第12章全等三角形期末复习专项练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

全等三角形期末复习专项练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学上 册一．选择题（共10小题） 1．如图所示，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（　　） A．BC B．BD C．CD D．AD 2．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝8，BE＝5，则DE的长为（　　） A．8 B．5 C．13． D．3 3．三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是（　　） A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD 4．如图所示，已知AC＝BD，∠ABC＝∠DCB＝90°，则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是（　　） A．SAS B．HL C．AAS D．ASA 5．如图，在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，高BE与AD相交于点H，则DH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，小明为了测量河的宽度，他先在河边的C点面向河对岸，压低帽檐，使目光正好落在河对岸的A点，然后他姿态不变，转过一个角度，正好看见了他所在岸上的一块石头B点，他测量了BC＝30m，可得河宽AC＝30m，此做法中用到三角形全等的判定是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．以上均不正确 7．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，PD⊥OA，若DP＝5，则CP的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在△ABC中，BC＝8，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 9．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，∠DAC＝40°，则∠CDE＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 10．如图是小明用含有30°角的两个完全相同的三角尺拼成的图案．若连接BD，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 11．如图，△ABC≌△ABD，∠D＝90°，∠CAD＝60°，则∠ABD的度数为 　 　 ． 12．如图，点A在DE上，△ABC≌△EDC，若∠BAC＝55°，则∠ACE的大小为 　 　 ． 13．如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与△ABC全等的格点三角形共有n个（不含△ABC本身），则n＝　 　 ． 14．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F．给出下列条件：①AB＝CD，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 　 　 .（填序号） 15．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为 　 　 ． 16．如图，在四边形CBDE中，对角线CD、BE相交于点F，CB＝CD，BE＝BD，∠CED+∠CEB＝180°，CE＝2，BD＝2时，则CD的长为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．如图，已知图中的两个三角形全等，点A与点C对应，点B与点D对应．用符号表示这两个三角形全等，并写出它们的对应角和对应边． 18．如图所示，△EFG与△NMH全等，在△EFG中，EG是最短的边，在△NMH中，NH是最短的边，∠E和∠N是对应角，且EG＝2.1cm，FH＝1.9cm，MH＝3.5cm． （1）写出对应相等的边及对应相等的角； （2）求线段NG的长度． 19．如图，已知AC与BD相交于点O，且点O是BD的中点，AB∥CD．试说明△AOB与△COD全等的理由． 20．如图，已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AB＝A'B'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 21．如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE． （1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠B的度数． 22．项目式学习 【项目主题】 测量分别位于某池塘两侧两根电线杆之间的距离，即输电线路的长度． 【项目背景】 如图2，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有的皮尺、测量角度的仪器无法直接测量出A，B之间的距离．利用现有的工具，请你设计一种方案，可以求出A，B之间的距离． 23．如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数． （2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 24．已知，在△ABC中，DE垂直平分边AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分边AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度数； （2）如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数； （3）通过以上的探索过程，请根据图1与图2分别写出∠EAN与∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由． 25．（1）如图（1），线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　 　 个． （2）如图（2），△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，把该三角形分割出一个小等腰三角形，这样的直线最多可以画 　 　 条． （3）如图（3），在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个小等腰三角形，试求∠B的度数． 全等三角形期末复习专项练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学上 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D C C A B A 一．选择题（共10小题） 1．如图所示，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（　　） A．BC B．BD C．CD D．AD 【分析】由△ABD≌△CDB，得出AB＝CD，则AB的对应边是CD． 【解答】解：∵△ABD≌△CDB， ∴AB＝CD， ∴AB的对应边是CD． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，比较简单． 2．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝8，BE＝5，则DE的长为（　　） A．8 B．5 C．13． D．3 【分析】根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝8， ∴AC＝BD＝8， ∵BD＝BE+DE，BE＝5， ∴DE＝3， 故选：D． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 3．三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB＝AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．这里推断∠BAD＝∠CAD的理由是（　　） A．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，得△ABD≌△ACD B．由AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD C．由AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CD，得△ABD≌△ACD D．由AB＝AC，∠BDA＝∠CDA，BD＝CD，得△ABD≌△ACD 【分析】由题意可得BD＝CD，再利用SSS即可证明△ABD≌△ACD，即可得解． 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， 综上所述，只有选项B推断∠BAD＝∠CAD，正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 4．如图所示，已知AC＝BD，∠ABC＝∠DCB＝90°，则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是（　　） A．SAS B．HL C．AAS D．ASA 【分析】观察图形，根据已知条件在图形上的位置，题目给出了斜边及一角对应相等，又因为BC是公共边，符合HL，答案可得． 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 5．如图，在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，高BE与AD相交于点H，则DH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由∠BAC＝75°，∠C＝60°，求得∠BAD＝45°，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行求解． 【解答】解：∵高BE与AE相交于H，∠C＝60°， ∴∠HBD＝∠CAD＝30°， ∴DCAC＝1， ∵∠BAC＝75°， ∴∠BAD＝45°， ∴△BAD是等腰直角三角形， 在△BDH与△ADC中， ， ∴△BDH≌△ADC（ASA）， ∴DH＝DC＝1， 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题关键是证明△BDH≌△ADC． 6．如图，小明为了测量河的宽度，他先在河边的C点面向河对岸，压低帽檐，使目光正好落在河对岸的A点，然后他姿态不变，转过一个角度，正好看见了他所在岸上的一块石头B点，他测量了BC＝30m，可得河宽AC＝30m，此做法中用到三角形全等的判定是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．以上均不正确 【分析】利用“角边角”证明△ACD和△BCD全等，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝AC． 【解答】解：如图，连接DC， 由题意得，∠BDC＝∠ADC，∠BCD＝∠ACD＝90°， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（ASA）， ∴BC＝AC， ∵BC＝30米， ∴河宽AC为30米， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 7．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，PD⊥OA，若DP＝5，则CP的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【解答】解：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，PD⊥OA， ∴DP＝CP， ∵DP＝5， ∴CP＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 8．如图，在△ABC中，BC＝8，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，AF＝FC，再计算即可． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F， ∴EA＝EB，AF＝FC， ∴△AEF的周长为：EA+AF+EF＝EB+FC+EF＝BC＝8． 故选：A． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用． 9．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，∠DAC＝40°，则∠CDE＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】依题得AD＝AE，AB＝AC，即△ADE和△ABC都是等腰三角形，则结合∠DAC＝40°、3∠BAD＝30°即可求得∠AED和∠C的度数，根据三角形的外角等于不相邻两个内角的和可得∠AED＝∠C+∠CDE，∠CDE＝∠AED﹣∠C即可求解． 【解答】解：∵∠DAC＝40°，AD＝AE， ∴， ∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝30°+40°＝70°， 又AB＝AC， ∴， ∵∠AED是△CDE的外角， ∴∠AED＝∠C+∠CDE， 即∠CDE＝∠AED﹣∠C＝70°﹣55°＝15°． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是三角形的外角、等腰三角形的性质，解题关键是掌握等边对等角． 10．如图是小明用含有30°角的两个完全相同的三角尺拼成的图案．若连接BD，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据等腰三角形的定义知△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和知∠ABD＝∠ADB（180°﹣30°）＝75°，进而根据角之间的位置与大小关系求得∠FBD＝∠FDB＝15°，可得结论． 【解答】解：∵如图是小明用含有30°角的两个完全相同的三角尺拼成的图案， ∴AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ABD﹣∠ABC＝∠ADB﹣∠ADE＝75°﹣60°，即∠FBD＝∠FDB＝15°， ∴△BDF是等腰三角形． 故选：A． 【点评】本题主要考查等腰三角形的知识，掌握等腰三角形的判定定理是关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，△ABC≌△ABD，∠D＝90°，∠CAD＝60°，则∠ABD的度数为 　60°　 ． 【分析】由全等三角形的性质可得∠CAB＝∠DAB＝30°，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△ABD，∠CAD＝60°， ∴∠CAB＝∠DAB∠CAD＝30°， ∵∠D＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DAB＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是本题的关键． 12．如图，点A在DE上，△ABC≌△EDC，若∠BAC＝55°，则∠ACE的大小为 　70°　 ． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠E＝∠BAC＝55°，CE＝CA，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝70°． 【解答】解：∵△ABC≌△EDC，∠BAC＝55°， ∴∠E＝∠BAC＝55°，CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E＝55°， ∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 13．如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．若在该网格中，与△ABC全等的格点三角形共有n个（不含△ABC本身），则n＝　15　 ． 【分析】由图可知，在2×2的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4个（包含△ABC本身），而在3×3的正方形网格中，一共有4个2×2的正方形网格，据此即可求解． 【解答】解：在2×2的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4个（包含△ABC本身）， 在3×3的正方形网格中，一共有4个2×2的正方形网格， ∴在3×3的正方形网格中，与△ABC全等的格点三角形共有4×4＝16个（包含△ABC本身）， ∵不含△ABC本身， ∴与△ABC全等的格点三角形共有16﹣1＝15个， ∴n＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，数形结合是解题的关键． 14．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F．给出下列条件：①AB＝CD，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF．可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 　①②③　 .（填序号） 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ①AB＝CD，∠B＝∠C，又∠AEB＝∠CFD，由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF，故①符合题意； ②由AB∥CD；推出∠A＝∠D，又∠AEB＝∠CFD，AB＝DC，由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF，故②符合题意； ③AB＝DC，BE＝CF，由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF，故③符合题意； ④AB＝DF，Rt△ABE的斜边AB和Rt△DCF的直角边相等，不能判定Rt△ABE≌Rt△DCF，故④不符合题意． ∴可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法；SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 15．如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为 　4　 ． 【分析】利用三角形的外角性质证∠B＝∠D，再利用ASA证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠AOC＝∠D+∠C，∠BOD＝∠A+∠B，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD， ∴∠B＝∠D， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴OA＝OC，DO＝OB， ∵AD＝6，OB＝2， ∴OC＝OA＝AD﹣OD＝AD﹣OB＝6﹣2＝4， ∴OC的长为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的全等，关键是三角形的外角定理的应用． 16．如图，在四边形CBDE中，对角线CD、BE相交于点F，CB＝CD，BE＝BD，∠CED+∠CEB＝180°，CE＝2，BD＝2时，则CD的长为 　4　 ． 【分析】过点C作CR⊥BE于点R，CT⊥DE交DE延长线于点T，过点B作BM⊥EC交EC延长线于点M，在EC的延长线上取NM＝MC，连接BN，易证△BNM≌△BCM，由∠CEB+∠CED＝180°，可得∠CET＝∠CEB，所以CT＝CR，由HL可知，Rt△CBR≌Rt△CDT，可得∠CBE＝∠CDE，易证∠BCD＝∠BED，设∠BCD＝∠BED＝2α，通过倒角可知，∠NBE＝∠NEB＝90°﹣α，所以BN＝EN＝BC，设CM＝MN＝x，利用勾股定理可列方程，解之即可得出结论． 【解答】解：如图，过点C作CR⊥BE于点R，CT⊥DE交DE延长线于点T，过点B作BM⊥EC交EC延长线于点M，在EC的延长线上取NM＝MC，连接BN． 则∠CET+∠CED＝180°，△BNM≌△BCM， ∵∠CEB+∠CED＝180°， ∴∠CET＝∠CEB， ∴CT＝CR， ∵CB＝CD， ∴Rt△CBR≌Rt△CDT（HL）， ∴∠CBE＝∠CDE， ∵∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝∠CDE+∠BED， ∴∠BCD＝∠BED， 设∠BCD＝∠BED＝2α， 则∠BDC（180°﹣∠BCD）＝90°﹣α，∠BEC∠BET（180°﹣∠BED）＝90°﹣α， ∵BD＝BE， ∴∠BDE＝∠BED＝2α， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠BDE﹣∠BDC＝3α﹣90°，∠N＝∠BCN＝∠CBE+∠CEB＝2α， ∴∠NBE＝180°﹣（∠N+∠BEC）＝90°﹣α， ∴∠NBE＝∠NEB， ∴BN＝EN＝BC，设CM＝MN＝x， 则EM＝x+2，BN＝EN＝2x+2， ∵BM2＝BN2﹣MN2＝BE2﹣EM2， ∴（2x+2）2﹣x＝（2）2﹣（x+2）2， 解得x＝1或x＝﹣4（舍去）， ∴BC＝2×1+2＝4． 故答案为：4 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等相关知识，作出正确的辅助线构造全等三角形是解题关键． 三．解答题（共9小题） 17．如图，已知图中的两个三角形全等，点A与点C对应，点B与点D对应．用符号表示这两个三角形全等，并写出它们的对应角和对应边． 【分析】根据全等的性质即可确定对应边和对应角． 【解答】解：∵△ABC≌△CDA，点A与点，点B与点C是对应顶点， ∴对应边：AB＝CD，AD＝CB，AC＝CA， 对应角：∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 18．如图所示，△EFG与△NMH全等，在△EFG中，EG是最短的边，在△NMH中，NH是最短的边，∠E和∠N是对应角，且EG＝2.1cm，FH＝1.9cm，MH＝3.5cm． （1）写出对应相等的边及对应相等的角； （2）求线段NG的长度． 【分析】（1）由全等三角形的对应边、对应角的定义，即可得到答案； （2）由全等三角形的性质得到NH＝EG＝2.1cm，FG＝MH＝3.5cm，求出HG＝FG﹣FH＝1.6（cm），即可得到GN＝NH﹣HG＝0.5（cm）． 【解答】解：（1）∵△EFG与△NMH全等，EG是最短的边，NH是最短的边，∠E和∠N是对应角， ∴FE＝MN，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠MHN； （2）∵△EFG≌△NMH， ∴NH＝EG＝2.1cm，FG＝MH＝3.5cm， ∵FH＝1.9cm， ∴HG＝FG﹣FH＝3.5﹣1.9＝1.6（cm）， ∴GN＝NH﹣HG＝2.1﹣1.6＝0.5（cm）． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质． 19．如图，已知AC与BD相交于点O，且点O是BD的中点，AB∥CD．试说明△AOB与△COD全等的理由． 【分析】由ASA证△AOB≌△COD即可． 【解答】证明：∵点O是BD的中点， ∴BO＝DO， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 20．如图，已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AB＝A'B'，求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 【分析】将Rt△ABC和Rt△A'B'C'的顶点A和A′重合，AC和A′C′重合，则C和C′重合，判定B、C、B′共线，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠B′，即可证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（AAS）． 【解答】证明：如图，将Rt△ABC和Rt△A'B'C'的顶点A和A′重合，AC和A′C′重合，则C和C′重合， ∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， ∴B、C、B′共线， ∴两个三角形拼成了△ABB′， ∵AB＝A′B′， ∴∠B＝∠B′， 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（AAS）． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角，AAS． 21．如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE． （1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠B的度数． 【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，推导出∠BAC＝∠DAE，而AB＝AD，AC＝AE，即可根据“SAS”证明△ABC≌△ADE； （2）由AB＝AD，得∠B＝∠ADB，而∠BAD＝20°，则2∠B+20°＝180°，求得∠B＝80°． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， ∵∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，且∠BAD＝20°， ∴2∠B+20°＝180°， ∴∠B＝80°， ∴∠B的度数是80°． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABC≌△ADE是解题的关键． 22．项目式学习 【项目主题】 测量分别位于某池塘两侧两根电线杆之间的距离，即输电线路的长度． 【项目背景】 如图2，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有的皮尺、测量角度的仪器无法直接测量出A，B之间的距离．利用现有的工具，请你设计一种方案，可以求出A，B之间的距离． 【分析】在AO的延长线上取点F，使OF＝OA；在BO的延长线上取点E，使OE＝OB，连接EF．且点A，B，O，E，F在同一水平面上．可证明△AOB≌△FOE（SAS），得到AB＝FE，即可解答． 【解答】解：如图所示，在池塘边上取一点O，测量出OA和OB的长度，在AO的延长线上取点F，使得OF＝OA； 在BO的延长线上取点E，使OE＝OB， 连接EF．且点A，B，O，E，F在同一水平面上． 在△AOB和△FOE中， ， ∴AB＝FE， 所以利用皮尺测量出FE的长即可求得AB的长，即A，B之间的距离．（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在池塘边上取一点O，测量出OA，OB的长度，． 23．如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数． （2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF＝DE＝5． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°； （2）∵点F是AC上的动点， ∴当DF⊥AC时，DF最小， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF的最小值为5． 【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． 24．已知，在△ABC中，DE垂直平分边AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分边AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度数； （2）如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数； （3）通过以上的探索过程，请根据图1与图2分别写出∠EAN与∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，再根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，同理可得，∠CAN＝∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）代入数据进行计算即可得解； （2）同（1）的思路，最后根据∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC代入数据进行计算即可得解； （3）根据前两问的求解方法，分90°＜∠BAC＜180°或0°＜∠BAC＜90°，两种情况解答． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠B＝∠EAB， 同理∠C＝∠CAN， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC） ＝2∠BAC﹣180°＝2×108°﹣180°＝36°； （2）由（1）可知，∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAN， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°； （3）由图1知当90°＜∠BAC＜180°时， ∠EAN＝2∠BAC﹣180°＝2（180°﹣∠B﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2（∠B+∠C）； 由图2知当0°＜∠BAC＜90°时， ∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理，并分两种情况讨论． 25．（1）如图（1），线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画 　4　 个． （2）如图（2），△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，把该三角形分割出一个小等腰三角形，这样的直线最多可以画 　5　 条． （3）如图（3），在△ABC中，∠BAC＝10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个小等腰三角形，试求∠B的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，于是得到结论； （3）如图3，当AD＝CD，①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°；②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°；③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°；如图4，当AC＝AE，CE＝BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）如图2中，①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CE，④当AD＝CD，⑤当BE＝EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； （3）如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝10°， ∴∠CDB＝20°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝80°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝20°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣20°﹣20°＝140°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝10°， ∴∠ACE＝∠AEC＝85°， ∴∠B＝∠BCE＝42.5°， 如图5， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝10°， ∴∠AEC＝∠A＝10°， ∴∠B＝5°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为80°或20°或140°或42.5°或5°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/28 15:59:42；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $