专题05 全等三角形有关的九类热考模型 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以九类全等模型为核心，通过“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”三层架构，系统提炼模型识别与辅助线构造方法，培养几何抽象与推理能力，构建全等应用逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |通法归纳+九类模型+压轴挑战|1通法+9模型（每模型1典例+3变式）+8压轴题|模型特征+辅助线构造（如倍长中线、截长补短）+易错提醒（如对应关系、辅助线方向）|全等判定与性质→模型结构化应用（平移/翻折等图形变换）→综合问题迁移（结合实际情境）|

专题05 全等三角形有关的九类热考模型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、平移模型 1 类型二、翻折模型 2 类型三、倍长中线模型 13 类型四、截长补短模型 24 类型五、一线三等角模型 33 类型六、手拉手模型 42 类型七、半角模型 52 类型八、角平分线有关的模型 64 类型九、对角互补模型 70 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形的九类热考模型是初中几何证明的 "工具箱"，所有模型本质上都是全等三角形判定（SSS / SAS / ASA / AAS / HL）与性质在特定图形结构中的固化应用。解题贯穿两条主线：一是识别模型—— 从复杂图形中剥离出平移、翻折、倍长中线、截长补短等基本结构；二是用模型构全等—— 通过辅助线把分散的边角条件集中到一对三角形中，判定全等后利用 "对应边相等、对应角相等" 推进结论，所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、平移模型 典例精讲1（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 题型归纳 1.特征：两个三角形可沿某一方向平移后重合，图形中有平行线、公共边或共线线段，对应边平行（或在同一直线上）。 2.方法：由平移性质得对应边平行且相等、对应角相等；利用平行线找等角（同位角、内错角），结合公共边或共线线段，用 SSS / SAS / ASA 判定全等。 3.易错提醒：平移前后对应顶点顺序要写对，对应边平行（或共线）的关系不可标错；公共边是两组三角形的公共边时，须确认是哪两个三角形共用。 变式训练1（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1)证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 变式训练2（25-26八年级下·河南·期中）如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 【答案】(1)平移的距离是； (2)的周长为． 【分析】（1）过点作于点，则 ，由角平分线的性质，可得 ，证明，可得 ， ，由勾股定理可得，设 ，则 ，由勾股定理可得，即可得平移的距离； （2）由角平分线的定义可得，由平移，结合平行线的性质，可得，由等角对等边可得，即可得的周长． 【详解】（1）解：过点作于点，则 ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 设 ，则 ， 在Rt中，， ， 解得， ， 平移的距离是． （2）解：平分， ， 由平移得， ， ， ， 由（1）得，， ， ∴ 的周长为． 变式训练3（23-24七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 【答案】（1）； （2）①证明：连结，由平移可知，，   ， ，， ， ， ，即点是中点； ②2； （3）28 【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解； （3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）由平移可得，，， ； （2）①略 ②连结，   是中点， ， 是中点， ， ； （3）连结，    ∵为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 类型二、翻折模型 典例精讲2（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为边上的中线，把沿翻折到，与交于点E．若与的面积相等，．则________ 【答案】/128度 【分析】根据中线的性质和翻折的性质可得出，则，结合已知可求出，，证明，得出，结合，，求解即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的面积相等， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，，， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：图形沿某条直线（折痕）翻折后两部分重合，常见于折叠问题、角平分线、轴对称图形中。 2.方法：由翻折（轴对称）性质得对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线；翻折产生的等角等边直接作为全等条件，用 SAS / ASA / AAS 判定全等。 3.易错提醒：翻折前后对应顶点要标清，不可混淆原图形与折叠后图形的边角；折痕是对应点连线的垂直平分线，不是任意直线。 变式训练1（2026·河南驻马店·一模）如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点的对应点为与边相交于点，恰好是的角平分线，则_________，若，则___________． 【答案】 22.5 1 【分析】由条件可知是等腰直角三角形，再由是角平分线可求出，进而求解；根据是的角平分线和是直角，可以联想到构造等腰三角形，延长交的延长线于F ，然后证明即可求解． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ； 如图，延长交的延长线于F ． 平分， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 变式训练2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．求和的度数． 【答案】； 【分析】根据轴对称的性质可得，再由全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式训练3（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①； ②证明：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． (2)10 (3) 证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②略 （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）略 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 类型三、倍长中线模型 典例精讲3（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 题型归纳 1.特征：题目中出现三角形的中线（或中点），要求证明线段的不等关系、平行关系或倍分关系。 2.方法：延长中线至一倍（如延长 AD 到 E 使 DE=AD），连接对边端点，构造 SAS 全等（△ADC≌△EDB），将一边转化到另一三角形中，再结合三角形三边关系或平行线判定求解。 3.易错提醒：延长中线后须连接 "对边的端点"，不可连错点；构造的全等是含中线的两个三角形，对应边（AC 与 BE）相等，不可混淆。 变式训练1（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答； （3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的中点， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 变式训练2（25-26八年级上·山西大同·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (1)【问题解决】如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． (2)【类比应用】如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：． (3)【问题拓展】如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，请直接写出__________． 【答案】(1)； (2)证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． (3)4 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得； （3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：延长至点，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∵在中，，即， ， ． （2）略 （3）解：延长至点，使，连接， 点为边的中点， ， 又， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ． 变式训练3（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】 证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】略 【方法应用】略 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． ， ， 即． 证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 类型四、截长补短模型 典例精讲4（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 题型归纳 1.特征：结论要求证明线段的和差关系（如 a+b=c），或已知线段和差求长度，三条线段分散在不同位置。 2.方法：截长—— 在长边上截一段等于短边，证明剩余部分等于另一短边；补短—— 延长短边至等于长边，证明延长部分等于另一短边；两种方法都通过构造全等三角形集中线段。 3.易错提醒：截长须在长边上截取、补短须延长短边至等于长边，方向别搞反；补短后须证三点共线；截取或延长产生的新线段要标注清楚，全等对应关系别写错。 变式训练1（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）； 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式训练2（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 类型五、一线三等角模型 典例精讲5（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ，， 又， ， ， 在和中，， (2) 全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， (3) ，与的夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型归纳 1.特征：一条直线上有三个等角（常见三垂直），顶点共线，两侧形成两个三角形。 2.方法：由平角 180° 推两侧锐角互余相等，结合等边用 AAS/ASA 证全等；必要时过顶点作垂线构造三垂直。 3.易错提醒：三等角顶点须共线；全等对应边、角别写反；坐标系中横竖线段别错位。 变式训练1（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) 解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式训练2（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图，中，，，直线MN过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到①的位置时，请直接写出、和的数量关系_____． （2）当直线绕点C旋转到②的位置时，请说明、和的数量关系，并证明； 【问题解决】 （3）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口． ，，米，米，求两个出口之间的水平距离． 【答案】（1）；（2）；（3）500米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形应用等知识，解题的关键是： （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1） 理由：∵， ∴， ∵于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）， 理由：∵于D，于E，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴（米）． 答：两个排污口之间的水平距离为500米． 变式训练3（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 类型六、手拉手模型 典例精讲6（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 题型归纳 1.特征：两个共顶点的等腰（或等边 / 等腰直角）三角形，顶角相等、顶点重合，连接另外两对对应顶点得两条 "拉手线"。 2.方法：由等腰得两边相等，由顶角相等加（或减）公共角得夹角相等，用 SAS 证两三角形全等，得拉手线相等且夹角等于原顶角。 3.易错提醒：须两个等腰三角形共顶点且顶角相等；拉手线连的是非公共顶点的对应点，别连错；全等后拉手线夹角等于顶角（或其补角），注意方向。 变式训练1（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式训练2（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2) 且， 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）略 （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 变式训练3（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 【答案】 （1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； （3）有最小值，最小值为； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明，即可证明； （2）①过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明，得出，即可得出结论； ②过作，交的延长线于点，由平行线的性质易证，得出为等边三角形，则，证明，得出，即可得出； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：；理由如下： 是等边三角形， ， 如图3，过作，交的延长线于点， ， ，， ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）解：有最小值，最小值为； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 类型七、半角模型 典例精讲7（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】[问题发现]（1）； （2）证明：由（1）得， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． [问题应用] 【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． ［问题发现］（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； ［问题应用］根据旋转的性质得到，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）略 [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长为． 题型归纳 1.特征：大角（90°/120°）内含其半角（45°/60°），半角顶点与大角顶点重合，半角两边交大角两边形成线段和差关系。 2.方法：旋转法 —— 将半角一侧三角形绕大角顶点旋转使两边重合，集中分散线段后用 SAS 证全等，得线段和差。 3.易错提醒：旋转后须证三点共线；点在边的延长线上时结论由 "和" 变 "差"。 变式训练1（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为，点为中点，则___________ (2)如图，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图，在中，，，点在边上，且，当，时，则的长为___________． 【答案】(1)①；② (2) ，理由如下： 把绕点顺时针旋转得到， 连接，如图， ∴，， ，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（）①由旋转的性质可得，，，再根据正方形的性质证明，得到，进而由即可求证； ②设，则，，在中由勾股定理可得，即可得，再利用勾股定理即可求解； （）把绕点顺时针旋转得到， 连接，如图，同理（）①即可求解； （）把绕点顺时针旋转得到，连接，如图，同理（）①可得，，，过点作，垂足为，则，可得，由直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图2，由旋转可得，，，， ∵四边形为正方形， ∴， ； 即三点共线； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形边长为，点为中点， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， 过点作，垂足为，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 变式训练2（24-25九年级下·吉林·开学考试）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 【答案】（1）； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3） 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出进而根据，即可得出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 略 （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴ 变式训练3（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）略． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 类型八、角平分线有关的模型 典例精讲8（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； (3)9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 题型归纳 1.特征：题设含角平分线，常与平行线、垂线结合；子型有角平分线 + 平行线→等腰、角平分线 + 垂线→等腰、双角平分线。 2.方法：向角两边作垂线，用距离相等证全等；角平分线 + 平行线由内错角得等腰；角平分线 + 垂线延长后用 ASA 证全等；双角平分线夹角公式现推。 3.易错提醒：垂线须到角两边；逆定理条件别省；双角平分线夹角公式别记混。 变式训练1（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】 证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】 略 变式训练2（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，，如图，求： (1)是多少度； (2)是多少度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，根据角平分线定义得出，即可求出答案； （2）过作于，根据角平分线性质求出，求出，根据角平分线性质求出即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ； （2）过作于， 平分， ， 为中点， ， 平分， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 变式训练3（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，平分交于点D，过点B作，交延长线于点E，F为的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)线段与线段有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) 解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2) 解：如图，，理由如下： 延长交于点H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先证明，再证明垂直平分，则，则，于是，可证明是等腰直角三角形； （2）延长交于点H，先证明，得，再证明，得，则． 【详解】（1）略 （2）略 类型九、对角互补模型 典例精讲9（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：四边形一组对角互补（和为 180°），常配合角平分线条件；等价于四点共圆。 2.方法：作双垂线 —— 过角平分线顶点向另外两边作垂线，由对角互补推等角，结合距离相等用 AAS 证全等；也可用旋转法拼平角。 3.易错提醒：垂足可能一在边上、一在延长线上；旋转后须证共线；缺角平分线条件结论不成立。 变式训练1（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③； （2），理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）略 （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 变式训练2（22-23八年级下·山东青岛·期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至，使得，连接，   四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 平分． 是等腰直角三角形， ， ； ； （3） 【分析】（1）根据对角互补四边形的定义可得，，结合即可求解； （2）延长至，使得，证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，等量代换可得； （3）延长至，使得，证明，推出，过点D作交于点N，解即可求解． 【详解】（1）解： 四边形为对角互补四边形， ，， ， ， ， , 故答案为：； （2）略 （3）解：延长至，使得，连接， 四边形为对角互补四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点D作交于点N， ， N为的中点， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是理解“对角互补四边形”的定义，正确作出辅助线构造全等三角形． 变式训练3（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为90°，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ， 理由：∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) ， 证明：如图，作于点E，作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平分，，结合角平分线的性质可以得到，再根据四边形的内角和结合等角互换得到，即可证明进而得到； （2）（3）首先均构造辅助线形成直角三角形，进而同（1）的步骤结合已知条件证明进而得到即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点E，作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴； （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 【答案】 （1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）6；（3）63 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2) 解：中，， ． ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． (3) 解：． 理由如下：如图，在的延长线上找一点E，使． 设． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， 故选：B． （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，，求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与（）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图，四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ． 【答案】（1）证明：由题意可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，结合，，即可证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）解答思路同（1），先证明，即可得解； （3）设，则，从而可表示出，结合，列方程即可求得的值，进而根据三角形的面积公式即可得解； （4）过点作交的延长线于点，过点作于点，可得 ，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，根据面积可求得的长，从而求得的长，进而得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （3）解：设，则， ， ，即， ， ， 故答案为：； （4）如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， 由（1）可得 ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 面积为，， ，即， ， ， ． 5．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）， 理由如下： 沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）8； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）设，则，然后计算周长即可； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， ∴ 的周长为：， 故答案为：8； （3）略 6．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是（   ） A．    B．    C． (2)由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是_______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (3)如图2，在四边形中，M是边的中点，且，试判断与之间的数量关系； (4)如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________． 【答案】(1)C (2) (3) (4)2． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算即可； （3）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （4）延长，交于点F，证明，得出，证明，得出则可得出结论． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， 故选：C； （2）解：∵， ∴， 在中，， ， 即， ∴， 故答案为； （3）解：延长到E，使，连接，， 在和中 ， ， ， ，， ∴垂直平分， ∴ 为等腰三角形， 在中 ， ； （4）解：延长，交于点F， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40； （3）证明：延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）略． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． (1)问题思考在图①中，求证：； (2)问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） (3)问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 【答案】(1) 解：，证明如下： ，, ， 在与中， ， ， ，, ，， ， ，， ； (2) 如图所示，在线段上取点F，使得， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ； (3)． 【分析】(1) 先证明，再利用全等三角形的性质即可解决问题； (2) 在线段上取点F，使得，再证明，推出，，可得结论； (3) 在线段上取点H，使得，先求出，再证明可得，再求出可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示：在线段上取点H，使得，即， ，且平分， ，， 又，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ，即：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形有关的九类热考模型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、平移模型 1 类型二、翻折模型 2 类型三、倍长中线模型 5 类型四、截长补短模型 7 类型五、一线三等角模型 9 类型六、手拉手模型 12 类型七、半角模型 14 类型八、角平分线有关的模型 17 类型九、对角互补模型 18 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形的九类热考模型是初中几何证明的 "工具箱"，所有模型本质上都是全等三角形判定（SSS / SAS / ASA / AAS / HL）与性质在特定图形结构中的固化应用。解题贯穿两条主线：一是识别模型—— 从复杂图形中剥离出平移、翻折、倍长中线、截长补短等基本结构；二是用模型构全等—— 通过辅助线把分散的边角条件集中到一对三角形中，判定全等后利用 "对应边相等、对应角相等" 推进结论，所有结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、平移模型 典例精讲1（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为___． 题型归纳 1.特征：两个三角形可沿某一方向平移后重合，图形中有平行线、公共边或共线线段，对应边平行（或在同一直线上）。 2.方法：由平移性质得对应边平行且相等、对应角相等；利用平行线找等角（同位角、内错角），结合公共边或共线线段，用 SSS / SAS / ASA 判定全等。 3.易错提醒：平移前后对应顶点顺序要写对，对应边平行（或共线）的关系不可标错；公共边是两组三角形的公共边时，须确认是哪两个三角形共用。 变式训练1（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 变式训练2（25-26八年级下·河南·期中）如图，在Rt中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，此时点恰好在的角平分线上． (1)求平移的距离； (2)求的周长． 变式训练3（23-24七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 类型二、翻折模型 典例精讲2（21-22八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，为边上的中线，把沿翻折到，与交于点E．若与的面积相等，．则________ 题型归纳 1.特征：图形沿某条直线（折痕）翻折后两部分重合，常见于折叠问题、角平分线、轴对称图形中。 2.方法：由翻折（轴对称）性质得对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线；翻折产生的等角等边直接作为全等条件，用 SAS / ASA / AAS 判定全等。 3.易错提醒：翻折前后对应顶点要标清，不可混淆原图形与折叠后图形的边角；折痕是对应点连线的垂直平分线，不是任意直线。 变式训练1（2026·河南驻马店·一模）如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点的对应点为与边相交于点，恰好是的角平分线，则_________，若，则___________． 变式训练2（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．求和的度数． 变式训练3（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 类型三、倍长中线模型 典例精讲3（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目中出现三角形的中线（或中点），要求证明线段的不等关系、平行关系或倍分关系。 2.方法：延长中线至一倍（如延长 AD 到 E 使 DE=AD），连接对边端点，构造 SAS 全等（△ADC≌△EDB），将一边转化到另一三角形中，再结合三角形三边关系或平行线判定求解。 3.易错提醒：延长中线后须连接 "对边的端点"，不可连错点；构造的全等是含中线的两个三角形，对应边（AC 与 BE）相等，不可混淆。 变式训练1（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 变式训练2（25-26八年级上·山西大同·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (1)【问题解决】如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． (2)【类比应用】如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：． (3)【问题拓展】如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，请直接写出__________． 变式训练3（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 类型四、截长补短模型 典例精讲4（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 题型归纳 1.特征：结论要求证明线段的和差关系（如 a+b=c），或已知线段和差求长度，三条线段分散在不同位置。 2.方法：截长—— 在长边上截一段等于短边，证明剩余部分等于另一短边；补短—— 延长短边至等于长边，证明延长部分等于另一短边；两种方法都通过构造全等三角形集中线段。 3.易错提醒：截长须在长边上截取、补短须延长短边至等于长边，方向别搞反；补短后须证三点共线；截取或延长产生的新线段要标注清楚，全等对应关系别写错。 变式训练1（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 变式训练2（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 类型五、一线三等角模型 典例精讲5（24-25八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 题型归纳 1.特征：一条直线上有三个等角（常见三垂直），顶点共线，两侧形成两个三角形。 2.方法：由平角 180° 推两侧锐角互余相等，结合等边用 AAS/ASA 证全等；必要时过顶点作垂线构造三垂直。 3.易错提醒：三等角顶点须共线；全等对应边、角别写反；坐标系中横竖线段别错位。 变式训练1（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 变式训练2（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图，中，，，直线MN过点C，且于D，于E． （1）当直线绕点C旋转到①的位置时，请直接写出、和的数量关系_____． （2）当直线绕点C旋转到②的位置时，请说明、和的数量关系，并证明； 【问题解决】 （3）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口． ，，米，米，求两个出口之间的水平距离． 变式训练3（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 类型六、手拉手模型 典例精讲6（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 题型归纳 1.特征：两个共顶点的等腰（或等边 / 等腰直角）三角形，顶角相等、顶点重合，连接另外两对对应顶点得两条 "拉手线"。 2.方法：由等腰得两边相等，由顶角相等加（或减）公共角得夹角相等，用 SAS 证两三角形全等，得拉手线相等且夹角等于原顶角。 3.易错提醒：须两个等腰三角形共顶点且顶角相等；拉手线连的是非公共顶点的对应点，别连错；全等后拉手线夹角等于顶角（或其补角），注意方向。 变式训练1（23-24九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 变式训练2（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 变式训练3（25-26八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】（1）如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为______． （3）如图4，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则最小值是______． 类型七、半角模型 典例精讲7（2025八年级上·全国·专题练习）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 题型归纳 1.特征：大角（90°/120°）内含其半角（45°/60°），半角顶点与大角顶点重合，半角两边交大角两边形成线段和差关系。 2.方法：旋转法 —— 将半角一侧三角形绕大角顶点旋转使两边重合，集中分散线段后用 SAS 证全等，得线段和差。 3.易错提醒：旋转后须证三点共线；点在边的延长线上时结论由 "和" 变 "差"。 变式训练1（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形是正方形，分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)①请直接写出线段之间的关系___________． ②若正方形边长为，点为中点，则___________ (2)如图，等腰直角三角形，，，点在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． (3)如图，在中，，，点在边上，且，当，时，则的长为___________． 变式训练2（24-25九年级下·吉林·开学考试）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 变式训练3（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 类型八、角平分线有关的模型 典例精讲8（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 题型归纳 1.特征：题设含角平分线，常与平行线、垂线结合；子型有角平分线 + 平行线→等腰、角平分线 + 垂线→等腰、双角平分线。 2.方法：向角两边作垂线，用距离相等证全等；角平分线 + 平行线由内错角得等腰；角平分线 + 垂线延长后用 ASA 证全等；双角平分线夹角公式现推。 3.易错提醒：垂线须到角两边；逆定理条件别省；双角平分线夹角公式别记混。 变式训练1（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 变式训练2（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，，如图，求： (1)是多少度； (2)是多少度． 变式训练3（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，平分交于点D，过点B作，交延长线于点E，F为的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)线段与线段有何数量关系？并说明理由． 类型九、对角互补模型 典例精讲9（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 题型归纳 1.特征：四边形一组对角互补（和为 180°），常配合角平分线条件；等价于四点共圆。 2.方法：作双垂线 —— 过角平分线顶点向另外两边作垂线，由对角互补推等角，结合距离相等用 AAS 证全等；也可用旋转法拼平角。 3.易错提醒：垂足可能一在边上、一在延长线上；旋转后须证共线；缺角平分线条件结论不成立。 变式训练1（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 变式训练2（22-23八年级下·山东青岛·期末）图形定义：四边形若满足，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．    （1）若四边形为对角互补四边形，且，则的度数为_________． （2）如图1，四边形为对角互补四边形，．求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分，还可以知道三者关系为：_________； （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，则，三者关系为：_________． 变式训练3（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为90°，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，，求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与（）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图，四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ． 5．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 6．（25-26八年级上·湖南郴州·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是（   ） A．    B．    C． (2)由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是_______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． (3)如图2，在四边形中，M是边的中点，且，试判断与之间的数量关系； (4)如图3，若在（3）的基础上，增加平分，，，则________． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． (1)问题思考在图①中，求证：； (2)问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） (3)问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $