4.4.2两个三角形相似的判定（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等”的相似三角形判定定理，通过“温故知新”回顾定义、平行截线及两角相等的判定方法，结合“情景引入”中卡钳测量问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到新定理探究。 其亮点在于以问题驱动和合作探究培养逻辑推理（数学思维），通过卡钳测量等生活实例渗透应用意识（数学语言），归纳A字型、8字型等基本模型发展几何直观（数学眼光）。采用“定理推导-典例解析-模型归纳”的教学逻辑，学生能提升推理与应用能力，教师可直接利用结构化资源高效教学。

4.4.1 两个三角形相似的判定(2) 第四章 相似三角形 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3  熟练掌握“两边成比例且夹角相等”的相似三角形判定定理，理解定理推导逻辑，能运用定理解决几何证明与计算问题； 通过观察、猜想、验证等活动，培养逻辑推理与几何直观能力， 在探究中体会类比与转化思想，提升分析问题的思维深度； 感受数学与生活的紧密联系，激发主动探索的兴趣。 温故知新 温故知新 1.定义：三组对应角相等，三组对应边成比例。 2.平行于三角形一边的直线，与其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似。 3.两个角对应相等的两个三角形相似。 全等有SAS判定，那么相似是否也存在类似的判定方法？ 我们已经掌握的判定三角形相似的方法有那些？ 情景引入 工人师傅需要测量容器的内部宽度，但受限于容器开口狭小，无法直接用尺子伸入测量。此时，“卡钳”成为了巧妙的解决方案，通过测量外侧的长度来间接推算内部尺寸。如图是用卡钳测量容器内径的示意图。若 ,那么△AOD和△BOC有何关系？ 1.∠AOD与∠BOC是对顶角吗？有何关系？ 2.△AOD和△BOC中已知的边角关系有哪些？ 3.此时，△AOD 和△BOC 相似吗？ 是对顶角，∠AOD=∠BOC。 ,∠AOD=∠BOC。 △AOD∽△BOC 如何证明这个猜想！ 合作学习 证一证 已知：如图,在△ABC 与△ 中 ，。     求证：△CAB ∽△。 C' D E B' A' C A B 证明：如图,在AC上截取 CD=C′A', 过点D 作DE//AB ,交 BC于点 E, 则△CDE∽△CAB 。 ∴ ∵ ∵ ∴△CDE≌△, ∴△CAB ∽△。 根据那条判定 猜想：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 你能总结这种证明方法的基本思路吗？ 必须是两条成比例边的夹角。 新知探究 总结 三角形相似的判定定理： 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言表达： ∵ ∴ △CAB ∽△ C' B' A' C A B 定理中如果把“夹角相等”改为“一组内角相等”还能判定两个三角形相似吗？ 练一练 课堂练习 分别判断如图各对三角形是否相似。 (1)如图①,AC与BD相交于点O。 (2)如图②,∠A=∠D。 D A B O C 5 6 24 20 ① A B C D E F 30 48 72 45 ② 解：(1)如图，, ∴, ∵∠AOB=∠COD ∴△AOB ∽△COD (2)如图，, ∴, ∵∠A=∠D ∴△DEF∽△ABC 解决问题 典例解析 工人师傅需要测量容器的内部宽度，但受限于容器开口狭小，无法直接用尺子伸入测量。此时，“卡钳”成为了巧妙的解决方案，通过测量外侧的长度来间接推算内部尺寸。如图是用卡钳测量容器内径的示意图。现量得卡钳上A,D两端点的距离为5cm, ,求容器的内径BC。 解：∠AOD=∠BOC } ⟹ △AOD∽△BOC 即 解得：BC=10 答：容器的内径BC为10cm。 找等角 证比例 定相似 列算式 得结果 典例3 已知：如图,点D、E 分别在AB,AC上且 。 求证：DE//BC。 典例解析 A D E C B 证明：∠A=∠A } ⟹ △ADE ∽△ABC DE//BC 上图中，如果DE//BC，能推得吗？ △ADE ∽△ABC ∵DE//BC 解：能，理由如下 正向 比例 相似 平行 逆向 平行 相似 比例 新知探究 总结 A D E C B 基本模型归纳 A 字 型 隐含条件 公共角相等 8 字 型 A D E C B 隐含条件 对顶角相等 平移DE 练一练 课堂练习 1.如图，D 为△ABC的边AC上一点。若要证明△ABD与△ACB相似，可添加什么条件?你有几种不同方法? A B C D 解：（1）由于∠A为公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可添加： ∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC （2） 根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可添加 或 练一练 课堂练习 2.顶角相等的两个等腰三角形是否相似?底角相等的两个等腰三角 形呢?证明你的结论。 A D B C E F 解：底角相等的两个等腰三角形相似，理由如下： 如图，等腰三角形ABC和DEF中，∠B=∠C，∠E=∠F， ∵∠B=∠E ∴∠B=∠C=∠E=∠F， ∴△ABC ∽△DEF 解：顶角相等的两个等腰三角形相似，理由如下： 如图，等腰三角形ABC和DEF中，∠B=∠C，∠E=∠F， ∵∠A=∠D ∴∠B=∠C=∠E=∠F， ∴△ABC ∽△DEF 所有的等边三角形相似吗？所有的直角三角形呢？等腰直角三角形呢？ 课堂小结 相似三角形的判定 判定定理 基本模型 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 A 字 型 8 字 型 巩固训练 1. 已知：如图，在△ABC中，D,E 分别是AB,AC 上的点。 求证：△ADE ∽△ABC。 A D E C B 证明：∵ ∴ 即： ∵∠A=∠A ∴△ADE ∽△ABC 巩固训练 2. 已知：如图，AB与CD交于点O, 且 求证：AC//BD。 证明：∵ ,∠AOC=∠BOD ∴△AOC ∽△BOD ∴∠A=∠B ∴AC//BD O C A D B 比例+对顶角 三角形相似 角相等 两直线平行 课堂练习 3.如图，在△APB 中 ，C,D 分别为AP,BP 上的点。若 , AB=8cm, 求CD的长。 D C B A P 解：∵,∠P=∠P， ∴△DPC ∽△APB ∴， ∵AB=8cm ∴CD=AB=×8=6cm 课堂练习 4. 如图，在△ABC 中 ，D是AC上一点。已知,∠ABD =40°。 求∠C 的度数。 解：∵ , ∴， ∵∠BAD=∠CAB ∴△ABD ∽△ACB ∴∠ABD=∠C ∵∠ABD =40° ∴∠C=40° A B C D $