1.3 勾股定理的应用 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 这份同步练习以勾股定理应用为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖从单一计算到实际问题解决的路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理直接应用（梯子、台阶、河宽）|对应课堂例题，如梯子滑落、渡河问题，夯实运算能力| |能力提升|折叠、网格、最短路径（圆柱/长方体侧面）|引入变式情境，如折叠求折痕、蚂蚁爬行路径，发展空间观念| |综合应用|实际决策问题（台风撤离、绿化面积）|结合生活情境，如台风影响时间计算，培养模型意识与应用能力|

1.3 勾股定理的应用 课后同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中．已知笔筒内部的底面直径为9，内壁高12．若这支铅笔长18，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A．3 B．5 C．6 D．2 3．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 5．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 6．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆柱底面周长为，圆柱高，在圆柱侧面有一只蚂蚁，沿圆柱侧面从点A爬到点C，再从点C爬回到点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（   ） A． B． C． D． 8．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 9．小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是　　．    A．4 B．5 C．6 D． 二、填空题 11．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷飞镖，击中黑色三角形区域的概率是___________． 12．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 13．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 14．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 15．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 三、解答题 16．如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，求折痕的长． 17．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 18．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 19．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 20． 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C C C C B A 1．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：如图： 由题意，得，，． 在中，． ，． ∴这只铅笔在笔筒外面部分的长度在3cm到6cm之间（包含3和6）． 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 4．【答案】B 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．如图，由题意知，，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】沿剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为，再利用勾股定理求出即可解决问题．本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 【详解】解：沿剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为， 由题意，知， ∵圆柱底面周长为，圆柱高， ∴，，， 由勾股定理，得， ， ∴ 这只蚂蚁爬行的最小长度为， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 10．【答案】A 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设km，则， 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， ∴， 解得：． 所以，=． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键． 11．【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、根据概率公式计算概率 【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为， ∴黑色三角区域的面积为：， 飞镖游戏板的面积为：25， ∴击中黑色三角形区域的概率是：=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比=几何概率． 12．【答案】/8米 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 13．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，，设，利用三线合一和勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理和折叠的性质，是解题的关键． 【详解】解：在中，， 由折叠可知，，，， 设，则． 在中，， ． 解得， ， 在中，． 17．【答案】(1)6小时 (2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； （2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 18．【答案】（1）E站应建在距A站6千米处； （2）DE和EC垂直，理由如下： 在△DAE与△EBC中， ， ∴△DAE≌△EBC（SAS）， ∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB， ∵∠DEA+∠D=90°， ∴∠DEA+∠CEB=90°， ∴∠DEC=90°， 即DE⊥EC． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km； （2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明． 【详解】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴DE=CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A=∠B=90°， ∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2， ∴AE2+AD2=BE2+BC2， 设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x）， ∵DA=8km，CB=6km， ∴x2+82=（14-x）2+62， 解得：x=6， ∴AE=6km． 答：E站应建在距A站6千米处； （2）略． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键． 19．【答案】该船的航行速度为海里时 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 20．【答案】(1)，，，，； (2) ，， 画图如下，其中． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 借助网格图形与勾股定理分别计算出、、的长度，利用割补法求出的面积，再利用三角形的面积公式求出边上的高，即为点到的距离； 首先根据和的长度可知，，，借助勾股定理和网格图形画出和，连接，即可得到． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格， 可得：，，， 在的正方形中， ， 又， ， 解得：； 故答案为：，，，，； （2）解：略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $