第一章 勾股定理 单元小测 2026-2027学年 北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元卷，含系统知识点总结、分层测试及解析，覆盖定理探索、逆定理、应用全内容，适配单元复习，强化抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理计算、逆定理、勾股数|基础巩固，辨析斜边判断等易错点| |填空题|6/24|分类讨论、面积法、赵爽弦图|强化关键能力，覆盖多解问题| |解答题|7/66|网格计算、折叠问题、立体最短路径、定理验证|综合应用，结合赵爽弦图文化传承与梯子滑动实际情境，发展应用意识|

北师大版数学　八年级上册 第一章　勾股定理　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第一章「勾股定理」编写，覆盖第 1 节「探索勾股定理」、第 2 节「一定是直角三角形吗」、第 3 节「勾股定理的应用」全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结，可作复习提纲；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 本章的运算结果大多是整数。个别结果不是整数时，用带根号的形式表示（如 ），它的意义是「平方等于 的正数」，第二章「实数」将系统学习。 第一部分　知识点总结 知识点 1　勾股定理 1．文字表述　直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 图 1-1　 中， 2．符号表述　如图 1-1，在 中，，两条直角边长分别为 、，斜边长为 ，则 3．三个变形 4．使用勾股定理的三个前提 （1）必须在直角三角形中才能用； （2）必须先分清哪条边是斜边（斜边是直角所对的边，也是最长的边）； （3）如果图中没有直角三角形，要先作高构造出直角三角形。 5．常用的勾股数组（记住可大幅提速） 组别 三边 组别 三边 ① ，， ⑤ ，， ② ，， ⑥ ，， ③ ，， ⑦ ，，（①的 倍） ④ ，， ⑧ ，，（①的 倍） 6．一个常用结论　把一组勾股数同时扩大相同的正整数倍，得到的仍是一组勾股数。 例如由 ，， 可得 ，，；，，；，，；…… 知识点 2　勾股定理的验证 验证勾股定理的核心方法是面积法：把同一个图形的面积用两种不同的方式表示出来，再令两个结果相等。 方法一　赵爽弦图（我国古代数学家赵爽的证法） 如图 1-2，四个全等的直角三角形（直角边为 、，斜边为 ）拼成一个大正方形，中间空出一个小正方形。 图 1-2　赵爽弦图 大正方形的边长为 ，所以它的面积为 另一方面，大正方形由 个直角三角形和 个边长为 的小正方形拼成，所以 于是 ，即 ， 去掉两边的 ，得 。 方法二　总统证法（美国总统加菲尔德的证法） 图 1-3　梯形 中，，，， 如图 1-3， 与 是两个全等的直角三角形， 是一个等腰直角三角形。 梯形 的面积为 它又等于三个三角形的面积之和 由 ，两边同乘 得 ， 化简即得 。 方法三　三个正方形的面积关系 以直角三角形的三条边为边长分别向外作正方形，则两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。 图 1-4　，即 知识点 3　勾股定理的逆定理（一定是直角三角形吗） 1．逆定理　如果三角形三边长 、、 满足 那么这个三角形是直角三角形，并且 所对的角是直角。 2．判定的三个步骤 第一步　找出最长边（设为 ）； 第二步　分别计算 与 ； 第三步　若两者相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。 3．勾股数　满足 的三个正整数 、、，称为一组勾股数。 判断是不是勾股数，要同时满足两个条件： （1）三个数都是正整数； （2）两个较小数的平方和等于最大数的平方。 例如 ，， 虽然满足 ，但它们不是整数，所以不是勾股数。 知识点 4　勾股定理在平面图形中的应用 1．梯子（滑竿）问题　墙、地面、梯子构成直角三角形，梯子长度在滑动前后保持不变，这是解题的关键等量关系。 图 1-5　 2．折断问题　大树、旗杆折断后，折断部分是斜边，未断部分是一条直角边，两部分的长度之和等于原高度。 图 1-6　，原高为 3．「引葭赴岸」（我国古代名题）　题目大意：水池边长 丈（ 尺），池中央长着一根芦苇，露出水面 尺；把芦苇拉向岸边，苇尖恰好与岸齐平。求水深与芦苇长。 图 1-7　设水深为 尺，则芦苇长为 尺 由勾股定理得 ， 即 ，解得 。 所以水深 尺，芦苇长 尺。 方法要点：设未知的直角边为 ，用含 的式子表示斜边，再列方程。列出方程后 会自动抵消，方程变成一元一次方程。 4．折叠问题　折叠的本质是轴对称，因此 （1）折叠前后的两个图形全等； （2）对应边相等、对应角相等。 解题时通常设所求线段长为 ，把其余线段用含 的式子表示，再在某个直角三角形中用勾股定理列方程。 图 1-8　把 沿 折叠，点 落到 上的点 处 5．网格中的计算　在小正方形边长为 的网格中，任意一条格点线段都可以看作某个直角三角形的斜边，于是 判断格点三角形是不是直角三角形时，只要比较三边长的平方即可，不必把边长算出来。 网格中三角形的面积常用割补法：用外接的长方形面积减去周围三个直角三角形的面积。 图 1-9　网格中的格点三角形 知识点 5　立体图形表面上的最短路径 基本思路　把立体图形的表面展开成平面图形，再利用「两点之间线段最短」，用勾股定理求出这条线段的长。 1．圆柱　沿一条母线剪开，侧面展开成一个长方形： 若蚂蚁从下底面一点爬到上底面正对面的一点，展开后水平方向走的是底面周长的一半。 图 1-10　圆柱侧面展开 2．长方体　长方体从一个顶点爬到相对顶点，有三种不同的展开方式，得到三个结果，必须全部算出再比较，最小的才是最短路程。 设长方体的三条棱长为 、、，则三个结果的平方分别是 经验规律：把最长的棱单独留下（即让最长棱作为上式中单独平方的那一项），算出的结果最小。 图 1-11　长方体及其一种展开方式 知识点 6　易错警示 ① 没有直角就用勾股定理。勾股定理只在直角三角形中成立，一般三角形不能用。 ② 分不清斜边。看到「两边长为 和 」不要立刻答 ， 有可能是斜边。 ③ 已知两边求第三边时漏掉分类讨论。若题目没有指明哪条边是斜边，一般有两种情况： 若 是直角边，则第三边为 ； 若 是斜边，则第三边为 。 ④ 误把 写成 。平方关系不能直接开方拆开。 ⑤ 判断勾股数时忘记「正整数」这个条件。，， 不是勾股数。 ⑥ 长方体最短路径只算一种展开方式。必须三种都算，再取最小值。 ⑦ 圆柱问题中把整个底面周长当作水平距离。爬到正对面时只走半个底面周长。 ⑧ 折叠问题中找错相等的线段。折叠前后重合的线段才相等，不要与其他线段混淆。 ⑨ 忘记写单位或结果不检验。实际问题的答案要带单位，并检查是否符合实际（如长度必须为正）。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 在 中，，两条直角边长分别为 和 ，则斜边长为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2． 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．，，　　B．，，　　C．，，　　D．，， 3． 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，，　　B．，，　　C．，，　　D．，， 4． 在 中，，，，则 的长为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 5． 一个三角形三边长之比为 ，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．无法确定 6． 等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ，则它的面积是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7． 一个直角三角形的斜边长为 ，两条直角边的和为 ，则它的面积是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8． 如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，已知两个较小正方形的面积分别是 和 ，则最大正方形的面积是（　　） 第 8 题图 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 9． 一个圆柱形容器的高为 cm，底面周长为 cm。一只蚂蚁从下底面的点 出发，沿侧面爬到上底面与 正对面的点 处，它爬行的最短路程是（　　） A． cm　　B． cm　　C． cm　　D． cm 10． 如图，长方形纸片 中，，，点 在 上。把 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，则 的长是（　　） 第 10 题图 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 在 中，，，，则 ＿＿＿＿＿＿。 12． 一个直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为 ，则这个直角三角形的面积是＿＿＿＿＿＿。 13． 如图是赵爽弦图，大正方形的面积是 ，中间小正方形的面积是 ，若直角三角形的两条直角边长分别为 、，则 ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿。 第 13 题图 14． 若一个三角形的三边长分别为 、、，则这个三角形最长边上的高为＿＿＿＿＿＿。 15． 已知一个直角三角形的两条边长分别为 和 ，则第三条边的长为＿＿＿＿＿＿。 16． 一根旗杆在离地面 米处折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 米处，则旗杆原来的高度是＿＿＿＿＿＿米。 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（8 分）如图，在小正方形边长均为 的网格中， 的三个顶点都在格点上。 第 17 题图 （1）分别求出 、、 的值； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）用割补法求 的面积。 18．（8 分）已知 的三边长分别为 ，，。 （1）判断 的形状，并说明理由； （2）求 的面积； （3）求 最长边上的高。 19．（10 分）如图，一架长 米的梯子 斜靠在竖直的墙 上，梯子的底端 与墙脚 的距离是 米。 第 19 题图 （1）求梯子顶端 到地面的距离 ； （2）如果梯子的顶端 沿墙下滑 米到点 ，那么梯子的底端 将向外滑动多少米？ （3）有同学说「顶端下滑多少米，底端就向外滑动多少米」，这种说法对吗？请结合（2）的结果说明。 20．（10 分）如图，长方形纸片 中， cm， cm，点 在边 上。把 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处。 第 20 题图 （1）求 的长和 的长； （2）设 cm，用含 的式子表示 的长，并求出 的值； （3）求 的面积。 21．（12 分）解决下列两个「最短路程」问题。 （1）如图①，一个圆柱形玻璃杯的高为 cm，底面周长为 cm。一只蚂蚁在杯子外壁下沿的点 处，要沿外壁爬到上沿与 正对面的点 处取食，求它爬行的最短路程。 图①　圆柱及其侧面展开图 （2）如图②，一个长方体木箱的长、宽、高分别为 cm、 cm、 cm。一只蚂蚁要从顶点 沿箱子的表面爬到相对的顶点 处，求它爬行的最短路程。（要求写出所有可能的展开方式并比较） 图②　长方体及其一种展开方式 22．（8 分）如图是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的「弦图」，它由 个全等的直角三角形和中间 个小正方形拼成一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为 、，斜边长为 。 第 22 题图 （1）用两种不同的方法表示大正方形的面积； （2）由（1）说明 ； （3）若 ，，求这个直角三角形的面积。 23．（10 分）阅读下面的材料，然后解答问题。 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了一个构造勾股数的方法：当 是大于 的奇数时，以 为三边长的三角形一定是直角三角形。 （1）当 时，写出这组数； （2）当 时，写出这组数； （3）请你验证：对任意大于 的奇数 ，上面三个数满足 ； （4）若这组勾股数中最大的数是 ，求 的值。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．A 【解析】两条直角边长分别为 和 ，由勾股定理得斜边长的平方为 所以斜边长为 。 选项 D 的错误在于把 当成了 ；选项 C 是把 误当成斜边的结果。 2．C 【解析】逐一检验，只要看两个较小数的平方和是否等于最大数的平方。 A．，而 ，，不是； B．，而 ，，不是； C．，而 ，相等，是； D．，而 ，，不是。 3．C 【解析】勾股数必须是正整数，且满足 。 A．，不是； B．虽然 ，但 、 不是整数，不是勾股数； C．，且三个数都是正整数，是勾股数； D．，不是。 【易错点】选项 B 是本题最容易误选的，务必记住勾股数的「正整数」条件。 4．A 【解析】，所以 是斜边。由勾股定理得 所以 。 选项 B 是把 当成了 ；选项 D 是错把 当成直角边（）。 5．B 【解析】设三边长分别为 、、（），则 两者相等，所以这个三角形是直角三角形。 6．A 【解析】如图，作底边上的高，等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，把底边分成两段，每段长 在直角三角形中，由勾股定理得高的平方为 所以高为 。故面积为 7．A 【解析】设两条直角边长分别为 、，则 将第一式两边平方得 把 代入，得 ，所以 ，。 因此面积为 【方法总结】已知 与 求 ，用恒等式 是最快的途径，不必解出 、。选项 C 的 是 的值，漏乘了 。 8．C 【解析】以直角边为边长的两个正方形的面积分别是 、，以斜边为边长的正方形面积是 。由勾股定理 所以最大正方形的面积是 。 9．A 【解析】把圆柱的侧面沿母线剪开展平。因为点 在点 的正对面，所以展开后 、 之间的水平距离是底面周长的一半： 竖直距离等于圆柱的高 cm。由「两点之间线段最短」，最短路程的平方为 所以最短路程为 cm。 【易错点】选项 B（）是沿着「先横后竖」折线爬的距离，不是最短路程；若误用整个底面周长 ，会算成 ，也是错的。 10．C 【解析】由折叠得 ，所以 在 中，，，由勾股定理得 所以 。 二、填空题 11． 【解析】， 是斜边， 所以 。（这是勾股数组 ，， 的 倍。） 12． 【解析】另一条直角边长的平方为 所以另一条直角边长为 。面积为 【易错点】面积要用两条直角边相乘再除以 ，不能用斜边参与计算。 13． ；　 【解析】大正方形的边长为 ，所以 因为 、 都是正数，所以 。 中间小正方形的边长为 ，所以 。 大正方形又可以看成 个直角三角形与 个小正方形拼成，即 代入数据得 ，所以 ，。 因此 ，（此时每个直角三角形的面积是 ）。 14． 【解析】先判断形状：因为 两者相等，所以这是一个直角三角形， 是斜边， 与 是两条直角边。 用两种方法表示它的面积。一方面 另一方面，设最长边上的高为 ，则 所以 ，解得 【方法总结】「求斜边上的高」的通用办法是面积法：直角边乘积等于斜边与斜边上的高的乘积，即 。 15． 或 【解析】题目只说「两条边长分别为 和 」，没有指明 是不是斜边，需要分两种情况讨论。 情况一： 和 都是直角边，则第三条边是斜边， 情况二： 是斜边， 是一条直角边，则第三条边是另一条直角边， 所以第三条边的长为 或 。 【易错点】只答 是本章最典型的失分点。注意：只有当明确指出哪条边是斜边（或给出直角的位置）时，才不需要分类讨论。 16． 【解析】折断后，未断的部分长 米是一条直角边，顶端到底部的水平距离 米是另一条直角边，折断的部分是斜边。设折断部分长为 米，则 所以 。旗杆原来的高度为 【易错点】不要把 直接当作答案，题目问的是原来的高度，等于未断部分加上折断部分。 三、解答题 17．（8 分） （1）把每条线段看作直角三角形的斜边，水平方向的格数与竖直方向的格数就是两条直角边。 （2） 是等腰直角三角形。 理由：由（1）知 ，所以 ， 是等腰三角形； 又因为 两者相等，由勾股定理的逆定理知 是直角三角形，且 所对的角 是直角。 所以 是等腰直角三角形。 （3）过 、、 分别作水平和竖直方向的直线，得到一个包住 的长方形（水平方向 格、竖直方向 格），则 长方形内、三角形外有三个直角三角形，面积分别为 所以 【方法总结】网格中判断直角三角形，只比较边长的平方就够了，不必开方，这样既快又不会出错。 18．（8 分） （1） 是直角三角形。 理由：三边中最长的是 。因为 两者相等，由勾股定理的逆定理知 是直角三角形，且最长边 所对的角 。 （2）两条直角边长分别是 和 ，所以 （3）设最长边（即斜边 ）上的高为 ，由面积的两种表示得 所以 19．（10 分） （1）墙 与地面 互相垂直，所以 是直角三角形， 是斜边。由勾股定理得 所以 即梯子顶端 到地面的距离是 米。 （2）顶端下滑 米后，新的高度为 梯子的长度不变，仍是 米。设新的底端为 ，在 中， 所以 （米）。底端向外滑动的距离为 即梯子的底端向外滑动了 米。 （3）这种说法不对。 由（2）可知，顶端下滑了 米，底端却向外滑动了 米，两者并不相等。 原因是：梯子长度不变时， 与 满足 ，这是平方关系而不是一次关系，所以两者的变化量一般不相同。 【方法总结】梯子滑动问题的不变量是梯子的长度。解题时先用勾股定理求出滑动前后的两个位置，再作差。 20．（10 分） （1）由折叠的性质得 ，所以 在 中，， cm，由勾股定理得 所以 cm。于是 （2）因为 cm， cm，所以 由折叠得 cm。 在 中，， cm， cm，由勾股定理得 即 展开得 ， 移项、合并得 ，解得 。 所以 cm。 （3）由（2）得 （cm）。因为 ，所以 【方法总结】折叠问题的三步走：① 由折叠找出相等的边（，）；② 把未知量设为 ，把相关线段都用含 的式子表示；③ 在含有未知量的直角三角形中用勾股定理列方程。注意展开后 会自动抵消。 21．（12 分） （1）沿一条母线把圆柱的侧面剪开并展平，得到一个长方形。因为点 与点 正对面，所以展开后 、 的水平距离是底面周长的一半： 竖直距离是圆柱的高 cm。 由「两点之间线段最短」，蚂蚁的最短路线就是展开图中连接 、 的线段。设其长为 ，由勾股定理得 所以 cm。 即最短路程为 cm。 （2）从顶点 爬到相对顶点 ，共有三种展开方式，分别把长方体的两个相邻面展成一个长方形。设最短路程为 。 方式一（长 与宽 展在一起，另一边为高 ）： 方式二（长 与高 展在一起，另一边为宽 ）： 方式三（宽 与高 展在一起，另一边为长 ）： 比较三个结果：，所以第三种展开方式的路线最短，且 即蚂蚁爬行的最短路程是 cm。 【方法总结】长方体表面最短路径必须三种展开都算。观察三个式子可以发现：单独平方的那一项越大，总和越小，所以让最长的棱单独平方，结果最小——本题中长 最长，方式三果然最短。 22．（8 分） （1）方法一：大正方形的边长等于两条直角边之和，即 ，所以 方法二：大正方形由 个全等的直角三角形和 个边长为 的小正方形拼成，所以 （2）由（1）中两种表示相等，得 左边展开得 两边同时减去 ，得 这就是勾股定理。 （3）把 、 代入 ，得 即 ，所以 ，。 因此这个直角三角形的面积为 【学后反思】赵爽弦图把「代数恒等式」与「图形面积」联系了起来。凡是出现 、、、 之间的换算，都可以想到 与 这两个恒等式。 23．（10 分） （1）当 时， 所以这组数是 ，，。 （2）当 时， 所以这组数是 ，，。 （3）验证：左边 右边 左边 右边，所以等式成立。 又因为 是大于 的奇数， 是奇数， 与 都是偶数， 所以 与 都是正整数， 因此这三个数是一组勾股数，以它们为三边长的三角形是直角三角形。 （4）这组数中最大的是 。由 得 ，，因为 ，所以 。 此时这组勾股数是 ，，。 【学后反思】本章的三条主线可以概括为： ① 由形到数——已知直角三角形，用勾股定理算边长； ② 由数到形——已知三边关系，用逆定理判断是不是直角三角形； ③ 化曲为直、化立体为平面——实际问题和立体图形问题，先转化成直角三角形，再用勾股定理。 只要养成「先找直角、再定斜边、最后列式」的习惯，本章的题目就都有了统一的入口。 1 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