第2章有理数的运算 （分层作业）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 分层设计覆盖有理数运算全体系，基础巩固与方法拓展结合，突出运算能力与应用意识 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|1-17题|科学记数法、倒数、数轴应用等基础运算技巧|从概念（有理数）到运算（加减乘除、乘方），再到实际应用（记账、检修距离），形成完整逻辑链| |提优过关|18-20题|简便计算思路（拆项、带分数处理）、新定义“除方”转化为乘方|通过24点游戏、七进制、质量检测等拓展，强化数学思维与数据意识，体现跨学科应用|

（分层作业）第2章有理数的运算-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片4318.4亿颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据4318.4亿用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．的倒数是（     ） A．2020 B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B．13 C． D．3 4．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 5．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他8元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（   ）． A． B． C． D． 6．计算，正确的结果是（    ） A．12 B． C．7 D． 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 9．某县境内河流纵横，年径流量立方米．将数据用科学记数法表示为______________． 10．用四舍五入法对取近似数为______．（精确到） 11． ，则 __________． 12．“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 13．我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是__________天． 14．现定义一种新运算：，．若，则，所以．若，则__________． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（长度单位：）为：．收工时，检修小组在A地的哪一边？距离A地多远？ 提优过关 18．淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 19．奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 20．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作2③，读作“2的圈3次方”， 写作④，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：_____________；_____________； （2）下列关于除方说法中，错误的有______________；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢 归纳：（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式为：： ． （4）计算：． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第2章有理数的运算-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B A B D C 1．B 【详解】解：4318.4亿． 2．D 【详解】解：， 的倒数是． 3．D 【分析】根据有理数加法法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可得出结果． 【详解】∵，，， ∴结果取正号，则． 4．B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 5．A 【详解】解：根据题意，支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 6．B 【详解】解：有理数乘法中，异号两数相乘得负，再把绝对值相乘， ． 7．D 【分析】先由数轴得出 a、b 的取值范围，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ， ∴A．，故 A 选项不符合题意； B．，故 B 选项不符合题意； C．由，，则，故 C 选项不符合题意； D．由，则，故 D 选项符合题意． 8．C 【分析】根据数轴上点向负方向移动时数减小，向正方向移动时数增大，从原点出发逐步计算即可得到结果． 【详解】∵数轴上原点表示的数为0， 先向负半轴移动2025个单位长度，得到的数为， 再向正方向移动2026个单位长度，得到点P表示的数为， ∴ 点P表示的数是1． 9． 【分析】此题考查的是科学记数法，掌握科学记数法的定义是解题的关键．科学记数法要求形式为，其中，为整数，将转换为该形式即可． 【详解】解：， 用科学记数法表示为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了近似数，掌握四舍五入法求近似数的技巧是解题关键．精确到0.01即保留两位小数，看第三位小数7，大于5，故向第二位小数进1． 【详解】数字的第三位小数（千分位）是7，7大于5，因此向第二位小数（百分位）5进1，得到1.86． 故答案为1.86． 11． 【分析】本题考查求一个数的平方，绝对值的计算，先计算 的值，得到 16，再根据绝对值的定义求解 a． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了有理数乘方的混合运算，掌握进制之间的转换计算是解题的关键． 根据七进制的转换计算，对图中数据进行计算即可． 【详解】解：天， 故答案为：． 14．125 【分析】题目主要考查新定义运算，理解题意是解题关键． 根据新运算的定义 （其中 ），模仿示例，利用已知 ，根据，，通过代入减法的形式逐步求解即可． 【详解】解：由定义得：， ∴， 同理，，即 ∴， 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 17． 收工时，检修小组在地东侧，距离地 【分析】将所有行驶记录求和，根据和的符号判断方向，和的绝对值为距地的距离． 【详解】解： （千米）， ∵， ∴收工时，检修小组在地东侧，距离地， 答：收工时，检修小组在地东侧，距离地． 18．(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 【分析】（1）先把带分数拆成整十数加剩余部分的形式，因为要凑出整数方便计算，所以可将其改写为，根据带分数的拆分规则确定的数值，再运用乘法分配律展开计算； （2）先明确带分数的定义，因为带分数是整数部分与分数部分的和的简写，所以判断中整数和分数部分的运算符号，确定的内容，再运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)3 (2)6克 (3)6克 【分析】（1）根据绝对值大于2的有枚可得答案； （2）由超过最多的减去不足最多的可得答案； （3）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案． 【详解】（1）解：若允许有的误差， 则30枚样品中不合格的有（枚）； （2）解：（克）， 即30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多6克； （3）解： （克）， 即与标准质量相比，30枚样品总计超过的质量为6克． 20．（1）1； （2）D （3） （4） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． （1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确， 从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值； （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1） ； ． 故答案为： （2）任何非零数的圈 2 次方都等于 1 ，故选项A正确，不符合题意； 任何非零数的圈 3 次方都等于它的倒数，故选项B正确，不符合题意； 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故选项C正确，不符合题意； 圈次方等于它本身的数是的圈偶数次方等于的圈奇数次方等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D （3）有理数的圈次方写成幂的形式为： ． 故答案为： （4） ， 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $