第十四章 全等三角形 单元小测 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册全等三角形单元卷，含知识点总结、典型例题与达标小测，覆盖全等判定、角平分线性质等核心内容，注重推理规范与实际应用，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等概念、判定方法（如SSS/SAS/HL）、尺规作图原理|第3题辨析AAA不能判定，强化易错点| |填空题|6/24|全等性质、角平分线性质（如第14题角平分线交点距离）、图形计数|第15题开放添加条件，培养发散思维| |解答题|6/46|综合证明（如第21题SAS与AAS联用）、实际应用（如第22题测量池塘距离）|结合一线三垂直模型，体现推理意识与应用意识|

人教版八年级数学上册　第十四章　全等三角形　单元小测 人教版八年级数学上册 第十四章　全 等 三 角 形 单元知识总结与达标小测（含答案及详细解析） 　 【适用范围】人教版八年级上册第十四章“全等三角形”（含角的平分线的性质、尺规作图）。 【试卷结构】选择题 10 小题（每题 3 分，共 30 分）；填空题 6 小题（每题 4 分，共 24 分）；解答题 6 小题（共 46 分）。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 【命题原则】紧扣教材，不超纲、不涉及后续章节（如勾股定理、相似三角形、四边形）的内容。 【使用建议】本章的核心能力是“规范书写全等的证明过程”，做题时务必按照“先摆条件、再写判定、后得结论”的格式书写。 第一部分　单元知识点总结 一、全等形与全等三角形 1. 基本概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 图 1-1　△ABC ≌ △DEF 记法： 与 全等，记作 ，读作“三角形 全等于三角形 ”。 书写规范：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例如由 可直接读出 与 、 与 、 与 是对应顶点。 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 符号语言：， ，，；，，。 推论：全等三角形的周长相等，面积相等；全等三角形的对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线都分别相等。 易错提醒：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 3. 寻找对应元素的方法 （1）有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，公共角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角。 （2）一对最长的边（或最大的角）是对应边（或对应角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。 （3）两个对应角所夹的边是对应边；两条对应边所夹的角是对应角。 二、三角形全等的判定 1. 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 图 1-2　AB=AD，CB=CD，可证 △ABC ≌ △ADC 符号语言：在 和 中， 　　，，，（SSS）。 说明：本判定也是“三角形具有稳定性”的理论依据。 2. 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 图 1-3　AO=DO，CO=BO，∠AOC=∠DOB（对顶角） 符号语言：在 和 中， 　　，，，（SAS）。 特别注意：必须是“两边及其夹角”。“边边角（SSA）”不能判定两个三角形全等。 3. 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 图 1-4　∠1=∠2，∠3=∠4，AC 为公共边 符号语言：在 和 中， 　　，，，（ASA）。 4. 角角边（AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。 AAS 可由 ASA 与三角形内角和定理推出：已知两角相等，则第三个角也相等，从而任意一组对应边相等即可判定全等。 易错提醒：“AAA”（三角分别相等）不能判定两个三角形全等，因为形状相同而大小可以不同。 5. 斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 图 1-5　Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，AB=DE，BC=EF 符号语言：在 和 中， 　　，，（HL）。 注意：HL 只适用于直角三角形；判定直角三角形全等时，SSS、SAS、ASA、AAS 同样适用。 6. 判定方法一览 一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS。 直角三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 不能判定全等的组合：AAA、SSA。 三、角的平分线的性质与判定 图 1-6　OC 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB 1. 性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言： 平分 ，点 在 上， 于 ， 于 ， 。 2. 判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： 于 ， 于 ，， 点 在 的平分线上。 推论：三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等。 关键提醒：这里的“距离”指点到直线的距离，即垂线段的长度，作图时必须作垂直。 四、尺规作图 1. 作一个角的平分线 图 1-7　作 ∠AOB 的平分线 OP 作法： （1）以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ； （2）分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ； （3）画射线 ，射线 即为所求。 原理：连接 、，由 ，， 得 （SSS），所以 。 2. 作一个角等于已知角 用同样的“三边对应相等”的思路，先在已知角上截取一段弧，再在新射线上复制这段弧对应的弦长，即可作出相等的角，其依据仍是 SSS。 五、证明三角形全等的基本思路 （1）已知两边对应相等　→　找夹角（SAS）；或找第三边（SSS）。 （2）已知一边一角对应相等　→　若角是这边的对角，找另一角（AAS）；若角是这边的邻角，找夹这个角的另一边（SAS）或找另一角（ASA 或 AAS）。 （3）已知两角对应相等　→　找夹边（ASA）；或找任一组等角的对边（AAS）。 （4）直角三角形　→　优先考虑 HL，再考虑其他判定方法。 常见基本图形 ① 平移型：两个三角形沿某条直线平移可以重合，常出现“公共边加一段”的结构。 ② 对顶角型（“8”字形、蝴蝶形）：利用对顶角相等找条件。 ③ 翻折型（共边型）：以公共边为对称轴，公共边是对应边。 ④ 旋转型：两个三角形有公共顶点，常由“等角加同一个角”得到新的相等角。 ⑤ 一线三垂直型：三个直角顶点共线，利用同角的余角相等找等角。 六、易错提醒与书写规范 易错 1：把“SSA”“AAA”当作判定方法使用。 易错 2：书写全等时对应顶点没有对齐，导致后面推出的对应边、对应角出错。 易错 3：证明时条件摆放顺序与判定方法的字母顺序不一致（例如用 SAS 时把角写在两边之外）。 规范格式示例： 　　在 和 中， 　　　，，　 　　（SAS）。 第二部分　典型例题精讲 例 1　全等三角形的性质 已知 ，，，，。求 的度数和 的长。 解：因为 ，所以 ，。 在 中，由内角和定理得 所以 ，。 例 2　SAS 的应用（对顶角型） 例 2 图 如图， 与 相交于点 ，，。求证：。 证明：在 和 中， 　　（已知）， 　　（对顶角相等）， 　　（已知）， （SAS）。 （全等三角形的对应边相等）。 例 3　SAS 与公共边（共边型） 例 3 图　∠1=∠BAC，∠2=∠DAC 如图，点 、 在直线 的两侧，，。求证：。 证明：在 和 中， 　　（已知）， 　　（已知）， 　　（公共边）， （SAS）。 （全等三角形的对应边相等）。 点评：图中有公共边时，公共边一定是对应边，这是本类题的突破口。、 恰好是 与 、 与 的夹角，符合 SAS 的“夹角”要求。 例 4　AAS 与平行线 例 4 图 如图，，， 与 相交于点 。求证： 是 的中点。 证明：， ，（两直线平行，内错角相等）。 在 和 中， 　　，，， （AAS）。 ，即 是 的中点。 例 5　角平分线性质的应用 例 5 图 如图， 平分 ，点 在 上， 于点 ， 于点 。求证：。 证明： 平分 ，，， （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。 ，，。 在 和 中， 　　（公共斜边），（已证）， （HL）。 。 例 6　一线三垂直模型 例 6 图 如图，点 、、 在同一条直线上， 于 ， 于 ，，且 。求证：。 证明：，，， ，。 ， 。 在 中，， （同角的余角相等）。 在 和 中， 　　，，， （AAS）。 例 7　全等三角形在实际测量中的应用 例 7 图 如图，要测量池塘两端 、 之间的距离，可以先在平地上取一个能直接到达 、 的点 ，连接 并延长到 ，使 ；连接 并延长到 ，使 ，连接 。测得 的长就是 的长，为什么？ 解：在 和 中， 　　（作图）， 　　（对顶角相等）， 　　（作图）， （SAS）。 （全等三角形的对应边相等）。 所以测得 的长就是 、 两点间的距离。 第三部分　第十四章单元达标小测 （满分 100 分　　时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各组图形中，一定是全等形的是（　　） 　　A．两个等边三角形　　　B．两个周长相等的三角形 　　C．两个面积相等的三角形　　　D．两个能够完全重合的三角形 2．已知 ，，，则 的度数是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） 　　A．三边分别相等　　　B．两边和它们的夹角分别相等 　　C．两角和其中一角的对边分别相等　　　D．三个角分别相等 4．如图， 与 相交于点 ，若 ，，则可直接判定 的依据是（　　） 第 4 题图 　　A．SSS　　　B．SAS　　　C．ASA　　　D．AAS 5．如图，在 和 中，已知 ，要用 SSS 判定 ，还需要添加的条件是（　　） 第 5 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．判定两个直角三角形全等，下列方法中不正确的是（　　） 　　A．两条直角边分别相等　　　B．斜边和一条直角边分别相等 　　C．两个锐角分别相等　　　D．一条直角边和一个锐角分别相等 7．如图， 平分 ，点 在 上， 于 ， 于 。若 ，则 的长为（　　） 第 7 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．若 ， 的周长为 ，，，则 的长为（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 9．如图，（，），若要使 ，下列添加的条件中不能判定全等的是（　　） 第 9 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 10．用尺规作已知角的平分线时，第二步是分别以 、 为圆心，以大于 的长为半径画弧。这里“大于 ”的目的是（　　） 　　A．使作图更美观　　　B．保证两弧能够相交 　　C．保证交点在角的外部　　　D．没有特别的意义 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．已知 ，，，，则 的周长为　　　　　　。 12．如图，，， 与 相交于点 。则图中共有　　　　　　对全等三角形。 第 12 题图 13．在 和 中，已知 ，，若要用 SAS 判定这两个三角形全等，还需要添加的条件是　　　　　　。 14．已知 的三条角平分线交于点 ，点 到边 的距离为 ，则点 到边 的距离为　　　　　　。 15．如图，点 在边 上，点 在边 上，。若添加条件　　　　　　（写出一个即可），则可以证明 。 第 15 题图 16．已知 ， 中 边上的高为 ，，则 的面积为　　　　　　。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分） 17．（本小题 6 分）如图，点 、、、 的位置如图所示，，。 第 17 题图 　　（1）求证：； 　　（2）判断 与 的位置关系，并说明理由。 18．（本小题 7 分）如图，，。 第 18 题图 　　（1）求证：； 　　（2）求证： 平分 。 19．（本小题 7 分）如图，，。 第 19 题图 　　求证：。 20．（本小题 8 分）如图，点 、、 在同一条直线上， 于 ， 于 ，，且 。已知 ，。 第 20 题图 　　（1）求证：； 　　（2）求 的长。 21．（本小题 9 分）如图，在 中，，点 在边 上，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 。 第 21 题图 　　（1）求证：； 　　（2）求证：。 22．（本小题 9 分）如图，要测量池塘两端 、 之间的距离，小组同学设计了如下方案：先在地面上取一个可以直接到达 、 的点 ，连接 并延长到点 ，使 ；连接 并延长到点 ，使 ；连接 ，量出 的长即可。 第 22 题图 　　（1）请说明这个方案的道理； 　　（2）若量得 ，求 、 两点间的距离； 　　（3）若测得 ，，求 的度数。 第四部分　参考答案与详细解析 一、选择题参考答案 题号 1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　10 答案 D　　C　　D　　B　　A　　C　　B　　A　　B　　B 　 第 1 题　答案：D 解析：全等形的定义是“能够完全重合的两个图形”。两个等边三角形边长可以不同；周长相等或面积相等的两个三角形形状可以完全不同。故只有 D 一定是全等形。 第 2 题　答案：C 解析：在 中，。 因为 ，所以 。故选 C。 第 3 题　答案：D 解析：A 是 SSS，B 是 SAS，C 是 AAS，都能判定全等；D 是“AAA”，三个角分别相等的两个三角形形状相同但大小可以不同，不能判定全等。故选 D。 第 4 题　答案：B 解析：，（对顶角相等），，两边及其夹角分别相等，用的是 SAS。故选 B。 第 5 题　答案：A 解析： 与 中已有 和公共边 ，要用 SSS，还需要第三组边相等，即 。B、C、D 添加的都是角的条件，不符合 SSS。故选 A。 第 6 题　答案：C 解析：两个直角三角形若两个锐角分别相等，则三个角分别相等，属于“AAA”，不能判定全等。A 为 SAS，B 为 HL，D 为 ASA 或 AAS，均正确。故选 C。 第 7 题　答案：B 解析：由角的平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 。故选 B。 第 8 题　答案：A 解析：因为 ，所以 ，。 又因为 的周长为 ，所以 故选 A。 第 9 题　答案：B 解析： 与 中，已有 和公共边 。 A．添加 ： 是 与 的夹角， 是 与 的夹角，符合 SAS，可以判定全等； B．添加 ：、 分别是 、 的对边，属于“边边角（SSA）”结构，不能判定全等； C．添加 ：与 、 构成 AAS，可以判定全等； D．添加 ：与 、 构成 ASA，可以判定全等。 故不能判定全等的是 B。 归纳：SSA 与 AAA 都不是三角形全等的判定方法，这是本章最常见的失分点。 第 10 题　答案：B 解析：若半径不大于 ，则以 、 为圆心所画的两弧不能相交（或只相切于一点），就无法确定点 。所以规定半径必须大于 ，目的是保证两弧能够相交。故选 B。 二、填空题参考答案与解析 第 11 题　答案： 解析：全等三角形的周长相等，所以 的周长等于 的周长，即 第 12 题　答案： 解析：，，。 又 ，所以 （AAS）。图中只有这一对全等三角形，故填 。 第 13 题　答案： 解析： 与 是对应角，SAS 要求这个角是两条对应边的夹角。 已给出， 的另一条边是 ， 的另一条边是 ，所以需补充 。 提醒：若补充 ，则是“SSA”，不能判定全等。 第 14 题　答案： 解析：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，所以点 到 的距离也是 。 第 15 题　答案：（或 ，或 ，答案不唯一） 解析：在 与 中，已有 ，（公共角）。 若添加 ，则 是 与 、 与 的夹角，由 SAS 可判定全等； 若添加 ，则由 、、 可用 AAS 判定全等； 若添加 ，则 ，，可得 ，再由 SAS 判定全等。 第 16 题　答案： 解析： 的面积为 全等三角形的面积相等，所以 的面积也是 。 三、解答题参考答案与解析 第 17 题（6 分） （1）证明：在 和 中， 　　（已知）， 　　（对顶角相等）， 　　（已知）， （SAS）。………………………（4 分） （2）解：。 理由：由（1）得 ， （全等三角形的对应角相等）。 （内错角相等，两直线平行）。……………（6 分） 第 18 题（7 分） （1）证明：在 和 中， 　　（已知）， 　　（已知）， 　　（公共边）， （SSS）。……………………（4 分） （2）证明：由（1）得 ， （全等三角形的对应角相等）。 平分 （角平分线的定义）。……………（7 分） 第 19 题（7 分） 证明：在 和 中， 　　（已知）， 　　（公共边）， 　　（已知）， （ASA）。……………………（5 分） （全等三角形的对应边相等）。………………（7 分） 第 20 题（8 分） （1）证明：，， 。 ，。 点 、、 在同一条直线上， ，即 。 又在 中，， （同角的余角相等）。 在 和 中， 　　，，， （AAS）。……………………（5 分） （2）解：由（1）得 ， ，。 。………………………………（8 分） 第 21 题（9 分） （1）证明：在 和 中， 　　（已知）， 　　（公共角）， 　　（已知）， （SAS）。……………………（4 分） （2）证明：由（1）得 ，即 。 ，， 。 在 和 中， 　　（已证）， 　　（对顶角相等）， 　　（已证）， （AAS）。 （全等三角形的对应边相等）。………………（9 分） 第 22 题（9 分） （1）解：在 和 中， 　　（作图）， 　　（对顶角相等）， 　　（作图）， （SAS）。 （全等三角形的对应边相等）。 所以量出 的长就得到了 、 两点间的距离。………（4 分） （2）解：由（1）得 。 即 、 两点间的距离为 。……………………………（6 分） （3）解：在 中，由三角形内角和定理得 由（1）知 ， 与 是对应角， 。…………………………………（9 分） 附：本章知识结构与备考提示 1．本章的主线是“判定全等　→　得到对应边、对应角相等　→　解决线段相等、角相等、平行、垂直等问题”。 2．证明全等时，先在图上标出已知条件，再按“边、角”交替寻找第三个条件，注意公共边、公共角、对顶角这三类“隐含条件”。 3．常见结论链： 　　证明线段相等　→　找两条线段所在的两个三角形全等； 　　证明角相等　→　找两个角所在的两个三角形全等； 　　证明两直线平行　→　先证角相等（内错角、同位角）； 　　证明两直线垂直　→　先证某个角等于 。 4．角的平分线的性质与判定互为逆命题，使用性质时要先有“垂直”，得到的是“距离相等”；使用判定时要先有“到两边距离相等”，得到的是“点在角平分线上”。 5．尺规作图必须保留作图痕迹，并写出作法或结论语“射线 即为所求”。 本章知识网络 全等三角形　→　（1）全等形与全等三角形的概念；（2）全等三角形的性质；（3）判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；（4）角的平分线的性质与判定；（5）尺规作图；（6）全等三角形在实际问题中的应用。 评分标准说明 证明题中，条件摆放、判定依据、结论三部分缺一不可。漏写判定方法（如 SAS）一般扣 1 分；对应顶点书写错误视为结论错误。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $