第二章 实数 单元小测 2026-2027学年 北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册实数单元卷，含知识点总结、测试及解析，覆盖全章7节内容，聚焦无理数、平方根、立方根、二次根式等核心概念，适配单元复习，强化基础与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、平方根性质、二次根式意义|基础概念辨析，如区分平方根与算术平方根| |填空题|6/24|立方根计算、二次根式化简、实数比较|强化运算能力，如化简√18=3√2| |解答题|7/66|实数分类、二次根式运算、几何应用（网格正方形、数轴表示无理数）、综合阅读题|突出数学眼光（几何直观表示√10）、思维（夹逼法估算）、语言（符号表达与推理）|

北师大版数学　八年级上册 第二章　实数　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第二章「实数」编写，覆盖第 1 节「认识无理数」、第 2 节「平方根」、第 3 节「立方根」、第 4 节「估算」、第 5 节「用计算器开方」、第 6 节「实数」、第 7 节「二次根式」全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 本章的二次根式只要求最简单的化简与加、减、乘、除运算，不涉及分母有理化以外的复杂变形。 第一部分　知识点总结 知识点 1　无理数的认识 1．无理数的定义　无限不循环小数叫做无理数。 2．常见的三类无理数 （1）开方开不尽的数：如 ，，，，，； （2）与 有关的数：如 ，，，； （3）有一定规律但不循环的小数：如 （每两个 之间依次多一个 ）。 3．有理数与无理数的根本区别 项目 有理数 无理数 小数形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 能否写成分数 能写成 （、 为整数，） 不能写成两个整数的商 举例 ，，， ，， 4．面积为 的正方形　边长的平方等于 ，这个边长既不是整数，也不是分数，它是无理数 。 图 2-1　小正方形边长为 ，中间正方形的面积是 ，边长是 知识点 2　平方根与算术平方根 1．平方根　如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么 叫做 的平方根（也叫二次方根），记作 。 2．算术平方根　正数 的正的平方根，叫做 的算术平方根，记作 。 规定： 的算术平方根是 ，即 。 3．平方根的性质（三句话） （1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2） 的平方根是 ； （3）负数没有平方根。 4．两个重要的式子 第二个式子要特别注意：当 时 ；当 时 。 例如 ，而不是 。 5．开平方　求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 6．常用的平方值（务必熟记） 知识点 3　立方根 1．立方根　如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么 叫做 的立方根（也叫三次方根），记作 。 2．立方根的性质（一句话）　任何一个实数都有且只有一个立方根。 （1）正数的立方根是正数； （2） 的立方根是 ； （3）负数的立方根是负数（这一点与平方根完全不同）。 3．两个重要的式子 注意：立方根中的 可以是负数，且 例如 ，。 4．开立方　求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 5．常用的立方值 图 2-2　正方体的体积 ，则棱长 6．平方根与立方根的对比 项目 平方根 立方根 记号 （） （ 为任意实数） 正数 有 个，互为相反数 有 个，是正数 个，是 个，是 负数 没有 有 个，是负数 被开方数的范围 任意实数 知识点 4　估算与无理数在数轴上的表示 1．估算的基本方法——夹逼法　要估计 的大小，就去找两个相邻的完全平方数把 夹在中间。 例如估计 ：因为 ，即 ，所以 。 要更精确，可继续试算：，，所以 。 2．比较两个无理数的大小 （1）平方法：都取正数时，谁的平方大谁就大。如比较 与 ： 因为 ，所以 。 （2）作差法或取近似值法也可以使用。 3．在数轴上表示无理数　用勾股定理作出长度为无理数的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧，与数轴的交点就是要表示的点。 图 2-3　作出表示 的点 4．实数与数轴　实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 图 2-4　、、 在数轴上的大致位置 知识点 5　实数及其分类 1．实数　有理数和无理数统称为实数。 2．两种分类方法 （1）按定义分类（如下图）； （2）按正负分类：实数分为正实数、、负实数。 图 2-5　实数的分类（按定义） 3．实数的相关概念　有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念，在实数范围内仍然适用。 （1） 的相反数是 ；如 的相反数是 ； （2）当 时 ，当 时 ；例如 （因为 ）； （3）（）的倒数是 。 4．实数的运算　有理数的运算法则和运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内都适用。 知识点 6　二次根式 1．二次根式　形如 （）的式子叫做二次根式。 有意义的条件：被开方数必须是非负数，即 。 例如 有意义，则 ，即 。 2．最简二次根式　同时满足下面两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数（如 ， 不是最简的）； （2）被开方数中不含分母（如 ， 不是最简的）。 3．两条基本性质（，） 反过来用就是化简： 4．化简的两个基本动作 （1）把开得尽方的因数移到根号外： （2）分母有理化（把分母中的根号去掉）： 5．加减法　只有被开方数相同的二次根式才能合并，合并时只把系数相加减，根号部分不变： 注意： 不能合并，更不等于 。 知识点 7　易错警示 ① 把「平方根」与「算术平方根」混为一谈。 的平方根是 ，算术平方根是 。题目问「平方根」时漏掉负号是最常见的失分点。 ② 认为 。正确的是 ，如 。 ③ 认为负数没有立方根。负数有立方根，且是负数，如 。 ④ 误认为带根号的数都是无理数。， 都是有理数。 ⑤ 误认为无限小数都是无理数。无限循环小数（如 ）是有理数。 ⑥ 误认为 。这是错误的，如 ，而 ，两者不等。 ⑦ 忘记二次根式有意义的条件。含 的式子必须保证被开方数非负。 ⑧ 去绝对值时不判断符号。如 ，因为 ，所以 。 ⑨ 化简不彻底。结果必须是最简二次根式， 要化成 ， 要化成 。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 的平方根是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2． 的立方根是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．不存在 3． 下列各数中，是无理数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4． 若 有意义，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 计算 的结果是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6． 估计 的值在（　　） A． 与 之间　　B． 与 之间　　C． 与 之间　　D． 与 之间 7． 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8． 计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9． 如图，数轴上从左到右的三个点分别表示 、、。下列结论中错误的是（　　） 第 9 题图 A． 在 与 之间　　　　B． 在 与 之间 C． 在 与 之间　　　D． 是有理数 10． 一个正方体的体积是 cm³，则它的棱长是（　　） A． cm　　B． cm　　C． cm　　D． cm 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿。 12． 的算术平方根是＿＿＿＿＿＿，平方根是＿＿＿＿＿＿。 13． 化简：＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿。 14． 比较大小：＿＿＿＿（填「」「」或「」）。 15． 已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 16． 一个正方形的面积是 cm²，则它的边长是＿＿＿＿＿＿cm（结果化为最简二次根式）。 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（10 分）把下列各数填入相应的集合中： （1）有理数集合：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2）无理数集合：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）负实数集合：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4）说明你把 与 归类的理由。 18．（10 分）计算下列各题。 （1）； （2）； （3）； （4）。 19．（8 分）求下列各式中 的值。 （1）； （2）； （3）； （4）。 20．（10 分）如图，在小正方形边长为 的网格中，画出了一个面积为 的正方形。 第 20 题图 （1）这个正方形的边长是多少？它是有理数还是无理数？为什么？ （2）估计这个边长在哪两个连续整数之间； （3）请进一步估计它在哪两个相邻的十分位小数之间（即精确到 的范围）； （4）在数轴上作出表示这个边长的点，简述作法。 21．（10 分）已知 的平方根是 ， 的立方根是 。 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的算术平方根。 22．（8 分）已知实数 、 在数轴上的位置满足 ，。 （1）判断 的符号，并化简 ； （2）化简 ； （3）化简 。 23．（10 分）阅读下面的材料，然后解答问题。 因为 ，所以 的整数部分是 ，小数部分是 。 也就是说，一个无理数的小数部分等于这个数减去它的整数部分。 （1） 的整数部分是＿＿＿＿，小数部分是＿＿＿＿； （2）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 、 的值； （3）在（2）的条件下，求 的值； （4）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．C 【解析】因为 ，，所以 的平方根有两个，是 。 选项 A 只是 的算术平方根。「平方根」与「算术平方根」一字之差，答案却不同，这是本章第一大易错点。 2．B 【解析】因为 ，所以 的立方根是 。 任何实数都有且只有一个立方根，负数的立方根是负数，所以 C、D 都错。 3．D 【解析】A．，是整数，属于有理数； B． 是分数，属于有理数（它只是 的一个近似值，本身不是 ）； C． 是无限循环小数，属于有理数； D． 不是完全平方数， 开方开不尽，是无限不循环小数，所以是无理数。 4．B 【解析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，所以 注意 时 有意义，所以要取等号，选 B 而不是 A。 5．A 【解析】先算被开方数，再开方： 也可以用公式 直接得 。 【易错点】误答 的同学是把 当成了 。算术平方根一定是非负数。 6．B 【解析】找出与 相邻的两个完全平方数： 所以 。 7．C 【解析】逐一判断： A．，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简； B． 的被开方数含分母，不是最简； C．，没有能开得尽方的因数，也不含分母，是最简二次根式； D．，被开方数含分母，不是最简。 8．C 【解析】先化简，再合并： 【易错点】选项 A 是误用了「」这个错误法则。二次根式的加减必须先化简、再合并同类二次根式。 9．D 【解析】逐一用夹逼法检验： A．，即 ，所以 ，正确； B．，即 ，所以 ，正确； C．，即 ，所以 ，正确； D． 不是完全平方数， 开方开不尽，是无理数，所以 D 错误。 本题选错误的选项，故选 D。 【易错点】数轴上能标出位置，并不意味着这个数是有理数——数轴上的点与实数一一对应。 10．A 【解析】设棱长为 cm，则 ，所以 即棱长是 cm。 二、填空题 11． ；　 【解析】（算术平方根取正值）；因为 ，所以 。 12． ；　 【解析】因为 ，所以 的算术平方根是 ，平方根是 。 13． ；　 【解析】； 14． 【解析】两个数都是正数，比较大小时可以先比较它们的平方： 因为 ，且两个数都是正数，所以 。 【方法总结】比较两个带根号的正数的大小，最稳妥的办法是平方法：把根号外的因数也平方后移到根号内，再比较被开方数。 15． 【解析】，，两个非负数的和等于 ，只能它们同时为 ： 所以 ，，。 16． 【解析】设边长为 cm（），则 ，所以 三、解答题 17．（10 分） 先把每个数化到最简形式：，，。 （1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）负实数集合： （4）理由：判断一个数是有理数还是无理数，不能只看它有没有根号，而要看它化简后的结果。 是整数， 也是整数，所以它们都是有理数； 而 开方开不尽，是无限不循环小数，所以 是无理数。 【方法总结】分类前先化简，是这类题不出错的关键。另外， 虽然「有规律」，但两个 之间的 依次增多，不循环，所以是无理数。 18．（10 分） （1） （2） （3）先把每个二次根式化成最简形式： 所以 （4）利用平方差的形式： 【方法总结】乘除法可以直接把被开方数合并（），加减法则必须先化简、后合并。 19．（8 分） （1），所以 是 的平方根， （2），移项得 ，两边同除以 得 所以 （3），两边开立方（立方根只有一个），得 所以 。 （4），两边同除以 得 ，所以 当 时，；当 时，。 所以 或 。 【易错点】开平方要写 ，开立方只有一个根，不写 。（3）与（4）的区别正在于此。 20．（10 分） （1）设边长为 （），由面积得 ，所以 。 是无理数。 理由： 既不是整数（因为 ，所以 ，它在两个相邻整数之间），也不能写成两个整数的商，它是无限不循环小数。 （2）因为 ，即 ，所以 即边长在 与 之间。 （3）继续试算： 所以 （4）作法： 第一步　在数轴上以原点 与表示 的点为一组邻边，作一个边长为 的正方形（或作两条直角边都是 的直角三角形）； 第二步　这个直角三角形的斜边长的平方为 ，所以斜边长为 ； 第三步　以原点 为圆心、斜边长为半径画弧，交数轴正半轴于点 ，则点 表示的数就是 。 【方法总结】在数轴上表示无理数的通法是「先用勾股定理造出这个长度，再用圆规把它搬到数轴上」。 21．（10 分） （1）因为 的平方根是 ，所以 解得 ，。 （2）因为 的立方根是 ，所以 把 代入，得 即 ，解得 。 （3） 因为 ，负数没有平方根，所以 的算术平方根不存在。 【方法总结】已知平方根求原数，用「平方根的平方等于原数」；已知立方根求原数，用「立方根的立方等于原数」。最后一定要检查被开方数是否非负。 22．（8 分） （1）因为 ，所以 ，即 于是 （2）因为 且 ，所以 ，即 ，于是 （3）因为 ，所以 ，。 所以 去括号得 【方法总结】含字母的绝对值化简三步走：① 由取值范围判断每个式子的正负；② 按 的定义去掉绝对值符号（负的要添负号）；③ 合并同类项。 23．（10 分） （1）因为 ，即 ，所以 所以 的整数部分是 ，小数部分是 。 （2）因为 ，即 ，所以 所以整数部分 ，小数部分 （3） （4）因为 ，所以 ，于是 所以整数部分 ，小数部分 因此 【学后反思】本章的核心是把数的范围从有理数扩充到了实数。掌握三条主线就抓住了全章： ① 概念线——平方根、算术平方根、立方根的区别（正数的平方根有两个，立方根只有一个）； ② 运算线——二次根式的化简与加减乘除（乘除合并被开方数，加减先化简再合并）； ③ 估算线——用夹逼法确定无理数的范围，用平方法比较大小，用勾股定理在数轴上作出无理数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $