第一章 特殊平行四边形 单元卷 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形单元，以菱形、矩形、正方形的性质与判定为核心，通过生活情境（如地板砖矩形判断）、动手操作（折叠剪裁）及探究性问题（中点四边形、正方形中点连线），考查几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形/矩形/正方形判定（如第1题）、折叠性质（第7题）|基础概念辨析与空间想象结合| |填空题|6/18|菱形对角线性质（第11题）、矩形阴影面积计算（第12题）|性质应用与计算能力并重| |解答题|8/72|菱形证明（第17题）、正方形探究（第24题）|从基础证明到综合探究，梯度分明，渗透推理意识与创新思维|

第一章 特殊平行四边形（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下面几种说法正确的（ ） ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A. ①②③ B. ①③ C. ③④ D. ②④ 2、周末，小赵去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3、如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　） A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 4、 如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）． A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 5、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则BC的长为（　　） A 4 B. 6 C. 8 D. 4 6、如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ） A. B. C. D. 8、如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．若要使四边形是菱形，则原四边形必须满足条件（   ） A． B． C． D． 9、如图，将矩形ABCD（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将△EFG完全展开后，则所得到的图形一定是（       ） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 10、如图，在正方形中，点为对角线中点，过点的射线，分别交，于点，，且，，交于点，有下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的倍；④．其中正确结论的是（       ）． A.①②③ B. ① ②④ C. ①③④ D.②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________． 12、如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为________． 13、如图，以正方形的边向外作等边△BCE，则的度数是 ． 14、如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是_________． 15、如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，则的值为______． 16、如图， 在直角△ABC中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形． 18、如图，在四边形中，，为的中点，，求证：四边形为矩形． 19、如图，在正方形中，，垂足为，过点分别作于点于点，求证：四边形是正方形． 20、 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE． （1）求证：四边形BFCE是平行四边形； （2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由． 21、 如图，在中，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为．连接交于点． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)试判断与的关系，并说明理由． 22、如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 23、如图，中，O为上的任意一点（不与A、C重合），过点O作直线，直线l与的平分线相交于点E，与的平分线相交于点F． （1）吗？为什么？ （2）点O在何处时，四边形为矩形？为什么？ （3）△ABC满足什么条件时，（2）中的四边形是正方形． 24、小赵学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． （1）问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； （2）问题解决： 如图②，连接，求证：； （3）拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下面几种说法正确的（) ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A.①②③ B.①③ C.③④ D.②④ 【答案】B 【详解】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意； ②一组对边平行一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故不符合题意； ③两条对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意； ④对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故不符合题意； 故正确的是①③， 2、周末，小赵去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来 卷尺送行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否 相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形.小刚的判断依据是() D A.对角线相等的平行四边形是矩形 B.有三个角是直角的四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即AD=BC,AB=CD, 则可判断四边形ABCD是平行四边形； 由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即AC=BD, 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形ABCD是矩形； 3、如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一，点，且CE=AC,则∠E=() B A.90 B.45° C.30° D.22.5° 【答案】D 【详解】正方形对角线平分直角，故∠ACD-45°， 已知DC⊥CE,则∠ACE=135°， 又CE=AC, ∴∠E=22.5°. 4、如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于，点O,E是CD的中，点，则OE的长是 (). D 0 A.2.5 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD为菱形， 20 CD=BC= =5 4,且O为BD的中，点， 2 E为CD的中点， :.OE为△BCD的中位线， 0B=CB=25 5、如图，矩形ABCD的对角线交于，点O,∠AOD=120°，AB=4,则BC的长为() 0 B A4 B.6 C.8 043 【答案】D 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，OA=2AC,OB=2BD,AC=BD, ∴.OA=OB, .∠AOD=120°， .∠AOB=60°， ∴.△AOB是等边三角形， ∴.OA=AB=4, .AC=2OA=8, .BC=√AC2-AB2=4V5, 6、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(） D A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 3 C.当AC=BD时，它是矩形 D.当∠ABC=90°时，它是正方形 【答案】D 【详解】解：A、四边形ABCD是平行四边形， 又，AB=BC, '四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形， 又AC⊥BD, 四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、四边形ABCD是平行四边形， 又AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意； D、四边形ABCD是平行四边形， 又，∠ABC=90° 四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意； 7、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠，使，点B落在，点E处，CE交AD 于点F,则DF的长等于() A D B J 7 5 A.5 B.3 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：，矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， —4 ∴.AE=AB,∠E=∠B=∠D=90°， 又四边形ABCD为矩形， .'.AB CD. ..AE=DC, 而∠AFE=∠DFC, .在△AEF与△CDF中， [∠AFE=∠CFD ∠E=∠D AE=CD ∴.△AEF≌△CDF(AAS), ∴EF=DF; ,四边形ABCD为矩形， ..AD =BC=6,CD=AB=4, ,△AEF≌△CDF, .'.FC=FA, 设1=x,则FC=x,FD=6-x, 在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2, 13 即X2-4+(6-x)2，解得x=3, J 则FD=6-x=3. 8、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中，点，依次连接各边 中，点得到中，点四边形EFGH.若要使四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD必须满足条件() —5 G F A.AC=BD B.AB⊥AD C.AB=AD D.AC LBD 【答案】A 【详解】：点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， EF-LAC GH=1AC 2 2 EF-GH-TAC H-FG-IBD 同理 2 ∴.四边形EFGH是平行四边形， 当对角线AC=BD时，如图所示， H A ∴.EF=EH, 四边形EFGH是菱形， 9、如图，将矩形ABCD(AD>AB)按如图所示步骤送行折叠及剪裁，若将△EFG完全展开后，则 所得到的图形一定是（) A.等腰三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 6 【答案】C 【详解】解：如图，将△EFG完全展开后得到四边形EBHD, E B(F) H ∠BGH=∠BGE=∠DGB=x180°=90° 由折叠 .∠BGH+∠BGE=180° ..E G H 三点在同一条直线上， .BG=DG EG=HG EBHD 四边形 是平行四边形， EH⊥BD EBHD 四边形 是菱形， 10、如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC中点，过O,点的射线OM,ON分别交AB, BC于点E,F,且∠BOF=90°，B0,BF支于点P,有下面特论：①图形中金等的三商形只 有三对；②△EOF是等腰直角三角形；⑧正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④ BE+BF=20A ,其中正确结论的是（）· A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ D E M B C 【答案】D 【详解】四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点， ·.AB=BC=AD=DC,∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=45°，OA=OC 在△ADC和△ABC中， AB=AD BC=DC AC=AC .△ABC≌△ADC; 在△AOB和△COB中， 「OA=OC AB=CB OB=OB .△AOB≌aCOB; .:∠ABO=∠CBO .·AB=CB,OA=OC.∠ABC=90° .OB⊥AC、 .∠AOB=90° .∠AB0=∠CB0=45° :∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°，∠AOB=∠EOB+∠AOE=90°， .∠BOF=∠AOE 在△AOE和△BOF中， ∠OAE=∠OBF=45 OA=OB ∠AOE=∠BOF :.△AOE≌△BOF; 8 ∠EOB=∠COF 同理： OC=OB ∠OBE=∠OCB .△BOE≌ACOF 全等三角形有4对， ∴①不正确； △AOE≌△BOF, ..OE=OF, △EOF是等腰直角三角形； ②正确； △AOE≌△BOF, 1 四边形OEBF的面积为： S.ABC= 4 ∴.③正确； .:△BOE≌ACOF ..BE=CF .BE+BF=CF+BF=BC=AB. .AB2+BC2=0A2. .AB=BC=20A, :.BE+BF =AB=20A, ④正确. 正确的选项为：②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，菱形ABCD中，AC,BD相交于0，DE⊥BC于E,连接OE,∠BAD=40°，则 -9 ∠OED 的度数为」 【答案】20° 【详解】解：.四边形ABCD是菱形，∠BAD=40°， .∠DAO=2∠BAD=20,AC⊥BD,DO=BO,AD∥BC, .∠D0A=90°， .∠AD0=90-∠DAO=70°， ,AD∥BC,DE⊥BC, .DE⊥AD, ∴.∠ADE=90°， ∴.∠ODE=∠AD∠E-∠ADO=20°， DE⊥BC, .∠DEB=90°， ...DO=BO, ∴.OE=2BD=OD, .∠OED=∠ODE=20°， 故答案为：20°· 12、如图，，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB，,CD于B、F, 连接PB、PD.若AE=2,PF=6,则图中阴影部分的面积为 10 D 【答案】12 【详解】解：作PM⊥AD于M,交BC于N. M T D E B N 则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形BEPN都是矩形， .SAADC=SAABC S.AMP=SAEP S.PBE=S.PaN SPFD=SPDM S.PFC=S.PCN .·MP=AE=2, 1 S.DFP=SPBE= *2x6=6 .Sm=6+6=12 故答案为：12 13、如图，以正方形ABCD的边BC向外作等边△BCE,则∠BEA的度数是 B D 【答案】15 【详解】解：.四边形ABCD为正方形， .AB=BC,∠ABC=90°， ,△BCE为等边三角形， .BC=BE,∠EBC=60°， -11 ∴.BE=AB,∠EBA=∠EBC+∠ABC=60°+90°=150°， 2BEA=∠BAE-号180-1509-×30=159， 故答案为：15° 14、如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 【塔刘学 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8, ∴.BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD, .∠BOC=90°， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC=VBC2-OB=3, ∴.AC=20C=6, .AE⊥BC, 菱形ABCD的面积=AE:BC=BDAC,即：5AE=×6×8, AE=24 9 4 故答案为：5 15、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AB=6,BC=8,过，点O作OE⊥AC,交 AD于点E,过，点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为一 A 12 24 【答案】5 【详解】解：AB=6,BC=8, ∴矩形ABCD的面积为48，AC=VAB2+BC2=10 A0=D0=AC=5 对角线ACBD交于点O, .△A0D的面积为12， EO⊥AO,EF⊥D0, 12=)40×E0+)D0xEF S4on=S40E+S0E,即2=2 2x5xF0x5x FF :.5(E0+EF)=24 E0+EF=24 , 24 故答案为：5· 16、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,,点M是边AB上一，点（不与，点A,B 重合)，作ME⊥AC于，点E,MF⊥BC于，点F,若点P是EF的中，点，则PF长度的最小值是 M P以 B 13 【答案】1.2 【详解】解：如图，连接MC, .:∠ACB=90°，ME⊥AC,MF⊥BC, .四边形MECF是矩形， ∴.MC=EF, .∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ∴.AB=AC2+BC2=32+42=5, ,,点P是EF的中点， .PF-EF-CM. ∴.CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PF取得最小值， SCM=-号ACBC, .CM-AC:BC-3x4-2.4, AB 5 PF=CM=x24=12, ∴.PF长度的最小值是1.2， 故答案为：1.2. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 I7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于，点E、F,连接AE、CF. —14 求证：四边形AECF是菱形. R B C 【答案】见详解 【详解】证明：EF垂直平分AC, ..AF-CF,AE=CE,OA=OC ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, .∠AFO=∠CEO, 在△AOF和△COE中， ∠AFO=∠CEO ∠AOF=∠COE OA=OC ∴.△AOF≌△COE(AAS), .'.AF=CE, ∴AF=CF=CE=AE, .四边形AECF是菱形 l8、如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90,E为CD的中点，AE=BE,求证：四边形ABCD为 矩形. D E —15 【答案】见详解 【详解】证明：：E为CD的中，点， .DE CE :∠C=∠D=90° 在RtADE和RtABCE中， 「AE=BE DE=CE, .Rt△ADE≌Rt△BCE(HL) ∴.AD=BC .∠C=∠D=90° ∴.∠C+∠D=180° ∴.ADBC ·四边形 ABCD 为平行四边形， .∠C=90 小平行四边形 ABCD 为矩形 19、如图，在正方形ABCD中，AO⊥BD,垂足为O,过，点O分别作OE⊥BC于点E,OF⊥CD于 点F,求证：四边形OECF是正方形. A D 公 【答案】见详解 【详解】证明：“四边形ABCD是正方形， AD=AB∠C=90°∠CDB=∠CBD=45 —16 AO⊥BD ∴.DO=BO ,OF⊥CD,OE⊥BC ∴.∠OFD=∠OEB=∠OFC=∠OEC=90° ∴.△ODF≌△OBE(AAS) ∴.OF=OE :∠OFC=∠OEC=∠C=90 OECF 四边形 是矩形， 又AD=AB, OECF 四边形 是正方形. 20、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的，点，CF∥BE,连接 BF,CE. (1)求证：四边形BFCE是平行四边形； (2)当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由. F D E 【答案】(1)见详解(2)当AB=AC时，四边形BECF是菱形，理由见详解 【小问1详解】 证明：‘在△ABC中，D是BC边的中点， ∴BD=CD, —17 CF‖BE, ∴.∠CFD=∠BED, 在△CFD和△BED中， ∠CFD=∠BED CD=BD ∠FDC=∠EDB .△CFD2△BED(AAS), ..CF=BE, ∴.四边形BFCE是平行四边形； 【小问2详解】 解：当AB=AC时，四边形BECF是菱形；理由如下： .AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形 D是BC边的中点， AD⊥BC, ∴.EF⊥BC, ∴.四边形BECF是菱形. 21、如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的 平分线，CE⊥AN,垂足为E.连接DE交AC于，点F. (1)试判断四边形ADCE的形状，并说明理由； (2)试判断DF与AB的关系，并说明理由. 18- B 【答案】四边形ADCE是矩形，夏由见详解2DFAB,DF=吉AB,家由见详解 【详解】(1)解：四边形ADCE为矩形， 理由：.'AD平分∠BAC,AN平分∠CAM, :∠CAD3∠BAC,∠CAN-3<CAM, .∠DAE=∠CAD+∠CAN-=∠BAC+∠CAM)3×1B0=90, 在△ABC中， .AB=AC,AD平分∠BAC, .∴.AD⊥BC .∠ADC=90°， .CE⊥AN, ∴.∠AEC=90°. ∴.∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； 2年：DFAB,DE=克AB, 理由：.四边形ADCE是矩形， ∴AF=CF, .AB=AC,AD平分∠BAC, ∴BD=CD, -19- ∴.DF是△ABC的中位线， 即DF AB,DF=AB, 22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过，点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点，过，点D作 DE⊥BC MN CD,BE ，垂足为F,交直线于E,连接 (1)求证：CE=AD; (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理 由) B D N M E 【答案】(1)见详解(2)四边形BECD是菱形(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形 【小问1详解】 证明：DE⊥BC, ∴.∠DFB=90° .∠ACB=90° ∴.∠ACB=∠DFB ∴.AC∥DE :MN∥ABCE∥AD 即 ADEC 四边形 是平行四边形， .CE=AD 【小问2详解】 —20 解：四边形BECD是菱形， 理由是：D为AB中点， ∴.AD=BD .CE=AD .BD=CE .BD∥CE .四边形BECD是平行四边形， :LACB=90,D为AB中点， .CD=BD 四边形BECD是菱形； 【小问3详解】 解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形， 理由：∠ACB=90°，∠A=45°， ∴.∠ABC=45° 由(2)可知，四边形BECD是菱形， ∴.∠ABC=∠CBE=45° ∴.∠DBE=90° 四边形BECD是正方形 23、如图，△ABC中，O为AC上的任意一点（不与A、C重合），过，点O作直线I∥BC,，直线1 与∠BCA的平分线相交于点E,与∠DCA的平分线相交于点F. (1)OE=0F吗？为什么？ (2),点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？ (3)△ABC满足什么条件时，(2)中的四边形AECF是正方形. 21 【答案】(1)OE=OF，见详解 (2)O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，见详解 (3)当△ABC满足∠ACB=90°时，矩形AECF是正方形 【小问1详解】 OE=OF 理由是：直线1∥BC, ·.∠OEC=∠ECB CE平分∠ACB, .∠OCE=∠BCE .∠OEC=∠OCE. ..OE =OC 同理OF=OC, ..OE=OF; 【小问2详解】 O在AC中，点上时，四边形AECF是矩形， 理由是：OA=OC,OE=OF, 四边形AECF平行四边形， ,·OE=OF=OC=OA, .'AC=EF -22 平行四边形AECF是矩形. 【小问3详解】 当△ABC满足∠ACB=90°时，矩形AECF是正方形， 理由是：直线l∥BC, .∠AOE=∠ACB ·∠ACB=90° .∠AOE=90° AC⊥EF, 四边形AECF是矩形， ∴矩形AECF是正方形. 24、小赵学习了正方形的相关知识后，对正方形送行了探究. 如图，BD为正方形ABCD的一条对角线，点E为BD上任意一点（点E不与点B,D重合），点 G为DE中，点，过，点E作EF L BC交BC边于点F,延长FE交AD于点H. H H H G F 图① 图② 图③ (1)问题探究： 如图①，连接G,则HG与DE的位置关系为，HG与DE的数量关系为； (2)问题解决： 如图②，连接AG,FG,求证：∠AGH=∠FGE; (3)拓展延伸： 如图③，连接AG并延长交CD于点M、连接FM,探究线段DM,FM,BF之间的数量关系，并说 23 明理由. 【答案】(1)HG⊥DE, HG-1DE (2)见详解(3)DM+BF=FM,理由见详解 【小问1详解】 解：正方形ABCD .∠ADB=45°，∠A=∠ABF=90° ..EF L BC, 四边形ABFH为矩形， .FH⊥AD, .△DHE为等腰直角三角形， 点G为DE中，点， HG=1DE .HG⊥DE, 2 1 故答案为：HG⊥DE, HG=DE 2 【小问2详解】 正方形ABCD,矩形ABFH, .∠DBC=45°，∠BFE=∠AHF=90°，AH=BF .:∠FEB=45°=∠BEF .∠FEG=135°，EF=BF=AH, HGL DE, HG=I DE-EG .∠EHG=45° :.∠AHG=∠AHF+∠EHG=135° .∠AHG=∠FEG 24 又：AH=EF,HG=EG :.△AHG≌△FEG .∠AGH=∠FGE; 【小问3详解】 DM+BF=FM ,理由如下： 连接HG,FG A A 、G F ·△HEG为等腰直角三角形， ∠HED=∠HDE=45°=∠BDC, G为ED的中点， .EG=DG .·∠NGE=∠MGD .△NGE≌aMGD .NG=MG,NE=DM .·∠HGA=∠EGF .∠HGA+∠NGE=∠EGF+∠NGE,即：∠FGN=∠HGE=90°， .FG⊥MW, .·WG=MG. FG垂直平分MN, .FN=MF —25 ·FN=EF+NE,由(2)知：BF=EF, .DM+BF=FM. —26 一