3.1.2函数的单调性（第1课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖增（减）函数、单调区间概念及判断、证明、求最值等应用。以气温变化图像直观引入，衔接正比例、反比例函数图像观察，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是融合数形结合与逻辑推理，通过图像观察培养数学眼光，定义法证明步骤强化数学思维，典例分析（如分段函数单调性）提升数学语言表达。易错点小结和针对训练助力学生掌握，教师可高效教学。

第三章 函数 3.1.2函数的单调性（1） 3.1函数的概念与性质 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解函数的单调性与单调区间，提升数学抽象能力（重点） 理解函数单调性的判断方法，提升逻辑推理能力（重点） 掌握函数的最大（小）值，提升逻辑推理能力（重难点） 素养目标：会用图像直观感知函数增减，能用定义证明简单函数单调性；能利用单调性求闭区间上函数最值，体会数形结合思想。 同学们，大家观察气温随时间变化图像。一天内，从凌晨到正午，气温随时间推移不断升高；正午到深夜，气温慢慢下降。 一天气温变化 在这个图像里，自变量是时间t，函数值是温度y。图像上升、下降，反映的就是y 随 x 增大怎么变化。 在函数图像中，也有这种 “上升”“下降” 的变化规律，这个性质就是本节课我们学习的 ——函数的单调性。 目标一：函数单调性定义 看图象知增减 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下：根据下面这个图象，你可以得到什么信息 正比例函数 如图，从正比例函数y=2x的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大； 反比例函数 从反比例函数y=的图象可以看出，在(-∞, 0)和(0, +∞)内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小. 5 增函数的概念 知识讲解 互动探究 新课引入  一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且I⊆D： 果对任意, ∈I，当时，都有，则称y=f(x) 是增函数（也称在I上单调递增）如图(1)所示； 6 减函数的概念 知识讲解 互动探究 新课引入   (2)如果对任意∈I，当时，都有，则称y=f(x 在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示. 7 单调性概念 知识讲解 互动探究 新课引入  两种情况下, 都称函数在 I 上具有单调性（当I为区间时, 称I为函数的单调区间, 也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 下面命题是真命题的是（ ） A.定义在(a,b)上的函数f(x)，如果有无穷多个∈(a,b)，当时，有，那么f(x)在(a,b)上为增函数 B. 如果f(x)在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么f(x)在区间上就一定是减函数 ∈(a,b)，且，当<0时，f(x)在(a,b)上单调递减 D.∈(a,b)，且，当>0时，f(x)在(a,b)上单调递增 8 单调性概念 知识讲解 互动探究 新课引入 解析▶A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”； 以f(x)=为例，f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减，但在整个区间上并不是减函数，如f(-1)=-1<f(1)=1，故B是假命题等价于<0，而此式又等价于 或 即 或 ∴f(x)在(a,b)上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题. 答案▶CD 9 单调性 知识讲解 互动探究 新课引入 条件     结论 则称在上是增函数(也称在上单调递增) 则称在上是减函数(也称在上单调递减) 图示 自左向右图象逐渐上升 自左向右图象逐渐下降 一般地,设函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为𝐷,且𝐼⊆𝐷,如果对任意∈𝐼,当时,都有 10 特别提醒 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,设函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为𝐷,且𝐼⊆𝐷,如果对任意∈𝐼,当时,都有 的三个特征 (1)同区间性,∈I. (2)任意性,即不可用区间 I 上的两个特殊值代替 . (3)有序性,即需要区分大小,通常规定 . 求单调区间时的注意点 (1)由于函数在单独的一个 x 值处不存在单调性,因此写单调区间时可以包括区间端点,也可以不包括,但单调区间一定不包括使函数无意义的 x 的值. (2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或逗号连接. 11 常见函数的单调性 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,设函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为𝐷,且𝐼⊆𝐷,如果对任意∈𝐼,当时,都有 函数 单调性 函数 时,在 上单调递增； 时,在 上单调递减. 反比例函数 时,单调递减区间是 和 ； 时,单调递增区间是 和 . 函数 时,单调递减区间是 ,单调递增区间是 ； 时,单调递减区间是 ,单调递增区间是 . 函数单调性的等价形式 ,那么在上单调递增； 在上单调递减. 12 图象识别增减性 如图所示的函数y=f(x)， 在[-6,-4]上是增函数，在[-4,-2]上是减函数， 在[-2,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数，在[3,6]上是增函数. 由此可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性. 但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性. 这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 牛刀小试 目标二：应用单调性定义 1 讨论函数的单调性或求单调区间 例1 求函数f(x(a>b>0)的单调区间. 典例分析 牛刀小试 解析 (定义法) 由题意知函数f(x)的定义域是(-∞,-b)∪(-b,+∞).（研究函数的单调性时，要坚持“定义域优先”原则） 设是区间上的任意两个实数，且. 取值.（任取） 则作差. 变形. 定号. 即, 函数在上单调递减. 下结论.同理可得，函数在上单调递减. 单调性定义法步骤 知识讲解 互动探究 新课引入 取值 — 任取 区间 ，且 作差 — （或 ） 变形 — 通过因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形 定号 — 确定（或）的正负，当正负不确定时，需进行分类讨论 下结论 — 指出函数在给定的区间上的单调性 16 常用变形 知识讲解 互动探究 新课引入 变形方法 说明 因式分解 当原函数的解析式是多项式时，通常作差变形后进行因式分解 通分 当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解 配方 当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号 分子有理化 当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化 17 目标三：单调函数的运算性质 运算性质 知识讲解 互动探究 新课引入 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质. (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数,则当a>0时,f(x)与a⋅f(x)具有相同的单调性;当a<0时,f(x)与a⋅f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)的函数值恒为正或恒为负,a为常数,则当a>0时,f(x)与 具有相反的单调性;当a<0时,f(x)与 具有相同的单调性.（在碰到此类问题时，记得对参数的正负进行讨论） (4)若f(x)≥0,则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论: 19 运算性质 知识讲解 互动探究 新课引入 f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 (6)当f(x),g(x)都是增(減)函数时,若两者的函数值都恒 大于零,则f(x).g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则 f(x).g(x)是减(增)函数. 20 运算性质 知识讲解 互动探究 新课引入 命题：若函数 f(x) 在区间 I 上恒为正或恒为负，则 f(x) 与 具有相反的单调性。 证明：设 是增函数。任取 ，且 ，由增函数定义有： 现在考察 的单调性。计算： 因为 恒为正或恒为负，所以 （同号乘积为正）。又因为分子 所以 根据函数单调性的等价形式（乘积为负为减函数），可知 是减函数。 同理：若 是减函数，则 是增函数。 21 2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性 例2 判断下列函数的单调性： (1)f(x（x<0）； (2)f(x)=。 典例分析 牛刀小试 因为 （转化为两个基本函数），且函数 及 在 上都单调递减，所以 （）是减函数。 2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性 例2 判断下列函数的单调性： (1)f(x（x<0）； (2)f(x)=。 典例分析 牛刀小试 (2)因为 且函数的定义域为 （原解析中“如分式定义域为 R”应为笔误，正确应为 ）。 又函数 和 在区间 上均单调递增，所以 在区间 上单调递增。 同理可得 在区间 上也单调递增，所以函数 在区间 和 上均为增函数。 当函数解析式通过变形、转化之后，是由几个基本函数的解析式构成的，则可分析这几个基本函数的单调性，看是否符合单调函数运算性质的规律，若符合，可直接得出结论，否则，不能用这种方法判断函数的单调性。此外，研究函数的单调性时，一定要坚持“定义域优先”的原则。 目标四：单调性应用 3.利用单调性：比大小 例3 【多选题】已知 f(x) 为区间 (-∞,+∞) 上的减函数，且 a∈(0,+∞)，则（ ） A. f(a)>f(2a) B. f( )<f(a) C. f(+1)<f(a) D. f(+a)<f(a) 典例分析 牛刀小试 解析：因为 ，所以 ，又 为区间 上的减函数，所以 ，故 A 正确； 因为 与 0 的大小关系不定，所以无法比较 与 的大小，故 B 错误； 因为 所以 （常用方法：先作差，再配方），又 为区间 上的减函数，所以 ，故 C 正确；因为 所以 ，又 为区间 上的减函数，所以 ，故 D 正确。答案：ACD 解题通法 知识讲解 互动探究 新课引入 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 相关结论. (1)正向结论:若 y=f(x) 在给定区间上单调递增,则当 时,时, (2)逆向结论:若 y=f(x) 在给定区间上单调递增,则 当时,当 时, 当 y=f(x) 在给定区间上单调递减时,也有相应的结论. 26 3.利用单调性： 解不等式 例4 已知 f(t) 是定义在区间 [-1,1] 上的增函数，且 f(x-2)<f(1-x)，则 x 的取值范围为______。 典例分析 牛刀小试 解析：由题意，得 解得 ①。因为 是定义在区间 上的增函数，且 ，所以解得 ②。 由①②得 。所以满足题设条件的 的取值范围为 x-2 和 1-x 都在 [-1,1] 上 → 得到 x 所满足的不等式组 → 取交集即得 x 的取值范围； 根据 f(t) 的单调性将 f(x-2)<f(1-x) 的“f”去掉 → 得到 x 所满足的不等式。 3.利用单调性：求参数的范围 例4 若函数 f(x)=|2x+a| 的单调递增区间是 [3,+∞)，则 a=______。 典例分析 牛刀小试 解析 由 可得函数 的单调递增区间为 ，故 ，解得 。 答案 “单调区间”和“在区间上单调” 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 I，指的是函数单调递减的最大范围为区间 I。而函数在某一区间上单调递减（增），则指此区间是相应单调递减（增）区间的子区间。因此我们在解决函数的单调性问题时，不能混淆“单调区间”和“在区间上单调”这两个概念。 3.利用单调性：求参数的范围 例5 若函数f(x)=+2(a-1)x+2 在区间 (-∞,4] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是______。 典例分析 牛刀小试 解析：因为函数 在区间 上单调递减，且函数 的图象的对称轴为直线 ，所以 答案 若函数f(x)=+2(a-1)x+2 的单调递减区间是 (-∞,4]，则实数 a 的取值范围是______。 。 解析：因为函数 的单调递减区间为 ，且函数 的图象的对称轴为直线 ，所以 3.利用单调性：求参数的范围 例6 已知 f(x)=a-1 是定义在 R 上的函数，若对于任意 -3≤≤-1，都有 2则实数 a 的取值范围是（ ） A. {0} B. [0,+∞) C. [-,+∞) D. [-,0) 。 典例分析 牛刀小试 因为对于任意 ，都有 所以 即令 则当 时， 符合题意， 当 时，函数 的图象的对称轴方程为 当 时，，解得 ，即 ，当 时，，解得 综上，。 3.利用单调性：求参数的范围 例7 若函数f(x)=在R上是增函数，则实数 a 的取值范围为（ ） (1,+∞) B. [4,8) C. [1,4) D. [2,8) 。 典例分析 牛刀小试 解析 因为函数 在 上是增函数，所以 在 上单调递增，故 ，即 。 当 时， 单调递增，所以 。 当 时， 单调递增， 所以 。又函数 在 上是增函数， 所以 ，即 。 解决此类分段函数的单调性问题时，一般从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一相关式子，求解即可。 目标五：单调性与最值 最值的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f( )，则称f(x)的最大值为f( )，而称为f(x)的最大值点； 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f( )，则称f(x)的最小值为f( )，而称为f(x)的最小值点。 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 求函数最值的方法： 如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值. 33 4、利用单调性求最值 例7 判断函数f(x)=3x+5, x∈[-1,6]的单调性，并求这个函数的最值 . 典例分析 牛刀小试 即使题目不要求判断单调性，平时求最值前，也得判断。 任取且，则，那么 所以这个函数是增函数 . 因此，当时，有 从而这个函数的最小值为，最大值为 . 4、利用单调性求最值 例8 已知函数f(x)=在[0,1]上的 最大值为3,则实数m的值为__________. 典例分析 牛刀小试  解析 , 显然 . 当 时, 函数 在 上单调递减, 则 , 解得 ; 当 时, 函数 在 上单调递增, 则 , 解得 (舍去). 综上,. 4、利用单调性求最值 例9 已知函数f(x)=若 f(x) 的最小值为 f(1)，则实数 a 的值可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 __________. 典例分析 牛刀小试  当 时，，则 在 上单调递减，所以 。 当 时，，则 在 上单调递增，所以当 时，。 所以 ，得 。（只需 的最小值 即可）答案 AB 目标六：针对训练 举一反三 1. “”是“函数 在区间 上为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 函数 在 上单调递减，在 上单调递增。所以“”可以得到“函数 在区间 上为减函数”，但“函数 在区间 上为减函数”可得“”。故“”是“函数 在区间 上为减函数”的充分不必要条件。 举一反三 2. 若函数 的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 解析： 由函数 的图象可知， 单调递增区间是 、，又由图知 ，而 ，所以 A 不正确。 答案：D 举一反三 3. 已知函数 在定义域 上单调递增，则函数 的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 解析： 因为函数 的定义域为 ，所以函数 的定义域满足 即 。令 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，又 在 上单调递增，所以函数 的单调递增区间为 。答案：D 举一反三 4. 如图是函数 的图象，则函数 的减区间是（ ） A. B. C. D. 解析： 若函数单调递减，则对应图象为下降的。由题图知，函数 的减区间为 。 答案：D 举一反三 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若定义在 上的函数 有无穷多对 ，使得 时，有 则 在 上单调递增 B. 若定义在 上的函数 在区间 上单调递增，在区间 上也单调递增，则函数 在 上是增函数 C. 若函数 在 上单调递增，则函数的单调递增区间是 D. 若函数 在区间 上单调递增且 ，则 无穷多对 不等价于对任意 ，A 错误；设函数 则 在 上单调递增，在 上也单调递增，但 ，不符合增函数的定义，B 错误；若 ，则 在 上单调递增，但 的单调递增区间是 ，C 错误；由函数单调性的定义，知 D 正确。 目标七：小结 学海拾贝 知识层面 两个概念：增函数、减函数，单调区间。 定义核心：在区间I上任取， 若⇒，则f(x)在区间I上增函数； 若⇒，则f(x)在区间I上减函数。 证明单调性的定义法四步：取值→作差→定号→下结论。 函数最值：闭区间上单调函数，最值出现在区间端点；最大值、最小值是函数值，不是自变量。 学海拾贝 数学思想 1. 数形结合：从图像直观感知单调性，再用代数定义严格刻画，从直观到抽象。 2. 逻辑推理：定义证明单调性，是严格代数推理。 学海拾贝 易错点小结（课堂强调） ① 单调区间必须写定义域内区间；不能随便合并不连续区间； ② “任取” 是定义关键，不能只取两个特殊点； ③ 最值是函数y的值，不是x。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $