第十三章 三角形 单元小测 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册第十三章“三角形”单元卷，含知识点总结、典型例题及达标小测，覆盖三角形概念、三边关系、重要线段、内角和与外角、多边形等核心内容，适配单元复习，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形分类、三边关系、稳定性|基础概念辨析，如第8题结合生活实例考查稳定性，体现数学眼光| |填空题|6/24|等腰三角形周长、多边形边数|易错点突破，如第11题分类讨论等腰三角形边长，培养推理意识| |解答题|6/46|内角和计算、中线与面积、综合实践|分层设计，第21题探究角平分线夹角与内角关系，发展推理能力；第22题校园花坛设计，体现应用意识与数学语言表达|

人教版八年级数学上册　第十三章　三角形　单元小测 人教版八年级数学上册 第十三章　三　角　形 单元知识总结与达标小测（含答案及详细解析） 　 【适用范围】人教版八年级上册第十三章“三角形”（含“综合与实践　确定匀质薄板的重心位置”）。 【试卷结构】选择题 10 小题（每题 3 分，共 30 分）；填空题 6 小题（每题 4 分，共 24 分）；解答题 6 小题（共 46 分）。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 【命题原则】紧扣教材，不超纲、不涉及后续章节（如勾股定理、二次根式运算、相似三角形）的内容。 【使用建议】先通读第一部分“知识点总结”，再研读第二部分“典型例题精讲”，然后限时完成第三部分小测，最后对照第四部分订正。 第一部分　单元知识点总结 一、三角形的有关概念 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形记作 ，读作“三角形 ”。点 、、 叫做它的顶点；线段 、、 叫做它的边；、、 叫做它的内角，简称三角形的角。 习惯上， 中 、、 的对边分别用 、、 表示，即 ，，。 特别提醒：“不在同一条直线上”“首尾顺次相接”是定义中缺一不可的两个条件。 2. 三角形的分类 （1）按角的大小分类： 　　三角形　→　锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。 （2）按边的相等关系分类： 　　三角形　→　不等边三角形；等腰三角形（腰和底边不相等的等腰三角形、等边三角形）。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 二、三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 用符号语言表示，在 中，有： 两个重要应用 （1）判断三条线段能否组成三角形：只需检验“较小的两条线段之和是否大于最长的线段”，若成立则能组成三角形。 （2）已知两边求第三边的取值范围：第三边大于两边之差的绝对值，且小于两边之和。 例如：两边长为 和 ，则第三边 满足 。 易错提醒：等腰三角形已知两边求周长时，必须分类讨论并用三边关系逐一检验。 三、三角形的高、中线与角平分线 图 1-1　三角形的高 AF、角平分线 AE、中线 AD 1. 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 符号语言： 于点 ， 是 中 边上的高，且 。 要点：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高恰是两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部。三角形的三条高（或其所在直线）交于一点。 图 1-2　钝角三角形中 BC 边上的高 AD 落在三角形的外部 2. 三角形的中线 连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 符号语言： 是 的中线，。 重要结论：三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，即 三角形的三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心。 图 1-3　三条中线的交点 G 是△ABC 的重心 3. 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 符号语言： 是 的角平分线，。 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。 易错辨析：三角形的高、中线、角平分线都是线段，而角的平分线是一条射线，两者不能混淆。 四、三角形的稳定性 图 1-4　三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 三角形的三边长确定后，它的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。 四边形没有稳定性。生产、生活中的钢架桥、自行车三角架、房屋人字梁等都利用了三角形的稳定性；而活动挂衣架、伸缩门等则利用了四边形的不稳定性。 五、三角形的内角和与外角 1. 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于 ，即在 中： 推论：直角三角形的两个锐角互余。反之，有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形可以用符号 表示，如直角三角形 可记作 。 2. 三角形的外角 图 1-5　∠1 是△ABC 的一个外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有 个外角，每个顶点处有 个外角，它们是对顶角。 性质 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即 。 性质 2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，即 ，。 性质 3：三角形的外角和（每个顶点处取一个外角）等于 。 六、多边形及其内角和 1. 多边形的有关概念 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形。 2. 多边形对角线的条数 从 边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，把多边形分成 个三角形； 边形对角线的总条数为 图 1-6　从五边形一个顶点出发引 2 条对角线，分成 3 个三角形 3. 多边形的内角和与外角和 边形的内角和等于 任意多边形的外角和都等于 ，与边数无关。 对于正 边形： 解题技巧：涉及正多边形边数的问题，优先使用“外角”求解，因为外角和恒为 ，计算更简便。 七、综合与实践　确定匀质薄板的重心位置 （1）匀质细杆的重心在它的中点；匀质三角形薄板的重心在它三条中线的交点上。 （2）确定方法：分别作出三角形薄板两条边上的中线，它们的交点即为重心；用悬挂法（两次悬挂所作铅垂线的交点）也可以确定薄板的重心。 （3）匀质平行四边形薄板的重心是它两条对角线的交点；匀质圆形薄板的重心是圆心。 （4）对于不规则的匀质薄板，可以把它分割成若干个易求重心的图形，再逐块处理。 八、本章常用结论与易错提醒 结论 1（高与角平分线的夹角）：在 中， 是 边上的高， 平分 （、 在 上，），则 结论 2（两内角平分线的夹角）：在 中，、 的平分线交于点 ，则 结论 3：三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分；等底同高的两个三角形面积相等。 易错点 1：判断三条线段能否组成三角形时，漏掉“任意两边之和大于第三边”的验证。 易错点 2：已知等腰三角形的两条边长求周长时，必须分类讨论，并用三边关系检验每种情况是否成立。 易错点 3：钝角三角形与直角三角形的高有可能落在三角形外部或与边重合，画图时要特别注意。 易错点 4：“从一个顶点出发引的对角线条数”与“对角线总条数”是两个不同的量，不要混淆。 第二部分　典型例题精讲 例 1　三边关系的应用 已知 的三边长分别为 、、，且 ，， 为整数，求 的所有可能取值。 分析：先由三边关系确定范围，再取整数。 解：由三角形的三边关系得 即 。因为 为整数，所以 可以取 、、、、、、，共 个值。 点评：范围两端都不能取等号，取等号时三点共线，不能构成三角形。 例 2　含绝对值与非负数的三边问题 已知 的三边长 、、 满足 ，且 是奇数，求 的周长。 解：因为 ，，且它们的和为 ，所以 解得 ，。由三边关系得 ，即 。 因为 是奇数，所以 或 或 。 当 时，周长为 ；当 时，周长为 ；当 时，周长为 。 例 3　高、中线与面积 例 3 图 如图，在 中， 是 边上的高，，， 是 的中点，求 的面积。 解：先求 的面积 因为 是 的中点，所以 是 的中线，中线把三角形分成面积相等的两部分，所以 例 4　内角和与角度计算 在 中，，求 的三个内角的度数，并判断它的形状。 解：设 ，则由题意得 ，。 由三角形内角和定理得 即 ，。 所以 ，，， 是直角三角形。 例 5　外角性质的综合运用 例 5 图 如图，在 中， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数。 解：在 中，由内角和定理得 由角平分线的定义得 在 中，。 一般结论：，本题中 ，结果一致。 例 6　多边形内角和与外角和 一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和是 ，求这个多边形的边数以及去掉的那个内角的度数。 解：设这个多边形的边数为 ，去掉的内角为 （），则 因为 ，即 ，。 要使 比 大且差值小于 ，只能取 ， 所以 ，，此时 即这个多边形是十七边形，去掉的内角为 。 例 7　图形分割与转化思想 例 7 图 如图是一个五角星，求 的度数。 分析：把分散的五个角，通过“外角等于不相邻两内角之和”集中到同一个三角形中。 解：设 与 相交于点 ， 与 相交于点 。 在 中， 是它的一个外角，所以 ； 在 中， 是它的一个外角，所以 。 在 中，由内角和定理得 ，即 第三部分　第十三章单元达标小测 （满分 100 分　　时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） 　　A．，，　　　B．，，　　　C．，，　　　D．，， 2．已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边 的取值范围是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．在 中，能把它分成面积相等的两个三角形的线段是（　　） 　　A． 边上的高　　　B． 边上的中线　　　C． 的平分线　　　D．以上都不对 4．在 中，若 ，则 是（　　） 　　A．锐角三角形　　　B．直角三角形　　　C．钝角三角形　　　D．等边三角形 5．一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．若一个正多边形的每一个外角都等于 ，则这个正多边形的内角和是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．如图，在 中， 于点 ， 平分 交 于点 。若 ，，则 的度数为（　　） 第 7 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．下列生活实例中，利用了三角形稳定性的是（　　） 　　A．活动挂衣架　　　B．伸缩防盗门　　　C．自行车的三角形车架　　　D．推拉式抽屉 9．如图， 是 的一个外角。若 ，，则 等于（　　） 第 9 题图 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 10．从十边形的一个顶点出发，可以画出的对角线的条数是（　　） 　　A．　　　B．　　　C．　　　D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　。 12．已知 ，且 、 恰好是某个等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　。 13．若一个正多边形的每一个内角都等于 ，则这个正多边形的边数是　　　　　　。 14．在一个三角形中，如果其中两个内角的和小于第三个内角，那么这个三角形是　　　　　　三角形。 15．在 中，若 ，，则 　　　　　　。 16．如图，在 中， 是 边上的高，，，则 的面积为　　　　　　。 第 16 题图 三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分） 17．（本小题 6 分）已知三角形的三边长分别为 ，，，且 为整数。 　　（1）求 的取值范围； 　　（2）若这个三角形的周长是偶数，求 的值。 18．（本小题 7 分）一个多边形的内角和比它的外角和的 倍还多 。 　　（1）求这个多边形的边数； 　　（2）求这个多边形对角线的总条数。 19．（本小题 7 分）如图，把 沿着直线 折叠，使点 落在点 处，点 、 分别在边 、 上。 第 19 题图 　　求证：。 20．（本小题 8 分）如图， 是 的中线，点 是 的中点，连接 、。已知 的面积为 。 第 20 题图 　　（1）求 的面积； 　　（2）求 的面积； 　　（3）求 的面积。 21．（本小题 9 分）如图，在 中， 的平分线与 的平分线相交于点 。 第 21 题图 　　（1）若 ，求 的度数； 　　（2）若 ，求 的度数； 　　（3）猜想 与 之间的数量关系，并说明理由。 22．（本小题 9 分）某校要在校园中修建一个正多边形形状的花坛，并用装饰条沿花坛的边围一圈。 　　（1）若设计图纸上花坛的每一个内角都是 ，求这个正多边形的边数及内角和； 　　（2）小明说：“可以修建一个每个内角都是 的正多边形花坛。”你认为小明的说法正确吗？请说明理由； 　　（3）为了使花坛的支架更牢固，工人师傅在支架上加装了一些斜条，把支架分成若干个三角形，请你说明这样做的道理。 第四部分　参考答案与详细解析 一、选择题参考答案 题号 1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　10 答案 C　　A　　B　　B　　C　　C　　B　　C　　C　　C 　 第 1 题　答案：C 解析：判断三条线段能否组成三角形，只需检验较小两边之和是否大于最大边。 A 中 ，不能组成；B 中 ，等于第三边，不能组成；C 中 ，能组成；D 中 ，不能组成。故选 C。 第 2 题　答案：A 解析：由三角形三边关系得 ，即 。注意不能取等号，故选 A。 第 3 题　答案：B 解析：设 是 边上的中线，则 。 与 分别以 、 为底，且底边上的高都是点 到 的距离 ，所以 故中线能把三角形分成面积相等的两部分，选 B。 第 4 题　答案：B 解析：设 ，则 ，。由内角和定理得 即 ，。所以 ，，， 是直角三角形，选 B。 第 5 题　答案：C 解析：设边数为 ，由 边形内角和公式得 ，所以 ，。故选 C。 第 6 题　答案：C 解析：因为正多边形的外角和为 ，所以边数 内角和为 。故选 C。 第 7 题　答案：B 解析：在 中，。 因为 平分 ，所以 。 因为 ，所以 ，在 中 。 所以 ，选 B。 一般结论：。 第 8 题　答案：C 解析：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。自行车的三角形车架利用的是三角形的稳定性；活动挂衣架、伸缩防盗门、推拉式抽屉都利用了四边形的不稳定性。故选 C。 第 9 题　答案：C 解析：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以 故选 C。 第 10 题　答案：C 解析：从 边形的一个顶点出发可以引 条对角线，当 时，，故选 C。 提醒：本题问的是“从一个顶点出发”，若问对角线总条数，应为 条，两者不要混淆。 二、填空题参考答案与解析 第 11 题　答案： 解析：需分类讨论。 （1）若腰长为 ，底边为 ，则 ，不满足三边关系，舍去； （2）若腰长为 ，底边为 ，则 ，满足三边关系，此时周长为 。 所以周长为 。 第 12 题　答案： 解析：因为 ，，两个非负数的和为 ，所以它们都等于 ，即 解得 ，。 （1）若腰长为 ，底边为 ，则 ，不能组成三角形，舍去； （2）若腰长为 ，底边为 ，则 ，可以组成三角形，周长为 。 所以这个等腰三角形的周长为 。 第 13 题　答案： 解析：正多边形的每一个外角为 ，又因为外角和为 ，所以边数 第 14 题　答案：钝角 解析：设三个内角为 、、，且 。 因为 ，所以 ，于是 即 ，。所以该三角形是钝角三角形。 第 15 题　答案： 解析：由内角和定理得 。 又 ，两式相加得 ，所以 第 16 题　答案： 解析：因为 是 边上的高，所以 三、解答题参考答案与解析 第 17 题（6 分） 解：（1）由三角形的三边关系得 即 。……………………………………………………………（3 分） （2）三角形的周长为 。 因为 是奇数，要使 为偶数， 必须为奇数。 又由（1）知 且 为整数，所以 可取 ，，，，。 其中的奇数为 、、、。 所以 的值为 或 或 或 。……………………………………（6 分） 第 18 题（7 分） 解：（1）设这个多边形的边数为 。因为多边形的外角和为 ，由题意得 即 ， 所以 ，解得 。 即这个多边形是九边形。………………………………………………（4 分） （2）九边形对角线的总条数为 所以这个多边形共有 条对角线。…………………………………（7 分） 第 19 题（7 分） 证明：在 中，由三角形内角和定理得 由折叠可知 与 完全重合，所以 因为点 、、 在同一条直线上，所以 同理可得 。……………………………（4 分） 两式相加，得 把 代入，得 所以 。………………………………………（7 分） 第 20 题（8 分） 解：（1）因为 是 的中线，所以 …………………………………………………………………………（3 分） （2）因为点 是 的中点，所以 是 的中线，所以 …………………………………………………………………………（6 分） （3）同理，， 是 的中线， 所以 。 所以 。 …………………………………………………………………………（8 分） 第 21 题（9 分） 解：（1）在 中，。 因为 、 分别平分 、，所以 所以 。 在 中，。……………（3 分） （2）由 得 ， 所以 ， 所以 。………………………………（6 分） （3）猜想：。 理由：在 中，。 由角平分线的定义得 在 中， …………………………………………………………………………（9 分） 第 22 题（9 分） 解：（1）正多边形的每一个外角为 。 因为多边形的外角和为 ，所以边数 内角和为 。 即这是一个正十二边形，内角和为 。………………………（4 分） （2）小明的说法不正确。 理由：若每个内角都是 ，则每个外角为 ，此时边数应为 而 不是整数，与“多边形的边数必须是正整数”矛盾， 所以不存在每个内角都是 的正多边形，小明的说法错误。…（7 分） （3）因为三角形具有稳定性，而边数大于 的多边形不具有稳定性。加装斜条后，支架被分割成若干个三角形，每个三角形的形状和大小都被它的三边唯一确定，从而整个支架的形状不易改变，变得更加牢固。 …………………………………………………………………………（9 分） 附：本章知识结构与备考提示 1．本章的核心是“三角形的三边关系、内角和定理与外角性质”，几乎所有的角度计算题都可以归结为这三个知识点的组合运用。 2．多边形的内角和与外角和是三角形内角和的推广。求正多边形边数时优先使用外角和 ；判断“某个角度能否成为正多边形的内角”时，只需检验对应的外角是否能整除 。 3．三角形的高、中线、角平分线的“数量关系”与“位置关系”是本章的易错点，要结合图形逐一辨析，特别注意钝角三角形的高。 4．面积问题的通法：等底同高的三角形面积相等；中线平分三角形的面积。解题时把复杂图形拆分为若干个三角形，逐层递推。 5．书写要求：证明过程要做到“步步有据”，每一步都要写清依据（定义、定理或已知条件），符号使用要规范。 本章知识网络 三角形　→　（1）概念与分类；（2）三边关系；（3）三条重要线段（高、中线、角平分线）；（4）稳定性；（5）内角和与外角；（6）多边形的内角和与外角和；（7）综合与实践：确定匀质薄板的重心位置。 评分标准说明 解答题中的分数标注为参考给分点。学生只要方法正确、步骤完整，同样给满分；若思路正确但计算失误，一般只扣计算分。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $