1.2 一定是直角三角形吗 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册“1.2一定是直角三角形吗”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-思维拓展”分层设计，覆盖勾股数、逆定理等核心知识点，通过梯度题型培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数判断、逆定理直接应用|单选1-4（如勾股数识别）、填空9-10（直角三角形判定），夯实概念理解| |提升|网格与图形综合、面积计算|单选5-7（四边形面积）、填空11-13（高的计算）、解答14-15（网格作图），强化知识迁移| |拓展|规律探索与实际应用|单选8（角度计算）、解答16-17（购物车问题、勾股数规律），发展模型意识与创新思维|

1.2 一定是直角三角形吗 课后同步练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 3．下面几组数据中，可以作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 6．下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么，其中正确的是（    ） A．④ B．①③ C．①② D．②④ 7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是______． 10．图中，是直角三角形的序号是________． 11．若是的高,，则的长为__________． 12．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式：________． 13．已知是的三边长，若，则的形状是________． 三、解答题 14．如图，四边形中，．    (1)求证：； (2)求四边形的面积． 15．如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点； ②使其中任意两点不在同一格线上； ③连接三个格点，使之构成直角三角形． 请你按照要求，在下面的三个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 16．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为某侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，求点C到AB的距离（结果保留整数）．    17．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B B B A C B 1．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指三个正整数，满足勾股定理，据此解答即可． 【详解】解：A、，非正整数，故不是勾股数； B、，故不是勾股数； C、，非正整数，故不是勾股数； D、，，即，故是勾股数． 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 3．【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的三边关系． 根据勾股定理的逆定理，以及三角形的三边关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，，，最长边为，，不可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； B．，，，最长边为，，可以作为直角三角形的三边长，符合题意； C．，，，最长边为，，不可以作为直角三角形的三边长，不符合题意； D．，，，，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理及其逆定理计算判断即可． 【详解】解：①中三角形三边的平方分别为9、13、10，由于9+10=19≠13，所以①不是直角三角形； ②中三角形三边的平方分别为5、20、25，由于5+20=25，所以②是直角三角形； ③中三角形三边的平方分别为8、10、10，由于8+10=18≠10，所以③不是直角三角形； ④中三角形三边的平方分别为8、5、9，由于8+5=13≠9，所以④不是直角三角形 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握在网格中判断直角三角形的方法是解答的关键． 5．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， 在中，，， 由勾股定理得， 因为， 所以， 所以． 这块草坪的面积． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案． 【详解】解：①如果为一组勾股数，则设， 则， 而、、不一定是正整数，所以不一定是勾股数，故①不正确，不符合题意； ②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②不正确，不符合题意； ③， ③错误，不符合题意； ④一个等腰直角三角形的三边，（）， ， 即， 故④正确，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可． 【详解】解：，，，，， ，，， 错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方． 8．【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】连接AD，BE，根据勾股定理逆定理可得，，从而得到∠ACD=∠CAD=45°，∠BCE=90°，即可求解． 【详解】解：如图，连接AD，BE， 根据题意得：， ， ∴AD=CD，，， ∴∠ADC=90°，∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CAD=45°， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 9．【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 10．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为： ． 11．【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再利用直角三角形面积的两种表示方法列等式求高． 先计算与的和等于，可判断的形状为直角三角形，再分别用两直角边和斜边与斜边上的高表示三角形面积，通过面积相等列等式求解． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形，且． 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 13．【答案】直角三角形 【知识点】绝对值非负性、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 14．【答案】(1) 证：连接，如图所示，    由题意，在中，， ∵，， ∴， ∴是为斜边的直角三角形， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． 15．【答案】 如下图所示： 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据勾股定理及其逆定理即可得到结论． 【详解】解：AB2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=32+42=25， ∴AB2+ BC2= AB2， ∴△ABC是直角三角形； DE2=12+12=2，EF2=32+32=18，DF2=22+42=20， ∴DE2+ EF2= DF2， ∴△DEF是直角三角形； GH2=12+32=10，HI2=12+32=10，GI2=22+42=20， ∴GH2+ HI2= GI2， ∴△GHI是直角三角形． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，正确的作出图形是解题的关键． 16．【答案】点到的距离约为 【知识点】点到直线的距离、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离，    在中， ，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 答：点到的距离约为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． 17．【答案】(1)， (2) 10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得， ∴； （2）略 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $