第三章 图形的相似 单元试卷 2026-2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦图形相似核心知识，融合小孔成像、黄金比、机械连杆等生活与科技情境，适配八年级单元复习，全面考查相似判定、性质及应用，体现数学眼光观察现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形相似、位似图形、平行线分线段成比例|结合花架抽象图形考查相似性质，体现几何直观| |填空题|5/15|影长计算、黄金分割、相似三角形面积比|以小孔成像原理为背景，强化数学与物理学科融合| |解答题|7/55|相似测高、位似作图、机械连杆探究|设计项目式学习任务（凸透镜光路）和实践应用（旗杆测量），发展推理能力与应用意识|

第三章图形的相似单元试卷2026-2027学年北师大版九年级上册数学 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 2．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 6．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 9．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 10．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 12．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 13．，且，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵， ， 解得： 14．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 15．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；证明，得出，即可得出，故正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ． ，，故正确； ， ． ， ． ，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故错误； 综上，正确的结论为①②③． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．如图，，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若，求的长． 【答案】 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，求解即可．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 18．如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案； （2）过点A作交于点G，交于点H，可得四边形均为平行四边形，从而得到，再由，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作交于点G，交于点H， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴． 19．【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 20．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21．如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 22．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①，，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得 ∴，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴，； ②． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据可得，进而证，可得，又，可得； （2）设，，则，，证明，得出，证明得出，即可求解； （3）①连接，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论； ②依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，在移动点的过程中，始终有与相等． （3）①略 ②由①可得， 依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为， ∵等腰直角三角形的边长为，面积为， ∴图形的面积为． 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级第三章图形的相似单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 2．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 3．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 12．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 13．，且，则的长为___________． 14．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 15．如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交于点G，交的延长线于点F，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（6分）如图，，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若，求的长． 17.（6分）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 18.（6分）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 19.（8分）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 20.（8分）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．（9分）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 22．（10分）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 第7页 学科网（北京）股份有限公司 $