9.2 电荷的相互作用 库仑定律（举一反三·讲义）物理沪科版必修第三册

本讲义聚焦“电荷的相互作用 库仑定律”核心知识点，从点电荷模型切入，系统梳理库仑定律内容、表达式及适用条件，延伸至库仑力方向判断、牛顿第三定律应用，再结合电量分配、受力平衡、牛顿定律与功能关系构建知识网络，形成递进式学习支架。 资料以情景导入（塑料丝摩擦起电）激发兴趣，通过库仑扭秤实验（控制变量法、微小量放大法）培养科学探究能力，例题与变式题强化科学思维中的模型建构与推理，课中辅助教师系统授课，课后作业助力学生巩固知识、查漏补缺。

9.2 电荷的相互作用 库仑定律 【新教材沪科版】 1．应用库仑定律的三条提醒 (1)作用力的方向：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。 (2)两个点电荷间相互作用的静电力满足牛顿第三定律：大小相等、方向相反。 (3)在两带电体的间距及电荷量之和一定的条件下，静电力存在极大值：当q1＝q2时，F最大。 2．四步解决静电力作用下的平衡问题 3．三个自由点电荷的平衡条件及规律 平衡条件 每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷的合电场强度为零的位置 平衡规律 模块二 知识精讲 情景导入 在如图所示的场景中，将塑料丝的一半撕成细丝，用于爍的手掌握往塑料丝捋几下，塑料丝就会散开。我们在初中已经知道，电荷之间有相互作用，同号电荷间相互排斥，异号电荷间相互吸引。塑料丝散开正是因为手掌的摩擦在其上产生同号电荷相互排斥的结果。这种静止电荷之间的相互作用又叫做静电力。 知识归纳 【知识点1 库仑定律与电量分配、力的合成】 一、点电荷 当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是理想化模型。 二、电荷之间的作用力 三、库仑定律 1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫作静电力常量。 3．适用条件：真空中的静止点电荷。 (1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。 (2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。 4．库仑力的方向 由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 四、库仑的实验 1．库仑扭秤 2．方法：控制变量法 五、库仑力具有力的共性 1.两个点电荷之间相互作用的库仑力遵循牛顿第三定律。 2.库仑力可使带电体产生加速度。例如原子的核外电子绕核运动时,库仑力使核外电子产生向心加速度。 3.库仑力可以和其他力平衡。 4.某个点电荷同时受几个点电荷的作用时,遵循矢量运算法则。 5.两个完全相同的带电金属球接触后,电荷的分配原则:先中和再平分。 【例1】如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是(　　) A．0 B. C. D. 答案　D 解析　b、d电荷给a的库仑力大小均为Fb＝Fd＝k，Fb方向竖直向上，Fd方向水平向右，这两个力的合力Fbd＝，方向与ad连线成45°指向右上方。c对a的库仑力Fc＝，方向由a指向c，Fc与Fbd垂直，a电荷受的电场力的大小为F＝＝，选项D正确。 【变式1-1】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6 答案　D 解析　由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．由库仑定律F＝k知两点电荷间距离不变时，相互间静电力大小与两球所带电荷量的乘积成正比．又由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q×nq＝×，解得n＝6，D正确． 【变式1-2】(多选)(2025·河北卷，T8)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　) A．1　　B．2 C．3 D．5 [解析]　C先跟A接触后，两者电荷量均变为q1＝，C再跟B接触后，两者电荷量均变为q2＝＝，此时A、B之间静电力大小仍为F＝，则有F＝＝，解得Q＝q或Q＝－5q，则Q∶q的绝对值可能是1或者5，故A、D正确。 [答案]　AD 【变式1-3】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则(　 ) A．F1＜F2 B．F1＝4F2 C．若小球a带负电，L增大，则F1增大 D．若小球a带正电，L减小，则F2增大 解析：选D　小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝k＝k，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″，F″＝k＝k，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，F′减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，F″增大，则F2增大，D正确。 【知识点2 库仑定律与受力平衡】 1．三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧 　　 2．点电荷平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多分析一个电场力。具体步骤如下： 【例2】a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q＞q。关于电荷c，下列判断正确的是(　　) A．c一定带负电 B．c所带的电荷量一定大于q C．c可能处在a、b之间 D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定 答案　B 解析　三个点电荷保持平衡，应处于同一条直线上，且“两同夹异”，“两大夹小”，因为Q＞q，所以c所带电荷量一定大于q，且c必须带正电，在b的另一侧，选项A、C错误，B正确；如果固定a、b，因Q＞q，则在a、b形成的静电场中，只有b的另一边仅存在一点电场强度为零，c放在此处时受力平衡，因位置固定，电荷量和电性均不确定，D错误。 【变式2-1】(2026·河南许昌市部分学校模拟)如图所示，A球、C球均带正电，B球带负电，A球固定在绝缘的水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，A、B、C三球所带电荷量大小分别为qA、qB、qC，质量mC＝6mB＝6mA，则qA∶qB∶qC为(　　) A.4∶2∶1 B．2∶1∶4 C．1∶∶2 D．∶2∶1 解析：选B。B、C球受力 如图所示，对C球，由力的平衡条件可得，FBC＝FACsin 30°，mCg＝FACcos 30°，对B球，由力的平衡条件有FTsin 60°＝FABcos 60°＋FCB，FTcos 60°＝FABsin 60°＋mBg，三个球的质量关系为mC＝6mB＝6mA，且FBC＝FCB，库仑定律表达式F＝，联立各式可得qA∶qB∶qC＝2∶1∶4。 【变式2-2】[多选]如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为(　　) A．0.5 m B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m 解析：选AB　对A受力分析，受重力mg、线的拉力FT、B对A的吸引力F，由分析知，A平衡时，F的最小值为F＝mgsin 30°＝，解得r＝1 m，所以两球的距离d≤1 m，A、B正确。 【变式2-3】如图所示,在一绝缘斜面C上有带正电的物体A处于静止状态。现将一带正电的小球B沿以物体A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至物体A正上方的Q点,已知P、A在同一水平线上,且在此过程中物体A和斜面C始终保持静止不动,A、B均可视为质点。关于此过程,下列说法正确的是(　　)。 A.物体A所受斜面的支持力先增大后减小 B.物体A所受小球B的排斥力恒定不变 C.斜面C所受地面的摩擦力一直增大 D.斜面C所受地面的支持力一直减小 　　 答案　A 　　 解析　B对A的库仑力垂直斜面方向的分力,先增大后减小,当库仑力与斜面垂直时最大,可知物体A所受斜面的支持力N先增大后减小,A项正确;将B从P点移至A正上方的Q点的过程中,库仑力的方向时刻改变,故物体A受到的库仑力发生变化,B项错误;以A和C整体为研究对象,分析受力情况如图所示,B对A的库仑力F大小不变,与竖直方向的夹角θ越来越小,根据平衡条件知地面对斜面C的摩擦力逐渐减小,斜面C所受地面的支持力一直增大,C、D两项错误。 【知识点3 库仑定律与牛顿定律】 1．牛顿第二定律的“六性” 2．合力、加速度、速度间的关系 (1)不管速度是大是小，或是零，只要合力不为零，物体就有加速度。 (2)a＝是加速度的定义式，a与Δv、Δt无必然联系；a＝是加速度的决定式，a∝F，a∝。 (3)合力与速度同向时，物体做加速运动；合力与速度反向时，物体做减速运动。 【例3】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。 (1)求小球所带的电荷量及电性； (2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小； [思路点拨] (1)先画出小球静止时的受力示意图。 (2)在细线剪断后小球做匀加速直线运动。 [解析]　(1)小球受到重力mg、电场力F和细线的拉力T的作用， 如图所示，由共点力平衡条件有： 、 F＝qE＝mgtan θ 解得：q＝＝1.0×10－6 C 电场力的方向与电场强度的方向相同，故小球所带电荷为正电荷。 (2)剪断细线后，小球做匀加速直线运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：＝ma 解得：a＝＝12.5 m/s2。 【变式3-1】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变小，加速度变大 答案：C 解析：由于同种电荷间存在相互作用的排斥力，两球将相互远离，距离增大，根据库仑定律得知，相互作用力减小。由牛顿第二定律得知它们的加速度变小，随着两球间距离增大，电场力做正功，电势能减少，总动能增加。所以速度增加，故速度变大，加速度变小。 故选C。 【变式3-2】(2025·湖南卷，T5)如图所示，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A．A球静止时，轻绳上拉力为2mg B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为2mg C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 [解析]　 对小球A受力分析，其受重力、轻绳的拉力以及小球B的库仑引力，如图所示，根据力的平衡条件得F库＝T cos 30°＋mg cos 30°，T sin 30°＝mg sin 30°，解得T＝mg，F库＝mg，A、B错误；剪断轻绳前，小球A所受合力为零，库仑力和重力的合力与轻绳拉力等大反向，即库仑力和重力的合力大小为mg，剪断轻绳后瞬间，绳子拉力消失，库仑力与重力均不变，则小球A所受合力大小为mg，由牛顿第二定律得小球A的瞬时加速度大小a＝g，C正确；由于剪断轻绳前、后瞬间，B球的受力不变，且状态不变，因此轻杆对B球的作用力不变，D错误。 [答案]　C 【变式3-3】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度大小。 (2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。 解析：(1)由牛顿第二定律可知mgsin α－F＝ma 根据库仑定律有F＝k 又知r＝，得a＝gsin α－。 (2)当A球受到合力为零，即加速度为零时，动能最大。 设此时A球与B点间的距离为d，则mgsin α＝ 解得d＝ 。 答案：(1)gsin α－　(2) 【知识点4 库仑定律与功能关系】 1．功能关系的理解 (1)做功的过程是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。 (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。 2．常见的功能关系 【例4】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？ 答案　6mg 解析　设小球在最高点时的速度为v1，根据牛顿第二定律 mg－＝m① 设小球在最低点时的速度为v2，管壁对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律有F－mg－＝m② 小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，则mv＋mg·2R＝mv③ 由①②③式得F＝6mg 由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力F′＝6mg. 【变式4-1】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变小，加速度变大 答案：C 解析：由于同种电荷间存在相互作用的排斥力，两球将相互远离，距离增大，根据库仑定律得知，相互作用力减小。由牛顿第二定律得知它们的加速度变小，随着两球间距离增大，电场力做正功，电势能减少，总动能增加。所以速度增加，故速度变大，加速度变小。 故选C。 【变式4-2】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______ 答案: 【变式4-3】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球在B点时对轨道的压力． 答案　(1)　(2)3mg＋k，方向竖直向下 解析　(1)带电小球q2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR＝mv 解得vB＝. (2)小球到达B点时，受到重力mg、库仑力F和支持力FN，由圆周运动和牛顿第二定律得FN－mg－k＝m 解得FN＝3mg＋k 根据牛顿第三定律，小球在B点时对轨道的压力为 FN′＝FN＝3mg＋k 方向竖直向下． 【知识点5 联系实际】 一．库仑的实验 1．实验装置：库仑扭秤(如图所示)。 2．实验技巧 (1)将微小量放大——通过悬丝扭转的 角度　比较库仑力的 大小　。 (2)电荷量的确定——库仑运用把一个带电小球与另一个不带电的 完全相同　的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半的方法，把带电小球的电荷量q分为、、、…，巧妙地解决了当时小球带电荷量不能测量的问题。 3．实验方法：控制变量法、微小量放大法。 4．实验步骤 (1)保持A和C的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r之间的关系。 (2)保持A和C之间的距离不变，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与电荷量q之间的关系。 5．实验结论 (1)两小球上的电荷量不变时，力F与距离r的二次方成反比，F∝ 　。 (2)两小球间的距离不变时，力F与电荷量q1和q2的乘积成 正比　，F∝ q1q2　。 (3)综合结论：F∝ 　或F＝ k　。 【例5】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．均小于 【答案】 B 【解析】设小球a的电荷量为Q，小球b与小球a充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，再移至小球正上方处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有 此时电子秤的示数为 使小球b再次不带电，后将该不带电的小球b与a球再次充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，重新移至a球正上方L处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有 此时电子秤的示数为 因为 故 故选B。 【变式5-1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷。如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将(　　) A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动 C．仍处于悬浮状态 D．无法判断 答案：C 【变式5-2】如图所示的实验装置为库仑扭秤，该实验通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，从而找到力F与距离r和电量q的关系。这一实验中用到了下列哪些方法（　　） ①极限法    ②控制变量法    ③微小量放大法    ④逐差法 A．①② B．①③④ C．②③④ D．②③ 【答案】D 【详解】要探究和、两个物理量的关系，需要控制其中一个量不变，研究和另一个量的关系，用到了控制变量法，②正确。电荷间的库仑力非常微小，难以直接观测，本实验通过悬丝扭转的角度将微小的力的作用效果放大，便于比较力的大小，用到了微小量放大法，③正确。 故选D。 【变式5-3】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　C 解析　设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1＝2k1，联立可得＝2. 模块三 课后作业 一、选择题 1．两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为( ) A. B. C. D. 答案：D 2．真空中,金属球甲带电荷量为q,将一与金属球甲完全相同的不带电的金属球乙与金属球甲接触后,置于与甲球球心相距3r处,静电力常量为k,甲、乙两球带电后均可视为点电荷,则甲、乙两球间静电力大小F为(　　)。 A.k B.k C.k D.k 答案　A 解析　金属球乙与金属球甲接触后,两球分别带电荷量为,根据库仑定律得甲、乙两球间静电力大小F=k=k,A项正确。 3．如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是(　 ) A．A所带电荷量一定为＋4q B．轻质细杆对两球有拉力 C．A与B之间的距离一定为L D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动 解析：选C　设A与B之间的距离为x，A受力平衡，根据平衡条件有＝，解得x＝L，qA不一定为＋4q，故A错误，C正确；对B受力分析，A、C对B的静电力的合力为F＝－，由于不知道A所带电荷量，故无法确定A、C对B的静电力的合力是否为零，故杆对小球可能是拉力、弹力或没有作用力，故B错误；A在原来的位置是平衡的，若将A向右平移一小段距离，B、C对A的静电力均增加，但B对A的静电力增加更快，由于A的电性不确定，故A被释放后可能向左运动，也可能向右运动，故D错误。 4．如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则(　 ) A．P和Q都带正电荷 B．P和Q都带负电荷 C．P带正电荷，Q带负电荷 D．P带负电荷，Q带正电荷 解析：选D　细绳竖直，把P、Q看作整体，则整体在水平方向不受力，对外不显电性，带等量异种电荷，故A、B错误；如果P、Q带不同性质的电荷，受力如图所示，由图知，P带负电荷、Q带正电荷时符合题意，故C错误，D正确。 5．如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则(　 ) A．qC＝q0 B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q0 解析：选A　设小球C带负电，相邻小球间距为L，则对小球C在沿斜面方向受力分析，如图甲所示： 根据库仑定律FBC＝k、FAC＝k，显然小球C无法处于静止，因此小球C应该带正电。因此小球C平衡时，k＝k＋Mgsin α　①， 则＝Mgsin α。对B球做受力分析，如图乙所示： 根据受力平衡关系k＝k＋Mgsin α　②，两式联立解得qC＝q0，A正确。将C的电荷量代入①式，则L＝，D错误。A球所受总的库仑力为FA＝k－k　③，其中＝Mgsin α，可知＝Mgsin α或者＝Mgsin α，代入③式，则A球所受库仑力为FA＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误。对A球受力分析可知，F弹＝Mgsin α＋FA, 将上述结果代入得，F弹＝3Mgsin α，因此弹簧伸长量为Δx＝，B错误。 6．如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　 ) A．正，B的右边0.4 m处 B．正，B的左边0.2 m处 C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处 解析：选C　要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电。设在A左侧距A为x处，由于处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。 7．（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为,可采用的方法是(　　)。 A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍 B.将小球B的质量增大到原来的8倍 C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半 D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍 答案：BD 8．如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动 B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动 C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动 D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动 答案：D 解析：AB、若A、B带同种电荷，则A对B有斥力作用，且斥力方向和速度方向夹角越来越小，速度增大，AB间距离越来越大，静电力越来越小，则加速度越来越小，故AB错误； CD、若AB带异种电荷，B受到的静电力指向A，力的大小或方向肯定有一个发生变化，不可能做类平抛运动，当静电力可能等于B做匀速圆周运动需要的向心力，则B球可能做匀速圆周运动，故C错误，D正确； 故选：D。 9．如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求： (1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？ (2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？ 答案　(1)1.0 m/s2　方向水平向左　(2) m　 m 解析　(1)对小球受力分析，受到重力、支持力和电场力，重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律，有：a＝＝＝ m/s2＝1.0 m/s2，方向水平向左． (2)设球到桌面右边的距离为x1，球离开桌面后做平抛运动的水平距离为x2，则：x总＝x1＋x2 由：v2－v02＝2ax1；代入，解得：v＝ 设平抛运动的时间为t，根据平抛运动的分位移公式，有：h＝gt2，代入得：t＝0.5 s. 水平方向，有x2＝vt＝0.5，故 x总＝x1＋0.5 令：y＝；则：x总＝ 故y＝，即：x1＝时，水平距离最大，最大值为 xmax＝ m 10．如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则(　　) A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝ C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝ 答案　D 解析　由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝① b对c的库仑力Fb＝② 设合力向左，如图所示，根据相似三角形得＝③ 由①②③得k＝＝＝，若合力向右，结果仍成立，D正确． 11．如图，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，其中a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b的少。已知c受到a和b的静电合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（　　） A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意，根据库仑定律可知a对c的静电力（沿a→c方向）小于b对c的静电力（沿c→b方向），根据力的合成与分解规律可知c受到a和b的静电合力可以用F2来表示。 故选B。 12．下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，求： （1）此时B球所受的库仑力的大小； （2）B球所在位置处的场强大小和方向。 【答案】（1）；（2），方向水平向左 【解析】（1）对B球受力分析，根据共点力平衡条件，结合几何关系得到 代入数据解得 （2）根据场强定义式，有 代入数据解得 场强方向与负试探电荷受力方向相反，故场强方向水平向左 13．（多选）关于库仑定律的公式，下列说法中正确的是( ) A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0 B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞ C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了 D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了 答案：AD 14．下列说法正确的是(　 ) A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷 B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷 C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量 D．根据F＝k，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 解析：选A　点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，检验电荷的体积和电荷量要足够小，故A正确；元电荷是一个数值，而电子是一个实物，故B错误；密立根用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量，故C错误；公式F＝k适用于真空中的静止的点电荷，当两个点电荷距离趋于0时，两带电体已不能看成点电荷了，库仑定律不适用，故电场力并不是趋于无穷大，故D错误。 15．光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是(　　) 答案　C 解析　根据库仑定律可知，两球之间的库仑力满足F＝k，即随r增加，F非线性减小．故选C. 16．(2026·广东茂名市五校联考模拟)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，一半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过OO′(OO′＝2R)的直线上以R为直径在球内挖一球形空腔。已知静电力常量为k，若在O′处放置一电荷量为Q的点电荷，则该点电荷所受电场力的大小为(　　) A． B． C． D． 解析：选C。根据题意结合球的体积公式可知，被挖去的小球所带电荷量为，利用割补法可得该点电荷所受电场力的大小F＝k－k＝。 17．(多选)(2024·山西名校高三联考)如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则(　　) A.球a和球b一定带同种电荷 B.球a和球b一定带异种电荷 C.＝ D.＝ 答案　BD 解析　球c受重力及球a和球b对它的库仑力而平衡，球b对它的库仑力必须是斥力，而球a对它的库仑力必须是引力，球a和球b一定带异种电荷，故A错误，B正确；画出球c受力图，如图所示，三力平衡，设球c的带电荷量为q，在相似三角形中，有＝，整理有＝，故C错误，D正确。 18．将同一检验电荷分别放在真空中两静止点电荷P、Q各自产生电场中，在不同位置受到的电场力大小F与该位置到点电荷距离r满足如图所示关系。则两点电荷P、Q电荷量之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设两点电荷P、Q电荷量分别为、，检验电荷的电荷量为，根据库仑定律 则图像的斜率为，两点电荷P、Q电荷量之比等于两图像的斜率之比 故选B。 19．（多选）在竖直平面内固定一半径为的金属细圆环，质量为的金属小球（视为质点）通过长为的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示。已知静电力常量为。则下列说法中正确的是（     ） A．电荷量 B．电荷量 C．绳对小球的拉力 D．绳对小球的拉力 【答案】AC 【详解】AB．根据题意分析可知，圆环、小球都带有相同的电荷量，取圆环顶端长为的一小段，其带电量为 对金属球的库仑力为 同理，圆环最底端长为d的一小段，对金属球的库仑力也为，且两力的竖直分力平衡，设绳子与竖直方向夹角为，则在水平方向的分力为： 故整个圆环对小球的合力方向水平向右，大小为 小球受重力、拉力和电场力而平衡，由相似三角形关系可得 解得，故A正确，B错误； CD．根据题意分析可知，小球受重力、拉力和电场力而平衡，由相似三角形关系可得 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 20． (多选)内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放 置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是(　　) A. 三个小球之间的距离均等于R B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内 C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面 D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为，k为静电力常量 答案　CD 解析　由小球受力分析可知，三个小球受到球壳的作用力都应沿半径指向圆心，则三小球对称分布，如图所示， 三个小球之间的距离均等于L＝2Rcos 30°＝R，故A错误；由小球的平衡可知，三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面，故B错误，C正确；由库仑定律可知 FAC＝FBC＝k＝ 其合力为F＝2FACcos 30°＝ 由平衡条件可知，每个小球对球壳内壁的作用力大小均为FN＝，故D正确。 21．(2026·山西省部分学校联考模拟)如图所示，在半球形光滑固定绝缘碗的最低点固定一个带正电的小球B(可视为点电荷)，另一也带正电的小球A(可视为点电荷)此时恰好静止在内壁中的某点。若B球的带电量缓慢减小，则(　　) A.小球A所受的库仑力减小，支持力不变 B．小球A所受的库仑力、支持力均不变 C．小球A所受的库仑力和支持力均减小 D．小球A所受的库仑力减小，支持力增大 解析：选A。对A球受力分析如图所示，由图及相似三角形知识可得，＝＝，若B球的带电量缓慢减小，OA不变、OB不变、AB减小，则支持力不变，库仑力减小，A正确。 22．(多选)(2026·福建龙岩市模拟)如图所示，水平天花板下方固定一光滑定滑轮O，在定滑轮正下方C处固定一带正电的点电荷。不带电的A球与带正电的B球用绝缘轻绳跨过O连接，A、B均视为质点，初始系统静止且OB＜OC。若B的电荷量缓慢减少，在B到达O正下方前，则(　　) A.B球的轨迹是一段圆弧 B．A球的质量大于B球的质量 C．此过程中点电荷对B球的库仑力减小 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 解析：选AC。开始时B球受力如图所示，由相似三角形可知＝＝，因OB＜OC，知mBg＞T ＝mAg，则A球的质量小于B球的质量，由于T不变，OC不变，可知OB不变，则随着B球所带的电荷量缓慢减少，B球的轨迹是一段圆弧，又BC减小，可知F减小，即此过程中点电荷对B球的库仑力减小，A、C正确，B错误；因滑轮两侧绳子拉力不变，当B球下降时，两侧细绳的夹角减小，则合力增大，即此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐增大，D错误。 二、填空题 23． (2025·福建卷，T11)两个正点电荷Q1与Q2静立于竖直平面内，如图所示，于P点放置一检验电荷，其恰好处于静止状态，PQ1与Q1Q2之间的夹角为30°，PQ1⊥PQ2，则Q1与Q2电荷量之比为________。在PQ1连线上________(选填“存在”或“不存在”)其他点能让同一检验电荷维持平衡状态。 [解析]　 由题意知，检验电荷在P点静止，受力分析如图所示，可知检验电荷所受库仑力的合力方向竖直向上，则必然存在竖直向下的力的作用，即检验电荷的重力不能忽略，且由几何关系有F1＝F2tan 30°，设Q1在A点，Q2位于B点，检验电荷的电荷量为q，即＝·tan 30°，又＝tan 30°，联立解得Q1∶Q2＝∶1；若PQ1连线上存在这样一点，则检验电荷受到Q1的电场力F1′>F1，方向不变，受到Q2的电场力F2′<F2，方向与竖直方向夹角变大，由于检验电荷质量不变，则由图可知F2′>F2，与F2′<F2矛盾，故不存在该点。 [答案]　∶1　不存在 三、计算、问答题 24．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图所示，带正电的小球1用绝缘细线a悬挂在水平墙壁上，带负电的小球2用绝缘细线b悬挂在竖直墙壁上。两小球处于静止状态时，细线b水平，细线a与竖直方向的夹角为37°，小球1、2（均可视为点电荷）的连线与水平方向的夹角也为37°，小球1、2间的距离，已知小球1、2所带的电荷量大小分别为、，静电力常量，取重力加速度大小，，，求： (1)小球1、2间的库仑力大小； (2)小球2的质量； (3)细线a、b的弹力、各是多大。 【答案】(1)45N (2)2.7kg (3)60N，36N 【详解】（1）根据库仑定律 代入已知条件 （2）对小球2受力分析，根据竖直方向受力平衡 代入数据得 （3）对小球1受力分析，根据水平方向受力平衡 代入数据得 对小球2水平方向受力平衡 代入数据得 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2 电荷的相互作用 库仑定律 【新教材沪科版】 1．应用库仑定律的三条提醒 (1)作用力的方向：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。 (2)两个点电荷间相互作用的静电力满足牛顿第三定律：大小相等、方向相反。 (3)在两带电体的间距及电荷量之和一定的条件下，静电力存在极大值：当q1＝q2时，F最大。 2．四步解决静电力作用下的平衡问题 3．三个自由点电荷的平衡条件及规律 平衡条件 每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷的合电场强度为零的位置 平衡规律 模块二 知识精讲 情景导入 在如图所示的场景中，将塑料丝的一半撕成细丝，用于爍的手掌握往塑料丝捋几下，塑料丝就会散开。我们在初中已经知道，电荷之间有相互作用，同号电荷间相互排斥，异号电荷间相互吸引。塑料丝散开正是因为手掌的摩擦在其上产生同号电荷相互排斥的结果。这种静止电荷之间的相互作用又叫做静电力。 知识归纳 【知识点1 库仑定律与电量分配、力的合成】 一、点电荷 当带电体之间的距离比它们自身的大小 得多，以致带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以 时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是 模型。 二、电荷之间的作用力 三、库仑定律 1．内容： 中两个静止 之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成 ，与它们的距离的二次方成 ，作用力的方向在它们的连线上。 2．表达式：F＝k，式中k＝ N· m2/C2，叫作静电力常量。 3．适用条件： 中的静止 。 (1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。 (2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。 4．库仑力的方向 由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互 ，异种电荷相互 。 四、库仑的实验 1．库仑扭秤 2．方法：控制变量法 五、库仑力具有力的共性 1.两个点电荷之间相互作用的库仑力遵循牛顿第三定律。 2.库仑力可使带电体产生加速度。例如原子的核外电子绕核运动时,库仑力使核外电子产生向心加速度。 3.库仑力可以和其他力平衡。 4.某个点电荷同时受几个点电荷的作用时,遵循矢量运算法则。 5.两个完全相同的带电金属球接触后,电荷的分配原则:先中和再平分。 【例1】如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是(　　) A．0 B. C. D. 【变式1-1】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知(　　) A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6 【变式1-2】(多选)(2025·河北卷，T8)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　) A．1　　B．2 C．3 D．5 【变式1-3】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则(　 ) A．F1＜F2 B．F1＝4F2 C．若小球a带负电，L增大，则F1增大 D．若小球a带正电，L减小，则F2增大 【知识点2 库仑定律与受力平衡】 1．三个自由点电荷的平衡问题的速解技巧 　　 2．点电荷平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多分析一个电场力。具体步骤如下： 【例2】a、b、c三个点电荷仅在相互之间的静电力的作用下处于静止状态。已知a所带的电荷量为＋Q，b所带的电荷量为－q，且Q＞q。关于电荷c，下列判断正确的是(　　) A．c一定带负电 B．c所带的电荷量一定大于q C．c可能处在a、b之间 D．如果固定a、b，仍让c处于平衡状态，则c的电性、电荷量、位置都将唯一确定 【变式2-1】(2026·河南许昌市部分学校模拟)如图所示，A球、C球均带正电，B球带负电，A球固定在绝缘的水平地面上，B球由绝缘的细线拉着，C球处在与B球等高的位置，A、B、C三球均静止且三者所在位置构成一个等边三角形。若细线与竖直方向的夹角为60°，A、B、C三球所带电荷量大小分别为qA、qB、qC，质量mC＝6mB＝6mA，则qA∶qB∶qC为(　　) A.4∶2∶1 B．2∶1∶4 C．1∶∶2 D．∶2∶1 【变式2-2】[多选]如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为(　　) A．0.5 m B．0.8 m C．1.2 m D．2.5 m 【变式2-3】如图所示,在一绝缘斜面C上有带正电的物体A处于静止状态。现将一带正电的小球B沿以物体A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至物体A正上方的Q点,已知P、A在同一水平线上,且在此过程中物体A和斜面C始终保持静止不动,A、B均可视为质点。关于此过程,下列说法正确的是(　　)。 A.物体A所受斜面的支持力先增大后减小 B.物体A所受小球B的排斥力恒定不变 C.斜面C所受地面的摩擦力一直增大 D.斜面C所受地面的支持力一直减小 　　 【知识点3 库仑定律与牛顿定律】 1．牛顿第二定律的“六性” 2．合力、加速度、速度间的关系 (1)不管速度是大是小，或是零，只要合力不为零，物体就有加速度。 (2)a＝是加速度的定义式，a与Δv、Δt无必然联系；a＝是加速度的决定式，a∝F，a∝。 (3)合力与速度同向时，物体做加速运动；合力与速度反向时，物体做减速运动。 【例3】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。 (1)求小球所带的电荷量及电性； (2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小； 【变式3-1】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变小，加速度变大 【变式3-2】(2025·湖南卷，T5)如图所示，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为60°，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A．A球静止时，轻绳上拉力为2mg B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为2mg C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【变式3-3】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度大小。 (2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。 【知识点4 库仑定律与功能关系】 1．功能关系的理解 (1)做功的过程是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。 (2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。 2．常见的功能关系 【例4】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？ 【变式4-1】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变大，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变小，加速度变大 【变式4-2】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______ 【变式4-3】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求： (1)小球运动到B点时的速度大小； (2)小球在B点时对轨道的压力． 【知识点5 联系实际】 一．库仑的实验 1．实验装置：库仑扭秤(如图所示)。 2．实验技巧 (1)将微小量放大——通过悬丝扭转的 比较库仑力的 。 (2)电荷量的确定——库仑运用把一个带电小球与另一个不带电的 的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半的方法，把带电小球的电荷量q分为、、、…，巧妙地解决了当时小球带电荷量不能测量的问题。 3．实验方法：控制变量法、微小量放大法。 4．实验步骤 (1)保持A和C的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r之间的关系。 (2)保持A和C之间的距离不变，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与电荷量q之间的关系。 5．实验结论 (1)两小球上的电荷量不变时，力F与距离r的二次方成反比，F∝ 　。 (2)两小球间的距离不变时，力F与电荷量q1和q2的乘积成 ，F∝ 。 (3)综合结论：F∝ 　或F＝ 。 【例5】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．均小于 【变式5-1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷。如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将(　　) A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动 C．仍处于悬浮状态 D．无法判断 【变式5-2】如图所示的实验装置为库仑扭秤，该实验通过悬丝扭转的角度可以比较力的大小，从而找到力F与距离r和电量q的关系。这一实验中用到了下列哪些方法（　　） ①极限法    ②控制变量法    ③微小量放大法    ④逐差法 A．①② B．①③④ C．②③④ D．②③ 【变式5-3】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为(　　) A．1 B. C．2 D．4 模块三 课后作业 一、选择题 1．两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为( ) A. B. C. D. 2．真空中,金属球甲带电荷量为q,将一与金属球甲完全相同的不带电的金属球乙与金属球甲接触后,置于与甲球球心相距3r处,静电力常量为k,甲、乙两球带电后均可视为点电荷,则甲、乙两球间静电力大小F为(　　)。 A.k B.k C.k D.k 3．如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是(　 ) A．A所带电荷量一定为＋4q B．轻质细杆对两球有拉力 C．A与B之间的距离一定为L D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动 4．如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则(　 ) A．P和Q都带正电荷 B．P和Q都带负电荷 C．P带正电荷，Q带负电荷 D．P带负电荷，Q带正电荷 5．如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则(　 ) A．qC＝q0 B．弹簧伸长量为 C．A球受到的库仑力大小为2Mg D．相邻两小球间距为q0 6．如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　 ) A．正，B的右边0.4 m处 B．正，B的左边0.2 m处 C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处 7．（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为,可采用的方法是(　　)。 A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍 B.将小球B的质量增大到原来的8倍 C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半 D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍 8．如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动 B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动 C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动 D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动 9．如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求： (1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？ (2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？ 10．如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则(　　) A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝ C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝ 11．如图，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，其中a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b的少。已知c受到a和b的静电合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（　　） A． B． C． D． 12．下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，求： （1）此时B球所受的库仑力的大小； （2）B球所在位置处的场强大小和方向。 13．（多选）关于库仑定律的公式，下列说法中正确的是( ) A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0 B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞ C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了 D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了 14．下列说法正确的是(　 ) A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷 B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷 C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量 D．根据F＝k，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大 15．光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是(　　) 16．(2026·广东茂名市五校联考模拟)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，一半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过OO′(OO′＝2R)的直线上以R为直径在球内挖一球形空腔。已知静电力常量为k，若在O′处放置一电荷量为Q的点电荷，则该点电荷所受电场力的大小为(　　) A． B． C． D． 17．(多选)(2024·山西名校高三联考)如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的电荷量大小分别为q1和q2，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4 cm、3 cm和2 cm，则(　　) A.球a和球b一定带同种电荷 B.球a和球b一定带异种电荷 C.＝ D.＝ 18．将同一检验电荷分别放在真空中两静止点电荷P、Q各自产生电场中，在不同位置受到的电场力大小F与该位置到点电荷距离r满足如图所示关系。则两点电荷P、Q电荷量之比为（　　） A． B． C． D． 19．（多选）在竖直平面内固定一半径为的金属细圆环，质量为的金属小球（视为质点）通过长为的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示。已知静电力常量为。则下列说法中正确的是（     ） A．电荷量 B．电荷量 C．绳对小球的拉力 D．绳对小球的拉力 20． (多选)内半径为R，内壁光滑的绝缘球壳固定在桌面上。将三个完全相同的带电小球放 置在球壳内，平衡后小球均紧靠球壳静止。小球的电荷量均为Q，可视为质点且不计重力。则小球静止时，以下判断正确的是(　　) A. 三个小球之间的距离均等于R B．三个小球可以位于球壳内任一水平面内 C．三个小球所在平面可以是任一通过球壳球心的平面 D．每个小球对球壳内壁的作用力大小均为，k为静电力常量 21．(2026·山西省部分学校联考模拟)如图所示，在半球形光滑固定绝缘碗的最低点固定一个带正电的小球B(可视为点电荷)，另一也带正电的小球A(可视为点电荷)此时恰好静止在内壁中的某点。若B球的带电量缓慢减小，则(　　) A.小球A所受的库仑力减小，支持力不变 B．小球A所受的库仑力、支持力均不变 C．小球A所受的库仑力和支持力均减小 D．小球A所受的库仑力减小，支持力增大 22．(多选)(2026·福建龙岩市模拟)如图所示，水平天花板下方固定一光滑定滑轮O，在定滑轮正下方C处固定一带正电的点电荷。不带电的A球与带正电的B球用绝缘轻绳跨过O连接，A、B均视为质点，初始系统静止且OB＜OC。若B的电荷量缓慢减少，在B到达O正下方前，则(　　) A.B球的轨迹是一段圆弧 B．A球的质量大于B球的质量 C．此过程中点电荷对B球的库仑力减小 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 二、填空题 23． (2025·福建卷，T11)两个正点电荷Q1与Q2静立于竖直平面内，如图所示，于P点放置一检验电荷，其恰好处于静止状态，PQ1与Q1Q2之间的夹角为30°，PQ1⊥PQ2，则Q1与Q2电荷量之比为________。在PQ1连线上________(选填“存在”或“不存在”)其他点能让同一检验电荷维持平衡状态。 三、计算、问答题 24．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图所示，带正电的小球1用绝缘细线a悬挂在水平墙壁上，带负电的小球2用绝缘细线b悬挂在竖直墙壁上。两小球处于静止状态时，细线b水平，细线a与竖直方向的夹角为37°，小球1、2（均可视为点电荷）的连线与水平方向的夹角也为37°，小球1、2间的距离，已知小球1、2所带的电荷量大小分别为、，静电力常量，取重力加速度大小，，，求： (1)小球1、2间的库仑力大小； (2)小球2的质量； (3)细线a、b的弹力、各是多大。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $