. A、两点的电势大小关系为 C. 、两点间和、两点间的电势差关系为 D. 落在劣弧中点的粒子获得的动能最大 【答案】AC 【解析】AB．由动能定理可知，电场力对落在A、B两点的粒子做功相等，故A、B两点的电势相等，故过AB且垂直于圆环的面为等势面，A正确，B错误； C．，故，C正确； D．电场线与直线AB垂直，但不知电场线的指向和粒子的正负，故落在劣弧AB中点的粒子获得的动能可能最大也可能最小，D错误。 故选AC。 【变式1-2】如图所示，在某静电除尘器产生的电场中，带等量负电荷的两颗微粒只受电场力作用，分别从p点沿虚线pm、pn运动，被吸附到金属圆筒上。下列说法正确的是(　 ) A．p点的电势高于n点的电势 B．微粒在p点的电势能小于在m点的电势能 C．微粒从p到n的动能变化量大于从p到m的动能变化量 D．微粒从p到n的电势能变化量等于从p到m的电势能变化量 解析：选D　沿着电场线，电势逐渐降低，则有φn＞φp，故A错误；负电荷从p运动到m，电场力做正功，电势能减小，有Epp＞Epm，故B错误；两微粒均只受电场力，电场力对其做正功，由动能定理有qU＝ΔEk，因初末电势差相同，电荷量q相等，则电场力做的正功相等，电势能的减小量相等，两微粒的动能变化量相等，故C错误，D正确。 【变式1-3】如图所示，一个电荷量为－Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点．另一个电荷量为＋q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动，运动到B点时的速度为v，且为运动过程中速度的最小值．已知点电荷乙受到的阻力大小恒为Ff，A、B间距离为L0，静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　) A．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，加速度逐渐增大 B．点电荷乙从A点向甲运动的过程中，其电势能先增大再减小 C．OB间的距离为 D．在点电荷甲形成的电场中，AB间电势差UAB＝ 答案　C 解析　点电荷乙从A点向甲运动的过程中，受向左的静电力和向右的摩擦力，两球靠近过程中静电力逐渐增大，小球先减速后加速，所以加速度先减小后增大，故A错误；在小球向左运动过程中静电力一直做正功，因此电势能一直减小，故B错误；当速度最小时有：Ff＝F＝k，可得：r＝，故C正确；点电荷从A运动到B过程中，根据动能定理有：UABq－FfL0＝mv2－mv02，计算得出，UAB＝，故D错误． 【知识点2 E＝在匀强电场中的应用】 一、静电力做功计算方法 1．W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离 2．WAB＝qUAB，适用于任何电场 二、匀强电场中电势差与电场强度的关系 1．UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离． 2．沿电场方向电势降低得最快． 3．两个推论 (1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。 (2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。 4．电场强度的另一个单位：由E＝可导出电场强度的另一个单位，即 伏每米　，符号为V/m。 5．E＝的理解 (1)公式E＝及UAB＝Ed的适用条件都是匀强电场。 (2)由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离。 (3)电场中电场强度的方向就是电势降落最快的方向。 (4)电场强度与电势都是用比值定义的物理量，它们都仅由电场本身性质决定，根据公式E＝不能得出电场强度和电势有直接关系，即电场强度大的点电势不一定高，电势高的点电场强度不一定大。 三、解题思路 【例2】(多选)如图，平面直角坐标系内有a、b、c三点，位置如图所示，匀强电场平行于坐标平面。将电子从a点分别移到坐标原点和b点的过程中，电场力做功均为2 eV，知a点电势为2 V，以下说法正确的是(　 ) A．b点电势为零 B．电场强度大小为200 V/m C．电子在c点电势能为－8 eV D．将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功相同 解析：选BC　由题意可知：Uab＝UaO＝＝－2 V，因a点电势为2 V，则b、O两点的电势均为4 V，A错误；匀强电场的电场线如图所示，电场强度大小为E＝＝200 V/m，B正确；由几何关系知，bc连线与电场强度E方向平行，则Ucb＝E·＝4 V，则c点的电势为8 V，电子在c点电势能为－8 eV，C正确；由于ab和bc的电势差不相等，则将电子从a点移到b点和从b点移到c点，电场力做功不相同，D错误。 【变式2-1】(多选)如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2 m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20 V。则(　 ) A．电场强度的大小E＝200 V/m B．b点的电势比d点的低5 V C．将电子从c点移到d点，电场力做正功 D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能 解析：选AD　根据Uab＝E·ab·cos 60°，可得电场强度的大小E＝＝200 V/m，A正确；沿电场线电势逐渐降低，可知b点的电势比d点的电势高，B错误；将电子从c点移到d点，因电子所受的电场力与位移反向，可知电场力做负功，C错误；因a点的电势低于c点电势，则电子在a点的电势能大于在c点的电势能，D正确。 【变式2-2】(多选)匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角θ＝120°，半径R＝1 m，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知φA＝9 V，φB＝0，φO＝3 V，以下说法正确的是(　 ) A．φD＝6 V B．φF＝3 V C．电场方向沿AO连线方向 D．场强大小为3 V/m 解析：选ABC　连接AB、OC、OD、OE，交点分别为I、H、G，△OIG为等边三角形，△OAI、△OBG为等腰三角形，如图所示，由几何关系可得AI＝IG＝GB，即I、G为AB的三等分点，由于匀强电场电势均匀变化，可得φI＝6 V，φG＝3 V，故OF为电势3 V的等势面，由几何关系可得DI连线垂直于OA，与OF平行，为电势6 V的等势面，即φD＝6 V，φF＝3 V，A、B正确；电场方向垂直于等势面指向电势较低一侧，故沿AO连线方向，C正确；场强大小为E＝＝6 V/m，D错误。 【变式2-3】(多选)如图所示，在匀强电场中有一直角三角形ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC边长为2 cm。电场强度的方向与三角形ABC平面平行。一电子从A点移到C点电场力做功为15 eV，从B点移到C点电场力做功为5 eV。则(　 ) A．A、B两点间的电势差UAB为10 V B．电场强度的方向由A点指向C点 C．电场强度的大小为500 V/m D．一电子从B点移到AC的中点，电势能增加2.5 eV 解析：选CD　由题意得：UAC＝＝－15 V，UBC＝＝－5 V，取φC＝0，则φA＝－15 V，φB＝－5 V，故UAB＝φA－φB＝－10 V，A错误；把AC三等分，则φR＝－5 V， 如图所示， 连接BR，则电场强度的方向垂直BR指向左下方，故B错误；由几何关系知tan∠CBR＝＝，即∠CBR＝30°，则E＝＝500 V/m，故C正确；设AC的中点为P，则φP＝＝－7.5 V，WBP＝－eUBP＝－2.5 eV，即电势能增加2.5 eV，D正确。 【知识点3 E＝在非匀强电场中的应用】 1．判断电场强度的大小：等差等势面越密，电场强度越大。 2．判断电势差的大小：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。 【例3】如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势(　 ) A．φC＝10 V B．φC>10 V C．φC<10 V D．上述选项都不正确 解析：选C　由于AC之间的电场线比CB之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<，即φC<10 V，C正确。 【变式3-1】静电喷涂是利用高压静电电场使带负电的涂料微粒沿着电场相反的方向定向运动，并将涂料微粒吸附在工件表面上的一种喷涂方法，其工作原理如图所示。忽略运动中涂料微粒间的相互作用和涂料微粒的重力。下列说法中正确的是(　 ) A．当静电喷涂机与被喷涂工件之间的距离增大时，在运动中的涂料微粒所受电场力增大 B．涂料微粒的运动轨迹仅由被喷涂工件与静电喷涂机之间所接的高压电源决定 C．在静电喷涂机水平向左移动的过程中，有两个带有相同电荷量的微粒先后经过被喷涂工件右侧P点(相对工件的距离不变)处，先经过的微粒电势能较大 D．涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，在直线轨迹上电势升高最快 解析：选D　当静电喷涂机与被喷涂工件之间的距离增大时，由于静电喷涂机与被喷涂工件之间电压恒定，电场强度减小，故涂料微粒所受电场力减小，A错误；涂料微粒的运动轨迹与初速度和受力情况均有关，B错误；工件接地，电势为零，P处电势为负值，喷涂机左移会使空间场强变大，P点电势变低，因微粒带负电，先经过的微粒电势能小，C错误；涂料微粒在向被喷涂工件运动的轨迹中，直线的距离最小，结合公式U＝Ed，在直线轨迹上电势升高最快，D正确。 【变式3-2】电子束焊机是一种高精密的焊接设备，它利用高速运动的电子束流轰击工件使动能转化为热能进行焊接加工。在曲面K与A之间加上高压U后，K与A之间的电场线如图所示，A到曲面各点的距离均为d，电子由静止被加速后轰击工件，电子的电量大小为e，不考虑电子重力，则下列说法正确的是(　 ) A．待焊接的工件应放置在K极 B．A、K之间的电场强度大小为 C．电子在加速运动过程中加速度逐渐增大 D．电子经高压U加速后电势能增大了eU 解析：选C　电子受电场力沿电场线的反方向运动，则待焊接的工件应放置在A极，A错误；A、K之间不是匀强电场，则电场强度大小不等于，B错误；电子在加速运动过程中向A极运动，则由于电场线越来越密集，则电场力变大，加速度逐渐增大，C正确；电子经高压U加速后，电场力做正功，则电势能减小了eU，D错误。 【变式3-3】如图为静电除尘器除尘原理的示意图，a、b是直流高压电源的两极，图示位置的P、M、N三点在同一直线上，且PM＝MN.尘埃在电场中通过某种机制带上负电，在静电力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列判断正确的是(　　) A．a是直流高压电源的正极 B．电场中P点的场强小于M点的场强 C．电场中M点的电势低于N点的电势 D．电场中P、M间的电势差UPM等于M、N间的电势差UMN 答案　C 解析　带负电的尘埃向集尘极迁移，说明集尘极接直流高压电源的正极，a是直流高压电源的负极，选项A错误；从放电极到集尘极的电场，因P点离放电极较近，P点的电场线比M点的电场线密，所以电场中P点的场强大于M点的场强，选项B错误；由于集尘极带正电，电势高，而沿着电场线方向电势逐渐降低，所以电场中M点的电势低于N点的电势，选项C正确；放电极与集尘极之间的电场是非匀强电场，故P、M间的电势差UPM不等于M、N间的电势差UMN，选项D错误． 【知识点4 等差等势面问题】 等差等势面越密，电场线也越密，电场强度就越大。 【例4】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（　　） A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【答案】AB 【解析】 A．虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV，动能减小了6eV，电势能增加了6eV，因此a、b、c、d、f相邻两个等势面间的电势差为2V，因平面b上的电势为2V，由于电子的电势能增加，等势面电势由a到f是降低的，因此平面c上的电势为零，故A正确； B．由上分析可知，当电子由a向f方向运动，则电子到达平面f的动能为2eV，由于题目中没有说明电子如何运动，因此也可能电子在匀强电场中做抛体运动，则可能不会到达平面f，故B正确； C．在平面b上电势为2V，则电子的电势能为-2eV，动能为8eV，电势能与动能之和为6eV，当电子经过平面d时，动能为4eV，其电势能为2eV，故C错误； D、电子经过平面b时的动能是平面d的动能2倍，电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，故D错误。 故选AB。 【变式4-1】(多选)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是(　 ) A．两点电荷可能是异种点电荷 B．A点的电场强度比B点的大 C．A点的电势高于B点的电势 D．电子运动到P点时动能最小 解析：选CD　根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为同种负电荷，A错误；根据等差等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，B错误；因为两点电荷是同种负电荷，电场线指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，C正确；根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知电子由M到P电场力做负功，由P到N电场力做正功；电子由M到P动能减少，由P到N动能增加，故电子运动到P点时动能最小，D正确。 【变式4-2】(多选)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，则(　 ) A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功 B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大 解析：选BD　由题图可知φb＝φe，则正电荷从b点运动到e点，电场力不做功，A错误；由题图可知φa＝3 V，φd＝7 V，根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad＝Epa－Epd＝(φa－φd)·(－e)＝4 eV，B正确；沿电场线方向电势逐渐降低，则b点处的电场强度方向向左，C错误；由于电场线与等势面处处垂直，则可画出电场线大体分布如图所示，由图可知b点电场线最密集，则b点处的电场强度最大，D正确。 【变式4-3】如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒子在该静电场中的运动轨迹，a、b、c为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电力作用，以下说法正确的是(　　) A．a点的电场强度大于b点的电场强度 B．粒子在a点的动能比在b点的动能小 C．粒子在a点和c点的速度相同 D．粒子在b点的电势能比在c点的电势能大 答案　D 解析　根据等差等势线越密，场强越强的特点，则a点的电场强度小于b点的电场强度，所以A错误；由曲线运动的特点知合外力指向轨迹弯曲的一面，所以粒子从a到b过程中，静电力做负功，则粒子在a点的动能比在b点的动能大，所以B错误；a点与c点处于同一等势线上，粒子在a点和c点的速度大小相等，但是方向不同，所以C错误；粒子从b到c，静电力做正功，粒子在b点的电势能比在c点的电势能大，所以D正确． 【知识点5 运动轨迹】 1．曲线运动中瞬时速度的方向，沿着运动轨迹的切线方向。 2．做曲线运动的物体，合力指向运动轨迹的凹侧。 【例5】如图所示，虚线a、b、c代表某一电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带正电的粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，其中R在等势面b上．下列判断正确的是(　　) A．三个等势面中，a的电势最低 B．带电粒子在P点的电势能比在Q点的小 C．带电粒子在P点的动能与电势能之和比在Q点的小 D．带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b 答案　D 解析　带电粒子所受静电力指向轨迹弯曲的内侧，电场线与等势面垂直，且由于带电粒子带正电，因此电场线指向下方，根据沿电场线电势降低，可知a等势线的电势最高，c等势线的电势最低，故A错误；根据带电粒子受力情况可知，若粒子从P向Q运动，静电力做正功，动能增大，电势能减小，故带电粒子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大，故B错误；只有静电力做功，所以带电粒子在P点的动能与电势能之和与在Q点的相等，故C错误；电场的方向总是与等势面垂直，所以R点的电场线的方向与该处的等势面垂直，而带正电粒子受到的静电力的方向与电场线的方向相同，加速度的方向又与受力的方向相同，所以带电粒子在R点的加速度方向垂直于等势面b，故D正确． 【变式5-1】电子显微镜利用电场控制电子的运动，其电场分布简化示意图如图所示，实线为电场线，虚线为一电子的运动轨迹。则（　　） A．A点的电场强度比B点的大 B．A点的电势比B点的高 C．电子从A点运动到B点，电势能不断增大 D．电子从A点运动到B点，速率不断增大 【答案】D 【详解】A．由图可知，B点电场线较A点密，则A点的电场强度比B点的小，故A错误； B．沿电场线方向电势降低，可知A点的电势比B点的低，B错误； CD．由于电子所受电场力的方向与场强方向相反，所以若电子从A运动到B，电场力一直做正功，动能不断增大，电势能不断减小，故C错误，D正确。 故选D。 【变式5-2】如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线1、2、3分别为三条等势线，三条等势线与其中一条电场线的交点依次为M、N、Q点，已知MN＝NQ，电荷量相等的a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出，仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图中虚线a′、b′所示，则(　　) A．a粒子一定带正电，b粒子一定带负电 B．MN两点电势差大小|UMN|等于NQ两点电势差大小|UNQ| C．a粒子的加速度逐渐增大，b粒子的加速度逐渐减小 D．a粒子从出发到等势线3过程的动能变化量比b粒子从出发到等势线1过程的动能变化量小 答案　D 解析　由题图可知，a粒子的轨迹方向向右弯曲，a粒子所受静电力方向向右，b粒子的轨迹向左弯曲，b粒子所受静电力方向向左，由于电场线方向未知，无法判断粒子的电性，故A错误；由题可知，a所受静电力逐渐减小，加速度减小，b所受静电力逐渐增大，加速度增大，故C错误；已知MN＝NQ，由于MN段场强大于NQ段场强，所以MN两点电势差大小|UMN|大于NQ两点电势差大小|UNQ|，故B错误；根据静电力做功公式W＝Uq，|UMN|>|UNQ|，a粒子从等势线2到3静电力做的功小于b粒子从等势线2到1静电力做的功，所以a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小，故D正确． 【变式5-3】如图所示，椭圆(虚线)的中心和圆(实线)的圆心重合，A、B两点是两几何图形的交点。在圆心处固定一点电荷Q，现用外力使一正的试探电荷q(图中未画出)沿椭圆从A点运动到B点，则电荷q在从A点运动到B点的过程中，下列说法一定正确的是(　　) A．库仑力先变大后变小 B．加速度先变大后变小 C．动能先变小后变大 D．电势能先变小后变大 答案　A 解析　从A到B，试探电荷离Q的距离先减小再增大，库仑力先增大后减小，A正确；由于Q电性不知、外力情况不明，所以，试探电荷的加速度、动能、电势能的变化不能确定，B、C、D错误。 【知识点6 直线运动】 一、带电粒子在电场中的直线运动 1．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动；若电场为匀强电场且其它力恒力，则带电粒子做匀变速直线运动。 2．用动力学观点分析 在匀强电场中，a＝，E＝，v2－v＝2ad。 3．用功能观点分析 动能定理qU＝mv2－mv 4．带电粒子在电场中的加速 (1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv。 (2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv。 二、带电粒子在交变电场中的直线运动 1．常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2．常见的题目类型 (1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)。 (2)粒子做往返运动(一般分段研究)。 3．思维方法 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。 【例6】(多选)如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电油滴，在平行于纸面的匀强电场中由静止沿斜向右下方做直线运动，其轨迹与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　 ) A．电场强度的最小值等于 B．电场强度的最大值等于 C．带电油滴的机械能可能增加 D．电场力可能对带电油滴不做功 解析：选CD　带电油滴的运动轨迹为直线，在电场中受到重力mg和电场力F，其合力必定沿此直线向下，根据三角形定则作出合力，如图所示。当电场力F与此直线垂直时，电场力F最小，场强最小，则有F＝qEmin＝mgsin θ，得到Emin＝，由图可知，电场强度无最大值，故A、B错误；当E＝时，电场力方向与速度方向垂直，电场力不做功，带电油滴的电势能一定不变，这种情况下只有重力做功，带电油滴的机械能不变，故D正确；当E＞时，当电场力方向与速度方向成锐角时，电场力做正功，带电油滴的机械能增加，故C正确。 【变式6-1】如图所示，一充电后的平行板电容器的两极板相距l，在正极板附近有一质量为m、电荷量为q1(q1>0)的粒子A；在负极板附近有一质量也为m、电荷量为－q2(q2>0)的粒子B。仅在电场力的作用下两粒子同时从静止开始运动。已知两粒子同时经过一平行于正极板且与其相距l的平面Q，两粒子间相互作用力可忽略，不计重力，则以下说法正确的是(　 ) A．电荷量q1与q2的比值为3∶7 B．电荷量q1与q2的比值为3∶4 C．粒子A、B通过平面Q时的速度之比为9∶16 D．粒子A、B通过平面Q时的速度之比为3∶7 解析：选B　设电场强度大小为E，两粒子的运动时间相同，对粒子A有：a1＝，l＝··t2，对粒子B有：a2＝，l＝··t2，联立解得：＝，A错误，B正确。由动能定理qEx＝mv2－0，求得：＝，C、D错误。 【变式6-2】如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球(可视为质点)从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2.求： (1)小球滑到C点时的速度大小； (2)若以C点作为零电势点，试确定A点的电势． 答案　(1)　(2) 解析　(1)因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中静电力做的总功为零． 由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝ 根据动能定理有mg·＝－ 解得vC＝. (2)小球从A到C，重力和静电力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝－0，又根据静电力做功与电势能的关系：W电＝EpA－EpC＝－qφA－(－qφC)． 又因为φC＝0，可得φA＝. 【变式6-3】如图甲所示，两极板间加上如图乙所示的交变电压。开始A板的电势比B板高，此时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动。设电子在运动中不与极板发生碰撞，向A板运动时为速度的正方向，则下列图像中能正确反映电子速度随时间变化规律的是(其中C、D两项中的图线按正弦函数规律变化)(　 ) [解析]　电子在交变电场中所受电场力大小恒定，加速度大小不变，C、D错误；从0时刻开始，电子向A板做匀加速直线运动，T后电场力反向，电子向A板做匀减速直线运动，直到t＝T时刻速度变为零。之后重复上述运动，A正确，B错误。 [答案]　A 【知识点7 曲线运动】 一、带电粒子在匀强电场中的偏转 1．运动情况：带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动，如图所示。 2．处理方法：将带电粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。 3．基本关系式：运动时间t＝， 加速度a＝＝＝， 偏转量y＝at2＝， 偏转角θ的正切值tan θ＝＝＝。 4．两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv y＝at2＝··()2 tan θ＝ 得y＝，tan θ＝ 可见y和tan θ与粒子的q、m无关。 (2)粒子经电场偏转后射出，合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子匀速位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为。 5．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。 二、带电粒子在交变电场中的曲线运动 1．常见的交变电场 常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。 2．常见的题目类型 粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)。 3．思维方法 (1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。 (2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。 三、带电粒子(带电体)在电场和重力场中的曲线运动 1．等效重力场 物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。 2．方法应用 (1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。 (2)将a＝视为等效重力加速度。 (3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”； 注意：这里的最高点不一定是几何最高点。 (4)将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。 【例7】静电喷漆技术具有效率高、质量好等优点,其装置示意图如图所示,A、B为两块水平放置的平行金属板,间距d=1.0 m,两板间有方向竖直向上、电场强度大小E=1.0×103 N/C的匀强电场,在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P,油漆喷枪的半圆形喷嘴可向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v0=1.0 m/s、质量均为m=5.0×10-14 kg、电荷量均为q=2.0×10-15 C的带负电的油漆微粒,不计微粒所受空气阻力及微粒间的相互作用,油漆微粒最后都落在金属板B上,重力加速度g=10 m/s2。下列说法中错误的是(　　)。 A.沿水平方向喷出的微粒运动到B板所需时间为0.2 s B.沿不同方向喷出的微粒,从喷出至到达B板,电场力做功为2.0×10-12 J C.若其他条件均不变,d增大为原来的2倍,喷涂面积增大为原来的2倍 D.若其他条件均不变,E增大为原来的2倍,喷涂面积减小为原来的 【解析】沿水平方向喷出的微粒做类平抛运动,在竖直方向上,加速度a==50 m/s2,根据d=at2得t=0.2 s,故A项正确。沿不同方向喷出的微粒,从喷出至到达B板,电场力做功W=qEd=2.0×10-12 J,故B项正确。若其他条件均不变,d增大为原来的2倍,根据d=at2得,t变为原来的倍,则喷涂面积的半径变为原来的倍,面积变为原来的2倍,故C项正确。若其他条件均不变,E增大为原来的2倍,则加速度a'=90 m/s2,加速度变为原来的,时间t变为原来的,喷涂面积的半径变为原来的,面积减小为原来的,故D项错误。 【答案】D 【变式7-1】如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程(　　) A．动能增加mv2 B．机械能增加2mv2 C．重力势能增加mv2 D．电势能增加2mv2 答案　B 解析　小球动能的增加量为ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp′＝mv2＋mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确． 【变式7-2】如图甲所示，A、B是两块水平放置的足够长的平行金属板，B板接地，A、B两极板间电压随时间的变化情况如图乙所示，C、D两平行金属板竖直放置，中间有两正对小孔O1′和O2，两板间电压为U2。现有一带负电粒子在t＝0时刻以一定的初速度沿AB两板间的中轴线O1O1′进入，并能从O1′沿O1′O2进入C、D间。已知粒子的带电荷量为－q，质量为m，(不计粒子重力)求： (1)粒子刚好能到达O2孔时，则该粒子进入A、B间的初速度v0为多大； (2)在(1)的条件下，A、B两板长度的最小值； (3)A、B两板间距的最小值。 解析：(1)因粒子在A、B间运动时，水平方向不受外力作用做匀速运动，所以进入O1′孔时的速度即为进入A、B板的初速度 在C、D间，由动能定理有qU2＝mv02 解得v0＝ 。 (2)由于粒子进入A、B后，在一个周期T内，竖直方向上的速度变为初始状态，即v竖＝0，竖直方向的位移也为0，若在第一个周期末粒子从A、B板中射出，则对应两板最短，长度为L＝v0T＝T。 (3)若粒子在运动过程中刚好不到A板而返回，则此时对应两板间距最小，设为d 则有··2×2＝ 解得d＝ 。 答案：(1) 　(2)T　(3) 【变式7-3】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求： (1)在t＝0.06 s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处； (2)荧光屏上有电子打到的区间有多长。 [解析]　(1)电子经电场加速满足qU0＝mv2 经电场偏转后侧移量y＝at2＝·2 所以y＝，由题图知t＝0.06 s时刻U偏＝1.8U0，所以y＝4.5 cm 设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足 ＝ 所以Y＝13.5 cm，即打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm。 (2)由题知电子侧移量y的最大值为，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30 cm。 [答案]　(1)打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm　(2)30 cm 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示，竖直平面内有水平向左的匀强电场E，M点与P点的连线垂直于电场线，M点与N点在同一电场线上。两个完全相同的带等量正电荷的粒子，以相同大小的初速度v0分别从M点和N点沿竖直平面进入电场，重力不计。N点的粒子垂直电场线进入，M点的粒子与电场线成一定夹角进入，两粒子恰好都能经过P点，在此过程中，下列说法正确的是(　　) A．电场力对两粒子做功相同 B．两粒子到达P点的速度大小可能相等 C．两粒子到达P点时的电势能都减小 D．两粒子到达P点所需时间一定不相等 解析：选D　由题图可知M、P两点在同一等势面上，所以两点间的电势差为零，而N、P间的电势差大于零，根据W＝qU知，电场力对M点的粒子不做功，对N点的粒子做正功，故A错误；根据动能定理知N点的粒子到达P点时电场力做正功，所以速度增大，而M点的粒子到达P点时电场力不做功，所以速度大小不变，又因它们的初速度大小相等，所以两粒子到达P点的速度大小不等，故B错误；M点的粒子到达P点时电势能不变，N点的粒子到达P点电场力做正功，所以电势能减少，故C错误；在垂直于电场线方向，两个粒子都做匀速直线运动，设PM＝L，M点的粒子初速度方向与电场线的夹角为α，则M点的粒子到达P点的时间：tM＝，N点的粒子到达P点的时间：tN＝，由此可见，两粒子到达P点所需时间一定不相等，故D正确。 2．如图所示，匀强电场中有一个直角三角形ABC区域，电场方向与三角形区域所在平面平行．已知AB＝25 cm，BC＝20 cm，∠C＝90°，A、B、C三点电势分别为1 V、26 V、10 V，则该匀强电场的场强大小为(　　) A．60 V/m B．75 V/m C．80 V/m D．100 V/m 答案　D 解析　依题意，有sin ∠A＝＝0.8，解得∠A＝53°，在AB之间找到电势为10 V的D点，C、D位于同一等势面上，根据几何关系可知＝＝，在三角形ACD中，根据余弦定理，有2＝2＋2－2××cos 53°，解得＝12 cm，根据正弦定理，有＝，解得∠ACD＝37°，故AD⊥CD，则有＝sin 37°＝9 cm，根据匀强电场电势差与场强的关系式，有E＝＝ V/m＝100 V/m.故选D. 3．如图所示，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2 m。若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10 eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为11 eV和7 eV。不考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为(　 ) A．1 N/C B．2 N/C C．3 N/C D．4 N/C 解析：选A　根据W＝Uq和动能定理可得：UBA＝＝＝－1 V，UBC＝＝＝3 V；沿CB方向延长CB至D，根据匀强电场等分线段等分电势差得UBD＝－1 V，故A、D两点电势相等，连接AD则为等势线，过B作AD垂线则为电场线，如图所示。由几何关系得：BD＝BC＝ABtan 60°＝ m，tan ∠ADB＝＝，∠ADB＝60°，则电场强度为：E＝＝1 V/m＝1 N/C，故A正确，B、C、D错误。 4．如图(a)，在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应，在金属平板上表面产生感应电荷，金属板上方电场的等势面如图(b)中虚线所示，相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处，该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN，相应的电势能分别为EpM和EpN，则(　 ) A．FM＜FN，EpM＞EpN B．FM＞FN，EpM＞EpN C．FM＜FN，EpM＜EpN D．FM＞FN，EpM＜EpN 解析：选A　等差等势面的疏密反映电场强度的大小，故N点的电场强度大于M点的电场强度，同一正的试探电荷在N点受到的电场力大，即FM＜FN；在负的点电荷形成的电场中，离负点电荷越近，电势越低，正的试探电荷的电势能越小，故φM＞φN，EpM＞EpN，A正确。 5．如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势φA＝φ，φB＝2φ，φC＝3φ(φ>0)，保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为(　　) A．φ B．2φ C.φ D．(1＋)φ 答案　D 解析　利用等分法可确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则E＝，由几何知识得，C′A沿电场线方向的距离为dC′A＝Lcos 30°＝L，由电势差与电场强度的关系UC′A＝φC′－φA＝EdC′A＝·，解得φC′＝(1＋)φ，故D正确，A、B、C错误． 6．如图1,某棵大树被雷电击中,此时以大树为中心的地面上形成了电场,该电场的等势面分布及电场中M、P两点的位置如图2所示,则(　　)。 A.M点电势较低 B.电场线由P点指向M点 C.越靠近大树的地方电场强度越小 D.M、P两点间的电势差约为200 kV 答案　D 解析　由图2可知,φM=-200 kV,φP=-400 kV。则φM>φP,根据电场线由高电势指向低电势,可知电场线由大树(即表示等势面的同心圆的圆心)指向P点。根据等差等势面的疏密程度可以表示电场的强弱,易知越靠近大树的地方电场强度越大。A、B、C三项错误。根据电势差的定义,可得UMP=φM-φP=200 kV,D项正确。 7．我国的特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电，若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　 ) A．电势的大小为φC＞φB＝φD＞φA B．电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC C．人从B沿着圆弧走到D会发生触电 D．AB间距离等于BC间距离的2倍 解析：选B　根据题意，圆心处的电势最高，向外越来越低，电势的大小为φA＞φB＝φD＞φC，A错误；电场强度看等势线的疏密，由题图可知电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC，B正确；B和D在同一条等势线上，人从B沿着圆弧走到D不会发生触电，C错误；AB的平均场强大于BC的平均场强，AB的电势差等于BC电势差的二倍，根据E＝可以定性判断出AB间距离小于BC间距离的2倍，D错误。 8．如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是(　　) A．该匀强电场的电场强度为 B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h) D．弹簧的弹性势能的增加量为 答案　D 解析　物块从静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，解得：E＝，故A错误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，静电力做功为：W＝－qE(H＋h)＝－，可知机械能减小量为，故B错误；从A到C过程中，静电力做功为－，则电势能增加量为，故C错误；根据动能定理得：mg(H＋h)－＋W弹＝0，解得弹力做功为：W弹＝－，即弹性势能增加量为，故D正确． 9．(多选)在研究心脏电性质时,兴奋在心肌传播,在人体的体表可以测出与之对应的电势变化,可等效为两等量电荷产生的电场。人体表面的瞬时电势分布图如图所示,图中实线为等差等势面,标在等势面上的数值表示该等势面的电势,a、b、c、d为等势面上的点,a、b为两电荷连线上对称的两点,c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点,则(　　)。 A.a、b两点的电场强度相同 B.c、d两点的电场强度不相同 C.a、b两点的电势差Uab=-3 mV D.从c到d的直线上,电场强度先变大后变小 答案　AD 解析　该瞬时电势分布图等效为等量异种电荷产生的,a、b为两电荷连线上对称的两点,所以 a、b两点的电场强度大小相等、方向相同,A项正确;c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点, c、d两点的电场强度大小与方向也相同,B项错误; a、b两点的电势差Uab=φa-φb=3 mV,C项错误;根据等势线的疏密程度可判断出从c到d的直线上电场强度先变大后变小,D项正确。 10．医生用心电图检查仪为一位身高1.8 m的运动员体检，她把电极吸在身体5个不同的位置，如图所示。如果人体从头往脚的方向构成匀强电场，其中有两个点的电势差最大，约为500 μV，则电场强度约为(　 ) A．278 μV/m B．500 μV/m C．1 000 μV/m D．1 250 μV/m 解析：选B　沿着电场的方向最远的两点是A、E，大约为d＝1.0 m，而电势差U＝500 μV，则E＝＝500 μV/m。B正确。 11．（多选）真空中存在正点电荷产生的静电场，如图所示，一个带电粒子仅受电场力作用沿虚线轨迹从移动至，、两点到点电荷的距离相等。下列说法正确的是（　　） A．该带电粒子带正电 B．带电粒子的电势能先增大后减小 C．带电粒子的加速度先减小后增大 D．、两点间的电势差 【答案】ABD 【详解】A．根据带电粒子的运动轨迹可知，带电粒子受到正点电荷的斥力作用，因此其带正电，故A正确； B．电场力指向运动轨迹弯曲的内侧，从移动至，电场力先做负功后做正功，则带电粒子的电势能先增大后减小，故B正确； C．从到，电场强度先增大后减小，带电粒子受到的电场力先增大后减小，则加速度也是先增大后减小，故C错误； D．、两点到点电荷的距离相等，在同一等势面上，则、两点间的电势差，故D正确。 故选ABD。 12．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知(　　) A．三个等势面中，c的电势最高 B．带电质点通过P点的电势能比Q点大 C．带电质点通过P点的动能比Q点大 D．带电质点通过P点时的加速度比Q点小 答案　B 解析　电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带负电，因此电场线指向左上方，沿电场线方向电势降低，故c等势面的电势最低，a等势面的电势最高，故A错误；P点电势小于Q点电势，粒子带负电，则带电质点通过P点的电势能比Q点的电势能大，根据能量守恒可知，带电质点通过P点的动能比Q点的动能小，故B正确，C错误；等势线密的地方电场强度大，加速度大，故质点通过P点时的加速度较大，故D错误。 13．如图所示，绝缘的斜面处在一个竖直向上的匀强电场中，一带电金属块由静止开始沿斜面滑到底端，已知在金属块下滑的过程中动能增加了0.3 J，重力做功1.5 J，电势能增加0.5 J，则以下判断正确的是(　 ) A．金属块带负电荷 B．静电力做功0.5 J C．金属块克服摩擦力做功0.7 J D．金属块的机械能减少1.4 J 解析：选C　在下滑过程中电势能增加0.5 J，故物体需克服电场力做功为0.5 J，故金属块带正电荷，故A、B错误；在金属块滑下的过程中动能增加了0.3 J，重力做功1.5 J，电场力做功－0.5 J，根据动能定理得，W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得Wf＝－0.7 J，故C正确；外力做功为W外＝W电＋Wf＝－1.2 J，故金属块机械能减少1.2 J，故D错误。 14．如图所示，一带正电的小球在匀强电场中，受到的电场力与小球的重力大小相等，以初速度v0沿ON方向做加速度不为零的匀变速直线运动，ON与水平面的夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度为g。则(　 ) A．电场力方向可能水平向左 B．小球可能做匀加速直线运动 C．小球的加速度大小一定小于g D．经过时间，小球的速度方向发生改变 解析：选D　小球做匀变速直线运动，合力方向一定和速度方向在同一直线上，即在ON直线上，因为mg＝qE，所以电场力qE与重力关于ON对称，根据几何关系可知电场力qE与水平方向夹角为30°，受力情况如图所示，合力沿ON向下，大小为mg，所以加速度为g，方向沿ON向下，与速度方向相反，小球做匀减速直线运动，故A、B、C错误；设小球减速到零所用时间为t，则t＝＝，故经过时间，小球速度刚好减为零，然后反向加速，即经过时间，小球的速度方向发生改变，故D正确。 15．如图所示为一个半径为R的均匀带电圆环，取环面中心O为原点，以过O点且垂直于环面的轴线为x轴，P到O点的距离为2R。质量为m、带负电且电荷量为q的小球从轴上P点由静止释放，小球运动到Q点时速度为零，Q点在O点上方R处。下列说法正确的是(　 ) A．P点电势比Q点电势低 B．P点场强比Q点场强大 C．P、Q两点的电势差为 D．Q点的场强大小等于 解析：选C　由题意可知带负电小球由P点到Q点先加速后减速运动，受到沿x轴向上的电场力作用，故电场方向沿x轴向下，沿电场线方向电势逐渐降低，故P点电势比Q点电势高，A错误；开始qEP<mg，在Q点qEQ>mg，故P点场强比Q点场强小，B、D错误；由动能定理可知mgR＋UPQ(－q)＝0，故P、Q两点的电势差为UPQ＝，C正确。 16．(多选)如图甲所示，某电场中的一条电场线恰好与M、P所在直线重合，以M为坐标原点，向右为正方向建立直线坐标系，P点的坐标xP＝5.0 cm，此电场线上各点的电场强度大小E随x变化的规律如图乙所示。若一电子仅在电场力作用下自M点运动至P点，其电势能减小45 eV，对于此电场，以下说法正确的是(　 ) A．该电子做匀变速直线运动 B．x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向 C．M点的电势是P点电势的 D．图像中的E0的数值为1.2 解析：选BD　由题图可知电子从M点运动到P点过程中，电场强度逐渐减小，所以该电场不是匀强电场，即电子受到的电场力不是恒定的，所以该电子不做匀变速直线运动，故A错误；若一电子仅在电场力作用下自M点运动至P点，电势能减小，则电场力做正功，由功能关系可得WMP＝EpM－EpP＞0，又WMP＝－UMPe，所以UMP＜0，即φM＜φP，而电场线由高电势指向低电势，可知x轴上各点的电场强度方向都沿x轴负方向，故B正确；电势零点未知，所以无法确定两点的电势数值关系，故C错误；由题可知WMP＝45 eV，E-x图像与横轴围成图形的面积表示对应距离的电势差，可得WMP＝＝45 eV，解得E0＝1 200 V，即图像中E0的数值为1.2，故D正确。 17．(多选)如图甲所示，A、B两极板间加上如图乙所示的交变电压，A板的电势为0，一质量为m、电荷量大小为q的电子仅在静电力作用下，在t＝时刻从A板的小孔处由静止释放进入两极板运动，恰好到达B板，则(　　) A．A、B两板间的距离为 B．电子在两板间的最大速度为 C．电子在两板间做匀加速直线运动 D．若电子在t＝时刻进入两极板，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最终到达B板 答案　AB 解析　电子在t＝时刻由静止释放进入两极板运动，先加速后减速，在t＝T时刻到达B板，设两板的间距为d，加速度a＝，则有d＝2×a()2，解得d＝，故A正确；由题意可知，经过时间电子速度最大，则最大速度为vm＝a·＝，故B正确；电子在两板间先向右做匀加速直线运动，然后向右做匀减速直线运动，故C错误；若电子在t＝时刻进入两极板，在～时间内电子做匀加速直线运动，位移x＝··(T)2＝d>d，说明电子会一直向B板运动并打在B板上，不会向A板运动，故D错误． 18．(多选)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是(　 ) A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2 s末带电粒子回到原出发点 C．3 s末带电粒子的速度为零 D．0～3 s内，电场力做的总功为零 [解析] 设第1 s内粒子的加速度为a1，第2 s内的加速度为a2，由a＝可知，a2＝2a1，可见，粒子第1 s内向负方向运动，1.5 s末粒子的速度为零，然后向正方向运动，至3 s末回到原出发点，粒子的速度为0，v-t图像如图所示，由动能定理可知，此过程中电场力做的总功为零，综上所述，可知C、D正确。 [答案]　CD 19．图甲是一对长度为L的平行金属板，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直．在t＝0时刻，一带电粒子沿板间的中线OO′垂直电场方向射入电场，2t0时刻粒子刚好沿下极板右边缘射出电场．不计粒子重力．则(　　) A．粒子带负电 B．粒子在平行板间一直做曲线运动 C．粒子射入电场时的速度大小为 D．若粒子射入电场时的速度减为一半，射出电场时的速度垂直于电场方向 答案　C 解析　粒子向下偏转，可知粒子带正电，选项A错误；粒子在平行板间在0～t0时间内做曲线运动；在t0～2t0时间内不受任何力，则做直线运动，选项B错误；粒子在水平方向一直做匀速运动，可知射入电场时的速度大小为v0＝，选项C正确；若粒子射入电场时的速度减为一半，由于粒子在电场中受向下的静电力，有向下的加速度，射出电场时有沿电场方向的速度，则射出电场时的速度不可能垂直于电场方向，选项D错误． 20．(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q,2m)、(＋3q,3m)、(－q，m)，它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是(　 ) 解析：选AD　分析可知带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则带电粒子的运动轨迹方程为y＝·2，由于带电粒子的初速度相同，带电粒子(＋q，m)、(＋3q,3m)的比荷相同，则带电粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的运动轨迹重合，C错误；当电场方向沿y轴正方向时，带正电荷的粒子向y轴正方向偏转，带负电荷的粒子向y轴负方向偏转，则粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的运动轨迹与粒子(－q，m)的运动轨迹关于x轴对称，粒子(＋q,2m)的比荷比粒子(＋q，m)、(＋3q，3m)的小，则x相同时，粒子(＋q,2m)沿y轴方向的偏转量比粒子(＋q，m)、(＋3q,3m)的小，D正确；当电场方向沿y轴负方向时，同理可知A正确，B错误。 21．(多选)如图所示，有一匀强电场平行于平面xOy，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点运动到A点，粒子在O点时速度沿y轴正方向，经A点时速度沿x轴正方向，且粒子在A点的动能是它在O点时动能的3倍。关于粒子在OA段的运动情况，下列判断正确的是(　 ) A．该带电粒子带正电荷 B．带电粒子在A点的电势能比在O点的电势能小 C．这段时间中间时刻粒子的动能最小 D．加速度方向与y轴正方向之间的夹角等于120° 解析：选BD　依题意，匀强电场场强方向未知，故该带电粒子电性不明，故A错误；从O点运动到A点的过程，动能增加，根据动能定理可知，电场力做正功，又根据电场力做功与电势能变化关系，可知带电粒子在A点的电势能比在O点的电势能小，故B正确；设加速度方向与y轴正方向之间的夹角等于θ，则有acos(π－θ)＝，asin(π－θ)＝，mv2＝3×mv02，联立，可得θ＝120°，故D正确；加速度与初速度方向夹角为钝角，故粒子速度先减小，后增大，最小的动能出现在加速度与速度垂直的时候，这段时间中间时刻粒子的两个分速度分别为vx＝＝v0，vy＝，合速度与水平面夹角为α，则tan α＝＝，解得α＝30°，加速度与速度夹角为60°，不垂直，故C错误。 22．(多选)在电场方向水平向右的匀强电场中,一带电小球从A点竖直向上抛出,其运动的轨迹如图所示,小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上,M为轨迹的最高点,小球抛出时的动能为8 J,在M点的动能为6 J,不计空气阻力,则下列判断正确的是(　　)。 A.小球水平位移x1与x2的比值为1∶3 B.小球水平位移x1与x2的比值为1∶4 C.小球落到B点时的动能为32 J D.小球落到B点时的动能为14 J 答案　AC 解析　将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解,水平分运动为初速度为零的匀加速直线运动,竖直分运动为竖直上抛运动,所以从A到M和从M到B点所用时间相等。对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3,则小球水平位移x1与x2的比值为1∶3,A项正确,B项错误;从A到B,根据动能定理有F·4x1=EkB-8,从A到M的水平方向,根据运动学公式和牛顿第二定律有=2x1,得Fx1=m=6 J,联立解得小球落到B点时的动能为32 J,C项正确,D项错误。 23．如图，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线的中点， 细管与A、B连线及中垂线交点分别为C、E、D、F，一个带负电的小球在细管中按顺时针方向做完整的圆周运动，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　 ) A．小球从C运动到D的过程中，速度先减小后增大 B．在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低 C．小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能 D．小球在D、F两点所受的电场力相同 解析：选C　小球从C到D的过程中电场力的方向与速度方向的夹角一直是钝角，电场力一直做负功，速度一直减小，A错误；由等量正点电荷的电场线的分布可知，电场线在OC方向由C指向O，在OF方向则有O指向F，顺着电场线方向电势降低，因此有φC>φO>φF，B错误；根据电场分布的对称性规律可知φC＝φE，则小球在C、E两点的电势能相同，由能量守恒定律可得小球在C和E两点动能相同，速度大小相等，C正确；等量同种正点电荷的电场线如图，D、F两点场强方向相反，因此小球受到的电场力方向相反，D错误。 24．(多选)如图所示，长为L的细线拴一个带电荷量为＋q、质量为m小球，重力加速度为g，球处在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E，小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则(　　) A．小球在最高点的速度大小为 B．当小球运动到最高点时电势能最小 C．小球运动到最低点时，机械能最大 D．小球运动到最低点时，动能为(mg＋qE)L 答案　CD 解析　小球恰好能够在竖直平面内做圆周运动，则在最高点由重力和静电力的合力提供向心力，则有mg＋Eq＝m，解得v＝，故A错误；小球向上运动时，静电力做负功，电势能增加，当小球运动到最高点时电势能最大，故B错误；小球向下运动时，静电力做正功，机械能增大，运动到最低点时，小球的机械能最大，故C正确；从最高点到最低点的过程中，根据动能定理得Ek－mv2＝(mg＋Eq)·2L，解得Ek＝(mg＋Eq)L，故D正确． 二、计算、问答题 25．如图所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为d，上下极板开有一小孔，四个质量均为m、带电荷量均为q的带电小球，其间用长均为的绝缘轻杆相连，处于竖直状态，今使下端小球恰好位于上极板小孔中，且由静止释放，让四球竖直下落．当下端第二个小球到达下极板时，速度恰好为零．重力加速度为g，(仅两极板间存在电场)试求： (1)两极板间的电压； (2)小球运动的最大速度． 答案　(1)　(2) 解析　(1)根据动能定理可得4mg×d－2Uq－Uq－Uq＝0 解得U＝ (2)当两个小球在电场中时，静电力F1＝×2q＝mg<4mg 当三个小球在电场中时，静电力F2＝×3q＝mg>4mg 故当第三个小球刚进入电场时速度最大，根据动能定理可得4mg×－Uq－Uq＝×4mv2－0 解得v＝. 26．在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为T，现有一电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入．已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问： (1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？ (2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？ (3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？ 答案　见解析 解析　(1)由动能定理得e＝mv2－mv02 解得v＝. (2)t＝0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向A极板方向偏转，半个周期后电场方向反向，电子在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电子在电场方向上的速度减小到零，此时的速度等于初速度v0，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动；要使电子恰能平行于极板飞出，则电子在OO′方向上至少运动一个周期，故极板长至少为L＝v0T. (3)若要使电子从OO′平行于极板飞出，则电子在电场方向上应先加速、再减速，反向加速、再减速，每阶段时间相同，一个周期后恰好回到OO′上，可见应在t＝＋k·(k＝0,1,2，…)时射入，极板间距离要满足电子在加速、减速阶段不打到极板上，设两板间距为d，由牛顿第二定律有a＝，加速阶段运动的距离 s＝·2≤， 解得d≥T，故两极板间距至少为T. 27．如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)电场强度E的大小； (2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。 解析：(1)当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示， 则有＝tan θ，所以E＝。 (2)小球所受重力与电场力的合力F＝＝mg。当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为g的“重力场”中运动。若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q点。设当小球从P点出发的速度为vmin时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，根据动能定理有 －mg·2r＝0－mvmin2， 所以vmin＝，即小球的初速度应不小于。 答案：(1)　(2)不小于 28．如图所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点B点与一条水平轨道相连，轨道是光滑的，轨道所在空间存在水平向右、场强为E的匀强电场，从水平轨道上的A点由静止释放一质量为m带正电的小球，设A、B间的距离为s.已知小球受到的静电力大小等于小球重力的倍，C点为圆形轨道上与圆心O的等高点．(重力加速度为g) (1)若s＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小； (2)为使小球刚好在圆轨道内完成圆周运动，求s的值． 答案　(1)　(2) 解析　(1)当小球从A点释放，在静电力作用下运动，从A到C点静电力做正功，重力做负功，应用动能定理得： qE·3R－mgR＝mvC2 到达C点时，小球受到的支持力和静电力提供向心力， 即：FN－qE＝m 由牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小与小球受到的支持力大小相等，则 FN′＝FN＝ (2)为了使小球刚好在圆周轨道内运动，小球到达D点时恰好仅重力和静电力，如图所示，此时有： F＝＝mg F＝m 从A点到D点时据动能定理有：qE(s－0.6R)－mg(1.8R)＝mv2 则可以计算得：s＝. 29．空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点．从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为q(q>0)．A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为.重力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能． 答案　(1)　(2)2m(v02＋g2t2) 解析　(1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a.根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma① a()2＝gt2② 解得E＝③ (2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有mgh＋qEh＝Ek－mv12④ 且有v1＝v0t⑤ h＝gt2⑥ 联立③④⑤⑥式得Ek＝2m(v02＋g2t2)． 30．（2026·河南）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【答案】(1)设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 (2) 【详解】（1）设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 由于则粒子在反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 （2）在加速电场中，根据位移时间关系 其中 可得加速电场中运动时间 无场区运动时间 离子从到射出反射电场所用时间 可知，即 可得 31．多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管(无场区域)构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。 (1)求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T1； (2)反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x； (3)已知质量为m0的离子总飞行时间为t0，待测离子的总飞行时间为t1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m1。 解析：(1)设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有qU＝mv2 ① 离子在漂移管中做匀速直线运动，则T1＝ ② 联立①②式，得T1＝ 。 ③ (2)根据动能定理，有qU－qEx＝0 ④ 得x＝。 ⑤ (3)离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等， 设其为，有＝ ⑥ 通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为L1，在无场区的总路程设为L2，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为t总，有t总＝＋ ⑦ 联立①⑥⑦式，得t总＝(2L1＋L2) ⑧ 可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比。依题意可得＝ 可得m1＝2m0。 ⑨ 答案：(1) 　(2)　(3)2m0 32．图示装置由放射源P、加速电场、偏转电场、铺有感光纸的圆筒组成。放射源P可沿着中心线方向连续发出大量电荷量为+q、质量为m的粒子，其初速度大小范围为，粒子先经A、B间加速，再经C、D间偏转（C、D间视为匀强电场），最后打到绕轴OO′旋转的感光纸上而发出亮点。已知加速电场电压，偏转电场电压、极板长度为L，C、D间距为d，极板右端到圆筒的最近距离为，圆筒半径为R，不考虑粒子相互作用和重力、极板边缘效应、感光纸的厚度，假设所有粒子均能射出偏转电场。求： (1)粒子离开极板B时的速度大小范围； (2)粒子射出偏转电场时沿垂直于板面方向偏移的最大距离ym； (3)经足够长时间后，感光纸上发光点围成的面积大小S。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对粒子加速过程由动能定理可得 代入，整理得 已知初速度范围​，代入得最小速度​，最大速度 因此速度范围为 （2）偏转电场中，由牛顿第二定律可得粒子加速度 代入，得 粒子水平方向运动时间 整理得偏移量 ​​与成反比，越小越大，代入最小速度 得 （3）粒子出偏转电场后，偏转角正切 粒子打到感光纸上时，总偏移量（偏离中心线的距离） 结合的范围，得的范围 圆筒转动足够长时间后，不同偏移的粒子会打在不同位置，发光区域为矩形，长为圆筒周长，宽为 面积 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $